课件50张PPT。教师用书独具演示演示结束随机事件的概率 某个常数 稳定性随机事件A的概率 P(A) 频率与概率之间的联系 【问题导思】
做一个简单的实验：把一枚骰子掷多次，观察出现的结果，并记录各结果出现的频数．
1．在本实验中出现了几种结果？
【提示】 一共出现了1点、2点、3点、4点、5点、6点六种结果．
2．一次试验中的试验结果试验前能确定吗？
【提示】 不能．
3．若做大量地重复试验，你认为出现每种结果的次数有何关系？
【提示】 大致相等．频繁程度 随机的 一个确定 随机事件发生的可能性的大小 重复试验 频率 生活中的概率 判断 随机事件及有关概念 频率与概率的关系 概率与日常生活的联系 课时作业（十五）课件46张PPT。教师用书独具演示演示结束古典概率模型的特征 【问题导思】
1．掷两枚质地均匀的硬币，有哪几种可能结果？
【提示】 (正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．
2．掷一枚质地均匀的骰子，有哪些基本事件？每个基本事件出现的可能性相等吗？
【提示】 这个试验的基本事件有六个，正面出现的点数为1,2,3,4,5,6，由于质地均匀，因此基本事件出现的可能性相等．有限个 可能性 古典概型 基本事件 古典概型的概率公式 可能结果 基本事件数 试验的基本事件 古典概型的判定 古典概型概率的计算 课时作业（十六）课件50张PPT。教师用书独具演示演示结束由概率模型认识古典概型 有限的 等可能的 角度 古典概型 古典概型 列举 “有放回”与“不放回”的古典概型 “有序”与“无序”的古典概型 建立概率模型 课时作业（十七）课件52张PPT。教师用书独具演示演示结束互斥事件 1．事件D3与事件F能同时发生吗？
【提示】 不能．
2．如果事件“C2发生或C4发生或C6发生”，就意味着哪个事件发生？
【提示】 意味着事件G发生．
3．事件D2与事件H同时发生，意味着哪个事件发生？
【提示】 C5发生．不能同时发生 至少有一个发生 事件A1，事件A2，…，事件An P(A＋B)＝P(A)＋P(B) P(A1＋A2＋…＋A_n) ＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An) 对立事件及其概率的求法公式 同时发生 发生 互斥事件与对立事件的判断 互斥事件的概率 对立事件的概率 课时作业（十八）课件47张PPT。教师用书独具演示演示结束模拟方法与几何概型 【问题导思】
我们做这样一个试验：往一个圆木盘上随意的掷飞镖，飞镖可能落在圆盘上的任何一个位置．
1．本试验的结果有多少个？
【提示】 无数个．
2．每个试验结果出现的可能性均等吗？
【提示】 均等．
3．它与古典概型有何区别？
【提示】 古典概型中的结果是有限的，而本试验的结果是无限的．模拟方法 模拟方法 面积 形状 位置 体积之比 长度之比 几何概型的适用情况以及计算步骤等可能 与长度有关的几何概型 与面积有关的几何概型 与体积有关的几何概型 课时作业（十九）第三章 概 率
§1随机事件的概率
1．1 频率与概率
1．2 生活中的概率
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；
(2)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性；
(3)了解概率的概念和意义以及事件发生的频率与概率的区别与联系；
(4)利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题．
2．过程与方法
(1)发现法教学：经历抛硬币试验获取数据的过程，归纳总结试验结果，发现规律，真正做到在探索中学习，在探索中提高；
(2)通过三种事件的区分及用统计算法计算随机事件的概率，提高学生分析问题、解决问题的能力；
(3)通过概念的提炼和小结的归纳提高学生的语言表达和归纳能力．
3．情感、态度与价值观
(1)通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系；培养学生以随机的观点认识世界，使学生了解偶然性和必然性的辩证统一，培养其辩证唯物主义思想．
(2)通过动手实验，培养学生的“做”数学的精神，享受“做”数学带来的成功喜悦．
●重点难点
重点：事件的分类；了解随机事件发生的不确定性和概率的稳定性；正确理解概率的定义．
难点：随机事件的概率的统计定义．
由于概念比较抽象，突破难点的重要途径是注重它们的实际意义，通过实例、试验来加深学生对概念的理解．
(教师用书独具)
●教学建议
实践教学法，指导学生做简单易行的试验，让学生自然地发现随机事件的某一结果发生的规律性．以实际生活中的例子展开，让学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，学生参与到知识的发生、发展中来，体会数学知识与现实世界的联系．
●教学流程
创设情境引入新课：明天下雨的可能性为95%，明天一定下雨吗？怎样理解这句话?引导学生结合初中所学的概率知识分析、思考概率与频率的区别与联系?通过引导学生回答所提问题给出概率的统计意义?通过例1及变式训练，使学生掌握判断随机事件的基本方法
?通过例2及互动探究，使学生明确概率与频率的关系?通过例3及其变式训练，学生能初步掌握现实生活中的一些概率问题的合理解释?归纳整理，进行小结，使学生从整体上把握本节知识?完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正
课标解读
1.通过试验，理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率，并据此估计某一事件发生的概率，进而理解概率的含义(重点)．
2．对生活中的一些问题能从概率的角度作出合理的解释(难点)．
3．经历试验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力.
