河南省驻马店市名校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷（PDF版含解析）
文档属性
| 名称 | 河南省驻马店市名校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷（PDF版含解析） |  | |
| 格式 | |||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-05-23 05:28:53 | ||
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文档简介
2021 级高二下学期期中考试 7．已知定义域为 (0,+ )的函数 f (x)的导函数为 f (x)，且 xf (x) f (x) 0，若 f (5) = 4，
数学学科试题 则5 f (x) 4x 的解集为（ ）
A． (0,4) B． (4,+ ) C． (5,+ ) D． (0,5)
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.） 8．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，
1．等比数列 a 的前n项和为 Sn ，且 4a ， 2a a a =1 s =n 1 2 ， 3成等差数列，若 1 ，则 4 （ ） 13，…该数列的特点是：前两个数都是 1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人
A．7 B．8 C．15 D．16 们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，若 an 是“斐波那契数列”，则
2．已知742022 + a 能够被 15 整除，则 a的一个可能取值是（ ）
(a a a21 3 2 )(a 22a4 a3 )(a3a5 a24 ) (a 22020a2022 a2021 )的值为（ ）.
A．1 B．2 C．0 D． 1
A． 1 B．1 C． 2 D．2
3．已知 a<0，若直线 l1：ax + 2y +1= 0与直线 l2：x+ (a +1) y 4 = 0平行，则它们之间的距离为（ ）
7 2 5 2 7 2
A． B． C． 5 D． 5 或
4 2 4
4．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852 年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”
二、多选题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
问题的解法传至欧洲.1874 年英国数学家马西森指出此法符合 1801 年由高斯得出的关于同余式解法 全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分).
的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于同余的问题．现 9．袋中装有除颜色外完全相同的3个红球和 6 个白球，从袋中一次抓出2 个球，记事件 A = “两球同
有这样一个问题：将正整数中能被 3 除余 1 且被 2 除余 1 的数按由小到大的顺序排成一列，构成数 色”，事件B = “两球异色”，事件C = “至少有一红球”，则（ ）
列 a ，则a =（ ） A．事件A 与事件 B 是对立事件 B．事件A 与事件 B 是相互独立事件 n 10
7
A．55 B．49 C．43 D．37 C．P (A) = P (B) D．P (C ) = 12
2
5．设抛物线 y2 = 6x的焦点为 F，准线为 l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过 P作 l的垂线， 10．函数 f(x)＝b（x-a） （x-b）的图象可以是（ ）
垂足为 Q，若直线 QF的倾斜角为120 ，则 PF =（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12 A． B． C． D．
6．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，
天池盆盆口直径为 36 寸，盆底直径为 12 寸，盆深 18 寸．若某次下雨盆中积水的深度恰好是盆深
的一半，则平均降雨量是（注：平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积）（ ）
5 7
A． 寸 B．2 寸 C． 寸 D．3 寸
3 3
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11．在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中，已知 AB = AD = AA =1, A AB = A AD = BAD = 60 ， 15．函数 f (x) =| x 1| ln x的最小值为______1 1 1 ．
则下列说法错误的是（ ） 3 216．已知函数 f (x) = x +mx (m 0), x 1,+ )，数列 an 满足an = f (n) ,n N+，给出下列两个条
A．E 为C1D1中点，F 为 B1C1 中点，则DE 与 BF 为异面直线
件：①函数 f (x)是递减函数；②数列 an 是递减数列.试写出一个满足条件②但不满足条件①的函
B．线段 A1C 的长度为 3
数 f (x)的解析式： f (x) =__________.
C．M 为 AA1中点，则 A1C //平面 BDM
6
D．直线 A1C 与平面 ABCD所成角的正弦值为 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
3
1
2 2 3 2 2x y 17．已知函数 f (x) = x ax + (a 1) x +b ， (a,b R ) .
12．已知直线 l：y=kx+m与椭圆C : + =1交于 A，B两点，点 F为椭圆 C的下焦点，则下列结 3
3 4
论正确的是（ ） (1)若 x =1为 f (x)的极小值点，求a的值；
A．当m =1时， k R，使得 | FA | + | FB |= 3 (2)若 y = f (x)的图象在点 (1, f (1))处的切线方程为 x + y 3 = 0，求 f (x)在区间 2,4 上的最大值.
B．当m =1时， k R， | FA+ FB | 2
11
C．当 k =1时， m R ，使得 | FA | + | FB |=
2 3 b 3 a
18．已知数列 a ， b 满足： a1 + 2b1 =1， a n nn n n+1 = an ， 2bn+1 = bn .
6 4 2 2 4
D．当 k =1时， m R， | FA+ FB |
5
(1)求证：数列 an + 2bn 是等比数列；
(2)若___________（从下列三个条件中任选一个），求数列 a 的前n 项和 Sn n .
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
3 1 1
13．已知直线 y = x m 与曲线 y = x + ln x相切，则 m的值为______． ① a1 2b1 =1；②b2 = ；③ a2 2b2 =1 .
2 2 8
2
14．某校高二学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）X 服从正态分布 N (110,10 )，从中抽取一个
1
同学的数学成绩 ，记该同学的成绩90 110为事件A ，记该同学的成绩80 100为事件 B ， 19．已知四棱锥P ABCD中，PA ⊥平面 ABCD，AD∥BC ，BC ⊥ AB，AB = AD = BC ，BD = 2 ，2
则在A 事件发生的条件下 B 事件发生的概率P (B A) =______．（结果用分数表示） PD = 5 ．
附参考数据：P ( X + ) = 0.68；P ( 2 X + 2 ) = 0.95； (1)求直线PC 与平面 PBD 所成角的正弦值；
(2)线段 PB上是否存在一点M，使得CM⊥平面 PBD ？若存在，请指出点M的位
P ( 3 X +3 ) = 0.99．
置；若不存在，请说明理由．
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2 2
20．区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术．区块链作为构 ( ) x y21．过点 4,2 的动直线 l与双曲线E : =1(a 0,b 02 2 )交于M , N 两点，当 l与 x 轴平行时，a b
造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式，2018 年至 2022 年五年期间，中国
MN = 4 2 ，当 l与 y 轴平行时， MN = 4 3．
的区块链企业数量逐年增长，居世界前列．现收集我国近 5 年区块链企业总数量相关数据，如表：
(1)求双曲线E 的标准方程；
年份 2018 2019 2020 2021 2022
(2)点 P 是直线 y = x +1上一定点，设直线PM , PN 的斜率分别为 k1, k2，若 k1k2为定值，求点 P 的坐标．
编号 x 1 2 3 4 5
企业总数量 y（单位：千个） 2.156 3.727 8.305 24.279 36.224
(1)根据表中数据判断， y = a + bx与 y = cedx （其中 e＝2.71828…为自然对数的底数），哪一个回归方
程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由）
a
22．已知函数 f(x)= + lnx 2(a R )．
(2)根据（1）的结果，求 y 关于 x 的回归方程；（结果精确到小数点后第三位） x
n (1)讨论 f (x)的单调性；
xi yi nxy
附：线性回归方程 y = b
i=1
x+ a 中，b = an ， a = y bx 2
2 2 (2)若方程 f (x) = ax + 有两个不同的实数根，求a 的取值范围． xi nx x
i=1
5 5 1 5 1 5
参考数据： = ， xi zi = 40.457 x
2
， i = 55， x = x i = 3, z = zi = 2.196
i=1 i=1 5 i=1 5 i=1
(3)为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙
三家区块链公司参赛，比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜
的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则
1
本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为 ，
3
3 1
甲胜丙的概率为 ，乙胜丙的概率为 ，请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获
5 2
得“优胜公司”的概率最大？
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数学期中考试卷参考答案 面积得答案． n n 1
1．C 【详解】如图，由题意可知，天池盆上底面半径为 18寸，下底面半 即 3 3n，整理可得 n
2 7n 6 0，因为 n 3，解得 n 6，
2
【详解】试题分析：由数列 为等比数列，且 成等差 径为 6寸，高为 18寸．
1 故 C正确； 1 1 2
数列，所以 ，即 ，因为 ，所 积水深 9寸， 水面半径为 (18 6) 12寸， C C C C0 72 对于 D，由 C知， n 6， P C 3 6 3 6 ，故 D正确，
以 ，解得： ，根据等比数列前 n 2项和公式 1
则盆中水的体积为 π 9 (62 2
C 12
12 6 12) 756π（立方寸）． 9
3 故选：ACD.
． 756π 7 ．平地降雨量等于 （寸 )． 10 BC
π 182 3 【分析】首先根据解析式确定零点类型，再结合图象，判断选项.
