初二升初三辅导资料 学案(无答案)
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初二复习
第一讲《一元一次不等式（组）的解法》
【基础知识概述】
一、一元一次不等式
（一）基本概念
(1)不等式：用不等号表示不等关系的式子叫不等式．
(2)不等式的解：使含有未知数的不等式成立的未知数的每一个值都叫做不等式的解．
(3)不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集．
(4)解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
(5)一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，两边是整式的不等式，叫一元一次不等式．其最简形式为ax>b，或ax（二）不等式的基本性质
(1)不等式的性质1：不等式两边都加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变．
(2)不等式的性质2：不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变．
(3)不等式的性质3：不等式两边都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变．
（三）一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法进行类比，类比如下表
一元一次方程 一元一次不等式
解法步骤 1 去分母 ，2 去括号，3 移项， 4 合并同类项5 系数化为1． 1 去分母 ， 2 去括号，3 移项 ， 4 合并同类项，5 系数化为1．在上面的步骤1和5中，如果乘数或除数是负数，则不等号的方向要改变
解 一元一次方程只有一个解 一元一次不等式有无数多个解
（四）不等式的解集在数轴上的表示方法：“大向右，小向左，有等号是实点，无等号是空圈”．
二、一元一次不等式组
（一）．基本概念
(1)一元一次不等式组：几个未知数相同的一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组．
(2)一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集．
(3)解一元一次不等式组：求一元一次不等式组解集的过程叫做解一元一次不等式组．
（二）．解一元一次不等式组的方法以及步骤：
（1）分别求出这个不等式组中各个不等式的解集。
（2）将不等式组中每个不等式的解集在数轴上表示出来，大于向右画，小于向左画。有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。公共部分就是这个不等式组的解集，无公共部分就说这个不等式组无解．
(3）一般由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，可以归结为下面四种情况:
【同步练习】
一．选择题:
1．已知，下列不等式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．不等式的正整数解的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列说法①是的解, ②不是的解,
③的解集是, ④的解集是，其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，用不等式表示数轴上所示的解集，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，如果，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二．解不等式(组)，并把解集表示在数轴上。
6． 7．
三．填空题
8．用适当的符号表示：m的2倍与n的差是非负数： ；
9．不等式的最大整数解是： ；
10．若，则 ；若，则 （填不等号）；
11．函数的自变量x的取值范围是_______________.
12．已知长度为的三条线段可围成一个三角形，那么的取值范围是： ；
13．已知方程的根是正数，则的取值范围是： ；
14．已知不等式5x－a≤0的正整数解是１、２，则a的取值范围是_____________．
15．不等式组的解集为-116．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是________________．
17．已知5x-2y＝6，当x满足6≤7x-1＜13时，y的取值范围是_______________．
18．已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是 _______
19．要使不等式的解集是，则应满足的条件是_________.
20．不等式组的解集是321、若关于x的不等式组的解集为x<4,则的取值范围是__________________
22、已知a<0，且，则的最小值为___________________
23、若a+b+c=30, 3a+b-c=50, a、b、c为非负数，则M=5a+4b+2c的最大值是________．
三．解答题
24、当k是什么正整数时，方程的解是负数
25、是否存在这样的整数，使得方程组 的解是一对非负数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
第二讲《一元一次不等式（组）的应用》
一、列不等式（组）解决实际问题：
1．某校举行庆祝“十六大”的文娱汇演，评出一等奖5个，二等奖10个，三等奖25个，学校决定给获奖的学生发奖品，同一等次的奖品相同，并且只能从下表所列物品中选取一件：
品名 小提琴 运动服 笛子 舞鞋 口琴 相册 笔记本 钢琴
单价／元 120 80 24 22 16 6 5 4
(1).如果获奖等次越高，奖品单价就越高，那么学校最少要花多少钱买奖品？
(2).学校要求一等奖奖品单价是二等奖奖品单价的5倍，二等奖奖品单价是三等奖奖品单价的4倍，在总费用不超过1000元的前提下，有几种购买方案？花费最多的一种方案需多少钱？
2.将不足40只鸡放入若干个笼中，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，且最后一笼不足3只。问有笼多少个？有鸡多少只？
二、不等式与函数的结合应用：
3．已知函数y1与y2的图象如图所示,观察图象回答 问题：
当x__________时，y2＞0;
当x__________时，y1＝y2
(3) 当 x__________时，y1＜y2;
(4) 当2＜ y1≤7时;x 的取值范围是
_________________________
4．2006年春，成都市为了＂创建最佳旅游城市＂，要种植一种新品种树苗．甲、乙两处育苗基地均
以每株4元的价格出售这种树苗，并对一次性购买该种树苗不低于1000株的用户均实行优惠：甲处的优惠政策是每株树苗按原价的八折出售；乙处的优惠政策是免收所购树苗中150株的费用，其余树苗按原价的九折出售。
(1)设一次性购买x（x≧1000）株该种树苗，若在甲处育苗基地购买所须费用为y甲元，在乙处育苗基地购买所须费用为y乙元。写出y甲、y乙与x之间的函数关系式。(两个函数均不要求写出自变量的取值范围)
(2)若在甲、乙两处分别购买1500株该种树苗，在哪一处购买所花的费用最少？
(3)若在甲育苗基地以相应的优惠方式购买一批该种树苗，又在乙育苗基地以相应的优惠方式购买另一批该种树苗，两批树苗共2500株，购买这2500株树苗所花的费用最少需要多少元？这时应在甲、乙两处分别购买该种树苗多少株？
5.现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，使用B型车厢每节费用为8000元。
(1)设运送这批货物的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写出y与x之间的函数关系式；
(2)如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？
(3)在上述方案中，哪种方案运费最少？最少运费为多少万元？
6．我市某乡A、B两村盛产柑橘,A村有柑橘200吨,B村有柑橘300吨.现将这些柑橘运到甲、乙两个仓库,已知甲仓库可储存240吨, 乙仓库可储存260吨；从A村庄运往甲、乙两处的费用分别为每吨20元和25元，从B村庄运往甲、乙两处的费用分别为每吨15元和18元。设从A村运往甲仓库的柑橘重量为x吨，A、B两村运往两仓库的柑橘运输费用分别为yA元和yB元。
(1)写出yA、yB 与x之间的函数关系式。
(2)试讨论A、B两个村中，哪个村的运费较少；
（3）考虑到B村的经济承受能力，B村的柑橘运费不得超过4830元，在这种情况下，请问
怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值。
7、在举国上下众志成城，共同抗击非典的非常时期，某厂接受了生产一批高质量医用口罩的任务。要求在8天之内（含8天）生产A型和B型两种型号的口罩共5万只，其中A型口罩不得少于1.8万只，该厂的生产能力是：若生产A型口罩每天能生产0.6万只，若生产B型口罩每天能生产0.8万只，已知生产一只A型口罩可获利0.5元，生产一只B型口罩可获利0.3元。设该厂在这次任务中生产了A型口罩x万只。问：
（1）该厂生产A型口罩可获利润__________万元，生产B型口罩可获利润_ ________万元；
（2）设该厂生产口罩的总利润是y万元，写出y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围
（3）如果你是该厂厂长：①在完成任务的前提下,你如何安排生产A型和B型口罩的只数,使获得的总利润最大 最大利润是多少
②若要在最短时间内完成任务,你又如何来安排生产A型和B型口罩的只数 最短时间是多少
第三讲《分解因式》
【基础知识概述】
一．因式分解的意义：
把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式分解因式。也叫因式分解．
注：①分解因式等号左边必须是一个多项式； ②分解因式的结果必须是积的形式；
③每个因式必须是整式； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止；
⑤多项式的分解因式是一个恒等变形，因式分解与整式乘法是正好相反的过程．
二．分解因式的方法:
(一) 提公因式法：如ab＋ac＝a (b＋c)．
1公因式的意义：多项式的各项中都含有的相同的因式，叫公因式。
2提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫提公因式法。
3公因式的确定：
(1) 对于系数，若各项系数都是整数，所提公因式是各项系数的最大公约数；
（2）对于字母，一是取各项相同的字母，二是各相同字母的指数取其次数最低的。
(3)如果多项式的首项是负数，则公因式符号取“－”，这样可使括号内的第一项系数为正数，但要注意，在提出“－”号时，多项式的各项都要变号．
(4) 公因式可以是单项式，也可以是多项式．
4提公因式的步骤：①找出公因式，②提公因式，并确定另一个公因式。
5．恒等变形:
(二)、运用公式法：
运用平方差公式分解因式：
１． 公式：
２．运用平方差公式分解因式的特点：
(1)应是二项式． (2)二项是异号．(3)二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方．
凡具备上述特点的式子，可以用平方差公式分解因式．
运用完全平方公式分解因式
1．公式： ．
2．运用完全平方公式分解因式的特点：
(1)应是三项式． (2)其中两项同号，且各为一个整式的平方．
(3)还有一项可“＋”可“－”，且它是前两项幂的底数的乘积的2倍．
凡具备上述特点的式子，可以用完全平方公式分解因式．
(三)、分组分解法：
把一个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，使其能够具有公因式或应用公式来分解。这
种分解因式的方法叫分组分解法。
分组的原则：(1)．分组后有公因式可提，且每组之间又有公因式可提；
(2)．分组后能用公式分解，且以后每组之间又能应用公式或提公因式分解。
(四)、十字相乘法：
利用画十字交叉线分解系数，来把二次三项式分解因式的方法叫十字相乘法。
【同步练习】
一、把下列各式分解因式
1． 2．
3、 4．
5． 6．
7. 8.
9. 10.
11． 12．
二．选择题或填空：
13．已知关于x的二次三项式3x2－mx＋n分解因式的结果为（3x＋2）（x－1），则m=_____，n=______.
14．若是一个完全平方式，则a的值为___________。
15．若有一个因式是，则k=________
16．.已知a是方程x2-5x+1=0的解，则的值为________。
17．已知 ，则c =______
18．四边形ABCD的四条边依次为 a ,b ,c , d ,且满足 a2 +b2 +c2 +d2=2ac+2bd.
则这个四边形是____________四边形．
19．因式分解x2+ax+b，甲看错a的值，分解的结果为(x-6)(x-1)，乙看错了b的值，分解的结果是 (x-2)(x+1)，那么分解因式正确的结果是____________________
20．，则的值为___________
三、完成下列各题:
21．已知a-b=b-c=,a2+b2+c2=1,求ab+bc+ac的值.
