课件29张PPT。第三章 三角恒等变形
§1 同角三角函数的基本关系 1.知识目标：
（1）掌握同角三角函数的基本关系；
（2）能根据某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；
（3）利用同角三角函数关系式化简三角函数式；
（4）利用同角三角函数关系式证明三角恒等式.2.能力目标：
（1）牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高分析，解决三角函数问题的能力；
（2）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；
（3）掌握恒等式证明的一般方法.
3.情感目标：
培养积极参与、大胆探索的精神；通过自主学习让学生体验成就感,培养学习数学的兴趣和信心.学习重点：理解并掌握同角三角函数关系式．
学习难点：
(1)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择；
(2)三角函数式的化简；
(3)证明三角恒等式． 气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风.这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”， 此效应本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.蝴蝶扇翅膀成为龙卷风的导火索.从中我们还可以看出，南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点.既然感觉毫不相干的事物都是相互联系的，那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？这就是这节课的课题——同角三角函数的基本关系.(1)三角函数定义是什么？P(x,y)xyro(2)三角函数在各象限的符号有什么特征？ (3)正弦、余弦、正切函数的值域各是什么？ 复习回顾[-1,1],[-1,1],R(1) (2)你发现了什么规律？你能用代数式表示这个规律吗？你能用语言叙述这个规律吗？你能证明吗？ 思考1 通过观察、探究、讨论你猜测到了什么结论？哇！这就是基本关系 根据三角函数定义，公式中的角有什么限制？怎么证明公式？
①定义法②单位圆法点击点击?定义法因为返回?单位圆法返回特别提醒：1、三个公式中一个平方关系，一个商数关系.要求记熟.2、同角的理解:应突出“同角”两字.如： (√)(×)4、公式可以变形使用： 哇！还有变形！ 特别注意：
利用平方关系求三角函数值时，
应根据角 的终边所在象限确定
所求三角函数值的符号.技巧方法：
1.由已知条件得出角 的取值范围；
2.如果范围包括不同的象限角，则需要根据角所在的不同象限进行讨论.思考2 能否用正切值求正弦值和余弦值？特别注意：在需要开方求任意角的三角函数值时，
一定要注意符号的问题.1.本题中体现的思想方法有：
（1）本题中运用了方程的思想方法；
（2）运用了分类讨论的思想方法.
2.本题的结论可以作为公式来应用：
在已知某角的正切值的条件下，
求该角的正弦值和余弦值.技巧方法1.证明一个等式，通常可以证明等式两边的差为零；
2.可以从等式的任意一边入手，证明它等于等式的另一边；
3.还可以转化为对另一个与其等价的等式的证明.技巧方法：本节课主要学习了：
（1）同角的三角函数关系；
（2）三角函数求值；
（3）三角函数化简；
（4）证明恒等式.光阴给我们经验，读书给我们知识。
——奥斯特洛夫斯基课件32张PPT。§2 两角和与差的三角函数
2.1 两角差的余弦函数
2.2 两角和与差的正弦、余弦函数 1.知识目标：
（1）利用向量的数量积发现两角差的余弦公式；
（2）灵活正反运用两角和与差的正弦、余弦函数.2.能力目标：
（1）通过求两个向量的夹角，发现两角差的余弦，培养学生融会贯通的能力；
（2）培养学生注重知识的形成过程.
3.情感目标：
（1）通过观察、对比体会公式的线形美、对称美,给学生以美的熏陶；
（2）通过公式的推导，更进一步发现“向量”的强大作用，培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神.2.若 是单位向量则1.平面向量的数量积3.平面向量的数量积的坐标运算4.写出五组诱导公式：规律小结：函数名不变，符号看象限思考1 15?能否写成两个特殊角的和或差的形式? 5. 求cos（–375?）的值.解：cos(–375?)=cos375?=cos(360?+15?)=cos15?思考2 我们学习过乘法对加法的分配律，知道：a(b+c)=ab+ac；余弦也是一种运算，那么： cos15?=cos(45?-30?)=cos45?-cos30?成立吗?15?=45?-30?(?：对上面的问题我们目前没有证明，但我们可以用特殊值法来检验其成立的可能性.）我们先来判断：cos(45°-30°)=cos45°-cos30°是否立？ ∵cos(45°-30°)= cos15°>0，而余弦函数在(0°,90°)上单调递减, ∴ cos45°< cos30°，因此cos45°-cos30°<0，cos(45°-30°)≠cos45°-cos30°.
