福建省南平市政和县2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含解析）

政和县2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，集合，则A∩B=（ ）
A.(0,2) B.(0,2] C.[0,2) D.[0,2]
2．“”是“直线平行于直线”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知随机变量，且，则（ ）
A． B．12 C．3 D．24
4．某平台设有“人物”“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段“人物”更新了2篇文章，“视听学习”更新了4个视频．一位学习者准备从更新的这6项内容中随机选取2个视频和2篇文章进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有（ ）
A．36种 B．48种 C．72种 D．144种
5．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
6．(，且)的展开式中的系数为（ ）
A．150 B．165 C．120 D．180
.7．剪刀石头布又称“猜丁壳”，古老而简单，游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头，三者相互制约，因此不论平局几次，总会有决出胜负的时候．现，两位同学各有张卡片，以“剪刀、石头、布”的形式进行游戏：输方将给赢方一张卡片，平局互不给卡片，直至某人赢得所有卡片，游戏终止．若，一局各自赢的概率都是，平局的概率为，各局输赢互不影响，则恰好局时游戏终止的概率是（ ）
A． B． C． D．
8.若函数的图象上存在与直线垂直的切线，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列结论正确的有( )
A. 若随机变量满足,则
B. 若随机变量,且,则
C. 若样本数据线性相关,则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点
D. 根据分类变量与的成对样本数据,计算得到.依据的独立性检验,可判断与有关且犯错误的概率不超过
10. 某人工智能公司近5年的利润情况如下表所示：
第x年 1 2 3 4 5
利润y/亿元 2 3 4 5 7
已知变量y与x之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 变量y与x之间的线性相关系数
C. 预测该人工智能公司第6年利润约为7.8亿元
D. 该人工智能公司这5年的利润的方差小于2
11. 若实数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
12．关于的展开式，下列结论正确的是（ ）
A．所有项的二项式系数和为32 B．所有项的系数和为0
C．常数项为 D．二项式系数最大的项为第3项
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13、的展开式中，的系数为______用数字填写答案
14．先后掷两次骰子（骰子的六个面上的点数分别是、、、、、），落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为、，记事件为“为偶数”，事件为“、中有偶数且”，则概率____.
15．命题“，”为假命题，则实数的取值范围为______.
16．设是函数的导函数，且，则不等式的解集为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知集合，.
（1）若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围；
（2）若，求m的取值范围.
18．袋子中有9个大小、材质都相同的小球，其中6个白球，3个红球．每次从袋子中随机摸出1个球摸出的球不再放回，求：
(1)在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；
(2)第二次摸到白球的概率．
19．2020年是脱贫攻坚的收官之年，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利，为确保我国如期全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的基础在产业扶贫政策的大力支持下，西部某县新建了甲 乙两家玩具加工厂，加工同一型号的玩具质监部门随机抽检了两个厂的各100件玩具，在抽取中的200件玩具中，根据检测结果将它们分成“A” “B” “C”三个等级，A B等级都是合格品，C等级是次品，统计结果如下表所示：
等级 A B C
频数 20 120 60
(表一)
厂家 合格品 次品 合计
甲 75
乙 35
合计
(表二)
在相关政策扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，但从安全起见，所有的次品必须由原厂家自行销.
（1）请根据所提供的数据，完成上面的2×2列联表(表二)，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为产品的合格率与厂家有关？
（2）每件玩具的生产成本为30元，A B等级产品的出厂单价分别为60元 40元.另外已知每件次品的销毁费用为4元.若甲厂抽检的玩具中有10件为A等级，用样本的频率估计概率，试判断甲 乙两厂能否都能盈利，并说明理由.
附：，其中.
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
20．书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
（1）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
（2）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求；
（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望．
附参考数据：若，则①；②；③．
21．（2023春·吉林长春·高二长春十一高校考阶段练习）《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》，这是21世纪以来第个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴，要大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展.某乡村合作社借助互联网直播平台进行农产品销售，众多网红主播参与到直播当中，在众多网红直播中，统计了名网红直播的观看人次和农产品销售量的数据，得到如图所示的散点图.
(1)利用散点图判断，和哪一个更适合作为观看人次和销售量的回归方程类型；（只要给出判断即可，不必说明理由）
(2)对数据作出如下处理：得到相关统计量的值如表：
其中令，.
