课件21张PPT。 §1 正弦定理与余弦定理
1.1 正弦定理第二章 解三角形1.掌握正弦定理的表示形式及证明正弦定理的向量方法.
2.学会运用正弦定理解决两类基本的解三角形问题.
三角形的边与角之间有什么数量关系呢？我们分别用a,b,c表示 的边BC，CA，AB，用A，B，C表示 .下面我们先从特殊的三角形开始研究.这个优美的关系对等边三角形无疑也成立，对其他的三角形是否成立呢？直角三角形ABC中,C=90o，如图.则有
因为向量 与 在y轴上的射影均为 ， 如图所示，以A为原点，以射线AB的方向为x轴正方向建立直角坐标系，C点在y轴上的射影为C1，即
所以
同理，所以 由上面证明过程可以看出，若Ａ为锐角或直角，也可以得到同样的结论.变式:正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
分析：将BD,CE分别延长相交于一点A，在△ABC中，已知BC的长及角B与C，可以通过正弦定理求AB，AC的长. 例1 某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩，其一角已破损.现测得如下数据：BC=2.57cm，CE=3.57cm，BD=4.38cm, .为了复原,请计算原
玉佩两边的长（结果精确到0.01cm）. 解：将BD,CE分别延长相交于一点A，在△ABC中，BC=2.57cm,B=45°,C=120°,
A=180°-(B+C)=180°-(45°+120°)=15°.
因为 ,所以
利用计算器算得
AC≈7.02(cm),
同理：AB≈8.60(cm).答：原玉佩两边的长分别约为7.02cm,8.60cm.例2 台风中心位于某市正东方向300km处，正以40km/h的速度向西北方向移动，距离台风中心250km范围内将会受其影响.如果台风风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响？这种影响持续多长时间（结果精确到0.1h）?分析：如图所示，台风沿着BD运动时，
由于|AB|=300km>250km，所以开始台风影响不了城市A，由点A到台风移动路径BD最小距离|AE|=|AB|·sin45°
所以台风在运动过程中肯定要影响城市A.这就要在BD上求影响A的始点C1和终点C2，然后根据台风的速度计算台风从C1到C2持续的时间.解：设台风中心从点B向西北方向沿射线BD移动，该市位于点B正西方向300km处的点A.
假设经过th，台风中心到达点C，则在△ABC中，AB=300km，AC=250km,BC=40tkm,B=45°.问题1 由例2我们发现，已知两边和其中一边的对角，解三角形时会出现两解的情况.还会出现其他情况吗？你能从代数或几何角度给出解释吗？bCO如图，在Rt △ABC中，斜边AB是△ABC外接圆的直径（设Ｒt△ABC外接圆的半径为R），因此AB这个结论对于任意三角形是否成立？成立问题2问题3（2）在 中，若 ，则 是( )
（A）.等腰三角形 (B).等腰直角三角形
（C）.直角三角形 （D).等边三有形（1）在 中，一定成立的等式是（ ） CD(4) 在 中，c=4,a=2,C= ,则 = ______（3） 若A,B,C是△ABC的三个内角，
则sinA+sinB__________sinC.>通过本节课的学习:
1.掌握正弦定理的表示形式及证明正弦定理的向量方法.
2.学会运用正弦定理解决两类基本的解三角形问题.
（1）已知两角及一边；
（2）已知两边和其中一边的对角.只有忠实于事实，才能忠实于真理。
——周恩来 课件20张PPT。 1.2 余弦定理1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量
方法.
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.运用正弦定理能解怎样的三角形？ 运用正弦定理能解怎样的三角形？ ①已知三角形的任意两角及其一边；
②已知三角形的任意两边和其中一边的对角. 那么，已知两边及其夹角，怎么求出此角的对边呢？已知三条边，又怎么求出它的三个角？ 如果已知三角形的两边及其夹角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.
从量化的角度来看，如何从已知的两边和它们的夹角求三角形的另一边和两个角呢？如图，在△ABC中，设BC=a, AC=b, AB=c.
已知a, b和∠C，求边c？ 如图，已知三角形两边和它们的夹角，求三角形的另一边？联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用向量来研究这一问题. BCAbac如图，在△ABC中，设BC=a, AC=b, AB=c.
