课件24张PPT。第二章 平面向量
§1 从位移、速度、力到向量1、理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别；
2、理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示，并体会学科之间的联系；
3、通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.1、老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去。猫能否追到老鼠？猫的速度再快也没用,不能，因为方向错了. 速度是既有大小又有方向的量.北京广州上海哈尔滨重庆2、民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班.每次飞行都是民航客机的一次位移.由于飞行的距离和方向各不相同,因此,它们是不同的位移.位移既有大小又有方向.3、汽车爬坡时，牵引力大小为F.方向倾斜向上，与水平方向成θ角.Fθ力既有大小又有方向.既有大小又有方向的量统称为向量
(1)现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？
位移、力、速度、加速度、电场强度等.
(2)哪些量只有大小没有方向？
距离、身高、质量、时间、面积等.探究一、向量定义 注意：数量与向量的区别
1、数量只有大小，是一个数，可以进行代数运算、比较大小；
2、向量不仅有大小还有方向，具有双重性，不能比较大小. 有向线段——具有一定方向的线段．有向线段的三要素：起点、方向、长度. 探究二、表示方法： ①几何表示法：有向线段．在数学中我们研究的是仅由大小和方向确定，而与起点位置无关的向量，也称为自由向量．以A为起点、B为终点的有向线段记作 ②字母表示法： 思考：不是同一向量，因为方向不同.用 等小写字母表示；用表示有向线段的起点和终点字母表示，如向量 与向量 是不是同一向量？为什么？探究三、向量的长度： 问题1：长度为0的向量应该叫做什么向量？
如何表示？它是否有方向？答：应该叫做零向量.它的方向是不确定的.向量 的大小，即长度（也称模）.记作：表示为问题2：与向量 同方向且长度为单位1的向量应该叫作什么向量？答：应该叫作 方向上的单位向量.记作问：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？ 答：有无数个单位向量，单位向量的大小相等.思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们终点的轨迹是什么图形？答：如图，轨迹是以O为圆心，半径为1的圆（单位圆）.oxy探究四、向量平行与相等向量如果表示两个向量的有向线段所在直线平行或重合，则称这两个向量平行.（1）向量平行：规定：零向量与任一向量平行.向量平行也称向量共线.答：是.？思考：根据定义判断下图中向量 与向量 是否平行？长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量.规定: 零向量与零向量相等.（2）相等向量思考：1、相等向量一定平行吗? 2、平行的向量一定是相等向量吗?是不是若向量 与 相等，记作：例1．判断下列说法是否正确或给出问题的答案：（1）平行的向量的方向一定相同． （2）不相等的向量一定不平行． （3）与零向量相等的向量是什么向量？ （4）存在与任何向量都平行的向量吗？ ××零向量零向量（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？ （6）两个非零向量相等的条件是什么？ （7）共线的向量一定在同一直线上． 平行的向量（共线的向量） 模相等且方向相同 ×例2.如图，D、E、F依次是等边三角形ABC的边AB、BC、AC的中点，在以A、B、C、D、E、F为起点或终点的向量中，
（1）找出与向量 相等的向量；
（2）找出与向量 共线的向量.解：由三角形中位线定理不难得到：
（1）在以A，B，C，D，E，F为起点
或终点的向量中，与向量 相等的向量有：
（2）在以A，B，C，D，E，F为起点或终点的向量中，与
向量 共线的向量有：11个例3、如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，写出图中 与向量 相等的向量.变式二：是否存在与向量 长度相等，方向相反的向量？存在，为变式一：与向量 长度相等的向量有多少个？1、右图中的向量是否是相等向量?说明：任意两个非零相等向量可用同一条有向线段表示，与有向线段的起点无关.相等的有7个长度相等的有15个BA2、在4*5的方格纸中有一个向量 ，以图中的格点为起
点和终点作向量，其中与 相等的向量有多少个？与
长度相等且共线的向量有多少个?（ 除外）3、用有向线段表示两个相等的向量，这两个有向线段一
定重合吗？
4、在直角坐标系oxy中，有三点A（1，0），B（-1，2），
C（-2，2），请用有向线段分别表示A到B，B到C，C到A的
位移.xyAOB1-121-2C不一定3、零向量、单位向量的概念;2、向量的长度（向量的模）;1、向量的概念及表示方法;4、向量平行（共线）与相等向量;本节课主要学习了：当你还不能对自己说今天学到了什么东西时，你就不要去睡觉。
——利希顿堡 课件21张PPT。§2 从位移的合成到向量的加法
2.1 向量的加法（1）掌握向量加法的概念；能熟练运用三角形法则和平行四边形法则做几个向量的和向量；能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行向量计算.
