课件24张PPT。第一章 数列
§1 数列
1.1 数列的概念1.知识目标：理解数列概念；给出前几项，求通项的分析方法.2.能力目标：学会观察、分析、猜测、归纳；数形结合法的应用；数学归纳法的应用.
3.情感目标：在学习数列概念的过程中，增强学生认识事物的能力，逐步培养学生实事求是、扎实严谨的科学态度.1.阅读课本章头的文字，体会数列的奇妙.2.下面是国际象棋的故事，体会一下学习数列知识的意义.64个格子1223344551867768OK1567834264个格子你认为国王有能力满足上述要求吗 每个格子里的麦粒数都是前一个格子里麦粒数的2倍,且共有64格子麦粒总数？??18446744073709551615（1）一个工厂把所生产的钢管堆成下图的形状.从最上面的一排起，各排钢管的数量依次是数列的概念请看下面几个例子（2）GDP为国内生产总值.分析各年GDP数据，找出增长规律，是国家制定国民经济发展计划的重要依据.根据中华人民共和国2002年国民经济和社会发展统计公报，我国（1998-2002年)这五年GDP值（亿元）依次排列如下：78 345,82 067,89 442,95 933,102 398.3,4,5,6,7,8,9.①②（3）“人口问题”是我国最大的社会问题之一，对人口数量的估计和发展趋势的预测是我们制定一系列相关政策的基础.新中国成立后，我国已进行了五次全国人口普查，历次全国人口普查公报数据资料见下表：五次普查人口数量（百万）依次排列为：601.93,723.07,1031.88,1160.02,1295.33③（4）正弦函数y=sinx的图像在y轴左侧所有最低点从右向左，它们的横坐标依次排成一列数（5）正奇数1,3,5,7，…的倒数排成一列数（6）某人2006年1-12月工资，按月顺序排列为2 100,2 100,2 100， …，2 100⑤④⑥思考：由上面几个例子，你是否能归纳出数列的定义呢？ 一般地，按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项.数列一般形式可以写成简记为数列 ，其中数列的第1项 也称首项； 是数列的第n项，也叫数列的通项.如数列⑤中，首项 ；第10项 ；第n项（通项） . 像数列①，②，③，⑥这样的项数有限的数列，称为有穷数列；像数列④，⑤这样的项数无限的数列，称为无穷数列.数列的通项概念 数列⑤中，每一项的序号n与这一项 有下面的
对应关系： 可以看出，这个数列的每一项的序号n与这一项 的对应关系可用如下公式表示： 这样，只要依次用序号1,2,3，…代替公式中的n，就可以求出该数列相应的项. 实际上，对任意数列 ，其每一项的序号与该项都有对应关系，见下表. 因此数列也可以看作定义域为正整数集N+(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.例如，数列①的一个通项公式是数列④的一个通项公式是 如果数列 的第n项 与n之间的函数关系可以用一个式子表示成 ，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.思考:是否所有的数列都能写出通项公式，知道数列的通项公式有什么好处呢？ 根据通项公式我们可以求出数列的所有项，有时为了研究数列的性质，我们需要写出数列的通项公式，下面看两个例子.例1 根据下面的通项公式，分别写出数列的前5项.解 （1）在通项公式中依次取n=1,2,3,4,5,得到数列 的前5项为（2）在通项公式中依次取n=1,2,3,4,5,得到数列 的前5项为例2 写出下面数列的一个通项公式.
（1）3,5,7,9，… （2）1,2,4,8，…
（3）9,99,999,9 999，…解 （1）观察知，这个数列的前4项都是序号的2倍加1，所以它的一个通项公式为（2）这个数列的前4项可以写成20,21,22,23，所以它的一个通项公式为（3）这个数列的前4项可以写成10-1,100-1,1000-1,
10000-1，所以它的一个通项公式为BAC本节课主要学习了：
1.数列的概念（注意与函数、集合进行比较);
2.数列通项公式的求法（观察分析法）.做事，不是人家要我做才做，而是人家没要我做也争着去做。这样才做得有趣味，也就会有收获。 ——谢觉哉 课件23张PPT。1.2 数列的函数特性1.知识目标：理解递增、递减、常数列概念；会判断数列的增减性；理解利用解析式、表格、图像表示数列的异同.2.能力目标：学会观察、分析、猜测、归纳，数形结合法的应用.