根据（1）的判断结果及表中数据，求（单位：千件）关于（单位：十万次）的回归方程，并预测当观看人次为万人时的销售量；
参考数据和公式：，
附：对于一组数据、、、，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
22.已知函数.
（1）讨论在定义域上的单调性；
（2）若函数在处取得极小值，且关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围.
答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，集合，则A∩B=（ ）
A.(0,2) B.(0,2] C.[0,2) D.[0,2]
【答案】C
【详解】由题意可得：，
则.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了集合交集、补集的运算，属于容易题.
2．“”是“直线平行于直线”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】试题分析：直线平行于直线，因此正确答案应是充分必要条件，故选C.
考点：充要条件.
3．已知随机变量，且，则（ ）
A． B．12 C．3 D．24
【答案】C
【解析】
【分析】
结合，求得，即可求解．
【详解】
由题意，随机变量，可得，
又由，解得，
即随机变量，可得，
故选：C．
4．某平台设有“人物”“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段“人物”更新了2篇文章，“视听学习”更新了4个视频．一位学习者准备从更新的这6项内容中随机选取2个视频和2篇文章进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有（ ）
A．36种 B．48种 C．72种 D．144种
【答案】C
【解析】根据题意，从4个视频中选2个有种方法，
2篇文章全选有种方法，
2篇文章要相邻则可以先捆绑看成1个元素，三个学习内容全排列有种方法，
最后需要对捆绑元素进行松绑全排列有种方法，
故满足题意的学法有（种）．
故选：C
5．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出导函数，令导函数小于0，即可得到单调递减区间.
【详解】解：由题意，
在中，
当时，解得（舍）或
当即时，函数单调递减
∴单调递减区间为
故选：B.
6．(，且)的展开式中的系数为（ ）
A．150 B．165 C．120 D．180
【答案】B
【解析】
【分析】
首先写出含的系数，再利用组合数的性质，即可求解.
【详解】
展开式中含的系数是
.
故选：B
7．剪刀石头布又称“猜丁壳”，古老而简单，游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头，三者相互制约，因此不论平局几次，总会有决出胜负的时候．现，两位同学各有张卡片，以“剪刀、石头、布”的形式进行游戏：输方将给赢方一张卡片，平局互不给卡片，直至某人赢得所有卡片，游戏终止．若，一局各自赢的概率都是，平局的概率为，各局输赢互不影响，则恰好局时游戏终止的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】恰好局时游戏终止的事件M，输方第5局必输，前4局平两局输两局的事件为M1，第4局必输，前局输局赢局的事件为M2，
则M=M1+M2，M1与M2互斥，显然游戏终止时可以是输方，也可以是输方，
于是得，，
，
所以恰好局时游戏终止的概率为.
故选：B
8.若函数的图象上存在与直线垂直的切线，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由题意得，函数的定义域为，且，∵函数的图象上存在与直线x＋2y＝0垂直的切线，即有正数解，即在上有解，∵x>0，∴，∴．
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列结论正确的有( )
A. 若随机变量满足,则
B. 若随机变量,且,则
C. 若样本数据线性相关,则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点
D. 根据分类变量与的成对样本数据,计算得到.依据的独立性检验,可判断与有关且犯错误的概率不超过
【答案】B,C,D
【解析】对A,由方差的性质可知,若随机变量,,满足,
则,故A错误;
对B,根据正态分布的图象对称性可得,故B正确;
对C,根据回归直线过样本中心点可知C正确;
对D,由可知判断与有关且犯错误的概率不超过,
故D正确,故选:BCD.
10. 某人工智能公司近5年的利润情况如下表所示：
第x年 1 2 3 4 5
利润y/亿元 2 3 4 5 7
已知变量y与x之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 变量y与x之间的线性相关系数
C. 预测该人工智能公司第6年利润约为7.8亿元
D. 该人工智能公司这5年的利润的方差小于2
【答案】AC
【解析】
【分析】首先求出、，根据回归直线方程必过，即可求出，从而得到回归直线方程，根据与成正相关，即可得到相关系数，再令求出，即可预测第6年的利润，最后根据方差公式求出利润的方差，即可判断D；
【详解】解：依题意，，
因为回归直线方程为必过样本中心点，即，解得，
故A正确；则回归直线方程为，则与成正相关，即相关系数，故B错误，
当时，即该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元，故C正确，
该人工智能公司这5年的利润的方差为，故D错误；
故选：AC
11.10. 若实数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【详解】对于A，因为，所以，所以，即，故A正确；
对于B，因为，所以，所以，即，故B错误；
对于C，因为，所以，所以，即，故C错误；
对于D，因为，所以，所以，即，故D正确.