（2）通过实例，掌握向量加法的运算，并理解其几何意义.
（3）初步体会数形结合在向量解题中的应用.北京广州上海1、飞机从广州飞往上海,再从上海飞往北京,这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移相同吗？我们就把后面这样一次位移叫做前面两次位移的合位移.相同ABCD由分位移求合位移,称为位移的合成.由分位移求合位移,称为位移的合成.求两个向量和的运算叫向量的加法.既然向量的加法可以类比位移的合成，想一想，作两个向量的和是否也可以类比前面位移的合成呢？探究一：这种作法叫作向量求和的三角形法则.AC作法：1、在平面内任取一点A讨论：作图关键点在哪？首尾顺次相连.类比前面的广州至北京的飞机位移的合成Bbaab.?(1)同向(2)反向学以致用：P76练习第1题abab这叫做向量加法的平行四边形法则.探究二：作两向量的加法还有没有其它的方法呢？BDC讨论：作图关键点平移为同一起点练一练：P77练习第2题向量满足交换律和结合律?DACB???A?BC???D??探究三：数的加法满足交换，即对任意a，b∈R，有a+b=
b+a，（a+b）+c=a+（b+c）任意向量 的加法是否也满
足交换律和结合律？探究四：能否将它推广至多个向量的求和？A1A2A3A1A2+A2A3= _______多边形法则：n个首尾顺次相接的向量的和等于折线起点到终点的向量.练一练：
（1）P77练习题第4 题思维方法归纳：多个向量的和可以任意的组合例１ 轮船从Ａ港沿东偏北 30°方向行驶了40n mile（海里）到达B处,再由B处沿正北方向行驶40n mile (海里)到达C处.求此时轮船与A港的相对位置.北ABC东北BC东A答:轮船此时位于A港东偏北600，且距A港 n mile的C处. 例2 两个力 和 同时作用在一个物体上,其中 的大小
为40N,方向向东, 的大小为30N,方向向北,求它们的合力.东北OθCＡＢ解：如图， 表示 ， 表示 .以OA，OB为邻边作□OACB，则 表示合力 .
在Rt△OAC中， =40N，
=30N.由勾股定理得设合力 与 的夹角为θ，则
所以θ=37°，
答：合力大小为50N，方向为向东偏北37°.OB例3 在小船过河时,小船沿垂直河岸方向行驶的速度为v1=3.46km/h,河水流动的速度v2=2.0km/h.试求小船过河实际航行速度的大小和方向. v1v2解：如图，设 表示船向垂直于河
岸行驶的速度, 表示水流的速度，
以OA、OB为邻边作□ABCD，则 就
是小船实际航行的速度.CA（1）（2）（2）1、用三角形法则求向量的和（1）2、用平行四边形法则求向量的和????????????????3、试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.证明：?????结论得证.3、向量加法运算律.1、向量加法的三角形法则（首尾相接）；2、向量加法的平行四边形法则（起点相同）；??长期的心灰意懒以及烦恼足以致人于贫病枯萎。
——布朗课件24张PPT。2.2 向量的减法（1）了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量；
（2）通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义.