随机事件的概率
在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A)．我们有0≤P(A)≤1.
频率与概率之间的联系
【问题导思】
做一个简单的实验：把一枚骰子掷多次，观察出现的结果，并记录各结果出现的频数．
1．在本实验中出现了几种结果？
【提示】 一共出现了1点、2点、3点、4点、5点、6点六种结果．
2．一次试验中的试验结果试验前能确定吗？
【提示】 不能．
3．若做大量地重复试验，你认为出现每种结果的次数有何关系？
【提示】 大致相等．
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小．
在实际问题中，某些随机事件的概率往往难以确切得到，因此，我们常常通过做大量的重复试验，用随机事件发生的频率作为它的概率的估计值．
生活中的概率
【问题导思】
某同学投篮命中率为50%，那么他投篮10次，一定会投中5次吗？
【提示】 不一定．投篮命中率为50%，并不能说他投篮10次一定投中5次，但随着投篮次数的增加，他投中的次数会越来越接近一半，即投中率接近50%.
概率和日常生活有着密切的联系，对生活中的随机事件，我们可以利用概率知识作出合理的判断与决策.
随机事件及有关概念
指出下列事件中，哪些是不可能事件，哪些是必然事件，哪些是随机事件．
(1)在标准大气压下，水在温度达到90 ℃时沸腾；
(2)某一天内电话收到的呼叫次数为0；
(3)一个袋内装有形状、大小都相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出1个球为白球．
【思路探究】 可先判断在给定条件下，所给事件是否一定发生，然后再确定其事件类型．
【自主解答】 根据“在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫作随机事件”，可知(2)、(3)为随机事件．根据“在一定条件下一定不会发生的事件叫作不可能事件，一定条件下必然会发生的事件叫作必然事件”可知，(1)为不可能事件．
1．准确掌握随机事件、必然事件、不可能事件的概念是解决此类问题的关键．
2．应用时要特别注意看清条件，在给定条件下判断一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生来确定哪一类事件．
指出下列事件是随机事件、必然事件还是不可能事件：
(1)我国东南沿海某地明年将受到3次热带气旋的侵袭；
(2)若a为实数，则|a|≥0；
(3)某人开车通过10个路口都将遇到绿灯；
(4)一个正六面体的六个面分别写有数字1,2,3,4,5,6，将它抛掷2次，数字之和大于12.
【解】 (1)(3)所陈述的事件可能发生也可能不发生，故为随机事件；(2)所陈述的事件在此条件下一定会发生，故为必然事件；(4)中的事件在此条件下一定不会发生，故为不可能事件．
频率与概率的关系
某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每道题10分，然后作了统计，统计结果如下：
贫困地区：
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
16
27
52
104
256
402
得60分以上的频率
发达地区：
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
17
29
56
111
276
440
得60分以上的频率
(1)计算两地区参加测试的儿童得60分以上的频率，完成表格；
(2)估计两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率．
【思路探究】 先分析两个地区参加测试的儿童得60分以上的频率，然后根据频率估计两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率．
【自主解答】 (1)贫困地区：
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
16
27
52
104
256
402
得60分以上的频率
0.533
0.540
0.520
0.520
0.512
0.503
发达地区：
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
17
29
56
111
276
440
得60分以上的频率
0.567
0.580
0.560
0.555
0.552
0.550
(2)估计贫困地区和发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率分别为0.503和0.550.
