3.3.2 第2课时 抛物线的标准方程及性质的应用 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用
第三章　 3.3.2　抛物线的简单几何性质
学习目标
1.了解抛物线的简单应用.
2.掌握直线与抛物线的位置关系及相关问题.
一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在手电筒里，经过适当调节，就能射出一束较强的平行光，这是什么原因呢？
直线与抛物线的位置关系
一
问题1　类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系.
提示　如图所示，抛物线与直线有三种位置关系：没有交点、一个交点、两个交点.
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.
(1)若k≠0，当 时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当 时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当 时，直线与抛物线相离，没有公共点.
(2)若k＝0，直线与抛物线有 交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
一个
(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况.
例1
已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点.
得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0. (*)
此时直线l平行于x轴.
当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，
Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k).
①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，
l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；
②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离.
综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；
当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点；
当k>1时，l与C没有公共点.
判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点.
练习1
已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是___________.
[－1，1]
由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y并整理，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；
当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k<0或0弦长问题
二
问题2　过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦，如图.如何求弦AB的长度？
提示　1.利用弦长公式.
2.根据抛物线的定义|AB|＝x1＋x2＋p.
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，称为焦点弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则抛物线的焦点弦有以下结论：
例2
已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝ p，求AB所在的直线方程.
所以直线AB的斜率存在，设为k，
消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.
解得k＝±2.
所以AB所在的直线方程为2x－y－p＝0或2x＋y－p＝0.
练习2
已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点.
(1)若|AB|＝10，求实数m的值；
得x2＋(2m－8)x＋m2＝0.
由Δ＝(2m－8)2－4m2＝64－32m>0，得m<2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2，
y1y2＝m(x1＋x2)＋x1x2＋m2＝8m.
(2)若OA⊥OB，求实数m的值.
因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0，
解得m＝－8或m＝0(舍去).
所以m＝－8，经检验符合题意.
抛物线的轨迹问题
三
例3
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.
∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.
求轨迹问题的两种方法
(1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程.
(2)定义法：若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解曲线方程.
练习3
若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程.
设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得圆C的圆心为C(2，0)，半径r＝1.
因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1.
又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，
所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.所以|MC|＝d＋1.
即动点M到定点C(2，0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离.
故动圆圆心M的轨迹方程为y2＝8x.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)直线和抛物线的位置关系.
(2)抛物线中的弦长问题.
(3)抛物线的轨迹问题.
2.方法归纳：直接法、定义法、代数法.
3.常见误区：轨迹方程的等价性；数学运算的失误.