（3）初步体会数形结合在向量解题中的应用.1、一架飞机由北京飞往香港,然后再由香港返回北京,我们把北京记作A点,香港记作B点,那么这架飞机的位移是多少?怎样用向量来表示呢?北京香港上海AB?OAB探究一：相反向量长度相等,方向相反2、类比相反数的概念,我们如何定义上述两个向量的关系?相反向量的定义:与向量 长度相等，方向相反的向量叫作 的相反向量.记作如探究二： 类比相反数的性质,说明相反向量有哪些性质?(1)零向量的相反向量是零向量.(4)如果 是互为相反的向量，则：探究三： 向量的减法求两个向量的差的运算，叫作向量的减法.向量 加上 的相反向量，叫作 和 的差.即ABCO .探究四：已知向量 如何作 如图，作 以OA、OB为边作 OACB，连接BA，不难看出，向量 表示向量 与 的和，也就是向量向量减法法则:注 意: 两个向量起点相同，则两个向量的差就是连结两向量终点，指向被减向量终点的向量.(1)起点相同；(2)由减向量的终点指向被减向量的终点;ABO .(3)向量的差仍是向量.(1)？注意：两个向量起点相同，其差向量是由减向量的终点指向被减向量的终点.ABC(2)????????(3)???O ．ABCD?????解：DCAB??当 满足 时，
与 互相垂直.本题中DCAB??本题中DCAB??不可能，因为对角线方向不同.本题中DCAB??DCAB??DCABO例4 如图，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、
B、C的向量分别为 试用向量 表示 .DCAB??2.1、向量的减法的定义2、向量减法的三角形法则及几何意义 可以表示为从向量 的终点指向向量 的终点的向量（ 与 起点相同）才者，德之资也；德者，才之帅也。
——司马光课件23张PPT。§3 从速度的倍数到数乘向量
3.1 数乘向量（1）掌握实数与向量积的定义及几何意义；
（2）了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件；
（3）掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或能把一个向量分解为两个向量；
（4）能用来解决一些简单的与本课有关的几何问题.1.向量加法三角形法则:2.向量加法平行四边形法则:特点:首尾相接，首尾连特点:共起点ACBab.BDCo.BA3、向量的减法特点：共起点，连终点，方向指向被减向量5、在物理中位移与速度的关系：s=vt，力与加速度的关系：f=ma.其中位移、速度，力、加速度都是向量，而时间、质量都是数量.4、一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应向量 ，那么在同方向上3秒的位移对应的向量用 表示，试画出该向量.????BCNMQP???????探究二、向量 与向量 有什么关系？向量 与向量
有什么关系？（1）向量 的方向与 的方向相同，向量 的长度是
的3倍，即（2）向量 的方向与 的方向相反，向量 的长度是
的3倍，即一、向量的数乘运算它的长度和方向规定如下： 一般地，实数λ与向量 的积是一个向量，这种运算
叫作向量的数乘运算，记作特别地，当λ=0时 方向任意.探究三、数乘向量的运算律?????（1）根据定义，求作向量 和 ，并作比较.结论：????????二、数乘向量的运算律:设 为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：结合律第一分配律第二分配律解：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意的向量 以及任意实数λ，μ1， μ2 ，恒有计算：练习：探究四、共线向量判定定理和性质定理1、如果 那么向量 与 是否共线？
2、如果非零向量 与 共线，那么是否有实数λ,使且当 与 同方向时，有当 与 反方向时，有所以始终有一个实数λ，使三、向量共线的判定定理四、向量共线的性质定理 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得
则向量 与非零向量 共线.向量 与非零向量 共线，则存在一个实数λ，
使得思考：1） 为什么要是非零向量？
2） 可以是零向量吗？证明：如图，因为向量 与向量 共线，根据向量共?解：作图如右依图猜想:A、B、C三点共线O??又AB与AC有公共点A,所以A、B、C三点共线.?2、在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点N在线段BD
上，且有BN= BD，求证：M、N、C三点共线.:不知道他自己的人的尊严，他就完全不能尊重别人的尊严。
——席勒课件27张PPT。3.2 平面向量基本定理1．了解平面向量基本定理的证明；
2. 掌握平面向量基本定理及其应用. （1）三角形法则：（2）平行四边形法则：ABC1、向量的加法：首尾相连共同起点????????2、向量的减法：BA共同起点 指向被减向量3、共线向量定理:2、过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA相交于M；
过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB相交于N；NM???则3、又 与 共线； 与 共线.所以有且只有一个实数λ1，使得：有且只有一个实数λ2 ，使得：即亦即请同学们作图验证探究四
（1）这一平面内所有向量的基底是否唯一呢？作图验证是否可以由其他两个向量来表示 ？
（2）对你给的这两个向量有什么要求？
（3）如果基底选定，λ1，λ2能唯一确定吗？能为零吗？
（1）基底不唯一；
（2）要求这两个向量不共线；所以零向量不能作基底.