22．
23．
第四讲《分式的性质及计算》
【基础知识概述】
一、分式的定义
1、如果A、B都是整式，则A÷B可以记作的形式，如果B中含有字母，则称是分式。
2、分式有意义的条件：分母不能为0。
3、分式的值是0的条件：（1）、分子为0；（2）、分母不能为0；两个条件缺一不可；
4、分数线的意义有两个：（1）、表示除号。（2）、表示括号。
二、分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。
1、数学表达式：
2、应用：
（1）、约分；（2）、符号法则；（3）、系数整数化；（4）、通分；
三、分式的的运算
1、分式的乘除：（1）、分子、分母都是单项式的直接约分；
（2）、分子和分母都是多项式，先分解因式
（注意：一般单一字母的按降幂排列，多个字母的按统的顺序排列）
2、分式的加减法：（1）、同分母的分式相加减，分母不变把分式相加减；
（2）异分母的分式相加减，先通分，然后按同分母分式加减法则进行计算．
【同步练习】
一．选择题:
1. 在、、、、、、中分式的个数有---------------（ ）
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
2．若使式子从左到右变形成立，应满足的条件是------------------（ ）
A B C D
3. 下列等式成立的是--------------------------------------------------------------------------------（ ）
A B C D
4.下列等式成立的是----------------------------------------------------------------------------------（ ）
A B C D
5．若-----------------------------（ ）
A．正数 B．负数 C．零 D．正数或负数
二、计算:
6、 7、 ÷
8、 9、
10、 11、
三．填空题
12．
13.
14．已知:
15．
16．.
17．已知:
18. 不改变分式的值：(1)分式中的分子、分母的系数化为整数，.
(2)分式的分子、分母按某一字母的降幂排列，并使最高次项的系数是正数，
19.已知，则= .
20.若x、y满足关系式 时分式的值等于.
21. 已知：，则分式的值为______________.
22．已知且y≠0，则 .
23．已知：分式
24．
25．如果，求A、B。
第五讲《分式方程》
【基础知识概述】
分式方程：分母中含有未知数的方程叫分式方程。
1.解分式方程的基本思想方法:
2.解分式方程的一般方法和步骤:
(1)去分母,即在方程两边都乘以最简公分母,把原方程化成整式方程;
(2)解这个整式方程;
(3)验根:把整式方程的根代入最简公分母, 使最简公分母不等于零的根是原方程的根, 使最简公分母等于零的根是原方程的增根,必须舍去.
3.列分式方程解应用题的一般步骤:
(1)审:审清题意. (2)设:设未知数.
(3)找:找出相等关系. (4)列:列出分式方程.
(5)解: 解这个分式方程.
(6)验:检验,既要验证根是否是原分式方程的根,又要检验根是否符合题意.
(7)答:写出答案.
【同步练习】
一、解下列方程.
1、 2、
3、 4、
二、填空.
5、方程=0的根是________
6、关于x的方程的解为x=1, 则
7、若关于x的分式方程无解，则m的值为__________。
8、小明通常上学时走上坡路，途中平均速度为m千米/时，放学回家时，沿原路返回，通常的速度为n千米/时，则小明上学和放学路上的平均速度为_____________千米/时
9、某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为___________________________.
10、A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程为
____________________________。
11、八年级（1）班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区到学校120千米，一部分学生乘慢车先行，出发1小时后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达，已知快车速度是慢车的1.5倍，若设慢车的速度为x千米/时，则可列方程为____________________________。
12、某农场原有水田400公顷，旱田150公顷，为了提高单位面积产量，准备把部分旱田改为水田，改完之后，要求旱田占水田的10%，若设把x公顷旱田改为水田，则可列方程为________________。
13、若，且3 x+2y－z=14,则x=______, y=______ , z=_________.
14．m取_________________整数值时，分式的值是正整数.
15、一个两位数除以它的两个数位上的数字和，若商为最小值，则这个两位数为__________；如果商为最大值，则这个两位数为__________．
16、在保证分母不等于0的前提下，分式中的x不论取什么值分式的值都不变，则a和b之间的关糸应是____________.
三、解答题.
17、分式方程有增根，求k的值.
18、当m为何值时，分式方程
19、已知，求的值；
.
20、已知： 求：（x+y）∶z的值
四、列方程解应用题.
21、（06.吉林）小明家、王老师家、学校在同一条路上。小明家到王老师家的路程为3千米，王老师家到学校的路程为0.5千米，由于小明的父母战斗在抗“非碘”的第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学，已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟。问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？
22、（06.东营市）某自来水公司水费计算方法如下：若每户每月用水不超过5m3，则每立方米收费1.5
元；若每户每月用水超过5m3，则超出部分每立方米收取较高的定额费用。1月份，张家用水量是李家用水量的，张家当月水费是17.5元，李家当月水费是27.5元，超出5m3的部分每立方米收费多少元？
23、小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，需工钱4.8万元。若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由。
第六讲《分式综合练习》
一、计算：
1、 2、
3、 4、（x－1－）÷,其中x=3－.
二、解下列方程.
5、 6、
7、 8、
三、填空.
9.式子x+y, , ,—4xy , , 中，分式的个数有_________个。
10、x _____ 时，分式有意义。当x= ____时，分式的值为零。
11.如果=2，则=________. 若，则的值为_______。
12、若关于x的分式方程无解，则m的值为__________。
13、当m_________时，分式方程
14、已知：分式的值为正整数，则整数a的值为_________________________.
15、已知：，，则的值为________.
四、解答题.
16、a为何值时，分式方程无解？
17、已知：，，求的值。
18、 已知 求的值
五、列方程解应用题.
19、(武汉中考)今年入夏以来，湖北部分地区旱情严重，为缓解甲、乙两地旱情，、某水库计划向甲、乙两地送水，甲地需水量为180 万立方米，乙地需水量为120万立方米，现已送水两次：第一次往甲地送水3天，往乙地送水2天，共送水84万立方米，第二次往甲地送水2天，往乙地送水3天，共送水81万立方米，问：完成往甲地、乙地送水任务还有多少天？
第七讲 图形的平移与旋转
【基础知识精讲】
一、平移：
1.平移的定义——在平面内，把一个图形沿某一个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫图
形的平移。
说明：（1）平移是图形的一种运动（变换）
（2）平移的要素：①平移方向；②平移距离。
2.平移的性质:
①平移前后图形的大小、形状都不改变。即：平移前后的图形全等形。
②平移前后对应点的连线段平行且相等；对应线段平行且相等；对应角相等。
二、旋转
1.旋转的定义——在平面内，把一个图形绕一个定点沿着某一个方向转动一个角度，这样的图形运动叫图形的旋转。
说明：（1）旋转是图形的一种运动（变换）
（2）旋转的要素： ①旋转中心 ②旋转方向 ③旋转角
2.旋转的性质
①旋转前后图形的大小、形状都不改变。即：旋转前后的图形全等形。
②图形上任意点都绕中心沿相同方向转动相同的角度（旋转角）；
③对应点到旋转中心的距离相等。
【同步达纲练习】
一、填空题
1．平移由 _____和 _______所决定．
2．图形的旋转由_____________和________ 所决定.
3．平移和旋转都不改变图形的 ________.
4．△ABC经过平移后得到△EFG，若∠A＝30°，则∠E＝ ，FG＝3cm, 则BC＝ cm．
5．将正方形ABCD沿对角线AC方向平移，且平移后的图形的一个顶点恰好在AC的中点O处，则移动前后两个图形的重叠部分的面积为原正方形的面积的 ．
6．将△ABC经过平移得到△A′B′C′，若AB＝10cm，∠B=40°则A′B′的长度为 ，
∠B′的度数为 ．
7．边长为4 cm的正方形ABCD绕它的顶点A旋转180°，顶点B所经过的路线长为______cm．
8．9点30分，时钟的时针和分针的夹角是______．
9．一个正三角形要绕它的中心至少旋转 度，才能和原来的图形重合．
10．如图所示，将字母“V”向右平移 格会得到字母“W”．
11．Rt△ABC绕着B点旋转90°后得到△EBD，则AC与ED的位置关系是＿＿＿＿＿＿。
12．将一图形沿着正北方向平移 5cm 后，再沿着正西方向平移 5cm，这时图形在原来位置的
＿＿＿＿方向上。
13．如图，当半径为30cm的转动轮转过120角时，传送带上的物体A
平移的距离为 cm。
14. 把△ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到△A'B'C'，A'B'交AC
于点D，若∠A'DC＝90°，则∠A的度数是＿＿＿＿
15.如图，已知正方形 ABCD, E是BA延长上的点，∠E=60°，现将△ADE绕点A顺时方向旋转到△AGF的位置，则当旋转角
∠EAF=_____°时，FG∥AB。
1．如图所示：正方形ABCD中E为BC的中点，将面ABE旋转后得到△CBF.
（1）旋转中心是________, 旋转角度为 _________．
（2）AE与CF的位置关系为_________．
（3）如果正方形的面积为18cm2，△BCF的面积为4cm2，问四边形AECD的面
积是_________.