1．计算数值要细心，保留小数的位数要相同，试验次数越多，频率就越接近概率．
2．随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，用事件发生的频率去“测量”，通过计算事件发生的频率去估计概率．
利用本例的计算结果，分析贫富差距为什么会带来人的智力差别？
【解】 由条件可知，贫困地区经济不发达、生活水平低，儿童的健康和发育会受到一定的影响；另外经济落后也会使教育事业发展落后，这都是贫富差距带来人的智力差别的原因．
概率与日常生活的联系
已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，则下列说法正确的是( )
A．如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，则有90人会治愈
B．如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会治愈
C．说明使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%
D．以上说法都不对
【思路探究】 本题主要考查概率的意义，概率从数量上客观地反映了随机事件发生的可能性的大小．
【自主解答】 概率是指一个事件发生的可能性的大小．治愈某种疾病的概率为90%，说明使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%，但不能说明使用一剂这种药物一定可以治愈这种疾病，只能说是治愈的可能性较大，故选C.
【答案】 C
1．根据概率的定义可知“90%”表示的含义：使用一剂药后此病治愈的可能性是90%.
2．概率只是说明了事件发生的可能性的大小，是在事件发生之前对事件是否发生进行的一种猜测．
某射手击中靶心的概率是0.9是不是说明他射击10次就一定能击中靶心9次？
【解】 从概率的定义出发，击中靶心的概率是0.9并不意味着射击10次就一定能击中靶心9次，只有进行大量射击试验时，击中靶心的次数才约为n，其中n为射击次数，而且n越大，射中的次数就越接近于n.
混淆频率与概率致误
把一枚质地均匀的硬币连续掷1 000次，其中有498次正面朝上，502次反面朝上，求掷一次硬币正面朝上的概率．
【错解】 由题意，据公式可知＝0.498.
【错因分析】 混淆了频率与概率的概念，事实上频率本身是随机的，做同样的试验得到的事件的频率是不同的，如本题中的0.498是1 000次试验中正面朝上的频率；而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关．
【防范措施】 1.正确理解频率与概率的概念．
2．弄清频率与概率的区别与联系．
【正解】 通过做大量的试验可以发现，正面朝上的频率都在0.5附近摆动，故掷一次硬币，正面朝上的概率是0.5.
1．辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判断是一定发生(必然事件)，还是不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．
2．随机事件的发生既是随机的，又是有规律的．每次试验的结果是随机的，大量试验的结果才呈现出其规律性．
3．概率体现了随机事件发生的可能性，故可用样本的频率来近似地估计总体中该结果出现的概率．
1．下列事件是随机事件的是( )
①从一个三角形的三个顶点各任意画一条射线，这三条射线交于一点；
②把9写成两个数的和，其中一定有一个数小于5；
③汽车排放尾气，污染环境；
④明天早晨有雾；
⑤明年7月28日的最高气温高于今年8月10日的最高气温．
A．①④ B．②③⑤
C．①④⑤ D．②③④
【解析】 对于②，③为必然事件，①，④，⑤为随机事件．
【答案】 C
2．下列关于随机事件的频率与概率的关系的叙述中正确的是( )
A．频率就是概率
B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
C．概率是随机的，在试验前不能确定
D．频率是客观存在的，与试验次数无关
【解析】 根据频率与概率的关系可得答案为B.
【答案】 B
3．某地天气预报说“明天降水概率为90%”，这是指( )
A．明天该地区约90%的地方会降水
B．明天该地区约90%的时间会降水
C．气象台的专家中，有90%认为明天会降水，其余专家认为不降水
D．明天该地区降水的可能性为90%
【解析】 概率是指某一随机事件发生的可能性，题中的90%只跟降水这个事件有关，而与该地区的降水范围、时间等无关．
【答案】 D
4．某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：
分组
[500,900)
[900,1 100)
[1 100,1 300)
[1 300,1 500)
频数
48
121
208
223
频率
分组
[1 500,1 700)
[1 700,1 900)
[1 900，＋∞)
频数
193
165
42
频率
(1)将各组的频率填入表中；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．
【解】 (1)频率依次是：0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.
(2)样本中寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以样本中寿命不足1 500小时的频率是＝0.6.
所以灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.
一、选择题
1．某人将一枚硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，则( )
A．概率为0.6 B．频率为0.6
C．频率为6 D．概率接近于0.6
【解析】 连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，只能说明频率是0.6，只有进行大量的试验时才可估计概率．
【答案】 B
2．下列说法错误的是( )
A．频率反映事件的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小
B．做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A的概率
C．频率是不能脱离n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值
D．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值
【解析】 根据频率与概率的意义可知，A正确；C、D均正确，B不正确，故选B.