（3）如果基底选定，则λ1，λ2唯一确定，可以为零.一、平面向量基本定理作存在唯一特别的：λ1=0，λ2≠0时， 共线. λ1≠0，λ2=0时， 共线. λ1=λ2=0时， (2)作平行四边形OACB分析:因为ABCD为平行四边形可知M为AC 与BD的中点.所以例2 如右图所示，平行四边形ABCD的
两条对角线相交于点M，且
用 表示解:在平行四边形ABCD中，注意:我们在做有关向量的题型时,要先找清楚未知向量和已知向量间的关系,认真分析未知与已知之间的相关联系,从而使问题简化.???说明：同上题一样，我们要找到与未知相关联的量，来解决问题，避免做无用功！????AFEG?因为 =10（kg）×10（m/s2）=100（N）答：物体所受滑动摩擦力大小为50N，方向与斜面平行向
上；所受斜面支持力大小为 方向与斜面垂直向上.DBCAEF1、下列说法中，正确的有（ ）
(1)一个平面内只有一对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；
(2)一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；
(3)零向量不可以为基底中的向量.(2)、(3)3、如图，已知梯形ABCD，AB//CD，且AB= 2DC,M、N分别是DC、AB的中点.请大家动手,从图中的线段AD、AB、BC、DC、MN对应的向量中确定一组基底，将其他向量用这组基底表示出来.1、平面向量基本定理2、基底（1）零向量不能作基底；（2）两个非零向量共线时不能作为平面的一组基底；（3）平面中的任意不共线向量都可以作为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的. 平面中的任一向量都可表示为其他的两个不共线向量的线性组合,根据向量的加法和减法法则及其几何特点即可解题.不用相当的独立功夫，不论在哪个严重的问题上都不能找出真理；谁怕用功夫，谁就无法找到真理。 ——列宁课件31张PPT。§4 平面向量的坐标（1）掌握平面向量正交分解及其坐标表示；（2）会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算；（3）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.1.平面向量基本定理:存在唯一2、什么叫平面的一组基底?（1）平面的基底有多少组?无数组（2）基底的要求是什么？不共线作(a,b)探究一 平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么来表示?平面向量是否也有类似的表示呢?Aab????有因为由平面向量基本定理，平面向量与有序实数对一一对应.?xyo?⑴式是向量 的坐标表示.注意：每个向量都有唯一的坐标.探究二 平面向量的坐标?在直角坐标系内，我们分别???12-2-1xy453???????????-4 -3 -2 -1 1 2 3 4例2 在平面内以O的正东方向为x轴正向，正北方向为y轴的正向建立直角坐标系，质点在平面内做直线运动，分别求下列位移向量的坐标.解：设 并设P（x1，y1），Q（x2，
y2），R（x3，y3）.
（1）由已知可知，∠POP′=45°，| |=2.所以（2）因为∠QOQ′=60°，（3）因为∠ROR′=30°，
所以，(x1,y1)结论1:
一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标。1AB1xyA1B1(x2,y2)?????探究四 什么时候向量的坐标能和点的坐标统一起来？向量的起点为原点时.??????????一一对应在同一直角坐标系内画出下列向量.解：????????????练习：探究五 相等向量的坐标有什么关系？相等,与起点的位置无关.1AB1xyA1B1(x1,y1)(x2,y2)?????(1)任一平面向量都有唯一的坐标.(2)向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标；当向量的起点在原点时，向量终点的坐标即为向量的坐标.(3)相等的向量有相等的坐标.结论:探究六 全体有序实数对于坐标平面内的所有向量是否一一对应？ 因此,在直角坐标系中,点或向量都可以看作有序实数对的直观形象.探究七 平面向量的坐标运算：结论2：两个向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐标的和与差.结论3：实数与向量积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.A(x1,y1)OxyB(x2,y2)结论1:一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标.从向量运算的角度回顾:????得（0,2）-（1,0）=（-1,-2）-（x,y）即（-1，2）=（-1-x，-2-y），?即点D的坐标为（0，-4）.解：由已知 得
（3，4）+（2，-5）+（x,y）=（0，0）????探究八：平面向量共线的坐标表示 ??解:依题意,得即B（3，-1）.5、已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标.xyOA(-2,1)B(-1,3)C(3,4)D(x,y)7、已知点A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A、B、C三点是否共线？6、已知向量 =(4，2)， =(6，y)，且 ，求y的值.解：由已知可得 即(6,y)=λ(4，2)=(4λ，2λ)分析：易证 所以A,B,C三点共线.1.向量的坐标的概念:2.对向量坐标表示的理解:3.平面向量的坐标运算.(1)任一平面向量都有唯一的坐标;(2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；(3)相等的向量有相等的坐标.4.平面向量共线的坐标表示：向量 共线 x1·y2=x2·y1不要对一切人都以不信任的眼光看待,但要谨慎而坚定。