3.情感目标：在学习数列函数特性的过程中，增强学生认识事物的能力，逐步培养学生实事求是、扎实严谨的科学态度.1.数列的概念是什么.2.数列的通项公式的含义是什么. 由上节课的学习我们知道数列可以看作定义域为正整数集N+(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列. 而数列的通项公式就类似于函数的解析式，因此研究数列的性质我们就可以借助数列的通项公式，而且数列的表示形式也和函数一样，有多种表示方法，下面来看几个例子. 新中国成立后，我国1952～1994年间部分年份进出口贸易总额（亿美元）数据排成一数列：数列的函数特性请看下面例子19.4,31.0,42.5,45.9,147.5,381.4,696.0,1 154.4,2 367.3. 由上图可以看出我国1952～1994年部分年份，各时期进出口贸易总额的增长变化情况.贸易总额/亿美元年份/年我们可以把一个数列用图像来表示：图1是数列①：3,4,5,6,7,8,9的图像.O 2 4 6 n图2是数列⑤： 的图像.图3是数列⑥：2100,2100,2100,…，2100的图像.思考:通过这几个例子你是否发现用图像来表示数列的好处. 从图中可以看出，数列①的函数图像上升，称这样的数列为递增数列；数列⑤的函数图像下降，称这样的数列为递减数列；数列⑥称为常数列.思考：你是否能归纳一下递增数列、递减数列、常数列的概念呢？ 一般地，一个数列{an}，如果从第2项起,每一项都大于它前面的一项，即an+1> an,那么这个数列叫作递增数列. 如果从第2项起,每一项都小于它前面的一项，即an+1
1.递增数列、递减数列、常数列.
2.判断数列增减性的方法.
3.数列是一类定义域为正整数集的特殊函数，它也可以用图像、表格表示.作家当然必须挣钱才能生活，写作，但是他
决不应该为了挣钱而生活，写作。
——马克思 课件23张PPT。§2 等差数列
2.1 等差数列
第1课时 等差数列1.知识目标：通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题.2.能力目标：让学生对日常生活中的实际问题进行分析，引导学生通过观察、推导、归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型，用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作.
3.情感目标：培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识.在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷彗星：（1）1682，1758，1834，1910，1986，（ ）2062相差76你能预测出下一次的大致时间吗？通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的温度.8844.43米9-24(2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24.减少6.5这就是我们今天所要研究的特殊数列—等差数列.
下面我们再看几个例子，考察等差数列的共同特征. （2）全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码（表示以cm为单位的鞋底的长度）由大至小可排列为
25,24.5,24,23.5,23,22.5,22,21.5,21, ②
这种尺码的排列有何规律？（3）蓝白两种颜色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，前3个图案中白色地面砖的块数依次为多少？研究上述数列的特征及变化规律，可以发现:等差数列的概念对于（1）中数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都是2；对于（2）中数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都是-0.5；对于(3)中数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都是4；抽象概括这三个数列具有共同的特征： 从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数.我们称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示.由此定义可知，对等差数列 ，有 因此，数列①的公差d=2；数列②的公差d=-0.5；数列③的公差d=4.思考1：当公差d=0时，{an}是什么数列？思考2：将有穷等差数列{an}的所有项倒序排列，所成数列仍是等差数列吗？如果是，公差是什么？如果不是，请说明理由.由n的任意性知，这个数列是等差数列.例1 判断下面数列是否为等差数列.解 （1） 由通项知，该数列为
1,3,5,7，…－１，１，－１，１，…注意：可见判断一个数列是否为等差数列可以利用定义，即判断an+1-an是否始终是同一常数．等差数列的通项公式解 根据等差数列的定义，我们知道，这个数列开头几项应该是： 因此，我们就可以归纳出一个规律：第ｎ项等于第１项加上公差的(n-1)倍（n≥2）,即因此，它就是所求的通项公式. 如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，那么根据等差数列的定义得到当 时 所以，这个公式对于n=1时也成立.这就是说：若首项是a1，公差是d,则这个等差数列的通项公式是思考1：是否还有其他推导等差数列通项公式an的方法.提示：例3 （1）求等差数列9,5,1,…的第10项；