故选：AD.
12．（2021·福建·福清龙西中学高二期中）关于的展开式，下列结论正确的是（ ）
A．所有项的二项式系数和为32 B．所有项的系数和为0
C．常数项为 D．二项式系数最大的项为第3项
【答案】BC
【解析】因为，
A.二项式系数和为，错误；
B.令可得，所有项的系数为，正确；
C.展开式的通项为，令，可得常数项为，正确；
D.展开式中一共有项，所以二项式系数最大的项为第项，错误；
故选：BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13、的展开式中，的系数为______用数字填写答案
【答案】
【解析】解：的展开式的通项公式为，
含的系数是；
含的系数是；
的展开式中的系数为．
故答案为：．
14．（2021·全国·高二课时练习）先后掷两次骰子（骰子的六个面上的点数分别是、、、、、），落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为、，记事件为“为偶数”，事件为“、中有偶数且”，则概率____.
【答案】
【解析】若为偶数，则、全为奇数或全为偶数，所以，，
事件为“为偶数且、中有偶数，”，则、为两个不等的偶数，
所以，，
因此，.
故答案为：.
15．命题“，”为假命题，则实数的取值范围为______.
【答案】
【分析】分析可知命题“，”为真命题，分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于的不等式（组），综合可求得实数的取值范围.
【详解】由题意可知，命题“，”为真命题.
①当时，可得.
若，则有，合乎题意；
若，则有，解得，不合乎题意；
②若，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
16．设是函数的导函数，且，则不等式的解集为__________．
【答案】
【分析】根据构造函数，求导后根据导数正负确定函数单调性，利用函数单调性解不等式.
【详解】令，则，
，，
在上单调递减，
由可得，
即，，解得.
故不等式的解集为.
故答案为：
解答题
17.已知集合，.
（1）若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围；
（2）若，求m的取值范围.
【解析】（1）由题意， ，即，解得，
所以.
由“”是“”的充分不必要条件，得A真包含于B，
则，且等号不能同时取到，解得.，
故的取值范围为
（2）当时，得，即，符合题意.
当时，得，即.
由，得或，解得或，
所以或.
综上所述，的取值范围为或.
18．袋子中有9个大小、材质都相同的小球，其中6个白球，3个红球．每次从袋子中随机摸出1个球摸出的球不再放回，求：
(1)在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；
(2)第二次摸到白球的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用条件概率的计算公式求解即可；
（2）第二次摸到白球的情况分为两种，分别求出这两种情况的概率，进而可求得答案.
【详解】（1）设第一次摸到红球的事件为，第二次摸到红球的事件为，
则，，
所以在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率.
（2）第二次摸到白球的情况分为两种：
第一种情况：第一次摸到红球，第二次摸到白球，此时的概率，
第二种情况：第一次摸到白球，第二次摸到白球，此时的概率，
所以第二次摸到白球的概率.
19．（2021·江苏泰州市）2020年是脱贫攻坚的收官之年，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利，为确保我国如期全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的基础在产业扶贫政策的大力支持下，西部某县新建了甲 乙两家玩具加工厂，加工同一型号的玩具质监部门随机抽检了两个厂的各100件玩具，在抽取中的200件玩具中，根据检测结果将它们分成“A” “B” “C”三个等级，A B等级都是合格品，C等级是次品，统计结果如下表所示：
等级 A B C
频数 20 120 60
(表一)
厂家 合格品 次品 合计
甲 75
乙 35
合计
(表二)
在相关政策扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，但从安全起见，所有的次品必须由原厂家自行销.