2．D 故选：C． 【详解】由函数解析式可知， a是不变号零点，b是变号零点，
【分析】利用二项展开式写出742022 a，由展开式可知需要1 a能 A.由图可知，变号零点是 0，则b 0，则 f x 0，不成立，故 A
被 15整除，结合选项可得答案. 7．C 错误；
【详解】 【分析】根据给定不等式 xf x f x 0构造函数，借助导数确定 B.由图可知，变号零点小于 0，不变号零点为 0，则b 0,a 0，此
75 1 2022 a C0 752022 C1 752021 C2 752020 C2021 2022 函数的单调性，再解不等式作答. f x b x b x2 f x 0 f x 02022 2022 2022 202275 C2022 a 时 ，当 x b， ，当b x 0， ，
, 【详解】令 g(x)
f (x)
， x 0,+ ，因为 xf x f x 0，则 当 x 0时， f x 0，满足图象，故 B正确；
75能够被 15整除，要使原式能够被 15整除，则需要1 a能被 15 x 2
整除，将选项逐个检验可知 a的一个可能取值是 1，其他选项均不 xf x f xg (x)
C.由图可知，b a 0，f x b x b x a ，当 x a时，f x 0，
0，
符合题意， x2 当 a x b时， f x 0，当 x b时， f x 0，满足图象，故 C
故选：D 因此函数 g(x)在 0, 上单调递减，则 正确；
3．A 2
【分析】根据题意结合两直线平行求得 a 2，再代入两平行线间 5 f (x) 4x
f (x) 4
g(x) g(5) x 5 D.由图可知，a b 0，f x b x b x a ，当 x a时，f x 0，，解得 ，
距离公式运算求解. x 5 与图象不符，所以 D错误.
l ax 2y 1 0 l x a 1 y 4 0 所以5 f x 4x的解集为 5, . 故选：BC【详解】若直线 1： 与直线 2： 平行， 故选：C 11．ABD
则 a a 1 2 0，解得 a 1或 a 2， 8．B 【分析】利用棱台的定义判断 A，利用空间向量的数量积运算律求
当 a 1时，直线 l1： x 2y 1 0与直线 l2： x 2y 4 0平行； 2【解析】由已知数列的特点依次求出 a1a3 a2 ，a2a4 a
2
，a a a2 ， 解 B,利用线面平行的判定定理判断 C，利用线面角的定义判断 D.3 3 5 4
当 a 2时，直线 l1： 2x 2y 1 0与直线 l2： x y 4 0平行； 的值，发现这些数依次为1, 1,1, 1,1, 1 【详解】，进而可求出答案
l l a 1 a 2 . 对于 A，如图，连接 EF ,DE,BF， E为C D 中点，F 为 BC 中点，综上所述：若直线 1与直线 2平行，则 或 【详解】由题设可知，斐波那契数列 an 为：1,1,2,3,5,8, 1 1 1 1
∵ a<0，则 a 2，此时直线 l1：2x 2y 1 0，直线 l2：2x 2y 8 0
1 1
， 其特点为：前两个数为 1，从第三个数起，每一个数都等于它前面 由图可知， EC // DC,FC // BC,且
1 8 7 2 两个数的和，由此可知： 2 2
故直线 l d 1、 l2之间的距离 4 . a1a3 a
2
2 1 2 1
2 1 1 1
2 ， EC = DC,FC = BC,22 2 a2a4 a23 1 3 22 1， 2 2
故选：A. 2 2 DE CC G,BF CC H ,a3a5 a4 2 5 3 1
设 1 1 则
，
4．A C G C H CC G,H 重合，
. a4a6 a
2
5 3 8 5
2 1 1 1 1，
【分析】由条件写出通项公式，即可求解 即DE与 BF相交，故 A错误；2
【详解】正整数中既能被 3除余 1且被 2除余 1的数，即被 6除余 a2020a2022 a2021 1， 对于 B，因为
1，那么 则 a1a a23 2 a2a4 a23 a 22020a2022 a2021 AB AD AA 1, AAB AAD BAD 60 ，
an 1
1 1 1
n 1 6 6n 5，有 a10 55 . 1010 2 1010 2 2A 1 1 1. 所以 AB AD AA 1，故选： 1
5 B 故选：B. ． AB AD AB AA AD AA 1 1 1 cos60 ,
【分析】根据几何图形，结合抛物线的定 9．ACD(答案需修改) 1 1 2
义的性质，即可判断. 【分析】由对立事件的定义可判断 A选项；利用独立事件的定义可 2 2 2
π 判断 B选项；由古典概型的概率公式可得出关于 n的等式，解出 n的 所以 A1C A1C (AB AD AA1)
【详解】依题意 QFH ， HF 3，
3 值，可判断 C选项；利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可
2 2 2
QF 6 判断 D选项QH .
AB AD AA1 2AB AD 2AB AA1 2AD AA1
3 3， ， 【详解】对于 A选项，由对立事件的定义可知，事件A、 B互为对 1 1 1 1 1 1 2,
π 2PF QP PQF △PQF 立事件，A对；又 ， ，则 为等 所以 A1C 2 ,故 B错误；
3 对于 B选项， P AB 0， P A 0， P B 0，显然
因为M 为 AA 中点，连接 AC交 BD于点O，
边三角形，有 PF 6， P A P B P AB 1，故 B不正确； 再连接OM ,BM ,DM，
C2 C2 C1 1
故选：B 对于 C， P A 3 n2 ，P B 3
Cn
2 ，由 P A P B
则在△ACA 中， AC∥OM ，
，可得 1 1
6．C Cn 3 Cn 3 A1C 平面 BDM ，OM 平面 BDM ,
2 2 1
【分析】由题意求得盆中水的上地面半径， C3 Cn C3C
1
n， 所以 A1C 平面 BDM，C正确；
代入圆台体积公式求得水的体积，除以盆口 对于 D:在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，
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四边 形 A B CD 是 菱形 ， 则 A C B D
2 2
, x1 y1 4x 3y 0
BD AA AD AB AA AD AA AB AA 0 1 2 2 2 2 x 12 3 7 , 3 7 又 1 1 1 1 , 3 4 x x y y 由 3 可得 ，当且仅当点
BD AA AC AA A, AC, AA ACA 由题意可得 2 2 ，两式作差可得
1 2 1 2 0， y x 1 25 7 7
所以 1， 1 1 平面 1， x2 y2 3 4
4
所以 BD 平面 ACA 11， 3 4 M 12 , 16 时，
又因为 BD 平面 ABCD， 因为直线 AB 的斜率存在，则 x1 x2 ，所以， 25 25
所以平面 ACA1 平面 ABCD， y1 y2 y1 y2 2y 4
A A P AC P k ， FA FB
6
过点 作 于点 ， 取最小值 ，故 D正确.1 1 x x x x 2 x 3 5
平面 ACA1 平面 ABCD AC
1 2 1 2
， 4 故选：BCD
A P 平面 ACA ,所以 AP 平面 ABCD， 整理可得 ky x，又因为 y kx 1，消去 k可得 4x
2 3y2 3y 0，
3 【点睛】方法点睛:圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略:1 1 1 (1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参
所以直线 A1C与平面 ABCD所成角为 A1CA， 其中 y 0，
2 2 数的取值范围;所以，
AC AB AD, AC AB AD 2AB AD 3，
FA FB x , y 1 x , y 1
(2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心
x x , y
2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 y2 2 2x, 2y 2 ， 是建立两个参数之间的等量关系;
所以 AA1 A1C AC , 所以， (3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围;
AA 3 FA FB 4 x2 4 y 1 2 4 x2 4 y2 8 y 4 3 y 3 y2 4 y2 8 y (44）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围;AA AC sin ACA 1 D 所以 1 1 ，所以 ，故 错误； (5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其1 AC 3 值域，从而确定参数的取值范围.
故选:ABD. 2 13．1
12．BCD y 11y 4 2，故 B正确； 对于 C选项，当 k 1时，直线 l的方程为 y x m x y m y 1，即 ， x ln x (x , y )
【分析】对于 A，将直线 l的方程与椭圆方程联立，求出 AB 的取值 【分析】求出函数 的导数，设切点为 0 0 ，利用导
x y m 22 2
范围，可求得 FA FB 的取值范围，可判断 A选项；求出线段 AB 联立 2 2 可得7 y 8my 4m 12 0， 数的几何意义求出切点坐标，代入切线方程，即可求得答案.
4x 3y 12 1 1 1
中点的轨迹方程，可求得 FA FB 的取值范围，可判断 B选项；将 64m2 28 4m2 12 16 21 3m2 0 7 y x ln x y ，解得 m 7 【详解】由题意 ，可得 ，， 2 2 x
直 线 l的 方程与椭圆方程联立，利用弦长公式结合 0可求得 2 3 1
FA FB C AB 由韦达定理可得 y1 y
8m
y y 4m 12， ， 直线 y x m与曲线 y x ln x相切，设切点为 (x2 1 2 2 2 0
, y0 )，
的取值范围，可判断 选项；求出线段 中点的轨迹方
7 7 1 1 3 1 1
程，可求得 FA FB 的最小值，可判断 D选项.
FA x2 y 1 2 3 3y
2 2
1 y2 2y 1 y1 2y 4 2 y1 2 则y
, x0 11 ，则 y0 x0 ln x0 ，
【详解】在椭圆C中， a 2，b 3， 1
1 1 1 2 x4 4 1 2 2 0
2 2 2
1 y 3c a2 b2 1， ， 即切点为 (1, )，将该点坐标代入 x m，可得m 1，2
由题意可得 F 0, 1 2，上焦点记为 F 0,1 ， 同理 FB 2 y 2 ，所以， 故答案为：1
2 27
对于 A选项，设点 A x1, y1 、B x2 , y ， 2 14．
y kx 1 FA FB 4
y1 y2 4 4m 4 7 4 7 4 , 4 95
2 7 7 7
，
联立 可得 【分析】计算出
P AB 和 P A ，然后利用条件概率公式可得出
4x2 3y2 12 11 4 7 4 7 P AB
3k2 4 x2 6kx 9 0， 因为 P B A 2 4 , 4 ，所以，当 k 1时， m R ，使得 的值. 7 7 P A
36k 2 36 3k 2 4 144 k 2 1 0， 11 【详解】由题意可知 110， 10，事件 AB为90 100，FA FB ，故 正确；
6k 9 C2 Q 90 2 ，100 ，
由韦达定理可得 x1 x2 2 ， x1x2 ， 所以，3k 4 3k 2 4 对于 D选项，设线段 AB的中点为M x, y ， P AB P 90 100 P 2
2 2 6k
2
36 12 k 2 1 y1 y2 y y 2y 4
1 2
AB 1 k x x 4x x 1 k 由 B选项可知， y
4
，即 x，即 4x 3y 0， P 2 X 2 P1 2 1 2 X
3k 2 4 3k 2 4 3k 2
x x x x 2 x 3 3 0.95 0.68 27 4 1 2 1 2
2 2 200
y
4
x
4 3 由 可得 x
3 7
，故点M 的横坐标的取值范围是 ，
4 3, 4 ， 2 2 7 P 2 X 2 953k 2 4 4x 3y 12 P A P 90 110 P 2 ，2 200
所以， FA FB 4a AB 8 AB 4,5 ，故 A错误； 3 7 3 7
P AB ， 27 200 27
27
，
M x, y 由条件概率公式得
P B A ，故答案为 .