（2）已知等差数列{an}，an=4n-3,求首项a1和公差d.所以等差数列{an}的首项a1=1，公差d=4. 例4 已知在等差数列{an}中， a5=-20, a20=-35,试求出数列的通项公式.可得一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解这个方程组得故数列{an} 的通项公式为思考2：若数列通项an=pn+q(p,q为常数)， 问{an}是否一定是等差数列？如果是，其首项和公差是什么？分析：是1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，-3a-5，-10a-1，
则a 等于（ ）
A. 1 B. -1 C. D.(-3a-5 )-(a-6)=(-10a-1) -(-3a-5 )提示：2. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10= .提示：d=an+1- an=-4-35A300< 83+5×（n-1）<5003. 在等差数列{an}中a1=83，a4=98，则这个数列有
多少项在300到500之间？ 提示：n=45，46，…，84所以共有40项在300到500之间1.等差数列的概念：从第2项起，每一项与前一项的差是同一常数. 2.等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d知道其中三个字母变量，可用列方程的方法，求余下的一个变量.3.等差数列通项公式an 的推导方法(归纳法，迭代法，叠加法）及简单应用.最困难的事情就是认识自己。 ——希腊 课件21张PPT。第2课时 等差数列的性质1.知识目标：通过函数图像，探究并理解等差数列的函数实质及简单性质；能在具体的问题情境中，利用等差数列的性质解决相应的问题.2.能力目标：引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的性质；由学生建立等差数列模型，用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列性质应用的实践操作.
3.情感目标：培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识.思考1：等差数列的概念.思考2：等差数列的通项公式. 我们知道数列是一类特殊的函数，那么等差数列也应是一类特殊的函数，那么等差数列有没有其独特的性质呢？下面我们来进行探究.等差数列的函数实质我们知道可知等差数列{an}图像是直线上的一些等间隔的点，因此它与一次函数有关系.思考1：由等差数列的通项公式，我们可以发现等差数列与什么函数有关系？ 这些等间隔的点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d.当d>0时，{an}为递增数列（见下图）.当d<0时，{an}为递减数列（见下图）.当d=0时，{an}为常数列（见下图）.解 （1）由于（1,1），（3,5）是等差数列{an}图像上的两点，所以例5 已知（1,1），（3,5）是等差数列{an}图像上的两点.（1）求这个数列的通项公式；（2）画出这个数列的图像；（3）判断这个数列的单调性.（2）图像是直线y=2x-1上一些等间隔的点，如下图所示. 如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项. 如果A是a与b的等差中项，那么A-a=b-A,所以 容易看出，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.等差数列的性质思考1：等差数列的公差可以有几种算法？思考2：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.你能得到上述结论吗？ 例6 一个木制梯形架的上、下两底边分别为33cm，75cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各对应分点，构成梯形架的各级.试计算梯形架中间各级的宽度. 解 记梯形架自上而下各级宽度所构成的数列为{an}，则由梯形中位线的性质，易知每相邻三项均成等差数列，从而{an}成等差数列.依题意有 答 梯形架中间各级的宽度自上而下依次是40cm，47cm,54cm,61cm,68cm.1.等差数列的图像是直线上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜率.
当d>0时，{an}为递增数列；
当d<0时，{an}为递减数列；
当d=0时，{an}为常数列.(2)在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.2.等差数列的几个简单性质.最大限度的诚实是最好的处事之道。 课件21张PPT。2.2 等差数列的前n项和
第1课时 等差数列的前n项和1.知识目标：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题．2.能力目标：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，提高学生的思维水平.