2．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=4，现将△ABC沿CB方向平移到△A’B’C’的位置。若平移距离为3，
（1），则△ABC与△A’B’C’的重叠部分的面积为__________________；
（2），若平移距离为x（0≤x≤4），求△ABC与△A’B’C’的重叠部分的面积y，则y与x有怎样关系式为____________________。
二、选择题
1．下列运动是属于旋转的是( )
A.滾动过程中的篮球的滚动 B.钟表的钟摆的摆动
C.气球升空的运动 D.一个图形沿某直线对折过程
2．下列说法错误的是（ ）
A．关于某条直线成轴对称的两个图形一定可以通过平移而彼此得到
B．通过平移，对应点连线的线段相等 C．通过旋转，对应点连成的线段相等
D．旋转后，对应点与旋转中心连成线的夹角相等
3.如图1，图形旋转一定角度后能与自身重合,则旋转的角度可能是( )
A、300 B、600 C、900 D、1200
4.如图2，面积为12cm的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是边BC长的两倍，则图中的四边形ACED的面积为（ ）
A、24 cm B、36 cm C、48 cm D、无法确定
5.如图3，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连结BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转900得到△DCF，连结EF，若∠BEC=600，则∠EFD的度数为（ ）
A、100 B、150 C、200 D、250
图1 图2 图3
三、作图题
1．如图所示，在平行四边形ABCD中，AE⊥BE垂足为E，试画出将△ABE平移后的图形，其平移的方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长．
2.在右图中作出“三角旗”绕O点按逆时针旋转90°后的图案．
第八讲 平行四边形的性质与判别
【基础知识精讲】
1．平行四边形：
(1)平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形用符号“”表示．平行四边形ABCD记作，读作平行四边形ABCD．
2．平行四边形的性质：
(1) 平行四边形的对边平行且相等． (2)．平行四边形的对角相等，邻角互补。
(3)平行四边形的对角线互相平分．
(4)若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积．
3．两条平行线间的距离：
(1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离．
(2)两平行线间的距离处处相等．
4．平行四边形的面积：
(1)如图①，．
(2)同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．
如图②，有公共边BC，则．
5．平行四边形的判别方法：
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
6．平行四边形知识的运用：
(1)直接运用平行四边形特征解决某些问题，如求角的度数，线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等．
(2)识别一个四边形为平行四边形，从而得到两直线平行．
(3)先识别—个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的特征去解决某些问题．
【同步达纲练习】
一、填空题
1．在中，如果∠A的余角比∠B的补角大10°，那么∠A＝_________，∠B＝_________．
2．在中，周长为28，两邻边之比为3︰4，则各边长为___________．
3．一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长是6，则它的另一条对角线x的取值范围为________．
4．已知等腰△ABC的一腰AB＝9 cm，过底边上任一点P作两腰平行线分别交AB于M，交AC于N，则AN十PN＝____________．
5．已知P为内一点，，则＝____________．
6．的对角线相交于点O，它的周长为10 cm，△BCO的周长比△AOB的周长多2cm，
则AB＝____________．
7．中，AB＝2，BC＝3，∠B、∠C的平分线分别交AD于E、F，则EF＝_________．
8．在中，AD＝24cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm／秒的速度运动，动点Q从C点开始沿CB边以3cm／秒的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒，t为________时四边形PQCD为平行四边形
9．中，EF过对角线的交点O，若AD = 6， AB = 5， OE = 2，则四边形ABFE的周长是__________。
10．已知△ABC中，AB＝9，AC＝10，BC边上中线AD的取值范围是_____________．
二、解答题
11．如图，□ABCD的对角线AC、BD交于O，EF过点O交AD于E，交BC于F，G是OA的中点，H是OC的中点，说明四边形EGFH是平行四边形.
12. 如图，□ABCD中, ∠ABC＝75°,AF⊥BC于F,AF交BD于E,若DE=2AB,求∠AED的大小.
第九讲 矩形、菱形、正方形
【基础知识概述】
（一）【知识框架】
（二）【几种特殊四边形的性质】
边 角 对角线
平行四边形 对边平行且相等 对角相等 两条对角线互相平分
矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 两条对角线互相平分且相等
菱形 对边平行四边相等 对角相等 两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
正方形 对边平行四边相等 四个角都是直角 两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
（三）【几种特殊四边形的常用判定方法】
平行四边形 （1）两组对边分别平行；（2）两组对边分别相等；（3）一组对边平行且相等；（4）两条对角线互相平分；（5）两组对角分别相等。
矩形 （1）有三个是直角；（2）是平行四边形且有一个角是直角；（3）是平行四边形且两条对角线相等。
菱形 （1）四条边都相等；（2）是平行四边形且有一组邻边相等；（3）是平行四边形且两条对角线互相垂直。
正方形 （1）是矩形，且有一组邻边相等；（2）是菱形，且有一个角是直角。
（四）【几个重要结论】
1．两平行线间的距离处处相等．
2．同底(等底)同高(等高)的三角形面积相等．
3．同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．
4．菱形的面积等于两对角线乘积的一半．
5．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
6．直角三角形中，如果有一个锐角等于30°,那么30°所对的直角边等于斜边的一半．
【同步达纲练习】
一、填空、选择
1．矩形ABCD的边AB的中点为P，且∠DPC为直角，则AD：BA＝ ．
2．已知矩形ABCD中，对角线AC，BD交于O点，∠AOB=2∠BOC，AC=18cm，则AD= cm.
3.矩形的边长为10cm和15cm，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分为___________.
4．菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=10cm，则AC=________cm．
5．若一条对角线平分平行四边形的一组对角，且一边长为a时，周长为________．
6．若菱形的两条对角线的比为3：4，且周长为20cm，它的一组对边的距离为2.4cm，它的两条对角线的长分别为_____________．
7．已知正方形的一条对角线长为4cm，则它的面积是________cm2．
8.E是正方形ABCD边BC延长线上的一点，CE＝CA，AE交CD于F，则∠AFC＝ ____ .
9.下列说法中正确的是( )
A.一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B.四个角都相等的四边形是矩形
C.菱形的对角线相等且每条对角线平分一组对角 D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
10.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A.对角线互相平分 B.对角线相等
C.对角线互相平分且相等 D.对角线互相垂直
11.等边△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在BC、
CD上，则∠B的度数是______.
12.正方形ABCD中，ＡＢ＝，点E、F分别在ＢＣ、ＣＤ上，
∠BAE＝30°, ∠DAF＝15°, 则△AEF的面积为_____________.
13．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P为AB上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，求：PE+PC=________.
二、解答题
14．△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE∥AC交BC于E，DF∥BC交AC于F．
求证：四边形DECF是菱形．
15.已知,如图，四边形ABCD中,AB∥DC,E是BC的中点,AE,DC的延长线相交于点F,连接AC、BF。四边形ABFC是什么四边形？说明你的理由。
16.如图，在Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=900,点D为BC上任意一点，
DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，AM为BC的中线，
（1）判断△EMF是什么形状的三角形，并证明你的结论。
（2）若BE=5，CF=12,求△EMF的面积。
初三新课
第一讲 一元二次方程的解法--配方法
【基础知识精讲】
1．一元二次方程：
只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程．
一般形式：ax2＋bx+c=0 (a≠0）。
注意： 在一元二次方程的一般形式中要特别强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于x的方程（k2－1）x2+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．
2．一元二次方程的解法：
⑴ 直接开平方法：如果方程 (x+m）2= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解。
(2) 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是：
化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；
配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；
化原方程为(x+m）2=n的形式；
如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解．
④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4a＜0，则方程无解．
程的解．
【例题巧解点拨】
例1：关于x的方程是，那么当m 时，方程为一元二次方程；
当m 时，方程为一元一次方程.
例2：把下列各式配成完全平方式
（2） （3） x2-x-4
例3：用配方法解下列方程
x2-6x+3=0 （2） =0 （3） x2-x-4=0
（4）
【同步达标练习】
1．用适当的数填空：
①、x2+6x+ =（x+ ）2；
②、x2－5x+ =（x－ ）2；
③、x2+ x+ =（x+ ）2；
④、x2－9x+ =（x－ ）2
2．将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为_________．
3．已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，则ab=_______．
4．将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为_______，所以方程的根为_________．
5．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（ ）
A．3 B．-3 C．±3 D．以上都不对
6．用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（ ）
A．（a-2）2+1 B．（a+2）2-1 C．（a+2）2+1 D．（a-2）2-1
7．把方程x+3=4x配方，得（ ）
A．（x-2）2=7 B．（x+2）2=21 C．（x-2）2=1 D．（x+2）2=2
8．用配方法解方程x2+4x=10的根为（ ）
A．2± B．-2± C．-2+ D．2-
9．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（ ）
A．总不小于2 B．总不小于7
C．可为任何实数 D．可能为负数
用配方法解下列方程：
（1）3x2-5x=2． （2）x2+8x=9
（3）x2+12x-15=0 （4） x2-x-4=0
11.用配方法求解下列问题
（1）求2x2-7x+2的最小值 ；
（2）求-3x2+5x+1的最大值。
第二讲 用公式法解一元二次方程
【基础知识精讲】
1．一元二次方程的解法：
公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．
一元二次方程的求根公式是 (b2－4ac≥0)
应用求根公式解一元二次方程时应注意：
①化方程为一元二次方程的一般形式；
②确定a、b、c的值；
③求出b2－4ac的值；
④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4a＜0，则方程无解．
【例题巧解点拨】
例：用公式法解下列方程
x2-6x+3=0 （2） =0 （3） x2-x-4=0
（4）
【同步达标练习】
1．一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，它的根是_____，当b-4ac<0时，方程_________．
2．方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，则有________，若有两个不相等的实数根，则有_________，若方程无解，则有__________．
3．若方程3x2+bx+1=0无解，则b应满足的条件是________．
4．关于x的一元二次方程x2+2x+c=0的两根为________．（c≤1）
5．用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac=_______，x1=_____，x2=________．
6．已知一个矩形的长比宽多2cm，其面积为8cm2，则此长方形的周长为________．
7．一元二次方程x2-2x-m=0可以用公式法解，则m=（ ）．
A．0 B．1 C．-1 D．±1
8．用公式法解方程4y2=12y+3，得到（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=
9．已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a（1+x2）+2bx-c（1-x2）=0的两根相等，则△ABC为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．任意三角形
10．不解方程，判断所给方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，有实数根的方程有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．解下列方程；
（1）2x2-3x-5=0 （2）2t2+3=7t （3）x2+x-=0
（4）x2-2x+1=0 （5）0.4x2-0.8x=1 （6）y2+y-2=0
二、拓广探索:
12．当x=_______时，代数式与的值互为相反数．
13．若方程x-4x+a=0的两根之差为0，则a的值为________．
第三讲 用因式分解法解一元二次方程
【基础知识精讲】
1． 因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：
①将方程右边化为0；
②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；
③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．
注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）
②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．
【例题巧解点拨】
例：用公式法解下列方程
（1） （2）x2-6x+9=0 （3） x2-x-12=0
（4）－2(x＋4)2=3（x＋4）
【同步达纲练习】
1．选择题
(1)方程(x－16)(x＋8)＝0的根是( )
A．x1＝－16，x2＝8 B．x1＝16，x2＝－8 C．x1＝16，x2＝8 D．x1＝－16，x2＝－8
(2)下列方程4x2－3x－1＝0，5x2－7x＋2＝0，13x2－15x＋2＝0中，有一个公共解是( )
A.x＝ B．x＝2 C．x＝1 D．x＝－1
(3)方程5x(x＋3)＝3(x＋3)解为( )
A．x1＝，x2＝3 B．x＝ C．x1＝－，x2＝－3 D．x1＝，x2＝－3
(4)方程(y－5)(y＋2)＝1的根为( )
A．y1＝5，y2＝－2 B．y＝5 C．y＝－2 D．以上答案都不对
(5)方程(x－1)2－4(x＋2)2＝0的根为( )
A．x1＝1，x2＝－5 B．x1＝－1，x2＝－5 C．x1＝1，x2＝5 D．x1＝－1，x2＝5
(6)一元二次方程x2＋5x＝0的较大的一个根设为m，x2－3x＋2＝0较小的根设为n，则m＋n的值为( )
A．1 B．2 C．－4 D．4
(7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x2－16x＋55＝0的一个根，则第三边长是( )
A．5 B．5或11 C．6 D．11
(8)方程x2－3|x－1|＝1的不同解的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．填空题
(1)方程t(t＋3)＝28的解为_______．
(2)方程(2x＋1)2＋3(2x＋1)＝0的解为__________．
(3)方程(2y＋1)2＋3(2y＋1)＋2＝0的解为__________．
(4)关于x的方程x2＋(m＋n)x＋mn＝0的解为__________．
(5)方程x(x－)＝ －x的解为__________．
3．用因式分解法解下列方程：
(1)x2＋12x＝0； (2)4x2－1＝0； (3)x2＝7x；
(4)x2－4x－21＝0； (5)(x－1)(x＋3)＝12； (6)3x2＋2x－1＝0；
(7)10x2－x－3＝0； (8)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．
第四讲 一元二次方程的解法
【基础知识精讲】
1．一元二次方程：
只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程．
一般形式：ax2＋bx+c=0 (a≠0）。
注意： 在一元二次方程的一般形式中要特别强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于x的方程（k2－1）x2+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．
2．一元二次方程的解法：
⑴ 直接开平方法：如果方程 (x+m）2= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解。
(2) 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是：
化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；
配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；
化原方程为(x+m）2=n的形式；
如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解．
⑶ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．
一元二次方程的求根公式是 (b2－4ac≥0)
应用求根公式解一元二次方程时应注意：
①化方程为一元二次方程的一般形式；
②确定a、b、c的值；
③求出b2－4ac的值；
④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4a＜0，则方程无解．
(4) 因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：
①将方程右边化为0；
②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；
③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．
注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）
②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．
【例题巧解点拨】
一、填空或选择：
1、一元二次方程的一般形式是 ；二次项系数是 ；一次项系数是；常数项是 。
2.方程① ② ③ ④中一元二次方程是__ .