对于 B选项，设线段 AB的中点为 ， 7 7 P A 200 95 95 95
d 3 3 【点睛】本题考查条件概率的计算，同时也考查了正态分布3 原则而点 F到直线 4x 3y 0的距离为 ，
42 32 5 计算概率，解题时要将相应的事件转化为正态分布事件，充分利用
正态密度曲线的对称性计算，考查计算能力，属于中等题.
15．0
第 2页 共 5页
【分析】求出函数定义域，对 x分段去绝对值，当 0 x 1时，分析 , 1 1,1 1, 1
函数的单调性；当 x 1时，利用导数分析函数的单调性并求最小值， x 1 1 （2）由（1）知 an 2bn 2n 1 ，
即可得到 f (x)的最小值． f x 0 0 3 b 3 a
【详解】解：函数 f x | x 1| ln x 的定义域为 (0, )． 又因为 a n nn 1 2bn 1 an bn an 2b4 2 2 4 n，
当 0 x 1时， f x 1 x ln x，此时函数 f (x)在 0,1 上为减函数， f x 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以数列 an 2bn 为常数列.
当 x 1时， f x | x 1| ln x x 1 ln x， x 1 f x 若选条件①或③，均可得 a 2b 1 ，此时 是 的极小值点； n n1 1 n 2 1
则 f (x) 1
1 x 1
0 ，所以 f (x)在 1, 上单调递增， 当 a 2 f x x2时， 4 x 3， 所以 an n ，所以 Sn .x x 2 2 2 2 2n
f (x)在 (0, )上是连续函数， 令 f x x 4x 3 0，解得 x 1或 x 3， 1
x 0,1 x 1, 若选②，因为b2 , 2b
3 an 3 1 1
f (x) f (x) 8 n 1
bn ，所以 b a ，又因
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增． 1 1x ,1 1 1,3 3 3, 2 4 2 4 4
当 x 1时 f (x)取得最小值为 f x min f 1 1 1 ln1 0． 为 a1 2b1 1，
故答案为：0． f x 0 0 1 1所以 a1 1,b1 0，所以 a1 2b1 1，所以 an n ，所以 3 7 2 216． x3 2x2 （答案不唯一，m , 均可）
2 3 f x 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 S n 2 1n
2 2n
.
【分析】若函数 f x 是递减函数，则 f x 0恒成立，由此可得 此时 x 1是 f x 的极大值点，不成立； 4
f x m 3不是递减函数的条件为 ，后结合任意 n 1，函数 n N 所以 a 0； 19．(1) ，2 （2） 1, f 1 在 x y 3 0 9上， (2)不存在点 M，理由见解析
f n 1 f n ，可得满足题意的m的范围. f 1 2，
【详解】若函数 f x 是递减函数，则 f x 0在 x 1, 恒成立. 1,2 y f x 【分析】（1）求出相关线段的长，建立空间直角坐标系，求得相关在 上， PBD
f x 3x2 2mx 0 3x m m 3x 3
点坐标，求得平面 的一个法向量，根据空间角的向量求法，即
. 2 1则 a a2 1 b， 可求得答案；2 2 min 2 3 （2）假设存在满足条件的点 M，表示出其坐标，利用向量的垂直列
f x x 1, m 3 又 f 1 1 ， 出方程，根据方程解的情况可得出结论.则若 在 上不是递减函数，可得 ；
2 1 2a a2 1 1， 【详解】（1）因为 AD∥BC，BC⊥AB，所以 AD⊥AB．
数列 a 8 1n 是递减数列，等价于对任意 n 1，函数 n N ， 解得 a 1， b ， 又因为 AB AD BC， BD 2，所以 AB AD 1,BC 2 ．
f n 1 f n ， 3 21 8
f x x3 x2 f x x2 2x 因为 PA 平面 ABCD， AB 平面 ABCD， AD 平面 ABCD，， ，
又 f x 3x x
2 2
m 2 ， m 1，则 f x 在 m, 上单调递 3 3 所以 PA AB,PA AD．又 PD 5，所以 PA PD2 AD2 2．
3 3 3 令 f x x2 2x 0，解得 x 0或 x 2， 以 A为坐标原点，以 AB,AD,AP所在直线分别为 x轴、y轴、z轴，
减. 建立如图所示的空间直角坐标系，
2m x 2,0 0 0, 2 2 2,4
2 m 3m 3 m 73 则 B(1 , 0 ,0)，C(1,2,0则可使 满足： ，则取 ) ，
D(0,1, 0)，P(0,0,2)．
f 1 f 2 m 1 4m 8 2 3 f x 0 0 所 以 PC (1,2, 2)， BD ( 1,1,0)，
m 2即可满足②，不满足①. f x BP ( 1,0,2)．单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
3 7 设平面 PBD的法向量为 n (x, y, z)，
故答案为： x3 2x2（答案不唯一，m , 均可）
2 3
f 0 8 ， f 2 4 ， f 2 4， f 4 8， y x
3 3 BD n 0 x y 0 17．(1)a 0 则 ，即 ，得 1 ，
(2)8 所以函数 f x 在区间 2,4 上的最大值为8． BP
n 0 x 2z 0 z x 2
18．(1)证明见解析
1 令 x 2，可得平面 PBD的一个法向量为【分析】（ ）求导，根据导数判断极值情况，进而确定参数值； n 2 1
（2）求导，根据导数的几何意义可得切线方程，进而确定参数值及 (2) Sn n (2,2,1)．n
最值情况. 2 2
设直线 PC与平面 PBD所成的角为 ， [0,
π]，
【详解】（1） f x 1 x3 ax2 a2 1 x b， 3 b 3 a 23 【详解】（1）证明：因为 an 1 a nn , 2bn 1 bn n ， 则
则 f x x2 2ax a2 1 4 2 2 4 ， 3 b 3 a PC n 4 4n n 1 sin | cos PC ,n |
x 1为 f x 所以 a ，的极小值点， n 1 2bn 1 an bn an 2bn ，4 2 2 4 2 | PC | | n | 9 9 9
f 1 a2 2a 0，解得 a 0或 2， an 1 2bn 1 1 4
所以 ， 所以直线 PC与平面 PBD所成角的正弦值为 ．
当 a 0 2时， f x x 1， an 2bn 2 9
令 f x x2 1 0 1，解得 x 1， 又因为 a1 2b1 1，所以数列 an 2bn 是首项为 1公比为 的等比数 另解：2 如图，连接 AC．因为 AD∥BC，BC⊥AB，
列；
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所以 AD⊥AB． 归方程即可； 2x2 k x 4 2 4 1 k 2 x x x x ，同理可得
（3）对于首场比赛的选择分 A：甲与乙先赛；B：甲与丙先赛；C： 0 0 0 1 0 2
1 2 2 2 2 2
因为 AB AD BC，BD 2 ，所以 AB AD 1,BC 2 丙与乙先赛，三种情况讨论，分别求出对应概率，即可得出结论. y0 2 4k k y0 4k 1 k y0 y1 y0 y2 ，由此可化简得．2 【详解】（1）根据表中数据可知增加的速度逐渐变快， y2 12 k 2 8y 16 k y2 4y 4
因为 BC⊥AB，所以 AC AB 2 BC 2 5． 所以回归方程 y ce
dx适宜预测未来几年我国区块链企业总数量； 到 k1k
0 0 0 0
2 ，由 k k x2 8x 16 k 2 4x 16 k x2 8 1 2为常数可构dx因为 PA 平面 ABCD，AB 平面 ABCD，AC 平面 ABCD，AD （2）对 y ce 两边取自然对数，得 ln y ln c dx， 0 0 0 0
平面 ABCD， 令 z ln y,a ln c,b d，得 z a b x , 造方程求得 P点坐标，验证可知当直线MN斜率为 0和斜率不存在
所以 PA AB,PA AC,PA AD． 5 5 1 5 1 5 时依然满足题意，由此可得结论.2 2 2
因为 PA PD2 AD2 2，所以PC AC 2 PA2 3， 由于 xizi 40.457， xi 55，x x i 3,z z i 2.196 ，i 1 i 1 5 i 1 5 i 1 【详解】（1 x y）由题意可知：双曲线 E : 2 2 1 a 0,b 0 过点
PB PA2 AB2 5． n a b x y2 i i 5x z
1 2 3 i 1 40.457 5 3 2.196
2 2, 2 ， 4, 2 3 ，
所以 S 2△PBD 2 ( 5)
b 0.752
2
， 则 n 2 ， 8 4
2 2 x2i 5x 2 55 5 3 1 a2 b2 a2 4
1 1 i 1 将其代入方程可得： ，解得： S 2
，
△BCD BC AB 2 1 1． a z b x 2.196 0.752 3 0.060， 16 12 1 b 42 2 ∴ z关于 x的回归直线方程为 z 0.752x 0.060， a2 b2
设点 C到平面 PBD的距离为 h，
1 1 则
y关于 x的回归方程为 y e0.752x 0.060； x2 y2
V V PA S h S （3）对于首场比赛的选择有以下三种情况： 双曲线 E的标准方程为： 1 .由 P BDC C PBD，得 3 △BCD 3 △PBD
，即 4 4
A：甲与乙先赛；B：甲与丙先赛；C：丙与乙先赛，
1 1 （2）方法一：设M x1, y1 ,N x2 , y2 ，
2 1 h 3 h 4 ，解得 ． 1 3