3.情感目标：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美.体会模仿与创新的重要性.使学生获得发现的成就感，优化思维品质，提高数学的推理能力． 高斯上小学时，有一次数学老师给同学们出了一道题：计算从1到100的自然数之和.那个老师认为，这些孩子算这道题目需要很长时间，所以他一写完题目，就坐到一边看书去了.谁知，他刚坐下，马上就有一个学生举手说:“老师，我做完了.”老师大吃一惊，原来是班上年纪最小的高斯.老师走到他身边，只见他在笔记本上写着5050，老师看了，不由得暗自称赞.为了鼓励他，老师买了一本数学书送给他.思考：现在如果要你算，你能否用简便的方法来算出它的值呢？100 ＋99＋98＋ …＋2 ＋1 有200根相同的圆木料，要把它们堆成正三角形垛，并使剩余的圆木料尽可能少，那么将剩余多少根圆木料？ 根据题意，各层圆木料数比上一层多一根，故其构成等差数列：1,2,3，…等差数列的前n项和公式 设共摆放了n层，能构成正三角形垛的圆木料数为Sn,则 这是一个等差数列的求和问题，如何计算该等差数列的和呢？而高斯计算的就是当n=100时的和.可见日常生活中经常会遇到这样的求和问题，你能从高斯解决这个问题的过程中悟出求一般等差数列前n项和的方法吗？抽象概括设Sn是等差数列{an}的前n项和，即根据等差数列{an}的通项公式，上式可以写成①再把项的次序反过来，Sn又可以写成②把①， ②等号两边分别相加，得（共n个）于是，首项为a1,末项为an,项数为n的等差数列的前n项和③ 这个公式表明：等差数列前n项的和等于首末两项的和与项数乘积的一半，参见下图.将an=a1+(n-1)d代入③式，得④对于本节开头的问题，即转化为求满足的最大自然数n.易知当n=19时，Sn=190;n=20时，Sn=210.所以n的最大值为19.此时，将堆垛19层，剩余10根圆木料.解 由等差数列前n项和公式，得例7 求前n个正奇数的和. 例8 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈.请问： （1）第9圈共有多少块石板？
（2）前9圈一共有多少块石板？ 解 （1）设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{an},由题意可知{an}是等差数列，其中a1=9，d=9,n=9.由等差数列的通项公式，得第9圈有石板（2）由等差数列的前n项和公式，得前9圈一共有石板答 第9圈有81块石板，前9圈一共有405块石板. 例10 在新城大道一侧A处，运来20棵新树苗.一名工人从A处起沿大道一侧路边每隔10m栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵.要栽完这20棵树苗，并返回A处.植树工人共走了多少路程?解 植树工人每种一棵树并返回A处所要走的路程（单位：m)组成了一个数列0,20,40,60，…，380，这是首项为0，公差为20，项数为20的等差数列，其和答 植树工人共走了3 800m路程. 例11 九江抗洪指挥部接到预报，24h后有一洪峰到达.为确保安全，指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，需调用20台同型号翻斗车，平均每辆工作24h后方可筑成第二道防线.但目前只有一辆车投入施工，其余的需从昌九高速公路沿线抽调，每隔20min能有一辆车到达，指挥部最多可调集25辆车，那么在24h内能否构筑成第二道防线？ 解 从第一辆车投入工作算起，各车工作时间（单位：h)依次设为： 25辆车可以完成的工作量为： 需要完成的工作量为 24×20=480. 因此，在24h内能构筑成第二道防线.1. 根据下列条件，求相应的等差数列{an}的前n项和Sn.2.一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支. 这个V形架上共放着多少支铅笔？解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔数组成等差数列，记为答：V形架上共放着7 260支铅笔.1.回顾从特殊到一般的研究方法;
2.倒序相加的算法及数形结合的数学思想;
3.掌握等差数列的两个求和公式及简单应用，及函数与方程的思想.祖国如有难，汝应作前锋。 ——陈毅 课件21张PPT。第2课时 等差数列习题课1.知识目标：探究并掌握等差数列前n项和与二次函数的关系；会用数列的前n项和公式求通项公式；会利用相应的公式和性质解决一些综合性的问题．2.能力目标：通过对典型问题的探索、发现，在知识的发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、类比、分析、综合和逻辑推理能力.
3.情感目标：通过生动具体的实际问题，激发学生求知的欲望和探究的热情，树立学生求知的勇气和自信，体验发现问题、解决问题的科学方法.等差数列的前n项和公式：等差数列的通项公式：等差数列的性质等差数列的前n项和与二次函数的关系 这样，我们可以把Sn看成以n为自变量的特殊的二次函数，因此我们可以用二次函数的方法来研究Sn.例1 在等差数列{an}中，解：在等差数列{an}中另解：在等差数列{an}中，例2 已知数列前n项和Sn=n2+2.解：（1）a1=1+2=3，
由S2=4+2,得a1+a2=6，所以a2=3，同理可得a3=5.
a1,a2,a3分别为3,3,5（3） 数列{an}不是等差数列.（2）当n=1时，a1=S1=3.
