江西省宜春市高安市名校2022-2023学年高一下学期5月期中考试数学试题（含解析）

高安市名校2022-2023学年高一下学期5月期中考试
数学
考生注意：
1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、单选题（每题5分，共40分）
1．，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法中，正确的个数是(　　)
①时间、摩擦力、重力都是向量；
②向量的模是一个正实数；
③相等向量一定是平行向量；
④向量与b不共线，则与b都是非零向量．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．若O是所在平面内一点，D为边的中点，且，那么
A． B．
C． D．
4．（ ）
A． B． C． D．
5．若函数是奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
6．若为锐角，，,则的值为
A． B． C． D．
7．函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为
B．的图象关于点对称
C．在上单调递增
D．的图象关于直线对称
8．已知单位向量，的夹角为60°，向量，且，，设向量与的夹角为，则的最大值为（ ）.
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．已知函数,且函数为偶函数,则下列结论错误的是( )
A．函数的最小正周期为
B．函数图像的一个对称中心为
C．函数的最大值为1
D．要得到函数的图像,可将的图像向右平移个单位长度
10．已知直线是函数f(x)=sin(2x+φ)（0<φ<π）的一条对称轴，则（ ）
A．是偶函数
B．是f（x）的一条对称轴
C．f(x)在上单调递减
D．y=f(x)与的图象关于直线对称
11．若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．在区间上单调递减
C．函数的象关于点对称 D．在上的最小值为
12．设函数，若的图象与直线在上有且仅有1个交点，则下列说法正确的是（ ）
A．的取值范围是
B．在上有且仅有2个零点
C．若的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则
D．若将图象上各点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，则在上单调递增
三、填空题（共20分）
13．已知向量的夹角为，若，则________.
14．设定义在R上的函数满足，当时，，则______．
15．在中，三个内角A、、满足，且，则________．
16．已知向量，向量，函数，下列关于函数的结论中正确的是______________．
①最小正周期为； ②关于直线对称；
③关于点中心对称； ④值域为．
四、解答题（共70分）
17．已知
（1）化简；
（2）若，求值．
18．已知函数的图象过点与.
(1)求的解析式；
(2)求在区间上的最大值.
19．已知向量，且
（1）求的解析式和它的最小正周期；
（2）求函数在的值域
20．已知.
(1)求的值域；
(2)若为的中线，已知，求的长.
21．已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）若，其中，求的值；
（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
22．如图，点分别是正方形的边、上两点，，，记点为的外心.
(1)若，，，求的值；
(2)若，求的取值范围；
(3)若，若，求的最大值.
1．B
故选：
2．B
对于①，时间没有方向，不是向量，摩擦力、重力都是向量，故①错误；对于②，零向量的模为0，故②错误；③正确，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；④显然正确．
故选B.
3．C
如图，D为的中点，.
故选C.
4．A
记题中代数式为M，则
．
故选：A
5．D
由函数是奇函数，
可知或，
由诱导公式，得.
故选：D
6．B
,解得,因为为锐角所以，故选B.
7．C
.
对于A选项，，A错；
对于BD选项，，所以，函数的图象关于点对称，BD均错；
对于C选项，当时，，
所以，在上单调递增，C对.
故选：C.
8．D
因为单位向量，的夹角为，
则，
所以，
又，
所以，
当取最大值时，必有，
则，
又，，则，所以，
所以，
故的最大值为.
故选：D．
9．AB
因为函数为偶函数,所以,
所以,函数的最大值为1,
函数的最小正周期为,故A错误,C正确;
将代入,得,但,
其图像不关于点对称,故B错误;
将的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像,故D正确.
故选:AB.
10．ACD
∵直线是函数f(x)=sin(2x+φ)（0<φ<π）的一条对称轴，
所以（0<φ<π），
所以，即，
所以，是偶函数，故A正确；
由2x+=（k∈Z），解得x=（k∈Z），
所以f（x）的对称轴方程为x=（k∈Z），
而x=不能满足上式，故B错误；
当，此时函数f（x）单调递减，故C正确；
显然，与的图象关于直线对称，故D正确.
故选：ACD.
11．AD
由已知得，
A.的最小正周期为，A正确；
B.当时，，因为在先减后增，故在区间上不是单调函数，B错误.
C.，函数的象不关于点对称，C错误；
D. 当时，，则，故在上的最小值为，D正确.
故选：AD.
12．AC
由题意若的图象与直线在上有且仅有1个交点，
则，结合正弦函数图像，如图：
由于，故，
解得，即，A正确；
结合以上分析可知，
令时, ，
由此可知时，函数一定有2个零点，
当时，相应的x可能是函数的零点，也可能不是，
即在上可能有2个零点，也可能有3或4个零点，B错误；
的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，
即平移后图象对应的函数为偶函数，
则，即，
只有当时，，C正确；
将图象上各点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，
则，，则，
由于，故，而，
故在上不一定单调递增，D错误，
故选：AC
13．
由题意，向量，可得，
所以.
故答案为：.
14．
定义在R上的函数满足，所以函数的周期为2，
当时，，
则．
故答案为．
15．
因为，又，
所以，
因为，所以，
.
故答案为：.
16．①②
向量，向量，
函数
，
①最小正周期．
②当时，，∴关于直线对称；
③当时，，∴关于点中心对称．
④∵值域为，即，，
可得，即．
∴的值域为．
故答案为：①②．
17．（1）；（2）.
（1）
．
（2）因为，
所以．
所以.
18．(1)
(2)
（1）由题意知，，
则，解得，.
故.
（2）当时，，
所以，当且仅当，即时取等号，
故在区间上的最大值为.
19．（1）＝，最小正周期T＝π；（2）[﹣1，]．
（1）∵，∴函数的最小正周期T＝＝π；
（2）∵0≤x≤，∴≤2x+≤，∴≤sin（2x+）≤1，
∴﹣1≤sin（2x+）≤．
∴函数在的值域为[﹣1，]．
20．(1)
(2)
（1）由，可化简得，
因为，所以，
所以，故，则，即，
所以的值域为.
（2）因为，，由（1）知，，
又因为，
由余弦定理得，
所以，
所以，故为直角三角形，为直角，
又在中，，
所以.
.
21．（1）；（2）；（3）.
（1）由图象可知，函数的最小正周期为，，
则，
，可得，
，，，解得，
因此，；
（2），可得，
，，，解得；
（3）当时，，则，
，，
由可得，则，
，，所以，.
综上所述，实数的取值范围是.
22．(1)1
(2)
(3)
（1）以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系.，，
所以.
（2）设，，
则，.
，
由于，根据对勾函数的性质可知.
（3）；
.
设，，则这两个式子为，
化简得
解得
所以，
设，，
令，
所以由对勾函数的性质得，
所以当时，即点与点重合时，取到最大值.