3 3 2 3 由于在每场比赛中，甲胜乙的概率为 ，甲胜丙的概率为 ，乙胜 y 2 y 23 5 点 4, 2 与M ,N 1 2三点共线，
π h 4 1 x1 4 x2 4
，
设直线 PC 与平面 PBD所成的角为 ， [0, ]，则 sin ． 丙的概率为 2 ，2 PC 9 x1 4 x2 4 R 0
x1 x2 4 1 则甲公司获胜的概率分别是 （其中 ， ）， ，
所以直线 PC 4与平面 PBD所成角的正弦值为 ． 1 3 1 y1 2 y2 2 y1 y2 2 1
9 P(A) 1
3 1 1 1 1 3 1 13
1 1 ，
（2）不存在点 M，理由如下： 3 5 3
5 2 3 3
2 2
2 5 3 45 x2 4 1 y2 2 1 4 x
2 2
，又 2 y2 4，
假设存在满足条件的点 M（如图）． P(B) 3 1 3 1 1 1 1 3 1 3 1 1 3 9 ， 整理可得： 1 2 x2 y2 4 2 0，
5 3 5 3 2 5 5 2 3 5 25
BM BP ( ,0,2 ) [0,1] 当 1 x x可设 ， ，所以 1 3 1 1 1 3 1
时， 1 2， y1 y2，不合题意；
M (1 ,0,2 ) P(C) 1 ， ， 1 y 2 5 3 2 3 5 5 当 1时，由 2 x2 y2 4 2 0得： 2 x2
2 ，
所以CM ( , 2,2 )． 9 13 1 2 由于 ， P x ,y y x 1
1 n (2,2,1) 设 0 0 ，则 0 0 ，又由（ ）知 为平面 PBD的一个法 25 45 5
向量，所以CM∥n， ∴甲与丙两公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最 y1 x0 1 y2 x0 1
大． k
1 k2 2 2 x1 x0 x2 x即 ，无解． 2 2 0
2 2 1 21 (1) x y． 1 2y 2x 2 2 x y 所以线段 PB上不存在满足条件的点 M． 4 4 2 22 2 x0 1
另解： (2) P y x 13, 4 2 2 0
不存在点 M，理由如下： 4 3x 2y 2 x y 2 x x2 2 x 2 02 0
假设存在满足条件的点 M， 【分析】（1）根据 l与坐标轴平行的情况可得双曲线上的点的坐标， 2
由CM 平面 PBD，PB 平面 PBD，BD 平面 PBD，得CM PB， 代入双曲线方程即可求得结果； 3 x0
且CM BD， x x 4 1 y2 x x2 2 2 0 1 2x0 y x 1
因为 PA 平面 ABCD BC ABCD PA BC
2 1 2 2 0， 平面 ，所以 ． （ ）方法一：由三点共线可整理得到 ，代入双 ，
因为BC AB，且 PA AB A，PA 平面 PAB，AB 平面 PAB， y1 y2 2 1 y 2 x 0 2 x x 3 4 2x x2 x0BC BC PB 1 y 2 2 0 0所以 平面 PAB．又 PB 平面 PAB，所以 ． 2 x 2
若存在满足条件的点 M，则点 M必与点 B重合． 曲线方程可整理得到 2 ，结合两点连线斜率公式可化简 2 x 1 2x 1 x0 1
又BC 与 BD不垂直，所以线段 PB上不存在满足条件的点 M． 0 0 3 x0 若
k k 为定值，则根据约分可得： 且 x ，
20．(1) y cedx适宜 y2 x2 x0 1 2x
1 2
0 1 x0 2
0 4 2x0
y x 1 2
(2) y e0.752x 0.060 得到 k1k2
2 2 2 0
x ，根据
k k 为
y 2 0 x x 3 4 2x x x
1 2 解得： x0 3；
(3)甲公司获得“优胜公司”的概率最大 2 02 2 2 0 0 2x 2 6 y2 4x 3 P 3, 4 k k 4
1 常数可构造方程求得 x ，进而得到 P点坐标，验证可知符合题意； 当 0 时，
，此时 1 2 1 x 3 ；
【分析】（ ）根据增加速度逐渐变快即可得解； 0 y 2 22
（2）对 y cedx两边取自然对数，得 ln y ln c dx，转化为线性相 方法二：设MN : y k x 4 2 k 0 ，与双曲线方程联立可得一 2P 3, 4
关，再利用最小二乘法求出线性回归方程，再转化为 y关于 x的回 元二次方程，根据该方程的根可化简得到 当 时， k1k2 4为定值.
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方法二：设M x1, y1 ,N x2 , y2 ,P x0 , y0 ，直线 【分析】（1）对 f (x)求导，分类讨论 a 0和 a 0时 f x 的正负， g x 1 , 1 所以 在区间 内有一个零点．
MN : y k x 4 2 k 0 ， 即可得出 f (x)的单调性； 2a a
y k x 4 2 2 a
x2 k x 4 22 4 0 （2）解法一：“方程 f x ax 有两个不同的实数根”等价于“函
1
由 2 2 得： ， x
综上可知：当0 a 5 时， g x 有两个零点，即方程
x y 4 2e数 g x lnx ax2 2有两个零点”．对 g x 求导，讨论 g x 的单调 a
x , x 2 2
2
为方程 x k x 4 2 4 0的两根， a f x ax 有两个不同的实数根，1 2 2 x
2 性和最值，即可得出答案；解法二：由方程 f x ax 得
x2 k x 4 2 4 1 k 2 x x x x x 1， 1 2 lnx 2 lnx 2 故 a的取值范围为 0, 5 ．
2 2 y a
2e
则 x0 k x0 4 2 4 1 k 2 x x a 2 ，转化为 k x 2 与 的图象有两个交点，对0 1 x0 x2 ， x x
y 2 k x 解法二：由方程 f x
a lnx 2
ax2 得 a ．
y k x 4 2 x 4 求导，得出 k x 的单调性和最值即可得出答案.由 得： ， x x
2
k
y 2 【详解】（1）由条件知 f
1 1 x a 1x a x 0 2 ， ， k x lnx 2 x 2x lnx 2 x 2 x
2 x x2 设函数 2 ，则 x 5 2lnx 4 y 2 x k x 4
，x 0．
k 4 2 3由 可得： k
y 4 0， 当 a 0时， f (x) > 0在 0, 上恒成立，所以 f x 在 0, 单 x x
x2 y2 4 5
5
调递增． 令 k x 0，得 x e2，设 x e2 ，0
同理可得： y0 2 4k
2 k 2 y20 4k
2 1 k 2 y y y y 当 a 0时，令 f x 0，得 x a，令 f ， (x) > 0，得 x a，0 1 0 2 则当0 x x0时， k x 0，当 x x0时， k x 0，
则 所以 f x 在 0,a 上单调递减，在 a, 上单调递增． 所以 k x 在 0, x0 上单调递增，在 x0 , 上单调递减，
y y y y 1 k 2 y0 y y y k k 0 1 0 2 1 0 2 （2）解法一：由方程 f x ax
2 a 得 lnx ax2 2 0，“方程 1x 所以 k x 的极大值也就是最大值为 k x 1 2 0 5 ， x x x x 1 k 21 2 x x1 x x 2e2
f x ax2 a 2 有两个不同的实数根”等价于“函数 且当 x 0，x趋近于 0时， k x 趋近于负无穷，当 x趋近于正无穷 y0 2 4k k 2 y20 4k 2 x 2 时， k x 0，且 k x 趋近于 0．
x2
2 g x lnx ax 2有两个零点”．
0 k x0 4 2 4 a
g x 1 2ax 1 2ax
2 方程 f x ax2 有两个不同的实数根，转化为直线 y a与
y2 2 20 12 k 8y0 16 k y0 4y 4 ， x 0． x 0
2 2 2 ，
x x y k x 的图象有两个交点，
x0 8x0 16 k 4x0 16 k x0 8 ①当a 0时， g x 0， g x 在 0, 上是增函数，最多只有一 1
2 2
k k y0 12 8y0 16 y0 4y0 4
个零点，不符合题意； 结合函数图象可知 a的取值范围是 0, 5 ．
若 1 2为定值，则必有 2 ， 2e x0 8x0 16 4x0 16 x
2
0 8 ②当a 0时，由 g x 0得 x 1 ，
4 3 4 3 2a
x x0 x0 1 1 0 3 3 3 当0 x 时， g x 0， g x 在 0, 上单调递增，当解得： y 4或 或 ， 2a 2a 0 y 2 3 y 2 3
0 3
1
0
3 x 时， g x 0， g x
1
在 ,
上单调递减．
又点 P在直线 y x 1上， 点 P坐标为 3,4 2a 2a ；
1 1 1 5
当直线MN斜率为 0时，M ,N坐标为 2 2, 2 ，若 P 3, 4 ， （ⅰ）若 a 5 ，则 g x g ln 0，最多只有一2e 2a 2a 2
k k 4 2 4 2此时 个零点；1 2 4；3 2 2 3 2 2 1 1 5
（ⅱ）若 a ，因为 e 2 1，且 g
1
0，
当直线MN斜率不存在时，M ,N坐标为 4, 2 3 ，若 P 3, 4 ， 2e5 2a 2a
k k 4 2 3 4 2 3
g 1 a 2 0，
此时 1 2 4；3 4 3 4 所以 g x 1 在区间内 1, 有一个零点．
综上所述：当 P 3, 4 时， k1k2 4为定值. 2a
【点睛】思路点睛：本题考查直线与双曲线中的定点定值问题的求 h x lnx x 1 h x 1 1
解，本题求解的基本思路是能够利用直线与双曲线相交的位置关系 令函数 ，则 ， x 0．x
确定两交点横纵坐标所满足的等量关系，进而通过等量关系化简所 当0 x 1时， h x 0， h x 在 0,1 上是增函数；
求的 k1k2，根据 k1k2为常数来构造方程求得定点的坐标.