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+2-(n-1)2-2=2n-1.等差数列基本量的计算 与等差数列有关的基本运算一般是求数列中某一项或几项的值的问题，通常利用数列的通项公式或数列的前n项和公式列出方程组，求出a1、d或者根据已知条件进行简单代换．答案：15例3 设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.等差数列的性质A例5 等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝5，a7＋a8＋a9＝10，则
a4＋a5＋a6＝________.等差数列的判断或证明1. 求集合M={m|m=7n，n∈N+，且m<100}的元素个数，则这些元素的和为 . 7352. 一个等差数列的前10项的和为100，前100项的和为10，它的前110项的和为 .-1103. 在等差数列{an}中，a5+a10+a15+a20 =20，则S24= . 1201.等差数列的前n项和与二次函数的关系；
3.等差数列基本量的计算；
4.等差数列的性质；
5.等差数列的判断或证明.自然赐给了我们知识的种子，而不是知识的本身。 ——寒涅卡 课件25张PPT。§3 等比数列
3.1 等比数列
第1课时 等比数列1.知识目标：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系并能用有关知识解决相应的问题.2.能力目标：让学生对日常生活中的实际问题进行分析，引导学生通过观察，推导，归纳，抽象出等比数列的概念；由学生建立等比数列模型，用相关知识解决一些简单的问题，进行等比数列通项公式应用的实践操作.
3.情感目标：培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识. 给你一张足够大的纸，假设其厚度为0.1毫米，那么当你把这张纸对折了51次的时候，所达到的厚度有多少？猜一猜： 把一张纸折叠51次，得到的大约是地球与太阳之间的距离！庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思是“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完” .如果将“一尺之棰”视为一份，
则每日剩下的部分依次为：这就是我们今天所要研究的特殊数列——等比数列.下面我们再看几个例子，考察等比数列的共同特征. （1）你吃过拉面吗？拉面馆的师傅将一根很粗的面条，拉伸、捏合、再拉伸、捏合，如此反复几次，就拉成了许多根细面条.
这样捏合8次后可拉出多少根细面条？ 第1次是1根，后面每次捏合都将1根变为2根，故有
第2次捏合成 根；
第3次捏合成 根；
……
第8次捏合成 根.思考：一位拉面高手能用一块面连续拉出10多万根面条，你知道他需要捏合，拉伸多少次吗？前8次捏合成的面条根数构成一个数列
1,2,4,8,16,32,64,128. ①对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都是2. （2）星火化工厂今年产值为a万元，计划在今后5年中每年比上年产值增长10％，试列出从今年起6年的产值（单位：万元）.第1年产值：a;
第2年产值：a+a×10﹪=a(1+10﹪);
第3年产值： a(1+10﹪)+ a(1+10﹪) ×10﹪=
……
第6年产值：故这6年的产值构成一个数列：对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的比都是1+10%.研究上述数列的特征及变化规律，可以发现什么？等比数列的概念 可以看出数列①，②有如下的共同特征：从第2项起，每一项与前一项的比都是与项数n无关的常数. 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数.那么这个数列叫作等比数列，称这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0).由此定义可知，对等比数列 ，有等比数列定义： 因此，数列①的公比q=2；数列②的公比q=1+10%；思考1：当公比q=1时，{an}是什么数列？思考2：将有穷等比数列{an}的所有项倒序排列，所成数列仍是等比数列吗？如果是，公比是什么？如果不是，请说明理由.例1 以下数列中，哪些是等比数列？解: （1）是等比数列，公比q=（2）是公比为1的等比数列； （3）因为 所以该数列不是等比数列； （4）当a≠0时，这个数列为公比为a的等比数列；当a=0时，它不是等比数列.等比数列的通项公式 已经知道了一个数列是等比数列，并且知道它的第一项 和公比q,怎样写出它的通项公式？设这个等比数列是由等比数列的定义可以知道：从而，由此可归纳出在这个公式里，如果令n=1,那么 由此可知， 也可以用这个公式来表示，所以这个公式就是所要求的通项公式，这就是说：首项为 ，公比为q 的等比数列的通项公式是 例2 一个等比数列的首项是2，第2项与第3项的和是12，求它的第8项的值. 解 设等比数列的首项为 ，公比为q,则由已知，得②①将①式代入②式，得解得 q =-3或q =2.故数列的第8项是-4 374或256.1.填空
