德庆县2022-2023 学年度第二学期高二级期中考试数学科试卷
一、单项选择题（共 40 分）
1.下列式子正确的是（ ）
x
x
A． sin
cos
B． ln x 1 e e C． D． x sin x
cos x
6 6 x 2x 2
2．曲线 f（x）＝ex+x2﹣2x﹣5在 x＝0处的切线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
4 2
3.某地区气象台统计，该地区下雨的概率是 ，刮风的概率为 ，在下雨天里，刮风的概
15 15
3
率为 ，则既刮风又下雨的概率为( )
8
3 3 1 1
A. B. C. D.
4 5 10 20
4．已知函数 f（x）的导函数为 f (x)，且 f (x) 2xf ( ) cos x，则 f ( ) （ ）
6 6
A． B． C． D．
5.为庆祝中国共产党成立 100 周年，某中学举行“唱红歌”比赛.现有甲、乙、丙、丁共 4
人进入决赛，则甲必须在第一或第二个出场，且丁不能最后一个出场的方法有( )
A.6 种 B.8 种 C.20 种 D.24 种
6.若离散型随机变量 X的分布列如下表所示，则 a的值为( )
X －1 1
P 4a－1 3a2＋a
A 1． B．－2 C 1． 或－2 D 1．
3 3 2
5
1 2
7. 3已知 2 ax x （ a为常数）的展开式中各项系数之和为 1，则展开式中 x 的 x x
系数为( )
A.-79 B.79 C.-81 D.81
1 x
8. 已知函数 f (x) ln x ，若函数 f (x) 在 1， 上为增函数，则正实数 a 的
ax
取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（共 20 分）
9.已知随机变量 X的分布列如下表(其中 a为常数)：
则下列计算结果正确的是( ) X 0 1 2 3 4
A．a＝0.1 B．P(X≥2)＝0.7 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a
C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3
1
10.如果函数 y f (x)的导函数的图象如图所示，则下述结论正确的是（ ）
A．函数 y f (x) 在区间（3,5） 内单调递增
1
B．当 x 时，函数 y f (x) 有极大值
2
C．函数 y f (x) 在区间 （1,2） 内单调递增
D．当 x 2 时，函数 y f (x) 有极大值
11. 甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球，
先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用事件 A1, A2 和 A3表示从甲罐中取出的球是红球，
白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，用事件 B 表示从乙罐中取出的球是红球，则下列
结论正确的是( )
A. P(B) 2 B. P B | A 5
5 1
11
C.事件 B 与事件 A1相互独立 D. A1, A2 , A3 是两两互斥的事件
12.若函数 g(x) e x f (x) ( e 2.71828是自然对数的底数）在 f (x) 的定义域上单调递
增，则称函数 f (x) 具有 M 性质．下列函数中具有 M 性质的为 （ ）
A. f (x) 2 x B f (x) 3 x． C. f (x) x3 D． f (x) x2 2
三、填空题（共 20 分）
13．如图，直线 l 是曲线 y＝f（x）在点（4，f（4））处的切线， f（4） f (4)的值于 ．
14.设随机变量 X的分布列为 P(X a) ak (k＝1,2，…，10)，则常数 a＝________.
x2 x 415.已知 3 2 a0 a1x a x2 a x32 3 a 88x ，则 a1 a3 a5 a7 _______.
16.某机场有并排的 10 个停机位，若有 3 架飞机要降落在该机场并停放在这排停机位中，每
架飞机停放在任一停机位都是随机的，则 3 架飞机停好后每架飞机两边各至少有一个空停
机位的不同停法种数为__________.(用数字作答)
四、解答题（共 70 分）
1 3 1 2
17、（10 分）已知函数 f (x) ax (a 1)x bx(a,b R,a 1,a 0)在 x＝1 时取得
3 2
极值．
(1)求b的值； (2)求 f (x)的单调减区间．
2
18．（12 分）从 7名男生 5名女生中选取 5人，分别求符合下列条件的选法有多少种？
（1）其中的 A，B 两人必须当选；
（2）A，B 恰有一人当选；
（3）选取 3名男生和 2名女生分别担任班长、体育委员等 5种不同职务，但体育委员必
须由男生担任，班长必须由女生担任．
19.（12 分）端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，
肉粽 3 个，白粽 5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取 3 个．
(1)求三种粽子各取到 1个的概率；(2)设 X 表示取到的豆沙粽个数，求 X 的分布列与均值．
n
20.（12 分）在二项式 2x 1 的展开式中，已知第 2 项与第 8 项的二项式系数相等.