A. ①和②； B. ②和③ ； C. ③和④；D. ①和③
3．要使方程（a-3）x2+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则__________.
A．a≠0 B．a≠3
C．a≠1且b≠-1 D．a≠3且b≠-1且c≠0
4．若（m+1）+2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是________．
二、解方程：
5、（用直接开平方法） 6、（用因式分解法）
7、（用公式法） 8、（用配方法）
9、 10、abx2-(a2+b2)x+ab=0 (ab≠0)
【同步达纲练习】
一、按要求解下列方程:
1. （直接开平方法） 2. (因式分解法)
3. (配方法) 4. (求根公式法)
二、用适当的方法解下列各题:
5． 6．
7． 8. x2- (2a+1)x+a2+a=0
三、填空题:
9.在,,,，,,
中，是一元二次方程有_________个
10.把方程化成一般式为____________________.二次项系数是_____、一次项系数是_______、常数项是是_________.
11、关于的x的一元二次方程方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0, 则a的值是___________.
12. 方程:①, ②, ③ ,④,较简便的解法_________.
A .依次为直接开平方法,配方法,公式法和因式分解法
B.①用直接开平方法,②用公式法,③④用因式分解法
C. 依次为因式分解法,公式法,配方法和直接开平方法
D. ①用直接开平方法,②③用公式法,④用因式分解法
13. 关于x的方程是(m2–1)x2+(m–1)x–2=0，那么当m 时，方程为一元二次方程；
当m 时，方程为一元一次方程.
14.当时, 关于x的方程是一元二次方程.
15.已知,当x=_______时,y=0; 当y=_______时,x=0.
16.;
17. 已知与是同类项,则=____________.
18. 一元二次方程若有两根1和－1,那么________,____
19.当时,则的解为____________________.
20、设是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为 。
21．已知三角形的两边长分别是3和4,笫三边的长是方程x2－6x+5=0的根,三角形的形状为_________
22. 方程的解是_________________________.
第五讲 列一元二次方程解应用题
一、列方程解应用问题的步骤：
①审题， ②设未知数， ③列方程， ④解方程， ⑤答
列一元二次方程解应用题，步骤与以前列方程解应用题一样，其中审题是解决问题的基础，找等量关系列方程是关键，恰当灵活地设元直接影响着列方程与解法的难易，它可以为正确合理的答案提供有利的条件．方程的解必须进行实际题意的检验．
【例题巧解点拨】
1 有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数．
2、如图，有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35m，求鸡场的长与宽各为多少？
3、如图，所示，△ABC中，AB=6cm，BC=8cm，∠B=90°，点P从点A开始沿边AB向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始边BC向点C以2厘米/秒的速度移动。
如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟，使△PBQ的面积等于8厘米2？
如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B点后又继续在BC边上前进，Q到点C后又继续在CA边上前进，经几秒钟，使△PCQ的面积等于12.6厘米2？
4、某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，
求每次降价百分之几？
5、将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？
6.某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用作购物,剩下的1000元及所得利息又全部按一年定期存入银行.如果存款的利率不变,到期后又可得本金和利息共计1320元.
求年利率.
第六讲 一元二次方程根的判别式
【基础知识精讲】
1．一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)根的判别式:
⑴ 当时,方程有两个不相等的实数根；
(2) 当时,方程有两个相等的实数根；
⑶ 当时,方程没有实数根。
以上三点反之亦成立。
2．一元二次方程有实数根
注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式；
(2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0
(3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”
的形式。
【例题巧解点拨】
一、选择题
1、方程的根的情况是（ ）
A、方程有两个不相等的实数根 B、方程有两个相等的实数根
C、方程没有实数根 D、方程的根的情况与的取值有关
2、若一元二次方程 2x（kx－4）－x2＋6 ＝ 0 无实数根，则k的最小整数值是（ ）
A、－1 B、2 C、3 D、4
3、若关于x的方程ax2+2(a-b)x+(b-a)=0有两个相等的实数根,则a:b等于( )
A、-1或2 B、1或 C、- 或1 D、-2或1
4、若关于y的一元二次方程ky2-4y-3=3y+4有实根,则k的取值范围是( )
A、k>- B、k≥- 且k≠0 C、k≥- D、k> 且k≠0
二、已知关于的方程。
（1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）当等腰三角形ABC的边长＝4，另两边的长、恰好是这个方程的两根时，
求△ABC的周长。
【同步达纲练习】
一、选择(填空)题：
1、方程中，△= ，根的情况是 。
2、关于的一元二次方程的根的情况是 （ ）
A. 有两个不相等的实根； B. 有两个相等的实根； C. 无实数根； D. 不能确定
3、一元二次方程只有一个实数根，则等于 （ ）
A. B. 1 C. 或1 D. 2
4．下面对于二次三项式-x2+4x-5的值的判断正确的是（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．不小于0 D．可能为0
5、一元二次方程有两个相等的实根数，则k的值是_________．
6、若方程kx2–6x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是 .
7、若关于x的一元二次方程没有实数根，则符合条件的一组b，c的实数值可以是b=______，c=_______．
8、当_______时，是完全平方式.
三、解答下列各题
9、 已知方程，则：
①当取什么值时，方程有两个不相等的实数根？
②当取什么值时，方程有两个相等的实数根？
③当取什么值时，方程没有实数根？
10、求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根。
11、设方程有实根，求的值。
12、已知a、b、c为三角形三边长，且方程b (x2-1)-2ax+c (x2+1)=0有两个相等的实数根.
试判断此三角形形状，说明理由.
第七讲 一元二次方程根与系数的关系
【基础知识精讲】
1．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：
设是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根，则，
2．设是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根，
则：时，有
时，有 时，有
3．以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：
【例题巧解点拨】
1．已知一个根，求另一个根.
例1、已知2+是x2－4x+k=0的一根，求另一根和k的值。
。
2．求根的代数式的值
例2、设x1，x2是方程x2-3x＋1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1) x13x24+x14x23；
3．求作新的二次方程
例3、1．以2，－3为根的一元二次方程是_________________________.
2．已知方程2x2－3x－3=0的两个根分别为a，b，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程 ，使它的两个根分别是：a+1、b+1
4．由已知两根和与积的值或式子，求字母的值。
例4、1、已知方程3x2+x－1=0，要使方程两根的平方和为，那么常数项应改为 。
2、α、β是关于x的方程4x2－4mx+m2+4m=0的两个实根，并且满足，求m的值。
【同步达纲练习】
1、如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是x1、x2，那么x1+x2= ，x1·x2= 。
2、已知x1、x2是方程2x2+3x－4=0的两个根，那么：x1+x2= ；x1·x2= ； ；x21+x22= ；(x1+1)(x2+1)= ；｜x1－x2｜= 。
3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 _________________ 。
4、关于x的方程2x2+(m2–9)x+m+1=0，当m= 时，两根互为倒数；当m= 时，两根互为相反数.
5、若x1 =是二次方程x2+ax+1=0的一个根，则a= ，该方程的另一个根x2 = _____.
6、方程的一个根为另一个根的2倍，则m= .
7、已知方程的两根平方和是5，则= .
8、已知方程的两个根分别是 .