——德谟克里特课件34张PPT。§5 从力做的功到向量的数量积1.知识目标：
（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；
（2）体会平面向量的数量积与向量射影（也叫投影）的关系；（3）掌握平面向量数量积的重要性质及运算律和它的一些简单应用；
（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 2.能力目标：
学会借助实例分析，探究数学问题（体会由熟悉的物理知识“做功”得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义. 精解精析几个例题，帮助理解和巩固相应的知识，培养自己的逻辑思维能力）.3.情感目标：
通过本节内容的学习，认识向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；进一步领悟数形结合的思想；同时通过熟悉的物理背景去理解向量的数量积，激发学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.（1）任意两个向量都可以进行加、减运算，同时两个向量的和与差仍是一个向量，并且向量的加法运算满足交换律和结合律.由于任意两个实数可以进行乘法运算，我们自然会提出，任意两个向量是否也可以进行乘法运算呢？
如果可以,结果又如何呢？ （2）我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θS力F所做的功W可用下式计算:
W=|F||S|cosθ,其中θ是F与S的夹角.当0°≤θ＜90°时，W＞0, 即力F做正功；
当θ＝90°时，W＝0，即力F不做功；
当90°＜θ≤180°时，W＜0，即力F做负功.从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念.两个非零向量 和 ，作 ， ，则
（ ）叫做向量 与 的夹角．思考1 如何定义向量的夹角？由于零向量的方向是任意的，为方便起见，规定零向量可与任一向量垂直. ， ，过点B 作BB1垂直于直线OA，垂足为
B1，则 .| | cosθ叫作向量 在 方向上的射影(也叫投影)．当θ为锐角时，
| | cosθ_____＞0思考2 什么是向量的射影？| |当θ为钝角时，| | cosθ___当θ为直角时，| |cosθ____＜0=0OBA-| |当θ=180°时， | | cosθ=_____B1物理实例中，与位移S方向一致的分力F1的长度
︱F︱cosθ，即是力F在S方向上的射影。θFSF2F1思考3 平面向量的数量积的定义如何？
已知两个向量 与 ，它们的夹角为θ，我们把数量
| || |cosθ叫做 与 的数量积（或内积），
记作： ·
· =| || | cosθ 注意：向量的数量积是一个数量。特别的:零向量与任一向量的数量积为0.例1 ⑴ 已知| |=3，| |=4， 与 的夹角θ=150°，求 · .解： · =| || |cosθ=3×4×cos150°
=3×4×（- /2）=－6解： | | = , | |=2, θ=45°
∴ · =| || |cosθ= ×2×cos45°= 2.⑵已知 =(1,1), =(2,0), 求 · .思考4 数量积的几何意义是什么？【特别提醒】
1.
2.若 是单位向量,则【重要性质】
1.若 是单位向量，则
2.
3.
4.
5.
当且仅当 ∥ 时等号成立. 思考5 数量积的物理意义？反之成立吗？解答：不成立.解答：成立.练习：判断正误√×××××√3．若 ≠ ， · =0，则 = 2．若 ≠ ，则对任一非零向量 ,有 · ≠0．1．若 = ，则对任一向量 ，有 · = 0 ．4．若 · =0，则 , 中至少有一个为 ．5．若 ≠ ， · = · ，则 = 6．若 · = · ,则 ≠ ,当且仅当 = 时成立．7．对任意向量 有平面向量数量积的应用例2 在ΔABC中，设边BC，CA，AB的长度分别为a，b，c，
证明：
a2=b2+c2–2 bccosA，
b2=c2+a2–2cacosB，
c2=a2+b2–2abcosC.例2 在ΔABC中，设边BC，CA，AB的长度分别为a，b，c，证明：
a2=b2+c2–2 bccosA，
b2=c2+a2–2cacosB，
c2=a2+b2–2abcosC.证明 设 则同理可证其他两式，我们把这个结果称为余弦定理.【技巧点拨】
1.将三角形的边用有向线段表示；
2.根据向量的运算及向量的几何意义，写出向量之间的关系；
3.通过平方和向量的数量积整理出所要的结果.例3 证明菱形的两条对角线互相垂直.证明 菱形ABCD中，AB=AD，由于可得=0，
所以，即菱形的两条对角线互相垂直.ABCDO【技巧点拨】
1.取两个不共线的向量作基底；
2.将要证明的向量用这两个向量表示；
3.利用 得到证明。例4 已知单位向量 , 的夹角为60°，求向量 ,
的夹角.解：由单位向量 , 的夹角为60°，得又设 与 的夹角为 ， 由①②可得又 所以 .