(1)求展开式中二项式系数最大的项.
1
(2)求 1 2x 1 nx 的展开式中的常数项.
3
21．(12 分)已知函数 f (x) ln(x 1) ax (a R) .
x 1
(1)当 a＝1 时，求函数 f (x)的图象在点(0， f (0))处的切线方程；
(2)讨论函数 f (x)的极值．
22.已知函数 f (x) x3 ax2 x(a R)。
（1）若函数 f (x)存在两个极值点，求 a的取值范围；
（2）若 f (x) x ln x x在（0， ）恒成立，求 a的最小值．
4德庆县2022-2023学年高二下学期期中考试
数学科参考答案
1-8 BDCD BAAB 9.ABD 10. CD 11. BD 12.AD
13. 14. 15.-648, 16.120
17、（10分）已知函数在＝1时取得极值．
(1)求的值；
(2)求的单调减区间．
17.解析：(1)依题意，得
由于为函数的一个极值点，则，得．…………………………4分
(2)由（1）得
①当时，，不等式的解集为； ………………………6分
②当时，，不等式的解集为； ………………………8分
综上，当时，的单调减区间为（1，）；
当时，的单调减区间为（，1）…………………10分
18．从7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法有多少种？
（1）其中的A，B必须当选；（2）A，B恰有一人当选；
（3）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同职务，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．
解：（1）根据题意，先选出A，B，再从剩下的10人中选3人，
共有种选法；………………4分
（2）根据题意，先在AB中选出1人，再从剩下的10人中选4人，
共有种选法；………………8分
（3）根据题意，选出一名男生担任体育委员共有种情况，
选出一名女生担任班长共有种情况．
剩下6名男生再选2人，4名女生再选1人，担任其它3个班委，共有种情况，
所以共有种选法．………………12分
19.端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与均值．
19.解：(1)设事件A=“三种粽子各取到1个”，
则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝.…………4分
（2）X的所有可能值为0,1,2，…………5分
且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.…………8分
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
…………10分
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝. …………12分
20.（12分）在二项式的展开式中，已知第2项与第8项的二项式系数相等.
(1)求展开式中二项式系数最大的项.
(2)求的展开式中的常数项.
20.解：（1）依题意，由组合数的性质得.…………2分
所以二项式的展开式中二项式系数最大的项为.……4分
（2）由（1）知，，…………6分
因为二项式的展开式的通项为，…………8分
所以的常数项为，的常数项为，………11分
所以的展开式中的常数项为.…………12分
21．(12分)已知函数f(x)＝ln(x＋1)＋(a∈R)．
(1)当a＝1时，求函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的极值．
21．解：(1)当a＝1时，f(x)＝ln(x＋1)＋(x>－1)，
所以f′(x)＝＋＝，…………2分
所以f′(0)＝2.又f(0)＝0，…………4分
所以函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x.…………5分
(2)f′(x)＝＋＝(x>－1)，…………6分
令x＋1＋a＝0，得x＝－a－1.…………7分
若－a－1≤－1，即a≥0，则f′(x)>0恒成立，此时f(x)无极值；…………8分
若－a－1>－1，即a<0，
则当－1－a－1时，f′(x)>0，
此时f(x)在x＝－a－1处取得极小值，极小值为ln(－a)＋a＋1.…………12分
22.已知函数f（x）＝x3+ax2+x（a∈R）．
（1）若函数f（x）存在两个极值点，求a的取值范围；
（2）若f（x）≥xlnx+x在（0，+∞）恒成立，求a的最小值．
22.解：（1）∵f（x）＝x3+ax2+x（a∈R）存在两个极值点，
∴f′（x）＝3x2+2ax+1＝0有两个不同的零点，…………2分
∴4a2﹣12＞0，解得或，
即a的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；…………4分
（2）∵x3+ax2+x≥xlnx+x在（0，+∞）上恒成立，即x3+ax2≥xlnx在（0，+∞）上恒成立 a≥（﹣x）max，x＞0．…………6分
令g（x）＝﹣x（x＞0），
则g′（x）＝﹣1＝（x＞0），…………7分
令t（x）＝﹣x2﹣lnx+1（x＞0），
则t′（x）＝﹣2x﹣＜0，
∴t（x）在（0，+∞）上单调递减，…………9分
又t（1）＝0，
∴当x∈（0，1）时，t′（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）在（0，1）上单调递增；
当x∈（1，+∞）时，t′（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上单调递减；
∴当x＝1时，g（x）取得极大值g（1）＝﹣1，
∴a≥﹣1，即a的最小值为﹣1． …………12分