（１）某种细菌在培养过程中，每半个小时分裂一次（一个分裂为两个），经过４小时，这种细菌由一个可繁殖成_______个.（2）已知等比数列的通项公式 ，则首项为_______公比为_______.25610解：(1)方法1：由a4＝a1·q3得27＝a1· (－3)3，得
a1＝－1，∴a7＝a1·q6＝(－1)·(－3)6＝－729.2.在等比数列{an}中：
(1)若a4＝27，q＝-3，求a7；
(2)若a2＝18，a4＝8，求a1与q；
(3)若a5-a1＝15，a4-a2＝6，求a3.方法2：∵a7＝a1q6，a4＝a1q3，
∴a7＝a4·q3＝27·(－3)3＝－729.1.等比数列的概念:从第2项起，每一项与它的前一项的比是同一常数. 2.等比数列的通项公式an = a1qn-1 （a1≠0，q ≠0 ）知道其中三个字母变量，可用列方程的方法，求余下的一个变量.3.等比数列通项公式an 的推导方法及简单应用.自己把自己说服了，是一种理智的胜利；自己把自己感动了，是一种心灵的升华；自己把自己征服了，是一种人生的成功。课件26张PPT。第2课时 等比数列的性质1.知识目标：灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法.2.能力目标：通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识.
3.情感目标：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣.思考1：等比数列的概念.思考2：等比数列的通项公式. 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0).等比数列的单调性 根据指数函数的单调性，分析等比数列an=a1qn-1（q>0）的单调性，填写下表.非增非减非增非减增增减减等比数列的判定与证明例3 在各项为负数的数列{an}中，已知2an=3an+1,且
a2·a5= .
（1）求证：{an}是等比数列，并求出通项；
（2）试问 是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由.等比数列的实际应用 例4 据报载，中美洲地区毁林严重.据统计，在20
世纪80年代末，每时平均毁林约48hm2,森林面积每年以
3.6％～3.9％的速度减少，迄今被毁面积已达1.3×107hm2,
目前还剩1.9×107hm2.请你回答以下几个问题： （1）如果以每时平均毁林约48hm2计算，剩下的森林经过多少年将被毁尽？
（2）根据（1）计算的年数n，如果以每年3.6％～3.9％的速度减少，计算n年后的毁林情况；
（3）若按3.6％的速度减少，估算经过150年后、经过200年后、经过250年后及经过300年后森林面积的情况，经过多少年森林将被毁尽?（2） 若以3.6％的速度减少，用计算器计算45年后还剩的森林面积为：
1.9×107×（1-0.036）45≈3.65×106(hm2);若以3.9％的速度减少，45年后还剩森林面积为：1.9×107×（1-0.039）45≈3.17×106(hm2).（3）经过150年后,还剩约7.77×104hm2;经过200年后,约剩1.24×104hm2;经过250年后,约剩1986hm2;经过300年后,约剩317hm2;经过512年后，约剩0.134hm2，森林几乎毁尽.等比中项 与等差中项的概念类似，如果在a与b中插入一个数G，
使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，
， G2=ab ,G＝± (ab>0)，我们称G为a，b的等
比中项.
在等比数列中，首末两项除外，每一项都是它前后两
项的等比中项．注意：关于等比数列中项的理解应注意体会以下几点：
(1)在a、b同号时，a、b的等比中项有两个； a、b异号时，
没有等比中项；
(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末
项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项；
(3)“a、G、b成等比数列”等价于G 2＝ab(ab>0) ，可以用
它来判断或证明三数成等比数列．
同时还要注意到“a、G、b成等比数列”与“G＝ ”是不
等价的．等比数列的性质设{an}是公比为q的等比数列，那么
(1)an＝am·qn－m；
(2)如果m，n，p，q∈N+，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq(反之不一定成立，例如常数列)．特别地，当m＋n＝2p时，有am·an＝________；
在有穷等比数列中，与首末两项等距离的二项的积等于首末两项的积；(3)等比数列中每隔一定项取出一项按原来顺序排列构成的数列仍为等比数列．例如am，a2m，a3m也成等比数列；
(4){λan}(λ≠0)，{|an|}皆为等比数列，公比分别为________；
(5)若{an}和{bn}分别是公比为q和p的等比数列，则数列{an·bn}，{ }仍是等比数列，它们的公比分别为
________.例5：(1)已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于________．
(2)等比数列{an}中，若a9＝－2，则此数列前17项之积为________．
(3)在等比数列中，若a1＝1，a5＝10，则a9＝________.
