3.3.2抛物线的简单几何性质（第2课时）（共21张PPT）2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3.2　抛物线的简单几何性质
第2课时　抛物线的方程及性质的应用
第三章 圆锥曲线的方程
复习回顾
l
F
K
M
H
O
x
y
平面内与一个定点F和一条直线l
(l不经过点F)
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 点F叫做抛物线的焦点,
直线l叫做抛物线的准线.
标准方程
y2=2px
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
图形




范围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
复习回顾
典例精析
题型一：抛物线的焦点弦
例1 设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B点,|AB|=8.
(1)求直线l的方程;
(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
解 (1)由题意得F(1,0),
l的方程为y=k(x-1)(k>0).
设A(x1,y1),B(x2,y2),由????=????(?????1),????2=4????,
得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
Δ=16k2+16>0,故x1+x2=2????2+4????2.
所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=4????2+4????2.
由题设知4????2+4????2=8,解得k=-1(舍去)或k=1.
?
因此直线l的方程为y=x-1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),
所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),
即y=-x+5.
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则
????0=?????0+5,(????0+1)2=(????0?????0+1)22+16.
?
解得????0=3,????0=2或????0=11,????0=?6.
因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16
或(x-11)2+(y+6)2=144.
?
典例精析
题型一：抛物线的焦点弦
例1 设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B点,|AB|=8.
(1)求直线l的方程;
(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
例2 过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴的上方),
l为C的准线,点N在l上,且MN⊥l,则M到直线NF的距离为(　　)
A.5 B.22 C.23 D.33
?
典例精析
题型一：抛物线的焦点弦
解 (方法1)如图,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.
由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y=3(x-1).
联立得方程组????=3(?????1),????2=4????,
解得????=13,????=?233　或????=3,????=23.
?
∵点M在x轴的上方,∴M(3,23).
∵MN⊥l,∴N(-1,23).
∴|NF|=(1+1)2+(0?23)2=4,
|MF|=|MN|=(3+1)2+(23?23)2=4.
∴△MNF是边长为4的等边三角形.
∴点M到直线NF的距离为23.
?
例2 过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴的上方),
l为C的准线,点N在l上,且MN⊥l,则M到直线NF的距离为(　　)
A.5 B.22 C.23 D.33
?
典例精析
题型一：抛物线的焦点弦
C
(方法2)依题意,得直线FM的倾斜角为60°,
则|MN|=|MF|=21?cos60°=4.
又∠NMF等于直线FM的倾斜角,即∠NMF=60°,
因此△MNF是边长为4的等边三角形,
点M到直线NF的距离为4×32=23.
?
典例精析
题型二：与抛物线有关的定点、定值问题
例3 已知动圆经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切,设动圆圆心E的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程.
(2)设过点P(1,2)的直线l1,l2分别与曲线C交于A,B两点,直线l1,l2的斜率存在,且倾斜角互补.证明:直线AB的斜率为定值.
(1)解 ∵动圆经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切,
∴E到点D(1,0)的距离等于E到直线x=-1的距离,
∴E的轨迹是以D(1,0)为焦点,
以直线x=-1为准线的抛物线.
∴曲线C的方程为y2=4x.
(2)证明 设直线l1的方程为y=k(x-1)+2.
∵直线l1,l2的斜率存在,且倾斜角互补,
∴l2的方程为y=-k(x-1)+2.
联立得方程组????=????(?????1)+2,????2=4????,
消元得k2x2-(2k2-4k+4)x+(k-2)2=0.
设A(x1,y1),则x1=(?????2)2????2=????2?4????+4????2.
?
同理,设B(x2,y2),可得x2=????2+4????+4????2,
∴x1+x2=2????2+8????2,x1-x2=?8????????2=?8????.
∴y1-y2=[k(x1-1)+2]-[-k(x2-1)+2]
=k(x1+x2)-2k=2????2+8????-2k=8????.
∴kAB=????1?????2????1?????2=-1.∴直线AB的斜率为定值-1.
?
典例精析
题型二：与抛物线有关的定点、定值问题
例3 已知动圆经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切,设动圆圆心E的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程.
(2)设过点P(1,2)的直线l1,l2分别与曲线C交于A,B两点,直线l1,l2的斜率存在,且倾斜角互补.证明:直线AB的斜率为定值.
例4 已知抛物线的方程是y2=4x,直线l交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)若弦AB的中点为(3,3),求直线l的方程;
(2)若y1y2=-12,求证:直线l过定点.
解 (1)因为抛物线的方程为y2=4x,
则有????12=4x1,????22=4x2,
因为弦AB的中点为(3,3),所以x1≠x2.
两式相减得????12?????22=4x1-4x2,
所以????1?????2????1?????2=4????1+????2=23,
所以直线l的方程为y-3=23(x-3),即y=23x+1.
?
典例精析
题型二：与抛物线有关的定点、定值问题
(2)当l的斜率存在时,设l的方程为y=kx+b,
代入抛物线方程,整理,
得ky2-4y+4b=0,y1y2=4????????=-12,b=-3k,
l的方程为y=kx-3k=k(x-3),过定点(3,0).