9、已知关于x的方程x2－3mx+2(m－1)=0的两根为x1、x2，且，则m= 。
10、求作一个方程，使它的两根分别是方程x2+3x－2=0两根的二倍。
11、如果关于x的方程x2+6x+k=0的两根差为2，求k的值。
y1
y2
y
x
3 5
-1 0
7
2
小明家·
王老师家
·
·学校
15题
．
F
O
A
B
C
D
E
O
A
D
C
B
E
F
p
13题图
A
D
B
F
C
E
A
F
E
C
M
D
B
36
45
第一讲《一元一次不等式（组）的解法》
【基础知识概述】
一、一元一次不等式
（一）基本概念
(1)不等式：用不等号表示不等关系的式子叫不等式．
(2)不等式的解：使含有未知数的不等式成立的未知数的每一个值都叫做不等式的解．
(3)不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集．
(4)解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
(5)一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，两边是整式的不等式，叫一元一次不等式．其最简形式为ax>b，或ax
(1)不等式的性质1：不等式两边都加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变．
(2)不等式的性质2：不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变．
(3)不等式的性质3：不等式两边都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变．
（三）一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法进行类比，类比如下表
一元一次方程 一元一次不等式
解法步骤 1 去分母 ，2 去括号，3 移项， 4 合并同类项5 系数化为1． 1 去分母 ， 2 去括号，3 移项 ， 4 合并同类项，5 系数化为1．在上面的步骤1和5中，如果乘数或除数是负数，则不等号的方向要改变
解 一元一次方程只有一个解 一元一次不等式有无数多个解
（四）不等式的解集在数轴上的表示方法：“大向右，小向左，有等号是实点，无等号是空圈”．
二、一元一次不等式组
（一）．基本概念
(1)一元一次不等式组：几个未知数相同的一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组．
(2)一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集．
(3)解一元一次不等式组：求一元一次不等式组解集的过程叫做解一元一次不等式组．
（二）．解一元一次不等式组的方法以及步骤：
（1）分别求出这个不等式组中各个不等式的解集。
（2）将不等式组中每个不等式的解集在数轴上表示出来，大于向右画，小于向左画。有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。公共部分就是这个不等式组的解集，无公共部分就说这个不等式组无解．
(3）一般由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，可以归结为下面四种情况:
【同步练习】
一．选择题:
1．已知，下列不等式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．不等式的正整数解的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列说法①是的解, ②不是的解,
③的解集是, ④的解集是，其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，用不等式表示数轴上所示的解集，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，如果，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二．解不等式(组)，并把解集表示在数轴上。
6． 7．
三．填空题
8．用适当的符号表示：m的2倍与n的差是非负数： ；
9．不等式的最大整数解是： ；
10．若，则 ；若，则 （填不等号）；
11．函数的自变量x的取值范围是_______________.
12．已知长度为的三条线段可围成一个三角形，那么的取值范围是： ；
13．已知方程的根是正数，则的取值范围是： ；
14．已知不等式5x－a≤0的正整数解是１、２，则a的取值范围是_____________．
15．不等式组的解集为-1
17．已知5x-2y＝6，当x满足6≤7x-1＜13时，y的取值范围是_______________．
18．已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是 _______
19．要使不等式的解集是，则应满足的条件是_________.
20．不等式组的解集是3
22、已知a<0，且，则的最小值为___________________
23、若a+b+c=30, 3a+b-c=50, a、b、c为非负数，则M=5a+4b+2c的最大值是________．
三．解答题
24、当k是什么正整数时，方程的解是负数
25、是否存在这样的整数，使得方程组 的解是一对非负数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
第二讲《一元一次不等式（组）的应用》
一、列不等式（组）解决实际问题：
1．某校举行庆祝“十六大”的文娱汇演，评出一等奖5个，二等奖10个，三等奖25个，学校决定给获奖的学生发奖品，同一等次的奖品相同，并且只能从下表所列物品中选取一件：
品名 小提琴 运动服 笛子 舞鞋 口琴 相册 笔记本 钢琴
单价／元 120 80 24 22 16 6 5 4
(1).如果获奖等次越高，奖品单价就越高，那么学校最少要花多少钱买奖品？
(2).学校要求一等奖奖品单价是二等奖奖品单价的5倍，二等奖奖品单价是三等奖奖品单价的4倍，在总费用不超过1000元的前提下，有几种购买方案？花费最多的一种方案需多少钱？
2.将不足40只鸡放入若干个笼中，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，且最后一笼不足3只。问有笼多少个？有鸡多少只？
二、不等式与函数的结合应用：
3．已知函数y1与y2的图象如图所示,观察图象回答 问题：
当x__________时，y2＞0;
当x__________时，y1＝y2
(3) 当 x__________时，y1＜y2;
(4) 当2＜ y1≤7时;x 的取值范围是
_________________________
4．2006年春，成都市为了＂创建最佳旅游城市＂，要种植一种新品种树苗．甲、乙两处育苗基地均
以每株4元的价格出售这种树苗，并对一次性购买该种树苗不低于1000株的用户均实行优惠：甲处的优惠政策是每株树苗按原价的八折出售；乙处的优惠政策是免收所购树苗中150株的费用，其余树苗按原价的九折出售。
(1)设一次性购买x（x≧1000）株该种树苗，若在甲处育苗基地购买所须费用为y甲元，在乙处育苗基地购买所须费用为y乙元。写出y甲、y乙与x之间的函数关系式。(两个函数均不要求写出自变量的取值范围)
(2)若在甲、乙两处分别购买1500株该种树苗，在哪一处购买所花的费用最少？
(3)若在甲育苗基地以相应的优惠方式购买一批该种树苗，又在乙育苗基地以相应的优惠方式购买另一批该种树苗，两批树苗共2500株，购买这2500株树苗所花的费用最少需要多少元？这时应在甲、乙两处分别购买该种树苗多少株？
5.现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，使用B型车厢每节费用为8000元。
(1)设运送这批货物的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写出y与x之间的函数关系式；
(2)如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？
(3)在上述方案中，哪种方案运费最少？最少运费为多少万元？
6．我市某乡A、B两村盛产柑橘,A村有柑橘200吨,B村有柑橘300吨.现将这些柑橘运到甲、乙两个仓库,已知甲仓库可储存240吨, 乙仓库可储存260吨；从A村庄运往甲、乙两处的费用分别为每吨20元和25元，从B村庄运往甲、乙两处的费用分别为每吨15元和18元。设从A村运往甲仓库的柑橘重量为x吨，A、B两村运往两仓库的柑橘运输费用分别为yA元和yB元。
(1)写出yA、yB 与x之间的函数关系式。
(2)试讨论A、B两个村中，哪个村的运费较少；
（3）考虑到B村的经济承受能力，B村的柑橘运费不得超过4830元，在这种情况下，请问
怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值。
7、在举国上下众志成城，共同抗击非典的非常时期，某厂接受了生产一批高质量医用口罩的任务。要求在8天之内（含8天）生产A型和B型两种型号的口罩共5万只，其中A型口罩不得少于1.8万只，该厂的生产能力是：若生产A型口罩每天能生产0.6万只，若生产B型口罩每天能生产0.8万只，已知生产一只A型口罩可获利0.5元，生产一只B型口罩可获利0.3元。设该厂在这次任务中生产了A型口罩x万只。问：
（1）该厂生产A型口罩可获利润__________万元，生产B型口罩可获利润_ ________万元；
（2）设该厂生产口罩的总利润是y万元，写出y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围
（3）如果你是该厂厂长：①在完成任务的前提下,你如何安排生产A型和B型口罩的只数,使获得的总利润最大 最大利润是多少
②若要在最短时间内完成任务,你又如何来安排生产A型和B型口罩的只数 最短时间是多少
第三讲《分解因式》
【基础知识概述】
一．因式分解的意义：
把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式分解因式。也叫因式分解．
注：①分解因式等号左边必须是一个多项式； ②分解因式的结果必须是积的形式；
③每个因式必须是整式； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止；
⑤多项式的分解因式是一个恒等变形，因式分解与整式乘法是正好相反的过程．
二．分解因式的方法:
(一) 提公因式法：如ab＋ac＝a (b＋c)．
1公因式的意义：多项式的各项中都含有的相同的因式，叫公因式。
2提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫提公因式法。
3公因式的确定：
(1) 对于系数，若各项系数都是整数，所提公因式是各项系数的最大公约数；
（2）对于字母，一是取各项相同的字母，二是各相同字母的指数取其次数最低的。
(3)如果多项式的首项是负数，则公因式符号取“－”，这样可使括号内的第一项系数为正数，但要注意，在提出“－”号时，多项式的各项都要变号．
(4) 公因式可以是单项式，也可以是多项式．
4提公因式的步骤：①找出公因式，②提公因式，并确定另一个公因式。
5．恒等变形:
(二)、运用公式法：
运用平方差公式分解因式：
１． 公式：
２．运用平方差公式分解因式的特点：
(1)应是二项式． (2)二项是异号．(3)二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方．
凡具备上述特点的式子，可以用平方差公式分解因式．
运用完全平方公式分解因式
1．公式： ．
2．运用完全平方公式分解因式的特点：
(1)应是三项式． (2)其中两项同号，且各为一个整式的平方．
(3)还有一项可“＋”可“－”，且它是前两项幂的底数的乘积的2倍．
凡具备上述特点的式子，可以用完全平方公式分解因式．
(三)、分组分解法：
把一个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，使其能够具有公因式或应用公式来分解。这
种分解因式的方法叫分组分解法。
分组的原则：(1)．分组后有公因式可提，且每组之间又有公因式可提；
(2)．分组后能用公式分解，且以后每组之间又能应用公式或提公因式分解。
(四)、十字相乘法：
利用画十字交叉线分解系数，来把二次三项式分解因式的方法叫十字相乘法。
【同步练习】
一、把下列各式分解因式
1． 2．
3、 4．
5． 6．
7. 8.
9. 10.
11． 12．
二．选择题或填空：
13．已知关于x的二次三项式3x2－mx＋n分解因式的结果为（3x＋2）（x－1），则m=_____，n=______.
14．若是一个完全平方式，则a的值为___________。
15．若有一个因式是，则k=________
16．.已知a是方程x2-5x+1=0的解，则的值为________。
17．已知 ，则c =______
18．四边形ABCD的四条边依次为 a ,b ,c , d ,且满足 a2 +b2 +c2 +d2=2ac+2bd.
则这个四边形是____________四边形．
19．因式分解x2+ax+b，甲看错a的值，分解的结果为(x-6)(x-1)，乙看错了b的值，分解的结果是 (x-2)(x+1)，那么分解因式正确的结果是____________________
20．，则的值为___________
三、完成下列各题:
21．已知a-b=b-c=,a2+b2+c2=1,求ab+bc+ac的值.