【答案】 B
3．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
13
8
5
7
6
13
18
10
11
9
则取到号码为奇数的频率是( )
A．0.53 B．0.5
C．0.47 D．0.37
【解析】 ＝＝0.53.
【答案】 A
4．(2013·沈阳检测)“某彩票的中奖概率为”意味着( )
A．买1 000张彩票就一定能中奖
B．买1 000张彩票中一次奖
C．买1 000张彩票一次奖也不中
D．购买彩票中奖的可能性是
【解析】 中奖概率为，并不意味着买1 000张彩票就一定中奖，中一次奖或一次也不中，因此A、B、C均不正确．
【答案】 D
5．2013年山东省高考数学试题中，共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项正确的概率为，某家长说：“要是都不会做，每题都随机选择其中一个选项，则一定有3题答对”这句话( )
A．正确 B．错误
C．不一定 D．无法解释
【解析】 把解答一个选择题作为一次试验，答对的概率是，说明做对的可能性大小是.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，那么答对3题的可能性较大，但是并不一定答对3道，也可能都选错，或仅有2,3,4题选对，甚至12个题都选择正确．
【答案】 B
二、填空题
6．样本容量为200的频率分布直方图如图3－1－1所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为________，数据落在[6,10)内的概率约为________．
图3－1－1
【解析】 样本数据落在[6,10)内的频率为0.08×4＝0.32，
频数为200×0.32＝64.
由频率与概率的关系知数据落在[6,10)内的概率约为0.32.
【答案】 64 0.32
7．在5张不同的彩票中有2张奖票，5个人依次从中各抽取1张，各人抽到奖票的概率________(填“相等”“不相等”)．
【解析】 因为每人抽得奖票的概率均为，与前后的顺序无关．
【答案】 相等
8．如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黑球(只是颜色不同)，每次从中任取一球，记下颜色后放回并搅匀，取了10次有9次白球，估计袋中数量最多的是________．
【解析】 取了10次有9次白球，则取出白球的频率是，估计其概率约是，那么取出黑球的概率是，那么取出白球的概率大于取出黑球的概率，所以估计袋中数量最多的是白球 .
【答案】 白球
三、解答题
9．(1)设某厂产品的次品率为2%，问“从该厂产品中任意地抽取100件，其中一定有2件次品”这一说法对不对？为什么？
(2)若某次数学测验，全班50人的及格率为90%，若从该班中任意抽取10人，其中有5人及格是可能的吗？
【解】 (1)这种说法不对，因为产品的次品率为2%，是指产品是次品的可能性为2%，所以从该产品中任意地抽取100件，其中有可能有2件次品，而不是一定有2件次品．
(2)这种情况是可能的．
10．(2013·课标全国卷Ⅱ)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图3－1－2所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
图3－1－2
(1)将T表示为X的函数；
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率．
【解】 (1)当X∈[100,130)时，
T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000.
当X∈[130,150]时，
T＝500×130＝65 000.
所以T＝
(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X∈[120, 150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.
11．在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量，单位：mm)共有100个数据，将数据分组如下表：
分组
频数
[1.30,1.34)
4
[1.34,1.38)
25
[1.38,1.42)
30
[1.42,1.46)
29
[1.46,1.50)
10
[1.50,1.54)
2
总计
100
(1)画出频率分布直方图；
(2)估计纤度落在[1.38,1.50)mm中的概率及纤度小于1.42的概率是多少．
【解】 (1)频率分布直方图，如图：
(2)纤度落在[1.38,1.50)mm中的频数是30＋29＋10＝69，
则纤度落在[1.38,1.50)mm中的频率是＝0.69，
所以估计纤度落在[1.38,1.50)mm中的概率为0.69.
纤度小于1.42 mm的频数是4＋25＋30＝59，
则纤度小于1.42 mm的频率是＝0.59，
所以估计纤度小于1.42 mm的概率为0.59.
(教师用书独具)
(2012·陕西高考)假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图所示：
(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；
(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．
【解】 (1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为
＝，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.
(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品共有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是＝，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为.
某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是40%，用随机模拟方法计算其连续三次投篮恰有两次投中的概率．
【解】 步骤是：
(1)用1,2,3,4表示投中，用5,6,7,8,9,0表示未投中，这样可以体现投中的概率是40%.