(4)在等比数列{an}中，a3·a4·a5＝3，a6·a7·a8＝24，则a9·a10·a11的值是________．(2)由题意得a1a2a3…a15a16a17
＝(a1a17)·(a2a16)·(a3a15)…a9
＝a9·a9·…·a9＝a917＝(－2)17＝－217.答案：(1)5 (2)－217 (3)100 (4)192-1458630480或-30⒈在等比数列{an}中，a2=-2,a5=54，a8= .
⒉在等比数列{an}中，an＞0，a2 a4+2a3a5+a4a6=36,
那么a3+a5= _ .
⒊在等比数列{an}中， a15 =10, a45=90,则
a30 =__________.
⒋在等比数列{an}中，a1+a2 =30, a3+a4 =120,
则a5+a6=_____.5.在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，求a10的值.分析：利用等比数列的性质，若m＋n＝k＋l，则aman＝akal来解决．评析：本题若把条件表示为a1、q的形式亦可解决，但运算步骤较麻烦，因此解题时要合理选择方法．1.等比数列的单调性；
2.等比数列的判定与证明；
3.等比数列的实际应用；
4.等比中项；
5.等比数列的简单性质.自安于弱，而终于弱矣；自安于遇，而终于愚矣 ——吕祖谦 课件17张PPT。 3.2 等比数列的前n项和
第1课时 等比数列的前n项和1.掌握等比数列的前n项和公式，并用公式解决实际问题.
2.由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和
公式.
3.从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”的
策略方法.明总：在一个月中，我第一天给你一万，以后每天比前一天多给你一万元.林总：我第一天还你一分钱，以后每天还的钱是前一天的两倍.林总：哈哈！这么多钱！我可赚大了，我要是订了两个月、三个月那该多好啊！果真如此吗?请你们帮林总分析一下这份合同是否能签？想一想：①②错位相减法你们还有什么方法？想一想：明总：这是我做的最成功的一笔生意！nnnnnn-1问题2：①②30229222n-122922230n302n2302303022302①②问题3：你会求等比数列 的前n项和吗？例1: 例2: 五洲电扇厂去年实现利税300万元，计划在以后5年中
每年比上年利税增长10%.问从今年起第5年的利税是
多少？这5年的总利税是多少（结果精确到万元）？解：每年的利税组成一个首项a1=300，公比
q=1+10%的等比数列.从今年起，第5年的利税为这5年的总利税为 1.本节课主要学习了等比数列的前n项和公式
及其简单应用. 2.本节课用到了由特殊到一般的思想、错位相减法、分类讨论思想、方程思想等.装饰对于德行也同样是格格不入的，因为德行是灵魂的力量和生气。 ——卢梭 课件12张PPT。第2课时 等比数列习题课1.能利用等比数列的前n项和公式解决实际问题.
2.体会数学建模的思想.等比数列前n项和公式答：这个热气球上升的高度不可能超过125m.1. 等比数列1，2，4，8，…从第5项到第10项的和为_____.10081.能利用等比数列的前n项和公式解决实际问题.
2.学会数学建模的过程.智者不只发现机会，更要创造机会。——培根 课件21张PPT。§4 数列在日常经济生活中的应用 1.了解银行存款的种类及存款计息方式；
2.体会“零存整取”、“定期自动转存”等日常经济生活中的实际问题；
3.了解“教育储蓄”. 等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型.例如存款、贷款、购物（房、车）分期付款、保险、资产折旧等问题都与其相关.