22．
23．
第四讲《分式的性质及计算》
【基础知识概述】
一、分式的定义
1、如果A、B都是整式，则A÷B可以记作的形式，如果B中含有字母，则称是分式。
2、分式有意义的条件：分母不能为0。
3、分式的值是0的条件：（1）、分子为0；（2）、分母不能为0；两个条件缺一不可；
4、分数线的意义有两个：（1）、表示除号。（2）、表示括号。
二、分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。
1、数学表达式：
2、应用：
（1）、约分；（2）、符号法则；（3）、系数整数化；（4）、通分；
三、分式的的运算
1、分式的乘除：（1）、分子、分母都是单项式的直接约分；
（2）、分子和分母都是多项式，先分解因式
（注意：一般单一字母的按降幂排列，多个字母的按统的顺序排列）
2、分式的加减法：（1）、同分母的分式相加减，分母不变把分式相加减；
（2）异分母的分式相加减，先通分，然后按同分母分式加减法则进行计算．
【同步练习】
一．选择题:
1. 在、、、、、、中分式的个数有---------------（ ）
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
2．若使式子从左到右变形成立，应满足的条件是------------------（ ）
A B C D
3. 下列等式成立的是--------------------------------------------------------------------------------（ ）
A B C D
4.下列等式成立的是----------------------------------------------------------------------------------（ ）
A B C D
5．若-----------------------------（ ）
A．正数 B．负数 C．零 D．正数或负数
二、计算:
6、 7、 ÷
8、 9、
10、 11、
三．填空题
12．
13.
14．已知:
15．
16．.
17．已知:
18. 不改变分式的值：(1)分式中的分子、分母的系数化为整数，.
(2)分式的分子、分母按某一字母的降幂排列，并使最高次项的系数是正数，
19.已知，则= .
20.若x、y满足关系式 时分式的值等于.
21. 已知：，则分式的值为______________.
22．已知且y≠0，则 .
23．已知：分式
24．
25．如果，求A、B。
第五讲《分式方程》
【基础知识概述】
分式方程：分母中含有未知数的方程叫分式方程。
1.解分式方程的基本思想方法:
2.解分式方程的一般方法和步骤:
(1)去分母,即在方程两边都乘以最简公分母,把原方程化成整式方程;
(2)解这个整式方程;
(3)验根:把整式方程的根代入最简公分母, 使最简公分母不等于零的根是原方程的根, 使最简公分母等于零的根是原方程的增根,必须舍去.
3.列分式方程解应用题的一般步骤:
(1)审:审清题意. (2)设:设未知数.
(3)找:找出相等关系. (4)列:列出分式方程.
(5)解: 解这个分式方程.
(6)验:检验,既要验证根是否是原分式方程的根,又要检验根是否符合题意.
(7)答:写出答案.
【同步练习】
一、解下列方程.
1、 2、
3、 4、
二、填空.
5、方程=0的根是________
6、关于x的方程的解为x=1, 则
7、若关于x的分式方程无解，则m的值为__________。
8、小明通常上学时走上坡路，途中平均速度为m千米/时，放学回家时，沿原路返回，通常的速度为n千米/时，则小明上学和放学路上的平均速度为_____________千米/时
9、某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为___________________________.
10、A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程为
____________________________。
11、八年级（1）班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区到学校120千米，一部分学生乘慢车先行，出发1小时后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达，已知快车速度是慢车的1.5倍，若设慢车的速度为x千米/时，则可列方程为____________________________。
12、某农场原有水田400公顷，旱田150公顷，为了提高单位面积产量，准备把部分旱田改为水田，改完之后，要求旱田占水田的10%，若设把x公顷旱田改为水田，则可列方程为________________。
13、若，且3 x+2y－z=14,则x=______, y=______ , z=_________.
14．m取_________________整数值时，分式的值是正整数.
15、一个两位数除以它的两个数位上的数字和，若商为最小值，则这个两位数为__________；如果商为最大值，则这个两位数为__________．
16、在保证分母不等于0的前提下，分式中的x不论取什么值分式的值都不变，则a和b之间的关糸应是____________.
三、解答题.
17、分式方程有增根，求k的值.
18、当m为何值时，分式方程
19、已知，求的值；
.
20、已知： 求：（x+y）∶z的值
四、列方程解应用题.
21、（06.吉林）小明家、王老师家、学校在同一条路上。小明家到王老师家的路程为3千米，王老师家到学校的路程为0.5千米，由于小明的父母战斗在抗“非碘”的第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学，已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟。问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？
22、（06.东营市）某自来水公司水费计算方法如下：若每户每月用水不超过5m3，则每立方米收费1.5
元；若每户每月用水超过5m3，则超出部分每立方米收取较高的定额费用。1月份，张家用水量是李家用水量的，张家当月水费是17.5元，李家当月水费是27.5元，超出5m3的部分每立方米收费多少元？
23、小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，需工钱4.8万元。若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由。
第六讲《分式综合练习》
一、计算：
1、 2、
3、 4、（x－1－）÷,其中x=3－.
二、解下列方程.
5、 6、
7、 8、
三、填空.
9.式子x+y, , ,—4xy , , 中，分式的个数有_________个。
10、x _____ 时，分式有意义。当x= ____时，分式的值为零。
11.如果=2，则=________. 若，则的值为_______。
12、若关于x的分式方程无解，则m的值为__________。
13、当m_________时，分式方程
14、已知：分式的值为正整数，则整数a的值为_________________________.
15、已知：，，则的值为________.
四、解答题.
16、a为何值时，分式方程无解？
17、已知：，，求的值。
18、 已知 求的值
五、列方程解应用题.
19、(武汉中考)今年入夏以来，湖北部分地区旱情严重，为缓解甲、乙两地旱情，、某水库计划向甲、乙两地送水，甲地需水量为180 万立方米，乙地需水量为120万立方米，现已送水两次：第一次往甲地送水3天，往乙地送水2天，共送水84万立方米，第二次往甲地送水2天，往乙地送水3天，共送水81万立方米，问：完成往甲地、乙地送水任务还有多少天？
第七讲 图形的平移与旋转
【基础知识精讲】
一、平移：
1.平移的定义——在平面内，把一个图形沿某一个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫图
形的平移。
说明：（1）平移是图形的一种运动（变换）
（2）平移的要素：①平移方向；②平移距离。
2.平移的性质:
①平移前后图形的大小、形状都不改变。即：平移前后的图形全等形。
②平移前后对应点的连线段平行且相等；对应线段平行且相等；对应角相等。
二、旋转
1.旋转的定义——在平面内，把一个图形绕一个定点沿着某一个方向转动一个角度，这样的图形运动叫图形的旋转。
说明：（1）旋转是图形的一种运动（变换）
（2）旋转的要素： ①旋转中心 ②旋转方向 ③旋转角
2.旋转的性质
①旋转前后图形的大小、形状都不改变。即：旋转前后的图形全等形。
②图形上任意点都绕中心沿相同方向转动相同的角度（旋转角）；
③对应点到旋转中心的距离相等。
【同步达纲练习】
一、填空题
1．平移由 _____和 _______所决定．
2．图形的旋转由_____________和________ 所决定.
3．平移和旋转都不改变图形的 ________.
4．△ABC经过平移后得到△EFG，若∠A＝30°，则∠E＝ ，FG＝3cm, 则BC＝ cm．
5．将正方形ABCD沿对角线AC方向平移，且平移后的图形的一个顶点恰好在AC的中点O处，则移动前后两个图形的重叠部分的面积为原正方形的面积的 ．
6．将△ABC经过平移得到△A′B′C′，若AB＝10cm，∠B=40°则A′B′的长度为 ，
∠B′的度数为 ．
7．边长为4 cm的正方形ABCD绕它的顶点A旋转180°，顶点B所经过的路线长为______cm．
8．9点30分，时钟的时针和分针的夹角是______．
9．一个正三角形要绕它的中心至少旋转 度，才能和原来的图形重合．
10．如图所示，将字母“V”向右平移 格会得到字母“W”．
11．Rt△ABC绕着B点旋转90°后得到△EBD，则AC与ED的位置关系是＿＿＿＿＿＿。
12．将一图形沿着正北方向平移 5cm 后，再沿着正西方向平移 5cm，这时图形在原来位置的
＿＿＿＿方向上。
13．如图，当半径为30cm的转动轮转过120角时，传送带上的物体A
平移的距离为 cm。
14. 把△ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到△A'B'C'，A'B'交AC
于点D，若∠A'DC＝90°，则∠A的度数是＿＿＿＿
15.如图，已知正方形 ABCD, E是BA延长上的点，∠E=60°，现将△ADE绕点A顺时方向旋转到△AGF的位置，则当旋转角
∠EAF=_____°时，FG∥AB。
1．如图所示：正方形ABCD中E为BC的中点，将面ABE旋转后得到△CBF.
（1）旋转中心是________, 旋转角度为 _________．
（2）AE与CF的位置关系为_________．
（3）如果正方形的面积为18cm2，△BCF的面积为4cm2，问四边形AECD的面
积是_________.