即向量 与 的夹角为 .【技巧点拨】
1.以 ， 为基底；计算 的值.
2.利用向量的夹角公式计算. 【技巧点拨】
进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角.（否）（否）1.已知 ， ， 与 的夹角 ，求 .本节课主要学习了：
（1）向量的夹角；
（2）向量的射影；
（3）向量的数量积；
（4）向量的数量积的几何意义和物理意义；
（5）向量的数量积的性质和运算律.不会宽容别人的人，是不配受到别人的宽容的。 ——贝尔奈课件32张PPT。§6 平面向量数量积的坐标表示 1.知识目标：
（1）掌握“平面向量的数量积的坐标表示”这个重要的知识点；
（2）会用“平面向量的数量积的坐标表示”的有关知识解决实际问题。如判断垂直、求解长度、角度与方程等.2.能力目标：体会坐标的意义，熟悉坐标化的方法.
3.情感目标：在师生共同的学习过程中，培养学生合作交流，乐于探索创新的科学精神.
4.本课重点：平面向量数量积的坐标表示.
5.本课难点：平面向量数量积坐标表示的实际应用. 如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限。
下面就让平面向量数量积坐标表示的运算顺利起航吧！1.概念:(1)向量的夹角: ?(2)平面向量数量积的定义:注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.其中：（0≤?≤?）2.平面向量数量积的几何意义:3.平面向量数量积的物理意义？4.性质:(1)垂直的充要条件：__________________(2)求模公式：_______________(3)夹角公式：_____________________⊥5.数量积的运算律：⑴交换律：___________⑵数乘结合律：________________________⑶分配律：___________________思考1：向量的加法、减法、数乘都可以用“坐标语言”表示，向量的数量积能否由“坐标语言”来表示？ 若两个向量请计算下列式子：1100解：由题意得这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即练习：求值【技巧方法】
区分好横纵坐标，准确代入数值，精心计算.思考2 如何用向量的坐标来表示两向量数量积的相关性质？(2)求模公式：坐标表示为：坐标表示为：(1)垂直的充要条件：坐标表示为：(3)夹角公式：特别地：典型例题分析例1 已知 ， ，求向量 与 的夹角
的余弦值. 【技巧方法】
1.细心代入，精确计算.
2.分步计算，难度化整为零.例2 求以点C(ɑ,b)为圆心，r为半径的圆的方程.特别地：如果圆心在坐标原点上，这时α=0,b=0 ，那么圆的标准方程为 x2+y2=r2.【技巧方法】
设圆上任意一点M（x，y），构造向量
，利用向量的模为定值，列出相等关系，化简即得所求曲线的方程.例3 已知圆C:（x-ɑ)2+(y-b)2=r2，求与
圆C相切于点Po（xo,yo)的切线方程.cp0p.【技巧方法】
将相关向量用坐标表示，根据互相垂直的向量的数量积等于零，写出表达式.若ɑ=0，b=0,圆的标准方程为x2+y2=r2，与它相切于P0（x0，y0）的切线方程为x0（x-x0）+y0（y-y0）=0，
由于x02+y02=r2，故此方程可化为x0x+y0y=r2.特别地：直线的方向向量 由解析几何知，给定斜率为k的直线l，则向量m=（1，k）与直线l共线，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量.例4 已知直线l1:3x+4y-12=0和l2:7x+y-28=0，求直线l1和l2的夹角.解: 任取直线l1和l2的方向向量【技巧方法】
利用斜率为k的直线l的方向向量为m=（1，k），写出直线l1和l2的方向向量，然后运用向量的夹角公式计算出夹角的余弦值，从而求出夹角.