以银行存款为例，它是老百姓日常生活中最基本的经济活动.银行存款计息方式有两种：单利和复利，它们分别以等差数列和等比数列为数学模型.下面分别举例说明.单利 单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为
利息=本金×利率×存期
以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金与利息和(以下简称本利和),则有
S=P(1+nr).复利 把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是
S=P(1+r)n .例1.零存整取模型 银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税).(1)若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,试推导出到期整取时本利和的公式；(2)若每月初存入500元,月利率为0.3%,到第36个月末整取时的本利和是多少?(3)若每月初存入一定金额,月利率是0.3%,希望到第12个月末整取时取得本利和2 000元.那么每月初应存入的金额是多少?分析：零存整取储蓄业务规定每次存入的钱不计复利，即按单利计息：利息=本金×利率×存期解：（1）根据题意,第1个月存入的x元,到期利息为x?r?n元;
第2个月存入的x元,到期利息为x?r?（n-1）元……
第n个月存入的x元,到期利息为xr元.不难看出,这是一个等差数列求和的问题.各月利息之和为而本金为nx元,这样就得到本利和公式①（2）每月存入500元,月利率为0.3﹪,根据①式,本利和为（3）依题意,在①式中,y=2 000，r=0.3%,n=12,
答：每月应存入163.48元.例2.定期自动转存模型 银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如,储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后,如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务,第2年的本金就是第1年的本利和.按照定期存款自动转存的储蓄业务(暂不考虑利息税),我们来讨论以下问题:(1)如果储户存入定期为1年的P元存款,定期年利率为r,连存n年后,再取出本利和.试求出储户n年后所得本利和的公式;(2)如果存入1万元定期存款,存期为1年,年利率为2.79%,那么5年后共得本利和多少万元(精确到0.001)?解：（1）记n年后得到的本利和为an,根据题意，第1年
存入的本金P元，1年后到期利息为P·r,1年后本利和为
a1=P+P·r=P(1+r)(元);
2年后到期利息为P(1+r)r元，2年后本利和为
a2=P(1+r)+P(1+r)r=P(1+r)2(元);
……各年的本利和是一个以a1=P(1+r)为首项，公比q=1+r的等比
数列{an},故n年后到期的本利和
an=a1qn-1
=P(1+r)(1+r)n-1
=P(1+r)n(元)（复利公式）.(2)根据上式，5年后本利和为
a5=1×(1+0.027 9)5
≈1.148(万元).
答：5年后得本利和约为1.148万元.分期付款的有关规定1.分期付款分若干次付款,每次付款额相同,各次付款的时间间隔相同.
2.分期付款中双方的每月(年)利息均按复利计算,即上月(年)的利息要计入本金.
3.各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息和,等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和,这在市场经济中是相对公平的.例3.分期付款模型 小华准备购买一台售价为5 000元的电脑,采用分期付款方式,并在一年内将款全部付清.商场提出的付款方式为:购买后2个月第1次付款,再过2个月第2次付款……购买后12个月第6次付款,每次付款金额相同,约定月利率为0.8%,每月利息按复利计算.求小华每期付的金额是多少?分析1:考虑小华每次还款后,还欠商场的金额.解：设小华每期还款x元,第k个月末还款后的本利欠款
数为Ak元,则由题意年底还清,所以解得:答:小华每期付款的金额为880.8元.分析2:小华在12月中共付款6次,它们在12个月后的本利和的累加与一年后付款总额相等.解:设小华每期还款 元,则购买2个月后第1次付款 元,此 元到10个月后
本利和为 元.购买4个月后第2次付款 元,此 元到8个月后
本利和为 元.购买12个月后第6次付款 元,此 元当月的
本利和为 元.…又小华一年后应还给商场的总金额增值为:答：小华每期付款的金额为880.8元.“教育储蓄”,是一种零存整取的定期储蓄存款方式,是国家为了鼓励城乡居民以储蓄存款方式,为子女接受非义务教育积蓄资金,从而促进教育事业发展而开办的.某同学依教育储蓄方式从2004年11月1日开始,每月按时存入250元,连续存6年,月利率为0.3﹪.到期一次可支取本利共多少元?解：由例3到期一次可支取本利和公式可知
答：到期一次可支取本利和共为20 118.6元.通过本节的学习：
1.了解银行存款的种类及存款计息方式；
2.体会“零存整取”、“定期自动转存”等日常经济生活中的实际问题；
3.了解 “教育储蓄”.
4.学会计算单利、复利、分期付款等常见的几种类型.智慧的可靠标志就是能够在平凡中发现奇迹。 ——爱默生