22 (1) 当 x 1时， h x 0， h x 在 1, 上是减函数.． 答案见解析
1 所以 h x h 1 0，故 lnx x 1．
(2) 0, 5 1 1 1 2e 所以 g ln
1 1
2 1 1 2 3 0 ，又
a a a a a
，
2a
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数学学科试题 则5 f (x) 4x 的解集为（ ）
A． (0,4) B． (4,+ ) C． (5,+ ) D． (0,5)
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.） 8．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，
1．等比数列 a 的前n项和为 Sn ，且 4a ， 2a a a =1 s =n 1 2 ， 3成等差数列，若 1 ，则 4 （ ） 13，…该数列的特点是：前两个数都是 1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人
A．7 B．8 C．15 D．16 们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，若 an 是“斐波那契数列”，则
2．已知742022 + a 能够被 15 整除，则 a的一个可能取值是（ ）
(a a a21 3 2 )(a 22a4 a3 )(a3a5 a24 ) (a 22020a2022 a2021 )的值为（ ）.
A．1 B．2 C．0 D． 1
A． 1 B．1 C． 2 D．2
3．已知 a<0，若直线 l1：ax + 2y +1= 0与直线 l2：x+ (a +1) y 4 = 0平行，则它们之间的距离为（ ）
7 2 5 2 7 2
A． B． C． 5 D． 5 或
4 2 4
4．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852 年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”
二、多选题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
问题的解法传至欧洲.1874 年英国数学家马西森指出此法符合 1801 年由高斯得出的关于同余式解法 全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分).
的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于同余的问题．现 9．袋中装有除颜色外完全相同的3个红球和 6 个白球，从袋中一次抓出2 个球，记事件 A = “两球同
有这样一个问题：将正整数中能被 3 除余 1 且被 2 除余 1 的数按由小到大的顺序排成一列，构成数 色”，事件B = “两球异色”，事件C = “至少有一红球”，则（ ）
列 a ，则a =（ ） A．事件A 与事件 B 是对立事件 B．事件A 与事件 B 是相互独立事件 n 10
7
A．55 B．49 C．43 D．37 C．P (A) = P (B) D．P (C ) = 12
2
5．设抛物线 y2 = 6x的焦点为 F，准线为 l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过 P作 l的垂线， 10．函数 f(x)＝b（x-a） （x-b）的图象可以是（ ）
垂足为 Q，若直线 QF的倾斜角为120 ，则 PF =（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12 A． B． C． D．
6．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，
天池盆盆口直径为 36 寸，盆底直径为 12 寸，盆深 18 寸．若某次下雨盆中积水的深度恰好是盆深
的一半，则平均降雨量是（注：平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积）（ ）
5 7
A． 寸 B．2 寸 C． 寸 D．3 寸
3 3
数学学科第 1 页，共 3 页
11．在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中，已知 AB = AD = AA =1, A AB = A AD = BAD = 60 ， 15．函数 f (x) =| x 1| ln x的最小值为______1 1 1 ．
则下列说法错误的是（ ） 3 216．已知函数 f (x) = x +mx (m 0), x 1,+ )，数列 an 满足an = f (n) ,n N+，给出下列两个条
A．E 为C1D1中点，F 为 B1C1 中点，则DE 与 BF 为异面直线
件：①函数 f (x)是递减函数；②数列 an 是递减数列.试写出一个满足条件②但不满足条件①的函
B．线段 A1C 的长度为 3
数 f (x)的解析式： f (x) =__________.
C．M 为 AA1中点，则 A1C //平面 BDM
6
D．直线 A1C 与平面 ABCD所成角的正弦值为 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
3
1
2 2 3 2 2x y 17．已知函数 f (x) = x ax + (a 1) x +b ， (a,b R ) .
12．已知直线 l：y=kx+m与椭圆C : + =1交于 A，B两点，点 F为椭圆 C的下焦点，则下列结 3
3 4
论正确的是（ ） (1)若 x =1为 f (x)的极小值点，求a的值；
A．当m =1时， k R，使得 | FA | + | FB |= 3 (2)若 y = f (x)的图象在点 (1, f (1))处的切线方程为 x + y 3 = 0，求 f (x)在区间 2,4 上的最大值.
B．当m =1时， k R， | FA+ FB | 2
11
C．当 k =1时， m R ，使得 | FA | + | FB |=
2 3 b 3 a
18．已知数列 a ， b 满足： a1 + 2b1 =1， a n nn n n+1 = an ， 2bn+1 = bn .
6 4 2 2 4
D．当 k =1时， m R， | FA+ FB |
5
(1)求证：数列 an + 2bn 是等比数列；
(2)若___________（从下列三个条件中任选一个），求数列 a 的前n 项和 Sn n .
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
3 1 1
13．已知直线 y = x m 与曲线 y = x + ln x相切，则 m的值为______． ① a1 2b1 =1；②b2 = ；③ a2 2b2 =1 .
2 2 8
2
14．某校高二学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）X 服从正态分布 N (110,10 )，从中抽取一个
1
同学的数学成绩 ，记该同学的成绩90 110为事件A ，记该同学的成绩80 100为事件 B ， 19．已知四棱锥P ABCD中，PA ⊥平面 ABCD，AD∥BC ，BC ⊥ AB，AB = AD = BC ，BD = 2 ，2
则在A 事件发生的条件下 B 事件发生的概率P (B A) =______．（结果用分数表示） PD = 5 ．
附参考数据：P ( X + ) = 0.68；P ( 2 X + 2 ) = 0.95； (1)求直线PC 与平面 PBD 所成角的正弦值；
(2)线段 PB上是否存在一点M，使得CM⊥平面 PBD ？若存在，请指出点M的位
P ( 3 X +3 ) = 0.99．
置；若不存在，请说明理由．
第 2 页，共 3 页
2 2
20．区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术．区块链作为构 ( ) x y21．过点 4,2 的动直线 l与双曲线E : =1(a 0,b 02 2 )交于M , N 两点，当 l与 x 轴平行时，a b
造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式，2018 年至 2022 年五年期间，中国
MN = 4 2 ，当 l与 y 轴平行时， MN = 4 3．
的区块链企业数量逐年增长，居世界前列．现收集我国近 5 年区块链企业总数量相关数据，如表：
(1)求双曲线E 的标准方程；
年份 2018 2019 2020 2021 2022
(2)点 P 是直线 y = x +1上一定点，设直线PM , PN 的斜率分别为 k1, k2，若 k1k2为定值，求点 P 的坐标．
编号 x 1 2 3 4 5
企业总数量 y（单位：千个） 2.156 3.727 8.305 24.279 36.224
(1)根据表中数据判断， y = a + bx与 y = cedx （其中 e＝2.71828…为自然对数的底数），哪一个回归方
程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由）
a
22．已知函数 f(x)= + lnx 2(a R )．
(2)根据（1）的结果，求 y 关于 x 的回归方程；（结果精确到小数点后第三位） x
n (1)讨论 f (x)的单调性；
xi yi nxy
附：线性回归方程 y = b
i=1
x+ a 中，b = an ， a = y bx 2
2 2 (2)若方程 f (x) = ax + 有两个不同的实数根，求a 的取值范围． xi nx x
i=1
5 5 1 5 1 5
参考数据： = ， xi zi = 40.457 x
2
， i = 55， x = x i = 3, z = zi = 2.196
i=1 i=1 5 i=1 5 i=1
(3)为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙
三家区块链公司参赛，比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜
的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则
1
本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为 ，
3
3 1
甲胜丙的概率为 ，乙胜丙的概率为 ，请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获
5 2
得“优胜公司”的概率最大？
数学学科第 3 页，共 3 页
数学期中考试卷参考答案 面积得答案． n n 1
1．C 【详解】如图，由题意可知，天池盆上底面半径为 18寸，下底面半 即 3 3n，整理可得 n
2 7n 6 0，因为 n 3，解得 n 6，
2
【详解】试题分析：由数列 为等比数列，且 成等差 径为 6寸，高为 18寸．
1 故 C正确； 1 1 2
数列，所以 ，即 ，因为 ，所 积水深 9寸， 水面半径为 (18 6) 12寸， C C C C0 72 对于 D，由 C知， n 6， P C 3 6 3 6 ，故 D正确，
以 ，解得： ，根据等比数列前 n 2项和公式 1
则盆中水的体积为 π 9 (62 2
C 12
12 6 12) 756π（立方寸）． 9
3 故选：ACD.
． 756π 7 ．平地降雨量等于 （寸 )． 10 BC
π 182 3 【分析】首先根据解析式确定零点类型，再结合图象，判断选项.