当l的斜率不存在时,y1y2=-12,则x1=x2=3,
l过定点(3,0).综上,l过定点(3,0).
?
例5 已知动点P在y轴的右侧，且点P到y轴的距离比它到点F(1，0)的距离小1.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设斜率为－1且不过点M(1，2)的直线交C于A，B两点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2＝0.
解　(1)依题意动点P的轨迹是抛物线(除原点)，
其焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，
设其方程为y2＝2px，则????2＝1，解得p＝2，
所以动点P的轨迹C的方程是y2＝4x.
(2)设直线AB：y＝－x＋b(b≠3)，A(x1,y1)，B(x2,y2)
?
典例精析
题型二：与抛物线有关的定点、定值问题
Δ＝16＋16b>0，
所以b>－1，y1＋y2＝－4，
因此k1＋k2＝0.
例5 已知动点P在y轴的右侧，且点P到y轴的距离比它到点F(1，0)的距离小1.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设斜率为－1且不过点M(1，2)的直线交C于A，B两点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2＝0.
典例精析
题型二：与抛物线有关的定点、定值问题
典例精析
题型三：与抛物线有关的最值问题
例6 如图,已知直线l:y=2x-4交抛物线y2=4x于A,B两点,试在抛物线AOB这段曲线上
求一点P,使△PAB的面积最大,并求出这个最大面积.
解 由????=2?????4.????2=4????,解得????=4,????=4或????=1,????=?2.
∴A(4,4),B(1,-2),∴|AB|=35.
(方法1)设P(x0,y0)为抛物线AOB这段曲线上一点,
d为点P到直线AB的距离,
则有d=|2????0?????0?4|5=15????022?????0?4=125|(y0-1)2-9|.
∵-2 从而当y0=1时,dmax=925,Smax=12×925×35=274.
?
因此,当点P的坐标为14,1时,
△PAB的面积取得最大值,最大面积为274.
?
(方法2)由????=2?????4,????2=4????,解得????=4,????=4或????=1,????=?2.
∴A(4,4),B(1,-2),∴|AB|=35.
设点P的坐标为(4t2,4t),
∵点P(4t2,4t)在抛物线AOB这段曲线上,
∴-2<4t<4,得-12 由题意得点P(4t2,4t)到直线AB的距离
d=|8????2?4?????4|5=452?????142?98.
?
典例精析
题型三：与抛物线有关的最值问题
例6 如图,已知直线l:y=2x-4交抛物线y2=4x于A,B两点,试在抛物线AOB这段曲线上
求一点P,使△PAB的面积最大,并求出这个最大面积.
∵当t∈?12,1时,2?????142?98<0,
∴d=4598?2?????142,
∴当t=14时,dmax=45×98=925.
此时点P的坐标为14,1,S△PAB的最大值为12|AB|·dmax=12×35×925=274.
?
典例精析
题型三：与抛物线有关的最值问题
例6 如图,已知直线l:y=2x-4交抛物线y2=4x于A,B两点,试在抛物线AOB这段曲线上
求一点P,使△PAB的面积最大,并求出这个最大面积.
(方法3)设y=2x+m是抛物线y2=4x的切线方程.
由????=2????+????,????2=4????,消去x,并整理,得y2-2y+2m=0.
∵Δ=4-8m=0,∴m=12.
此时,方程为y2-2y+1=0,
解得y=1,x=14,∴P14,1.
?
此时点P到直线y=2x-4的距离d最大
(在抛物线AOB这段曲线上).
∴dmax=2×14?1?45=925,
∴S△PAB的最大值为12×35×925=274.
?
跟踪练习
1.已知点P(6,y)在抛物线y2=2px(p>0)上,若点P到抛物线焦点F的距离等于8,
则焦点F到抛物线准线的距离等于(　　)
A.2 B.1 C.4 D.8
解 抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-????2,
因为P(6,y)为抛物线上的点,
所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离,
所以6+????2=8,所以p=4,所以焦点F到抛物线准线的距离等于4.
?
C
跟踪练习
2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,若x1+x2=3p,
则|PQ|等于(　　)
A.4p B.5p C.6p D.8p
解 由焦点弦长公式知|PQ|=x1+x2+p=4p.
A
跟踪练习
3.设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为( )
A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆
解　设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r，
由两圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r＋1，
所以点C到点(0,3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，
符合抛物线的特征，故点C的轨迹是抛物线.
A
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，
若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．
解　抛物线的焦点为F(????2,0)，
所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－????2，即x＝y＋????2，
将其代入抛物线方程得：y2＝2px＝2p(y+????2)＝2py＋p2，
所以y2－2py－p2＝0，所以????1+????22＝p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
?
跟踪练习
x＝－1
跟踪练习
5.已知抛物线y2＝－8x的顶点为O，点A，B在抛物线上，且OA⊥OB，
求证：直线AB经过一个定点.
则直线OA的方程为y＝kx，
同理可得B(－8k2,8k)，
因此直线AB经过定点(－8,0).
课堂小结