2．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=4，现将△ABC沿CB方向平移到△A’B’C’的位置。若平移距离为3，
（1），则△ABC与△A’B’C’的重叠部分的面积为__________________；
（2），若平移距离为x（0≤x≤4），求△ABC与△A’B’C’的重叠部分的面积y，则y与x有怎样关系式为____________________。
二、选择题
1．下列运动是属于旋转的是( )
A.滾动过程中的篮球的滚动 B.钟表的钟摆的摆动
C.气球升空的运动 D.一个图形沿某直线对折过程
2．下列说法错误的是（ ）
A．关于某条直线成轴对称的两个图形一定可以通过平移而彼此得到
B．通过平移，对应点连线的线段相等 C．通过旋转，对应点连成的线段相等
D．旋转后，对应点与旋转中心连成线的夹角相等
3.如图1，图形旋转一定角度后能与自身重合,则旋转的角度可能是( )
A、300 B、600 C、900 D、1200
4.如图2，面积为12cm的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是边BC长的两倍，则图中的四边形ACED的面积为（ ）
A、24 cm B、36 cm C、48 cm D、无法确定
5.如图3，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连结BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转900得到△DCF，连结EF，若∠BEC=600，则∠EFD的度数为（ ）
A、100 B、150 C、200 D、250
图1 图2 图3
三、作图题
1．如图所示，在平行四边形ABCD中，AE⊥BE垂足为E，试画出将△ABE平移后的图形，其平移的方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长．
2.在右图中作出“三角旗”绕O点按逆时针旋转90°后的图案．
第八讲 平行四边形的性质与判别
【基础知识精讲】
1．平行四边形：
(1)平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形用符号“”表示．平行四边形ABCD记作，读作平行四边形ABCD．
2．平行四边形的性质：
(1) 平行四边形的对边平行且相等． (2)．平行四边形的对角相等，邻角互补。
(3)平行四边形的对角线互相平分．
(4)若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积．
3．两条平行线间的距离：
(1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离．
(2)两平行线间的距离处处相等．
4．平行四边形的面积：
(1)如图①，．
(2)同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．
如图②，有公共边BC，则．
5．平行四边形的判别方法：
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
6．平行四边形知识的运用：
(1)直接运用平行四边形特征解决某些问题，如求角的度数，线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等．
(2)识别一个四边形为平行四边形，从而得到两直线平行．
(3)先识别—个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的特征去解决某些问题．
【同步达纲练习】
一、填空题
1．在中，如果∠A的余角比∠B的补角大10°，那么∠A＝_________，∠B＝_________．
2．在中，周长为28，两邻边之比为3︰4，则各边长为___________．
3．一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长是6，则它的另一条对角线x的取值范围为________．
4．已知等腰△ABC的一腰AB＝9 cm，过底边上任一点P作两腰平行线分别交AB于M，交AC于N，则AN十PN＝____________．
5．已知P为内一点，，则＝____________．
6．的对角线相交于点O，它的周长为10 cm，△BCO的周长比△AOB的周长多2cm，
则AB＝____________．
7．中，AB＝2，BC＝3，∠B、∠C的平分线分别交AD于E、F，则EF＝_________．
8．在中，AD＝24cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm／秒的速度运动，动点Q从C点开始沿CB边以3cm／秒的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒，t为________时四边形PQCD为平行四边形
9．中，EF过对角线的交点O，若AD = 6， AB = 5， OE = 2，则四边形ABFE的周长是__________。
10．已知△ABC中，AB＝9，AC＝10，BC边上中线AD的取值范围是_____________．
二、解答题
11．如图，□ABCD的对角线AC、BD交于O，EF过点O交AD于E，交BC于F，G是OA的中点，H是OC的中点，说明四边形EGFH是平行四边形.
12. 如图，□ABCD中, ∠ABC＝75°,AF⊥BC于F,AF交BD于E,若DE=2AB,求∠AED的大小.
第九讲 矩形、菱形、正方形
【基础知识概述】
（一）【知识框架】
（二）【几种特殊四边形的性质】
边 角 对角线
平行四边形 对边平行且相等 对角相等 两条对角线互相平分
矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 两条对角线互相平分且相等
菱形 对边平行四边相等 对角相等 两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
正方形 对边平行四边相等 四个角都是直角 两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
（三）【几种特殊四边形的常用判定方法】
平行四边形 （1）两组对边分别平行；（2）两组对边分别相等；（3）一组对边平行且相等；（4）两条对角线互相平分；（5）两组对角分别相等。
矩形 （1）有三个是直角；（2）是平行四边形且有一个角是直角；（3）是平行四边形且两条对角线相等。
菱形 （1）四条边都相等；（2）是平行四边形且有一组邻边相等；（3）是平行四边形且两条对角线互相垂直。
正方形 （1）是矩形，且有一组邻边相等；（2）是菱形，且有一个角是直角。
（四）【几个重要结论】
1．两平行线间的距离处处相等．
2．同底(等底)同高(等高)的三角形面积相等．
3．同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．
4．菱形的面积等于两对角线乘积的一半．
5．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
6．直角三角形中，如果有一个锐角等于30°,那么30°所对的直角边等于斜边的一半．
【同步达纲练习】
一、填空、选择
1．矩形ABCD的边AB的中点为P，且∠DPC为直角，则AD：BA＝ ．
2．已知矩形ABCD中，对角线AC，BD交于O点，∠AOB=2∠BOC，AC=18cm，则AD= cm.
3.矩形的边长为10cm和15cm，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分为___________.
4．菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=10cm，则AC=________cm．
5．若一条对角线平分平行四边形的一组对角，且一边长为a时，周长为________．
6．若菱形的两条对角线的比为3：4，且周长为20cm，它的一组对边的距离为2.4cm，它的两条对角线的长分别为_____________．
7．已知正方形的一条对角线长为4cm，则它的面积是________cm2．
8.E是正方形ABCD边BC延长线上的一点，CE＝CA，AE交CD于F，则∠AFC＝ ____ .
9.下列说法中正确的是( )
A.一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B.四个角都相等的四边形是矩形
C.菱形的对角线相等且每条对角线平分一组对角 D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
10.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A.对角线互相平分 B.对角线相等
C.对角线互相平分且相等 D.对角线互相垂直
11.等边△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在BC、
CD上，则∠B的度数是______.
12.正方形ABCD中，ＡＢ＝，点E、F分别在ＢＣ、ＣＤ上，
∠BAE＝30°, ∠DAF＝15°, 则△AEF的面积为_____________.
13．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P为AB上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，求：PE+PC=________.
二、解答题
14．△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE∥AC交BC于E，DF∥BC交AC于F．
求证：四边形DECF是菱形．
15.已知,如图，四边形ABCD中,AB∥DC,E是BC的中点,AE,DC的延长线相交于点F,连接AC、BF。四边形ABFC是什么四边形？说明你的理由。
16.如图，在Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=900,点D为BC上任意一点，
DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，AM为BC的中线，
（1）判断△EMF是什么形状的三角形，并证明你的结论。
（2）若BE=5，CF=12,求△EMF的面积。
初三新课
第一讲 一元二次方程的解法--配方法
【基础知识精讲】
1．一元二次方程：
只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程．
一般形式：ax2＋bx+c=0 (a≠0）。
注意： 在一元二次方程的一般形式中要特别强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于x的方程（k2－1）x2+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．
2．一元二次方程的解法：
⑴ 直接开平方法：如果方程 (x+m）2= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解。
(2) 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是：
化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；
配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；
化原方程为(x+m）2=n的形式；
如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解．
④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4a＜0，则方程无解．
程的解．
【例题巧解点拨】
例1：关于x的方程是，那么当m 时，方程为一元二次方程；
当m 时，方程为一元一次方程.
例2：把下列各式配成完全平方式
（2） （3） x2-x-4
例3：用配方法解下列方程
x2-6x+3=0 （2） =0 （3） x2-x-4=0
（4）
【同步达标练习】
1．用适当的数填空：
①、x2+6x+ =（x+ ）2；
②、x2－5x+ =（x－ ）2；
③、x2+ x+ =（x+ ）2；
④、x2－9x+ =（x－ ）2
2．将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为_________．
3．已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，则ab=_______．
4．将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为_______，所以方程的根为_________．
5．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（ ）
A．3 B．-3 C．±3 D．以上都不对
6．用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（ ）
A．（a-2）2+1 B．（a+2）2-1 C．（a+2）2+1 D．（a-2）2-1
7．把方程x+3=4x配方，得（ ）
A．（x-2）2=7 B．（x+2）2=21 C．（x-2）2=1 D．（x+2）2=2
8．用配方法解方程x2+4x=10的根为（ ）
A．2± B．-2± C．-2+ D．2-
9．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（ ）
A．总不小于2 B．总不小于7
C．可为任何实数 D．可能为负数
用配方法解下列方程：
（1）3x2-5x=2． （2）x2+8x=9
（3）x2+12x-15=0 （4） x2-x-4=0
11.用配方法求解下列问题
（1）求2x2-7x+2的最小值 ；
（2）求-3x2+5x+1的最大值。
第二讲 用公式法解一元二次方程
【基础知识精讲】
1．一元二次方程的解法：
公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．
一元二次方程的求根公式是 (b2－4ac≥0)
应用求根公式解一元二次方程时应注意：
①化方程为一元二次方程的一般形式；
②确定a、b、c的值；
③求出b2－4ac的值；
④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4a＜0，则方程无解．
【例题巧解点拨】
例：用公式法解下列方程
x2-6x+3=0 （2） =0 （3） x2-x-4=0
（4）
【同步达标练习】
1．一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，它的根是_____，当b-4ac<0时，方程_________．
2．方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，则有________，若有两个不相等的实数根，则有_________，若方程无解，则有__________．
3．若方程3x2+bx+1=0无解，则b应满足的条件是________．
4．关于x的一元二次方程x2+2x+c=0的两根为________．（c≤1）
5．用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac=_______，x1=_____，x2=________．
6．已知一个矩形的长比宽多2cm，其面积为8cm2，则此长方形的周长为________．
7．一元二次方程x2-2x-m=0可以用公式法解，则m=（ ）．
A．0 B．1 C．-1 D．±1
8．用公式法解方程4y2=12y+3，得到（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=
9．已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a（1+x2）+2bx-c（1-x2）=0的两根相等，则△ABC为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．任意三角形
10．不解方程，判断所给方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，有实数根的方程有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．解下列方程；
（1）2x2-3x-5=0 （2）2t2+3=7t （3）x2+x-=0
（4）x2-2x+1=0 （5）0.4x2-0.8x=1 （6）y2+y-2=0
二、拓广探索:
12．当x=_______时，代数式与的值互为相反数．
13．若方程x-4x+a=0的两根之差为0，则a的值为________．
第三讲 用因式分解法解一元二次方程
【基础知识精讲】
1． 因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：
①将方程右边化为0；
②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；
③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．
注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）
②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．
【例题巧解点拨】
例：用公式法解下列方程
（1） （2）x2-6x+9=0 （3） x2-x-12=0
（4）－2(x＋4)2=3（x＋4）
【同步达纲练习】
1．选择题
(1)方程(x－16)(x＋8)＝0的根是( )
A．x1＝－16，x2＝8 B．x1＝16，x2＝－8 C．x1＝16，x2＝8 D．x1＝－16，x2＝－8
(2)下列方程4x2－3x－1＝0，5x2－7x＋2＝0，13x2－15x＋2＝0中，有一个公共解是( )
A.x＝ B．x＝2 C．x＝1 D．x＝－1
(3)方程5x(x＋3)＝3(x＋3)解为( )
A．x1＝，x2＝3 B．x＝ C．x1＝－，x2＝－3 D．x1＝，x2＝－3
(4)方程(y－5)(y＋2)＝1的根为( )
A．y1＝5，y2＝－2 B．y＝5 C．y＝－2 D．以上答案都不对
(5)方程(x－1)2－4(x＋2)2＝0的根为( )
A．x1＝1，x2＝－5 B．x1＝－1，x2＝－5 C．x1＝1，x2＝5 D．x1＝－1，x2＝5
(6)一元二次方程x2＋5x＝0的较大的一个根设为m，x2－3x＋2＝0较小的根设为n，则m＋n的值为( )
A．1 B．2 C．－4 D．4
(7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x2－16x＋55＝0的一个根，则第三边长是( )
A．5 B．5或11 C．6 D．11
(8)方程x2－3|x－1|＝1的不同解的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．填空题
(1)方程t(t＋3)＝28的解为_______．
(2)方程(2x＋1)2＋3(2x＋1)＝0的解为__________．
(3)方程(2y＋1)2＋3(2y＋1)＋2＝0的解为__________．
(4)关于x的方程x2＋(m＋n)x＋mn＝0的解为__________．
(5)方程x(x－)＝ －x的解为__________．
3．用因式分解法解下列方程：
(1)x2＋12x＝0； (2)4x2－1＝0； (3)x2＝7x；
(4)x2－4x－21＝0； (5)(x－1)(x＋3)＝12； (6)3x2＋2x－1＝0；
(7)10x2－x－3＝0； (8)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．
第四讲 一元二次方程的解法
【基础知识精讲】
1．一元二次方程：
只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程．
一般形式：ax2＋bx+c=0 (a≠0）。
注意： 在一元二次方程的一般形式中要特别强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于x的方程（k2－1）x2+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．
2．一元二次方程的解法：
⑴ 直接开平方法：如果方程 (x+m）2= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解。
(2) 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是：
化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；
配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；
化原方程为(x+m）2=n的形式；
如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解．
⑶ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．
一元二次方程的求根公式是 (b2－4ac≥0)
应用求根公式解一元二次方程时应注意：
①化方程为一元二次方程的一般形式；
②确定a、b、c的值；
③求出b2－4ac的值；
④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4a＜0，则方程无解．
(4) 因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：
①将方程右边化为0；
②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；
③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．
注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）
②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．
【例题巧解点拨】
一、填空或选择：
1、一元二次方程的一般形式是 ；二次项系数是 ；一次项系数是；常数项是 。
2.方程① ② ③ ④中一元二次方程是__ .