（1）请根据所提供的数据，完成上面的2×2列联表(表二)，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为产品的合格率与厂家有关？
握认为产品的合格率与厂家有关？
（2）每件玩具的生产成本为30元，A B等级产品的出厂单价分别为60元 40元.另外已知每件次品的销毁费用为4元.若甲厂抽检的玩具中有10件为A等级，用样本的频率估计概率，试判断甲 乙两厂能否都能盈利，并说明理由.
附：，其中.
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）列联表答案见解析，没有95%的把握认为产品的合格率与厂家有关；（2）甲厂能盈利，乙不能盈利，理由见解析.
【解析】（1）2×2列联表如下
厂家 合格品 次品 合计
甲 75 25 100
乙 65 35 100
合计 140 60 200
，
在犯错的概率不超过0.05的前提下认为产品的合格率与厂家有关.
（2）甲厂10件A等级，65件B等级，25件次品，
方法一、对于甲厂，单件产品利润X的可能取值为30，10，.
X的分布列如下：
X 30 10
P
，
甲厂能盈利，
对于乙厂有10件A等级，55件B等级，35件次品，
对于乙厂，单位产品利润Y的可能取值为30，10，，
Y分布列如下：
Y 30 10
P
，乙不能盈利.
方法二、甲的平均利润为0，甲厂能盈利
乙的平均利润为0。乙不能盈利.
20．（2021·四川成都）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
（1）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
（2）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求；
（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望．
附参考数据：若，则①；②；③．
【答案】（1）74；（2）；（3）分布列见解析；期望为．
【解析】（1）根据频率分布直方图得：
．
（2）由题意知，
．
（3）由于，和的频率之比为：，
故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人，
随机变量的取值可以为0、1、2、3，
，，
，，
的分布列为：
0 1 2 3
21．《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》，这是21世纪以来第个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴，要大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展.某乡村合作社借助互联网直播平台进行农产品销售，众多网红主播参与到直播当中，在众多网红直播中，统计了名网红直播的观看人次和农产品销售量的数据，得到如图所示的散点图.
(1)利用散点图判断，和哪一个更适合作为观看人次和销售量的回归方程类型；（只要给出判断即可，不必说明理由）
(2)对数据作出如下处理：得到相关统计量的值如表：
其中令，.
根据（1）的判断结果及表中数据，求（单位：千件）关于（单位：十万次）的回归方程，并预测当观看人次为万人时的销售量；
参考数据和公式：，
附：对于一组数据、、、，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
【答案】(1)更适合；
(2)，预测当观看人次为万人时的销售量约为件.
【分析】（1）根据散点图中散点的分布情况可选择合适的回归模型；
（2）令，则，将表格中的数据代入最小二乘法公式，可求得、的值，进而可得出关于的回归方程，将代入回归方程可得出销售量.
【详解】（1）解：由散点图可知，散点分布在一条对数型曲线附近，所以选择回归方程更适合.
（2）解：令，则，
因为，，
所以，
又因为，，所以，
所以与的线性回归方程为，
故关于的回归方程为.
令，代入回归方程可得（千件）
所以预测观看人次为万人时的销售量约为件.
22.已知函数.
（1）讨论在定义域上的单调性；
（2）若函数在处取得极小值，且关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围.
【解析】（1）
当时，f(x)在上单调递减
当时，f(x)在区间单调递减，在区间单调递增；
（2）函数在处取得极值，∴，解得，则，
关于x的方程化为，
令，，
∴，
令，解得或1，
令，解得，此时函数单调递增，
令，解得，此时函数单调递减，
∵关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，
则，即，解得，
∴实数b的取值范围是
22. 已知函数且.
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，求函数零点的个数.
【答案】（1）有极小值，无极大值
（2）零点个数为1
【解析】
【分析】（1）求出导函数，求出极值点，判断导函数的符号，然后求解函数的极值；
（2）利用函数的导数，通过对参数分类讨论分析其单调性即可知函数的零点个数.
【小问1详解】
解：由题意得：
，
令，得或（舍去），
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以函数有极小值，无极大值
【小问2详解】
由（1）得.因为，
①若，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以有极大值，
极小值，又，
所以函数有1个零点.
②若，则，所以函数单调递增，
此时，所以函数有1个零点.
③若，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以有极大值，显然极小值，
又，所以函数有1个零点.
综上所述，当时，函数的零点个数为1