注意：直线的夹角取值范围[0, ],当求出的向量的夹角为钝角时，应取其补角.242.已知 =（-1，2）， =（3，2），则 （ - ）=_____.
3.已知 ， =（2，-5），则 =______.4.已知1.若 则 与 夹角的余弦值为（ ）7、已知向量
（１）求 与 的夹角 的余弦值；
（２）若向量 与 垂直，求 的值.理解和应用向量坐标表示的公式解决问题：1、数量积的坐标表示2、向量坐标表示的求模公式3、平面内两点间的距离公式4、两向量夹角的余弦5、向量垂直的判定不患位之不尊，而患德之不崇；不耻禄之不伙，而耻智之不博。
——张衡课件35张PPT。§7 向量应用举例1.知识目标：
（1）掌握利用向量方法解决平面几何问题，体会解析法和向量方法的区别与联系.
（2）会用向量方法解决物理问题，会用所学知识解决实际问题.2.能力目标：培养应用所学知识灵活解决问题的能力，培养观察、分析、比较和判断的习惯，增强战胜困难的信心.
3.情感目标：培养学生的创新意识和乐观地对待困难的人生观.
【重点】体会向量在解决平面几何问题和物理问题中的作用.
【难点】用向量表示几何关系. 平行、垂直、夹角、距离、全等、相似等，是平面几何中常见的问题，而这些问题都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因此，平面几何中的某些问题可以用向量方法来解决，但解决问题的数学思想、方法和技能，需要我们在实践中去探究、领会和总结.思考1 用向量方法解决平面几何问题的基本思路是什么？几何问题向量化 向量运算关系化 向量关系几何化.仓库铁路点到直线的距离llM.: Ax+By+C=0(x0,y0)点到直线的距离已知点M(x0, y0)和直线l:Ax+By+C=0.则P点到直线 l 的距离d为:点到直线的距离公式思考2 如何借助向量的方法来证明点到直线的距离公式？l: Ax+By+C=0?在使用该公式前，须将直线方程化为一般式．
? A=0或B=0，此公式也成立，但当A=0或B=0时一般不用此公式计算距离．特别提醒当A=0或B=0时,直线方程为y=y1或x=x1的形式.QQ(x0,y1)(x1,y0)例题讲解【技巧方法】
认清公式的形式，找准每一个变量代表的数值，准确带入，精确计算.求下列各点到相应直线的距离课堂练习1向量在几何中的应用
例2 已知AD，BE，CF分别是△ABC的三条高，
求证：AD，BE，CF相交于同一点。思路分析 解决此类问题一般是将相关的线段用向量表示，利用向量的三角形法则和平行四边形法则，题目中的已知条件进行运算，得出结果，再翻译成几何语言 .思考3 根据例题你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：向量在物理中的应用
例3 一架飞机从A地向北偏西60o的方向飞行1000km到达B地，然后向C地飞行。设C地恰好在A地的南偏西60o，并且A，C两地相距2000km，求飞机从B地到C地的位移.分析 要求飞机从B地到C地的位移，需要解决两个问题：
⑴利用解三角形的知识求线段BC的长度
⑵求BC与基线的夹角.技巧点拨
1.按照题意正确作图，
2.分析图形的边角关系，
3.利用平面几何的知识求出答案. 300分析 本题是向量在物理学中“力学问题”上应用的例子，可以清楚地看出向量的直接作用，根据向量数量积的几何意义，可知对物体所做的功即是表示力的向量和表示位移的向量的数量积.例4 已知力 与水平方向的夹角为300（斜向上），大小为50N，一个质量为8kg的木块受力 的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20m.问力 和摩擦力 所做的功分别为多少？（g=10m/s2） 技巧点拨：
1.将物理中的矢量用向量表示，
2.找出向量与向量的夹角，
3.利用向量的数量积计算功.思路分析技巧点拨：
1.计算速度的合速度，
2.计算时间必须使速度的方向和位移的方向一致.证明直径所对的圆周角是直角.如图所示，已知⊙O，AB为直径，C
为⊙O上任意一点.求证∠ACB=90°练习：解：设 则 ，
由此可得：即 ， ∠ACB=90°注意:用该公式时应先将直线方程化为一般式.（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素.2.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：不奋苦而求速效，只落得少日浮夸，老来窘隘而已。 ——郑板桥