∴ cos（α+β）=cosα+cosβ不总是成立.思考3 究竟cos15?=?思考4 cos(45?-30?)能否用45?和30?的角的三角函数来表示?思考5 如果能,那么一般地cos(α-β)能否用角α、β的三角函数来表示?由图可知：单位圆上P1，P2两点，注：1、公式中两边的符号正好相反（一正一负）；2、式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前
正弦在后.公式应用解:cos75°= cos（45°+30°）= cos45°cos30°-sin45°sin30°例1 不查表，计算cos75°和cos15°公式应用= cos45°cos30°+ sin45°sin30°cos15°=cos（45°-30°）技巧方法：
1.求α，β的正弦、余弦值，注意α，β的取值范围；
2.代入公式.例3.证明：⑴cos（ ）=sinα（α为任意角） ∴cos（ ）=sinα.证明：⑴cos（ ）=cos cosα＋sin sinα，∵ cos = 0，sin =1，公式应用证明： ⑵sin （ ） =cosα.证明： sin（ ）=cos［ －（ ）］
=cosα，∴sin（ ）=cosα.用类似的证法，可得：
⑶cos （ ）=－sinα小结： ， 角的三角函数值等于α的余名函数前加上把α看作锐角时原函数值的符号. ⑷sin （ ） = cosα⑺cos（ ）=sinα ⑻sin （ ） =－cosα⑸ cos （ ）=－sinα ⑹sin （ ）=－cosα两角和与差的正弦公式1、两角和的正弦公式2、两角差的正弦公式简记：简记：解：练习把下列各式化为一个角的三角函数形式令化 为一个角的三角函数形式提示：技巧方法：“配角”
1.将所要求的角用已知角表示，例如：
2.求相应的三角函数值；
3.代入两角和差的正弦，余弦公式.把下列各式化为一个角的三角函数形式本节课主要学习了：
1.
2.利用公式可以求非特殊角的三角函数值,化简三角函数式和证明三角恒等式.应用公式时要灵活使用，并要注意公式的逆向使用.3.在用已知角来求未知角这类题型时，应注意两点：
（1）凑角，即尽可能用已知角表示未知角，
（2）角的范围，决定符号取正、负的问题.化 为一个角的三角函数形式令4.读书好似爬山，爬得越高，望得越远；读书好似耕耘，汗水流得多，收获越丰满。
——臧克家课件30张PPT。2.3 两角和与差的正切函数1.知识目标：
（1）掌握两角和与差的正切公式的推导 ；
（2）掌握公式的正、逆向及变形运用 ；
（3）正确寻找角之间的关系，选用恰当的公式形式解决问题；
（4）正确运用两角和与差的三角函数公式，进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式证明.
（5）能将简单的几何问题化归为三角函数问题.2.能力目标：培养学生的数学转换能力及分析问题的能力.
3.情感目标：
（1）培养学生利用联系、变化的辨证唯物主义观点去分析问题；
（2）通过教师启发引导、培养学生勇于探索的精神和解决问题的优化意识.
4.重点：公式的推导及运用，培养学生掌握获取知识，运用知识的一系列的数学方法.
5.难点：公式的推导以及运用公式进行化简、求值和证明，学会恰当赋值、逆用公式等技能.1、两角和、差的余弦公式2、两角和、差的正弦公式复习符号规律：左右两边的符号，正弦相同，余弦相反.思考1 如何计算tan75°的值？ 是否太烦了,能否将其公式化呢?思路:1.将正切转化为正余弦:2.化为特殊角:3.原式化为:思考2 大胆猜想:公式的推导:两角和的正切公式：得到：T(α+β)两角和差的正切公式：例题讲解返回小结返回小结技巧方法：返回小结注意：公式的其它变形形式：返回小结归纳：注意公式的变形形式返回小结返回小结技巧方法：返回小结技巧方法：和角公式差角公式返回小结巩固练习11-2提示3：只要把右端展开即可.1、化简：2、求值：(1) 1(2) -1巩固练习21.和差角的三角函数公式；
2.和差角的三角函数公式的变形；
3.注意“1”的代换作用；
4.注意运用“配角”的技巧；
5.记住特殊角的三角函数值，弄清角的取值范围。如例1、例2、例4.点击超链接关键在于要有一颗爱真理的心灵，随时随地碰见真理，就把它吸收进来。
——歌德课件31张PPT。§3 二倍角的三角函数（一）1.知识目标：
（1）能够导出二倍角的正弦、余弦、正切公式；
（2）掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；
（3）能灵活运用公式进行简单三角函数的化简、求值和证明.2.能力目标：能利用各类公式及化归的思想、等价转换的思想、方程和分类讨论的思想方法，解决一些综合问题.
3.情感目标：体会公式所蕴含的和谐美、对称美.