2．D 故选：C． 【详解】由函数解析式可知， a是不变号零点，b是变号零点，
【分析】利用二项展开式写出742022 a，由展开式可知需要1 a能 A.由图可知，变号零点是 0，则b 0，则 f x 0，不成立，故 A
被 15整除，结合选项可得答案. 7．C 错误；
【详解】 【分析】根据给定不等式 xf x f x 0构造函数，借助导数确定 B.由图可知，变号零点小于 0，不变号零点为 0，则b 0,a 0，此
75 1 2022 a C0 752022 C1 752021 C2 752020 C2021 2022 函数的单调性，再解不等式作答. f x b x b x2 f x 0 f x 02022 2022 2022 202275 C2022 a 时 ，当 x b， ，当b x 0， ，
, 【详解】令 g(x)
f (x)
， x 0,+ ，因为 xf x f x 0，则 当 x 0时， f x 0，满足图象，故 B正确；
75能够被 15整除，要使原式能够被 15整除，则需要1 a能被 15 x 2
整除，将选项逐个检验可知 a的一个可能取值是 1，其他选项均不 xf x f xg (x)
C.由图可知，b a 0，f x b x b x a ，当 x a时，f x 0，
0，
符合题意， x2 当 a x b时， f x 0，当 x b时， f x 0，满足图象，故 C
故选：D 因此函数 g(x)在 0, 上单调递减，则 正确；
3．A 2
【分析】根据题意结合两直线平行求得 a 2，再代入两平行线间 5 f (x) 4x
f (x) 4
g(x) g(5) x 5 D.由图可知，a b 0，f x b x b x a ，当 x a时，f x 0，，解得 ，
距离公式运算求解. x 5 与图象不符，所以 D错误.
l ax 2y 1 0 l x a 1 y 4 0 所以5 f x 4x的解集为 5, . 故选：BC【详解】若直线 1： 与直线 2： 平行， 故选：C 11．ABD
则 a a 1 2 0，解得 a 1或 a 2， 8．B 【分析】利用棱台的定义判断 A，利用空间向量的数量积运算律求
当 a 1时，直线 l1： x 2y 1 0与直线 l2： x 2y 4 0平行； 2【解析】由已知数列的特点依次求出 a1a3 a2 ，a2a4 a
2
，a a a2 ， 解 B,利用线面平行的判定定理判断 C，利用线面角的定义判断 D.3 3 5 4
当 a 2时，直线 l1： 2x 2y 1 0与直线 l2： x y 4 0平行； 的值，发现这些数依次为1, 1,1, 1,1, 1 【详解】，进而可求出答案
l l a 1 a 2 . 对于 A，如图，连接 EF ,DE,BF， E为C D 中点，F 为 BC 中点，综上所述：若直线 1与直线 2平行，则 或 【详解】由题设可知，斐波那契数列 an 为：1,1,2,3,5,8, 1 1 1 1
∵ a<0，则 a 2，此时直线 l1：2x 2y 1 0，直线 l2：2x 2y 8 0
1 1
， 其特点为：前两个数为 1，从第三个数起，每一个数都等于它前面 由图可知， EC // DC,FC // BC,且
1 8 7 2 两个数的和，由此可知： 2 2
故直线 l d 1、 l2之间的距离 4 . a1a3 a
2
2 1 2 1
2 1 1 1
2 ， EC = DC,FC = BC,22 2 a2a4 a23 1 3 22 1， 2 2
故选：A. 2 2 DE CC G,BF CC H ,a3a5 a4 2 5 3 1
设 1 1 则
，
4．A C G C H CC G,H 重合，
. a4a6 a
2
5 3 8 5
2 1 1 1 1，
【分析】由条件写出通项公式，即可求解 即DE与 BF相交，故 A错误；2
【详解】正整数中既能被 3除余 1且被 2除余 1的数，即被 6除余 a2020a2022 a2021 1， 对于 B，因为
1，那么 则 a1a a23 2 a2a4 a23 a 22020a2022 a2021 AB AD AA 1, AAB AAD BAD 60 ，
an 1
1 1 1
n 1 6 6n 5，有 a10 55 . 1010 2 1010 2 2A 1 1 1. 所以 AB AD AA 1，故选： 1
5 B 故选：B. ． AB AD AB AA AD AA 1 1 1 cos60 ,
【分析】根据几何图形，结合抛物线的定 9．ACD(答案需修改) 1 1 2
义的性质，即可判断. 【分析】由对立事件的定义可判断 A选项；利用独立事件的定义可 2 2 2
π 判断 B选项；由古典概型的概率公式可得出关于 n的等式，解出 n的 所以 A1C A1C (AB AD AA1)
【详解】依题意 QFH ， HF 3，
3 值，可判断 C选项；利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可
2 2 2
QF 6 判断 D选项QH .
AB AD AA1 2AB AD 2AB AA1 2AD AA1
3 3， ， 【详解】对于 A选项，由对立事件的定义可知，事件A、 B互为对 1 1 1 1 1 1 2,
π 2PF QP PQF △PQF 立事件，A对；又 ， ，则 为等 所以 A1C 2 ,故 B错误；
3 对于 B选项， P AB 0， P A 0， P B 0，显然
因为M 为 AA 中点，连接 AC交 BD于点O，
边三角形，有 PF 6， P A P B P AB 1，故 B不正确； 再连接OM ,BM ,DM，
C2 C2 C1 1
故选：B 对于 C， P A 3 n2 ，P B 3
Cn
2 ，由 P A P B
则在△ACA 中， AC∥OM ，
，可得 1 1
6．C Cn 3 Cn 3 A1C 平面 BDM ，OM 平面 BDM ,
2 2 1
【分析】由题意求得盆中水的上地面半径， C3 Cn C3C
1
n， 所以 A1C 平面 BDM，C正确；
代入圆台体积公式求得水的体积，除以盆口 对于 D:在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，
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四边 形 A B CD 是 菱形 ， 则 A C B D
2 2
, x1 y1 4x 3y 0
BD AA AD AB AA AD AA AB AA 0 1 2 2 2 2 x 12 3 7 , 3 7 又 1 1 1 1 , 3 4 x x y y 由 3 可得 ，当且仅当点
BD AA AC AA A, AC, AA ACA 由题意可得 2 2 ，两式作差可得
1 2 1 2 0， y x 1 25 7 7
所以 1， 1 1 平面 1， x2 y2 3 4
4
所以 BD 平面 ACA 11， 3 4 M 12 , 16 时，
又因为 BD 平面 ABCD， 因为直线 AB 的斜率存在，则 x1 x2 ，所以， 25 25
所以平面 ACA1 平面 ABCD， y1 y2 y1 y2 2y 4
A A P AC P k ， FA FB
6
过点 作 于点 ， 取最小值 ，故 D正确.1 1 x x x x 2 x 3 5
平面 ACA1 平面 ABCD AC
1 2 1 2
， 4 故选：BCD
A P 平面 ACA ,所以 AP 平面 ABCD， 整理可得 ky x，又因为 y kx 1，消去 k可得 4x
2 3y2 3y 0，
3 【点睛】方法点睛:圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略:1 1 1 (1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参
所以直线 A1C与平面 ABCD所成角为 A1CA， 其中 y 0，
2 2 数的取值范围;所以，
AC AB AD, AC AB AD 2AB AD 3，
FA FB x , y 1 x , y 1
(2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心
x x , y
2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 y2 2 2x, 2y 2 ， 是建立两个参数之间的等量关系;
所以 AA1 A1C AC , 所以， (3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围;
AA 3 FA FB 4 x2 4 y 1 2 4 x2 4 y2 8 y 4 3 y 3 y2 4 y2 8 y (44）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围;AA AC sin ACA 1 D 所以 1 1 ，所以 ，故 错误； (5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其1 AC 3 值域，从而确定参数的取值范围.
故选:ABD. 2 13．1
12．BCD y 11y 4 2，故 B正确； 对于 C选项，当 k 1时，直线 l的方程为 y x m x y m y 1，即 ， x ln x (x , y )
【分析】对于 A，将直线 l的方程与椭圆方程联立，求出 AB 的取值 【分析】求出函数 的导数，设切点为 0 0 ，利用导
x y m 22 2
范围，可求得 FA FB 的取值范围，可判断 A选项；求出线段 AB 联立 2 2 可得7 y 8my 4m 12 0， 数的几何意义求出切点坐标，代入切线方程，即可求得答案.
4x 3y 12 1 1 1
中点的轨迹方程，可求得 FA FB 的取值范围，可判断 B选项；将 64m2 28 4m2 12 16 21 3m2 0 7 y x ln x y ，解得 m 7 【详解】由题意 ，可得 ，， 2 2 x
直 线 l的 方程与椭圆方程联立，利用弦长公式结合 0可求得 2 3 1
FA FB C AB 由韦达定理可得 y1 y
8m
y y 4m 12， ， 直线 y x m与曲线 y x ln x相切，设切点为 (x2 1 2 2 2 0
, y0 )，
的取值范围，可判断 选项；求出线段 中点的轨迹方
7 7 1 1 3 1 1
程，可求得 FA FB 的最小值，可判断 D选项.
FA x2 y 1 2 3 3y
2 2
1 y2 2y 1 y1 2y 4 2 y1 2 则y
, x0 11 ，则 y0 x0 ln x0 ，
【详解】在椭圆C中， a 2，b 3， 1
1 1 1 2 x4 4 1 2 2 0
2 2 2
1 y 3c a2 b2 1， ， 即切点为 (1, )，将该点坐标代入 x m，可得m 1，2
由题意可得 F 0, 1 2，上焦点记为 F 0,1 ， 同理 FB 2 y 2 ，所以， 故答案为：1
2 27
对于 A选项，设点 A x1, y1 、B x2 , y ， 2 14．
y kx 1 FA FB 4
y1 y2 4 4m 4 7 4 7 4 , 4 95
2 7 7 7
，
联立 可得 【分析】计算出
P AB 和 P A ，然后利用条件概率公式可得出
4x2 3y2 12 11 4 7 4 7 P AB
3k2 4 x2 6kx 9 0， 因为 P B A 2 4 , 4 ，所以，当 k 1时， m R ，使得 的值. 7 7 P A
36k 2 36 3k 2 4 144 k 2 1 0， 11 【详解】由题意可知 110， 10，事件 AB为90 100，FA FB ，故 正确；
6k 9 C2 Q 90 2 ，100 ，
由韦达定理可得 x1 x2 2 ， x1x2 ， 所以，3k 4 3k 2 4 对于 D选项，设线段 AB的中点为M x, y ， P AB P 90 100 P 2
2 2 6k
2
36 12 k 2 1 y1 y2 y y 2y 4
1 2
AB 1 k x x 4x x 1 k 由 B选项可知， y
4
，即 x，即 4x 3y 0， P 2 X 2 P1 2 1 2 X
3k 2 4 3k 2 4 3k 2
x x x x 2 x 3 3 0.95 0.68 27 4 1 2 1 2
2 2 200
y
4
x
4 3 由 可得 x
3 7
，故点M 的横坐标的取值范围是 ，
4 3, 4 ， 2 2 7 P 2 X 2 953k 2 4 4x 3y 12 P A P 90 110 P 2 ，2 200
所以， FA FB 4a AB 8 AB 4,5 ，故 A错误； 3 7 3 7
P AB ， 27 200 27
27
，
M x, y 由条件概率公式得
P B A ，故答案为 .