A. ①和②； B. ②和③ ； C. ③和④；D. ①和③
3．要使方程（a-3）x2+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则__________.
A．a≠0 B．a≠3
C．a≠1且b≠-1 D．a≠3且b≠-1且c≠0
4．若（m+1）+2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是________．
二、解方程：
5、（用直接开平方法） 6、（用因式分解法）
7、（用公式法） 8、（用配方法）
9、 10、abx2-(a2+b2)x+ab=0 (ab≠0)
【同步达纲练习】
一、按要求解下列方程:
1. （直接开平方法） 2. (因式分解法)
3. (配方法) 4. (求根公式法)
二、用适当的方法解下列各题:
5． 6．
7． 8. x2- (2a+1)x+a2+a=0
三、填空题:
9.在,,,，,,
中，是一元二次方程有_________个
10.把方程化成一般式为____________________.二次项系数是_____、一次项系数是_______、常数项是是_________.
11、关于的x的一元二次方程方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0, 则a的值是___________.
12. 方程:①, ②, ③ ,④,较简便的解法_________.
A .依次为直接开平方法,配方法,公式法和因式分解法
B.①用直接开平方法,②用公式法,③④用因式分解法
C. 依次为因式分解法,公式法,配方法和直接开平方法
D. ①用直接开平方法,②③用公式法,④用因式分解法
13. 关于x的方程是(m2–1)x2+(m–1)x–2=0，那么当m 时，方程为一元二次方程；
当m 时，方程为一元一次方程.
14.当时, 关于x的方程是一元二次方程.
15.已知,当x=_______时,y=0; 当y=_______时,x=0.
16.;
17. 已知与是同类项,则=____________.
18. 一元二次方程若有两根1和－1,那么________,____
19.当时,则的解为____________________.
20、设是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为 。
21．已知三角形的两边长分别是3和4,笫三边的长是方程x2－6x+5=0的根,三角形的形状为_________
22. 方程的解是_________________________.
第五讲 列一元二次方程解应用题
一、列方程解应用问题的步骤：
①审题， ②设未知数， ③列方程， ④解方程， ⑤答
列一元二次方程解应用题，步骤与以前列方程解应用题一样，其中审题是解决问题的基础，找等量关系列方程是关键，恰当灵活地设元直接影响着列方程与解法的难易，它可以为正确合理的答案提供有利的条件．方程的解必须进行实际题意的检验．
【例题巧解点拨】
1 有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数．
2、如图，有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35m，求鸡场的长与宽各为多少？
3、如图，所示，△ABC中，AB=6cm，BC=8cm，∠B=90°，点P从点A开始沿边AB向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始边BC向点C以2厘米/秒的速度移动。
如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟，使△PBQ的面积等于8厘米2？
如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B点后又继续在BC边上前进，Q到点C后又继续在CA边上前进，经几秒钟，使△PCQ的面积等于12.6厘米2？
4、某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，
求每次降价百分之几？
5、将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？
6.某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用作购物,剩下的1000元及所得利息又全部按一年定期存入银行.如果存款的利率不变,到期后又可得本金和利息共计1320元.
求年利率.
第六讲 一元二次方程根的判别式
【基础知识精讲】
1．一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)根的判别式:
⑴ 当时,方程有两个不相等的实数根；
(2) 当时,方程有两个相等的实数根；
⑶ 当时,方程没有实数根。
以上三点反之亦成立。
2．一元二次方程有实数根
注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式；
(2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0
(3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”
的形式。
【例题巧解点拨】
一、选择题
1、方程的根的情况是（ ）
A、方程有两个不相等的实数根 B、方程有两个相等的实数根
C、方程没有实数根 D、方程的根的情况与的取值有关
2、若一元二次方程 2x（kx－4）－x2＋6 ＝ 0 无实数根，则k的最小整数值是（ ）
A、－1 B、2 C、3 D、4
3、若关于x的方程ax2+2(a-b)x+(b-a)=0有两个相等的实数根,则a:b等于( )
A、-1或2 B、1或 C、- 或1 D、-2或1
4、若关于y的一元二次方程ky2-4y-3=3y+4有实根,则k的取值范围是( )
A、k>- B、k≥- 且k≠0 C、k≥- D、k> 且k≠0
二、已知关于的方程。
（1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）当等腰三角形ABC的边长＝4，另两边的长、恰好是这个方程的两根时，
求△ABC的周长。
【同步达纲练习】
一、选择(填空)题：
1、方程中，△= ，根的情况是 。
2、关于的一元二次方程的根的情况是 （ ）
A. 有两个不相等的实根； B. 有两个相等的实根； C. 无实数根； D. 不能确定
3、一元二次方程只有一个实数根，则等于 （ ）
A. B. 1 C. 或1 D. 2
4．下面对于二次三项式-x2+4x-5的值的判断正确的是（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．不小于0 D．可能为0
5、一元二次方程有两个相等的实根数，则k的值是_________．
6、若方程kx2–6x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是 .
7、若关于x的一元二次方程没有实数根，则符合条件的一组b，c的实数值可以是b=______，c=_______．
8、当_______时，是完全平方式.
三、解答下列各题
9、 已知方程，则：
①当取什么值时，方程有两个不相等的实数根？
②当取什么值时，方程有两个相等的实数根？
③当取什么值时，方程没有实数根？
10、求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根。
11、设方程有实根，求的值。
12、已知a、b、c为三角形三边长，且方程b (x2-1)-2ax+c (x2+1)=0有两个相等的实数根.
试判断此三角形形状，说明理由.
第七讲 一元二次方程根与系数的关系
【基础知识精讲】
1．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：
设是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根，则，
2．设是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根，
则：时，有
时，有 时，有
3．以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：
【例题巧解点拨】
1．已知一个根，求另一个根.
例1、已知2+是x2－4x+k=0的一根，求另一根和k的值。
。
2．求根的代数式的值
例2、设x1，x2是方程x2-3x＋1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1) x13x24+x14x23；
3．求作新的二次方程
例3、1．以2，－3为根的一元二次方程是_________________________.
2．已知方程2x2－3x－3=0的两个根分别为a，b，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程 ，使它的两个根分别是：a+1、b+1
4．由已知两根和与积的值或式子，求字母的值。
例4、1、已知方程3x2+x－1=0，要使方程两根的平方和为，那么常数项应改为 。
2、α、β是关于x的方程4x2－4mx+m2+4m=0的两个实根，并且满足，求m的值。
【同步达纲练习】
1、如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是x1、x2，那么x1+x2= ，x1·x2= 。
2、已知x1、x2是方程2x2+3x－4=0的两个根，那么：x1+x2= ；x1·x2= ； ；x21+x22= ；(x1+1)(x2+1)= ；｜x1－x2｜= 。
3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 _________________ 。
4、关于x的方程2x2+(m2–9)x+m+1=0，当m= 时，两根互为倒数；当m= 时，两根互为相反数.
5、若x1 =是二次方程x2+ax+1=0的一个根，则a= ，该方程的另一个根x2 = _____.
6、方程的一个根为另一个根的2倍，则m= .
7、已知方程的两根平方和是5，则= .
8、已知方程的两个根分别是 .
9、已知关于x的方程x2－3mx+2(m－1)=0的两根为x1、x2，且，则m= 。
10、求作一个方程，使它的两根分别是方程x2+3x－2=0两根的二倍。
11、如果关于x的方程x2+6x+k=0的两根差为2，求k的值。
y1
y2
y
x
3 5
-1 0
7
2
小明家·
王老师家
·
·学校
15题
．
F
O
A
B
C
D
E
O
A
D
C
B
E
F
p
13题图
A
D
B
F
C
E
A
F
E
C
M
D
B
36
45
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