已知a, b和∠C，求边c？ 余弦定理： 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即推论：余弦定理及其推论的基本作用是什么？作用:
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其他角. 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？余弦定理是勾股定理的推广，
勾股定理是余弦定理的特例.例1：如图所示，有两条直线AB和CD相交成80°角，交点是Ｏ.甲、乙两人同时从点Ｏ分别沿OA,OC方向出发，速度分别是4km/h,4.5km/h.3小时后两人相距多远（结果精确到0.1km）?分析：经过3小时，甲到达点P，OP=4×3=12(km),乙到达点Q，OQ=4.5×3=13.5(km).问题转化为在△OPQ中，已知OP=12km，OQ=13.5km,∠POQ=80°，求PQ的长. 解： 经过3小时后，甲到达点P，OP=4×3=12（km）,乙到达点Q，OQ=4.5×3=13.5(km).答：3小时后两人相距约16.4km.提示：由余弦定理得提示：解：∵三角形的三边之比为3:5:7，所以可以设三边分别为3a,5a,7a.由正弦定理可得，7a所对的角最大,设所对的角为A，则由余弦定理可得：答：这个三角形的最大角为120°.1. 余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
2. 余弦定理的应用范围：
①已知三边求三角；
②已知两边及它们的夹角，求第三边.真正的真诚必然伴随着平等，平等是友爱的惟一可靠的基础，而友爱又给平等增添更美丽的光彩。 —— 葛德文 课件14张PPT。§2 三角形中的几何计算1.能够正确运用正弦定理、余弦定理等知识、方法解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题.
2. 通过对全章知识的总结提高，系统深入地掌握本章知识及典型问题的解决方法.知识结构图例1：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长.求解三角形中的几何计算问题时，要首先确定与未知量之间相关联的量，把所要求的问题转化为由已知条件可直接求解的量上来. 1.能够正确运用正弦定理、余弦定理等知识、方法解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题.
2. 通过对全章知识的总结提高，应系统深入地掌握本章知识及典型问题的解决方法.知足常足，终身不辱；知止常止，终身不耻。 ——老聃 课件24张PPT。§3 解三角形的实际应用举例 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关的实际问题.
2.了解常用的相关测量术语.ABCabc 正弦定理、余弦定理是两个重要的定理.在解决与三角形有关的几何计算问题中有着广泛的应用.下面举例说明.解斜三角形理论应用于实际问题应注意：1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素.2、要明确题目中一些名词、术语的意义.如视角，仰角，俯角，方位角等等.3、动手画出示意图，利用几何图形的性质，将已知和未知集中到一个三角形中解决. 正弦定理 余弦定理(1) 已知两角和一边,
求其他元素; 已知三边 , 求三个角;(2) 已知两边和一边对角,
求其他元素.(2) 已知两边和它们的夹角,
求其他元素.例1 自动卸货汽车采用液压机构.设计时需要计算油泵顶杠BC的长度（如图所示）.已知车厢的最大仰角为60?（指车厢AC与水平线夹角），油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为6?20?，AC长为1.40m,计算BC的长度（结果精确到0.01ｍ）.BC2=≈3.571， ∴BC≈1.89(m)． 答：顶杆BC约长1.89m．AB2+AC2-2AB·ACcosAD解：由余弦定理，得例2 如图，两点Ｃ，Ｄ与烟囱底部在同一水平直线上，在点Ｃ1 ，Ｄ1，利用高为1.5ｍ的测角仪器，测得烟囱的仰角分别是? ＝45°和? ＝60°, Ｃ、Ｄ间的距离是12m. 计算烟囱的高AB(结果精确到0.01m).??BA A1C1D1分析：如图所示，因为AB=AA1+A1B，又已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可.1、解决实际应用问题的关键思想方法是什么？2、解决实际应用问题的步骤是什么？实际问题数学问题（画出图形）解三角形问题数学结论分析转化检验答：把实际问题转化为数学问题，即数学建模思想. 1.我军有A、B两个小岛相距10海里，敌军在C岛，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，为提高炮弹命中率，须计算B岛和C岛
间的距离，请你算算看.ACB2.如图,一艘船以32海里/时的速度向正北航行,在A处看灯塔S在船的北偏东20°, 30分钟后航行到B处,在B处看灯塔S在船的北偏东65°方向上,求灯塔S和B处的距离.（保留到0.1）解：AB=16，由正弦定理知：
可求得BS≈7.7海里.
答：灯塔S和B处的距离为7.7海里.1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关的实际问题.
2.了解常用的相关测量术语.
3.体会数学应用题建模的过程.正直的人并不是渺小的，不要把谦虚和渺小、妄自菲薄混为一谈。 ——契诃夫