对于 B选项，设线段 AB的中点为 ， 7 7 P A 200 95 95 95
d 3 3 【点睛】本题考查条件概率的计算，同时也考查了正态分布3 原则而点 F到直线 4x 3y 0的距离为 ，
42 32 5 计算概率，解题时要将相应的事件转化为正态分布事件，充分利用
正态密度曲线的对称性计算，考查计算能力，属于中等题.
15．0
第 2页 共 5页
【分析】求出函数定义域，对 x分段去绝对值，当 0 x 1时，分析 , 1 1,1 1, 1
函数的单调性；当 x 1时，利用导数分析函数的单调性并求最小值， x 1 1 （2）由（1）知 an 2bn 2n 1 ，
即可得到 f (x)的最小值． f x 0 0 3 b 3 a
【详解】解：函数 f x | x 1| ln x 的定义域为 (0, )． 又因为 a n nn 1 2bn 1 an bn an 2b4 2 2 4 n，
当 0 x 1时， f x 1 x ln x，此时函数 f (x)在 0,1 上为减函数， f x 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以数列 an 2bn 为常数列.
当 x 1时， f x | x 1| ln x x 1 ln x， x 1 f x 若选条件①或③，均可得 a 2b 1 ，此时 是 的极小值点； n n1 1 n 2 1
则 f (x) 1
1 x 1
0 ，所以 f (x)在 1, 上单调递增， 当 a 2 f x x2时， 4 x 3， 所以 an n ，所以 Sn .x x 2 2 2 2 2n
f (x)在 (0, )上是连续函数， 令 f x x 4x 3 0，解得 x 1或 x 3， 1
x 0,1 x 1, 若选②，因为b2 , 2b
3 an 3 1 1
f (x) f (x) 8 n 1
bn ，所以 b a ，又因
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增． 1 1x ,1 1 1,3 3 3, 2 4 2 4 4
当 x 1时 f (x)取得最小值为 f x min f 1 1 1 ln1 0． 为 a1 2b1 1，
故答案为：0． f x 0 0 1 1所以 a1 1,b1 0，所以 a1 2b1 1，所以 an n ，所以 3 7 2 216． x3 2x2 （答案不唯一，m , 均可）
2 3 f x 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 S n 2 1n
2 2n
.
【分析】若函数 f x 是递减函数，则 f x 0恒成立，由此可得 此时 x 1是 f x 的极大值点，不成立； 4
f x m 3不是递减函数的条件为 ，后结合任意 n 1，函数 n N 所以 a 0； 19．(1) ，2 （2） 1, f 1 在 x y 3 0 9上， (2)不存在点 M，理由见解析
f n 1 f n ，可得满足题意的m的范围. f 1 2，
【详解】若函数 f x 是递减函数，则 f x 0在 x 1, 恒成立. 1,2 y f x 【分析】（1）求出相关线段的长，建立空间直角坐标系，求得相关在 上， PBD
f x 3x2 2mx 0 3x m m 3x 3
点坐标，求得平面 的一个法向量，根据空间角的向量求法，即
. 2 1则 a a2 1 b， 可求得答案；2 2 min 2 3 （2）假设存在满足条件的点 M，表示出其坐标，利用向量的垂直列
f x x 1, m 3 又 f 1 1 ， 出方程，根据方程解的情况可得出结论.则若 在 上不是递减函数，可得 ；
2 1 2a a2 1 1， 【详解】（1）因为 AD∥BC，BC⊥AB，所以 AD⊥AB．
数列 a 8 1n 是递减数列，等价于对任意 n 1，函数 n N ， 解得 a 1， b ， 又因为 AB AD BC， BD 2，所以 AB AD 1,BC 2 ．
f n 1 f n ， 3 21 8
f x x3 x2 f x x2 2x 因为 PA 平面 ABCD， AB 平面 ABCD， AD 平面 ABCD，， ，
又 f x 3x x
2 2
m 2 ， m 1，则 f x 在 m, 上单调递 3 3 所以 PA AB,PA AD．又 PD 5，所以 PA PD2 AD2 2．
3 3 3 令 f x x2 2x 0，解得 x 0或 x 2， 以 A为坐标原点，以 AB,AD,AP所在直线分别为 x轴、y轴、z轴，
减. 建立如图所示的空间直角坐标系，
2m x 2,0 0 0, 2 2 2,4
2 m 3m 3 m 73 则 B(1 , 0 ,0)，C(1,2,0则可使 满足： ，则取 ) ，
D(0,1, 0)，P(0,0,2)．
f 1 f 2 m 1 4m 8 2 3 f x 0 0 所 以 PC (1,2, 2)， BD ( 1,1,0)，
m 2即可满足②，不满足①. f x BP ( 1,0,2)．单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
3 7 设平面 PBD的法向量为 n (x, y, z)，
故答案为： x3 2x2（答案不唯一，m , 均可）
2 3
f 0 8 ， f 2 4 ， f 2 4， f 4 8， y x
3 3 BD n 0 x y 0 17．(1)a 0 则 ，即 ，得 1 ，
(2)8 所以函数 f x 在区间 2,4 上的最大值为8． BP
n 0 x 2z 0 z x 2
18．(1)证明见解析
1 令 x 2，可得平面 PBD的一个法向量为【分析】（ ）求导，根据导数判断极值情况，进而确定参数值； n 2 1
（2）求导，根据导数的几何意义可得切线方程，进而确定参数值及 (2) Sn n (2,2,1)．n
最值情况. 2 2
设直线 PC与平面 PBD所成的角为 ， [0,
π]，
【详解】（1） f x 1 x3 ax2 a2 1 x b， 3 b 3 a 23 【详解】（1）证明：因为 an 1 a nn , 2bn 1 bn n ， 则
则 f x x2 2ax a2 1 4 2 2 4 ， 3 b 3 a PC n 4 4n n 1 sin | cos PC ,n |
x 1为 f x 所以 a ，的极小值点， n 1 2bn 1 an bn an 2bn ，4 2 2 4 2 | PC | | n | 9 9 9
f 1 a2 2a 0，解得 a 0或 2， an 1 2bn 1 1 4
所以 ， 所以直线 PC与平面 PBD所成角的正弦值为 ．
当 a 0 2时， f x x 1， an 2bn 2 9
令 f x x2 1 0 1，解得 x 1， 又因为 a1 2b1 1，所以数列 an 2bn 是首项为 1公比为 的等比数 另解：2 如图，连接 AC．因为 AD∥BC，BC⊥AB，
列；
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所以 AD⊥AB． 归方程即可； 2x2 k x 4 2 4 1 k 2 x x x x ，同理可得
（3）对于首场比赛的选择分 A：甲与乙先赛；B：甲与丙先赛；C： 0 0 0 1 0 2
1 2 2 2 2 2
因为 AB AD BC，BD 2 ，所以 AB AD 1,BC 2 丙与乙先赛，三种情况讨论，分别求出对应概率，即可得出结论. y0 2 4k k y0 4k 1 k y0 y1 y0 y2 ，由此可化简得．2 【详解】（1）根据表中数据可知增加的速度逐渐变快， y2 12 k 2 8y 16 k y2 4y 4
因为 BC⊥AB，所以 AC AB 2 BC 2 5． 所以回归方程 y ce
dx适宜预测未来几年我国区块链企业总数量； 到 k1k
0 0 0 0
2 ，由 k k x2 8x 16 k 2 4x 16 k x2 8 1 2为常数可构dx因为 PA 平面 ABCD，AB 平面 ABCD，AC 平面 ABCD，AD （2）对 y ce 两边取自然对数，得 ln y ln c dx， 0 0 0 0
平面 ABCD， 令 z ln y,a ln c,b d，得 z a b x , 造方程求得 P点坐标，验证可知当直线MN斜率为 0和斜率不存在
所以 PA AB,PA AC,PA AD． 5 5 1 5 1 5 时依然满足题意，由此可得结论.2 2 2
因为 PA PD2 AD2 2，所以PC AC 2 PA2 3， 由于 xizi 40.457， xi 55，x x i 3,z z i 2.196 ，i 1 i 1 5 i 1 5 i 1 【详解】（1 x y）由题意可知：双曲线 E : 2 2 1 a 0,b 0 过点
PB PA2 AB2 5． n a b x y2 i i 5x z
1 2 3 i 1 40.457 5 3 2.196
2 2, 2 ， 4, 2 3 ，
所以 S 2△PBD 2 ( 5)
b 0.752
2
， 则 n 2 ， 8 4
2 2 x2i 5x 2 55 5 3 1 a2 b2 a2 4
1 1 i 1 将其代入方程可得： ，解得： S 2
，
△BCD BC AB 2 1 1． a z b x 2.196 0.752 3 0.060， 16 12 1 b 42 2 ∴ z关于 x的回归直线方程为 z 0.752x 0.060， a2 b2
设点 C到平面 PBD的距离为 h，
1 1 则
y关于 x的回归方程为 y e0.752x 0.060； x2 y2
V V PA S h S （3）对于首场比赛的选择有以下三种情况： 双曲线 E的标准方程为： 1 .由 P BDC C PBD，得 3 △BCD 3 △PBD
，即 4 4
A：甲与乙先赛；B：甲与丙先赛；C：丙与乙先赛，
1 1 （2）方法一：设M x1, y1 ,N x2 , y2 ，
2 1 h 3 h 4 ，解得 ． 1 3
3 3 2 3 由于在每场比赛中，甲胜乙的概率为 ，甲胜丙的概率为 ，乙胜 y 2 y 23 5 点 4, 2 与M ,N 1 2三点共线，
π h 4 1 x1 4 x2 4
，