4.教学重点：二倍角公式与和差角公式的内在联系，二倍角的正弦、余弦、正切公式及其变形；
5.教学难点：灵活运用公式进行简单三角函数的化简、求值和证明.sin(a + b ) = sin a cos b cos a sin bsin(a - b ) = sin a cos b cos a sin bcos(a + b ) = cos a cos b sin a sin b cos(a - b ) = cos a cos b sin a sin b -+-+以上公式中a和b可以取任意角.复 习两角和的正切公式 二倍角公式的推导sin 2a = sin(a + a) = sin a cos a + cos a sin a = 2sin a cos acos 2a = cos(a + a)= cos a cos a – sin a sin a= cos2a – sin2atan 2a =tan(a + a)利用 sin2a + cos2a = 1，cos2a 还可变为cos 2a =cos2a – ( 1 - cos2a )= 2cos2a - 1cos 2a = ( 1- sin2a ) - sin2a= 1 - 2sin2a .二倍角公式1.二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题；
2.二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出来的，记忆时可联想相应角的公式.公式的作用：公式的特征与记忆关于公式的几个说明：1.公式S2a和C2b对任意角均成立，对于公式T2a3.注意公式的各种变化，如：4.注意公式的逆用：例2 求下列各式的值： 解：点评：直接运用公式将已知角转化为特殊角求值.已知解：求sin2α, cos2α, tan2α 的值.所以于是因为练习：技巧方法：1.利用平方关系求三角函数值时，一定注意角的取值范围.
2.求正切值时，常常采用商数关系，可以避免讨论符号问题.引申：公式变形：升幂降角公式降幂升角公式1.“切化弦”；
2.“异角化同角”；
3.注意逆用公式及公式的变形应用；
4.拼凑公式的形式，必要时利用诱导公式.技巧方法：技巧方法：三角函数应用题的基本步骤可分为四步：
1.审题：是解题的基础，它包括阅读理解、翻译、挖掘等，通过阅读，真正理解用文字语言表述的实际问题的类型,注意挖掘一些隐含条件.
2.建立数学模型：引进数学符号，将试题中的非数学语言转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系——建立三角函数模型.3.解模：运用三角函数的有关公式进行推理、运算，使问题得到解决.
4.回归实际问题：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学科学，又要符合实际背景，因此，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判.例7 证明：二倍角公式的变通 思考4 1＋sin2α可化为什么？1.判断：错错错1.方法上：学会怎样去发现数学规律，并体会从一般化归为特殊这一基本数学思想在发现中所起的作用.2、知识上：记住二倍角公式.3.公式变形:对一个人来说，所期望的不是别的，而仅仅是他能全力以赴和献身于一种美好事业。 ——爱因斯坦 课件31张PPT。§3 二倍角的三角函数（二）1.知识目标：
（1）能够由倍角公式推导出半角公式；
（2）能较熟练地运用半角公式进行化简、求值、证明,
了解公式的各种变形，并能够熟练应用；
（4）能够运用半角公式解决一些实际问题.2.能力目标：增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力；并培养学生综合分析能力.
3.情感目标：揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.
4.教学重点：半角公式的应用；
5.教学难点：公式的推导及变形.复习2.二倍角公式3.升幂降角公式4.降幂升角公式思考1 单倍角公式的作用在于用单倍角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单倍角的三角函数之间的互化问题，如何用二倍角的三角函数值来表达单角的三角函数？我们就会得到半角公式：又根据正切函数的定义，得到：这样我们就得到另外两个公式：以上我们得到的五个有关半角三角函数的公式，称之为半角公式.公式的作用：1.半角公式的作用在于用单倍角的三角函数来表达半角的三角函数，它适用于单倍角与半角的三角函数之间的互化问题.
2.半角公式是从二倍角公式中，将a用 代替推导出来的，记忆时可联想相应的二倍角公式.公式的特征与记忆关于公式的几个说明：1.正弦和余弦函数的半角公式对任意角均成立，对于正切的半公式例题讲解点评：看清角的取值范围，记住公式的结构形式.引申：公式变形：1.升幂降角公式2.降幂升角公式1.根据角的取值范围，确定三角函数值的符号；
2.找出所求三角函数与已知三角函数的关系，选择相应的公式或公式的变形；
3.注意逆用公式及公式的变形应用；
4.拼凑公式的形式，必要时利用诱导公式.技巧方法：三角恒等式的证明:
(1)从一边开始,证得它等于另一边,一般从繁到简;
(2)左右归一，即证左右两边等于同一个式子;
(3)分析法,从结论出发,推理之后即证一个显然成立的式子或已知条件;
(4)也可证左/右＝1或左－右＝0；
(5)在证明的过程中注意一些技巧的应用:公式逆用,变用;角的变化;常值代换(1=tan45°=sin2x+cos2x);切化弦;
(6)有些问题需要分类给出证明.技巧方法练习：解法1： 解法2： 当你追求幸福时，幸福往往逃避你；但当你逃避幸福，幸福却又常常跟随你。
——海伍德