设直线 PC 与平面 PBD所成的角为 ， [0, ]，则 sin ． 丙的概率为 2 ，2 PC 9 x1 4 x2 4 R 0
x1 x2 4 1 则甲公司获胜的概率分别是 （其中 ， ）， ，
所以直线 PC 4与平面 PBD所成角的正弦值为 ． 1 3 1 y1 2 y2 2 y1 y2 2 1
9 P(A) 1
3 1 1 1 1 3 1 13
1 1 ，
（2）不存在点 M，理由如下： 3 5 3
5 2 3 3
2 2
2 5 3 45 x2 4 1 y2 2 1 4 x
2 2
，又 2 y2 4，
假设存在满足条件的点 M（如图）． P(B) 3 1 3 1 1 1 1 3 1 3 1 1 3 9 ， 整理可得： 1 2 x2 y2 4 2 0，
5 3 5 3 2 5 5 2 3 5 25
BM BP ( ,0,2 ) [0,1] 当 1 x x可设 ， ，所以 1 3 1 1 1 3 1
时， 1 2， y1 y2，不合题意；
M (1 ,0,2 ) P(C) 1 ， ， 1 y 2 5 3 2 3 5 5 当 1时，由 2 x2 y2 4 2 0得： 2 x2
2 ，
所以CM ( , 2,2 )． 9 13 1 2 由于 ， P x ,y y x 1
1 n (2,2,1) 设 0 0 ，则 0 0 ，又由（ ）知 为平面 PBD的一个法 25 45 5
向量，所以CM∥n， ∴甲与丙两公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最 y1 x0 1 y2 x0 1
大． k
1 k2 2 2 x1 x0 x2 x即 ，无解． 2 2 0
2 2 1 21 (1) x y． 1 2y 2x 2 2 x y 所以线段 PB上不存在满足条件的点 M． 4 4 2 22 2 x0 1
另解： (2) P y x 13, 4 2 2 0
不存在点 M，理由如下： 4 3x 2y 2 x y 2 x x2 2 x 2 02 0
假设存在满足条件的点 M， 【分析】（1）根据 l与坐标轴平行的情况可得双曲线上的点的坐标， 2
由CM 平面 PBD，PB 平面 PBD，BD 平面 PBD，得CM PB， 代入双曲线方程即可求得结果； 3 x0
且CM BD， x x 4 1 y2 x x2 2 2 0 1 2x0 y x 1
因为 PA 平面 ABCD BC ABCD PA BC
2 1 2 2 0， 平面 ，所以 ． （ ）方法一：由三点共线可整理得到 ，代入双 ，
因为BC AB，且 PA AB A，PA 平面 PAB，AB 平面 PAB， y1 y2 2 1 y 2 x 0 2 x x 3 4 2x x2 x0BC BC PB 1 y 2 2 0 0所以 平面 PAB．又 PB 平面 PAB，所以 ． 2 x 2
若存在满足条件的点 M，则点 M必与点 B重合． 曲线方程可整理得到 2 ，结合两点连线斜率公式可化简 2 x 1 2x 1 x0 1
又BC 与 BD不垂直，所以线段 PB上不存在满足条件的点 M． 0 0 3 x0 若
k k 为定值，则根据约分可得： 且 x ，
20．(1) y cedx适宜 y2 x2 x0 1 2x
1 2
0 1 x0 2
0 4 2x0
y x 1 2
(2) y e0.752x 0.060 得到 k1k2
2 2 2 0
x ，根据
k k 为
y 2 0 x x 3 4 2x x x
1 2 解得： x0 3；
(3)甲公司获得“优胜公司”的概率最大 2 02 2 2 0 0 2x 2 6 y2 4x 3 P 3, 4 k k 4
1 常数可构造方程求得 x ，进而得到 P点坐标，验证可知符合题意； 当 0 时，
，此时 1 2 1 x 3 ；
【分析】（ ）根据增加速度逐渐变快即可得解； 0 y 2 22
（2）对 y cedx两边取自然对数，得 ln y ln c dx，转化为线性相 方法二：设MN : y k x 4 2 k 0 ，与双曲线方程联立可得一 2P 3, 4
关，再利用最小二乘法求出线性回归方程，再转化为 y关于 x的回 元二次方程，根据该方程的根可化简得到 当 时， k1k2 4为定值.
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方法二：设M x1, y1 ,N x2 , y2 ,P x0 , y0 ，直线 【分析】（1）对 f (x)求导，分类讨论 a 0和 a 0时 f x 的正负， g x 1 , 1 所以 在区间 内有一个零点．
MN : y k x 4 2 k 0 ， 即可得出 f (x)的单调性； 2a a
y k x 4 2 2 a
x2 k x 4 22 4 0 （2）解法一：“方程 f x ax 有两个不同的实数根”等价于“函
1
由 2 2 得： ， x
综上可知：当0 a 5 时， g x 有两个零点，即方程
x y 4 2e数 g x lnx ax2 2有两个零点”．对 g x 求导，讨论 g x 的单调 a
x , x 2 2
2
为方程 x k x 4 2 4 0的两根， a f x ax 有两个不同的实数根，1 2 2 x
2 性和最值，即可得出答案；解法二：由方程 f x ax 得
x2 k x 4 2 4 1 k 2 x x x x x 1， 1 2 lnx 2 lnx 2 故 a的取值范围为 0, 5 ．
2 2 y a
2e
则 x0 k x0 4 2 4 1 k 2 x x a 2 ，转化为 k x 2 与 的图象有两个交点，对0 1 x0 x2 ， x x
y 2 k x 解法二：由方程 f x
a lnx 2
ax2 得 a ．
y k x 4 2 x 4 求导，得出 k x 的单调性和最值即可得出答案.由 得： ， x x
2
k
y 2 【详解】（1）由条件知 f
1 1 x a 1x a x 0 2 ， ， k x lnx 2 x 2x lnx 2 x 2 x
2 x x2 设函数 2 ，则 x 5 2lnx 4 y 2 x k x 4
，x 0．
k 4 2 3由 可得： k
y 4 0， 当 a 0时， f (x) > 0在 0, 上恒成立，所以 f x 在 0, 单 x x
x2 y2 4 5
5
调递增． 令 k x 0，得 x e2，设 x e2 ，0
同理可得： y0 2 4k
2 k 2 y20 4k
2 1 k 2 y y y y 当 a 0时，令 f x 0，得 x a，令 f ， (x) > 0，得 x a，0 1 0 2 则当0 x x0时， k x 0，当 x x0时， k x 0，
则 所以 f x 在 0,a 上单调递减，在 a, 上单调递增． 所以 k x 在 0, x0 上单调递增，在 x0 , 上单调递减，
y y y y 1 k 2 y0 y y y k k 0 1 0 2 1 0 2 （2）解法一：由方程 f x ax
2 a 得 lnx ax2 2 0，“方程 1x 所以 k x 的极大值也就是最大值为 k x 1 2 0 5 ， x x x x 1 k 21 2 x x1 x x 2e2
f x ax2 a 2 有两个不同的实数根”等价于“函数 且当 x 0，x趋近于 0时， k x 趋近于负无穷，当 x趋近于正无穷 y0 2 4k k 2 y20 4k 2 x 2 时， k x 0，且 k x 趋近于 0．
x2
2 g x lnx ax 2有两个零点”．
0 k x0 4 2 4 a
g x 1 2ax 1 2ax
2 方程 f x ax2 有两个不同的实数根，转化为直线 y a与
y2 2 20 12 k 8y0 16 k y0 4y 4 ， x 0． x 0
2 2 2 ，
x x y k x 的图象有两个交点，
x0 8x0 16 k 4x0 16 k x0 8 ①当a 0时， g x 0， g x 在 0, 上是增函数，最多只有一 1
2 2
k k y0 12 8y0 16 y0 4y0 4
个零点，不符合题意； 结合函数图象可知 a的取值范围是 0, 5 ．
若 1 2为定值，则必有 2 ， 2e x0 8x0 16 4x0 16 x
2
0 8 ②当a 0时，由 g x 0得 x 1 ，
4 3 4 3 2a
x x0 x0 1 1 0 3 3 3 当0 x 时， g x 0， g x 在 0, 上单调递增，当解得： y 4或 或 ， 2a 2a 0 y 2 3 y 2 3
0 3
1
0
3 x 时， g x 0， g x
1
在 ,
上单调递减．
又点 P在直线 y x 1上， 点 P坐标为 3,4 2a 2a ；
1 1 1 5
当直线MN斜率为 0时，M ,N坐标为 2 2, 2 ，若 P 3, 4 ， （ⅰ）若 a 5 ，则 g x g ln 0，最多只有一2e 2a 2a 2
k k 4 2 4 2此时 个零点；1 2 4；3 2 2 3 2 2 1 1 5
（ⅱ）若 a ，因为 e 2 1，且 g
1
0，
当直线MN斜率不存在时，M ,N坐标为 4, 2 3 ，若 P 3, 4 ， 2e5 2a 2a
k k 4 2 3 4 2 3
g 1 a 2 0，
此时 1 2 4；3 4 3 4 所以 g x 1 在区间内 1, 有一个零点．
综上所述：当 P 3, 4 时， k1k2 4为定值. 2a
【点睛】思路点睛：本题考查直线与双曲线中的定点定值问题的求 h x lnx x 1 h x 1 1
解，本题求解的基本思路是能够利用直线与双曲线相交的位置关系 令函数 ，则 ， x 0．x
确定两交点横纵坐标所满足的等量关系，进而通过等量关系化简所 当0 x 1时， h x 0， h x 在 0,1 上是增函数；
求的 k1k2，根据 k1k2为常数来构造方程求得定点的坐标.
22 (1) 当 x 1时， h x 0， h x 在 1, 上是减函数.． 答案见解析
1 所以 h x h 1 0，故 lnx x 1．
(2) 0, 5 1 1 1 2e 所以 g ln
1 1
2 1 1 2 3 0 ，又
a a a a a
，
2a
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