(2)利用计算机或计算器产生0到9之间的整数随机数，然后三个整数随机数作为一组分组．每组第1个数表示第1次投篮，第2个数表示第2次投篮，第3个数表示第3次投篮.3个随机数作为一组共组成n组数．
(3)统计这n组数中恰有两个数字在1,2,3,4中的组数m.
则三次投篮中恰有两次投中的概率近似为.§2古典概型
2．1 古典概型的特征和概率计算公式
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)理解古典概型及其概率计算公式．
(2)会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．
2．过程与方法
根据本节课的内容和学生的实际水平，通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性．观察类比各个试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用分类讨论的思想解决概率的计算问题．
3.情感、态度与价值观
树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点，培养学生用随机的观点来理性的理解世界，使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神．鼓励学生通过观察类比提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度．
●重点难点
重点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率．
难点：如何判断一个试验是否为古典概型，弄清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．
(教师用书独具)
●教学建议
根据本节课的特点，采用引导发现和归纳概括相结合的教学方法，通过提出问题、思考问题、解决问题等教学过程，观察对比、概括归纳古典概型的概念及其概率公式，再通过具体问题的提出和解决，来激发学生的学习兴趣，调动学生的主体能动性，让每一个学生充分地参与到学习活动中来．最后在例题中加入模型的展示，帮助学生突破教学难点．
●教学流程
创设情境，引入新课：以掷硬币试验为例考查事件的基本特点?教师引导学生分析探究事件的构成及特点，引出古典概型的概念并分析特点?通过例1及变式训练，使学生能掌握事件的构成，突出重点?通过例2及变式训练，使学生掌握简单古典概型的判断方法
?引导学生完成例3及变式训练，使学生掌握古典概型的概率求法?归纳总结，知识升华，使学生系统的掌握本节知识并分层布置作业?完成当堂双基达标，巩固本节知识并进行反馈
课标解读
1.能记住古典概型的概念、两个基本特征及计算公式(重点)．
2．掌握求基本事件总数的常用方法：列举法、树状图法、列表法等(重点)．
3．会选择恰当的方法求古典概率模型的概率(难点).
古典概率模型的特征
【问题导思】
1．掷两枚质地均匀的硬币，有哪几种可能结果？
【提示】 (正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．
2．掷一枚质地均匀的骰子，有哪些基本事件？每个基本事件出现的可能性相等吗？
【提示】 这个试验的基本事件有六个，正面出现的点数为1,2,3,4,5,6，由于质地均匀，因此基本事件出现的可能性相等．
1．试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；
2．每一个试验结果出现的可能性相同．
我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型．
试验的每一个可能结果称为基本事件．
古典概型的概率公式
对于古典概型，通常试验中的某一事件A是由几个基本事件组成的．如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率规定为P(A)＝＝.
试验的基本事件
一个盒子中装有4个完全相同的球，分别标有号码1,2,3,5，有放回地取两次球．
(1)写出该试验的基本事件及基本事件总数；
(2)写出“取出的两球上的数字之和是6”这一事件包含的基本事件．
【思路探究】 解答本题可先用列举法一一列举出来，再指出符合要求的基本事件．
【自主解答】 (1)这个试验包含的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,5)共有16个基本事件．
(2)“取出的两球上的数字之和是6”包含的基本事件有(1,5)，(3,3)，(5,1)三个．
1．本题中的基本事件是“有放回地取两次球”，每个事件也称一个试验结果，表达每种结果时，可依据有无顺序选用符号“{ }”或“( )”．本题中由于是有放回摸出2只球，有先后顺序，故宜用“( )”表示每个基本事件，如(a，b)和(b，a)是两个结果．
2．用列举法列举所有基本事件时，要按一定的规律依次列举，避免重复和遗漏．另外树状图是进行列举的一种常用方法，适合较复杂问题中基本事件数的探求．
随意安排甲、乙、丙3人在3天节日中值班，每人值班1天．
(1)这3人的值班顺序共有多少种不同的安排方法？
(2)其中甲在乙之前的安排方法有多少种？
【解】 (1)作树状图如下：
甲乙—丙丙—乙 乙甲—丙丙—甲 丙甲—乙乙—甲
故不同的安排方法共有6种．
(2)由树状图得，甲在乙之前的排法有3种．
古典概型的判定
(1)在数轴的0～3之间任取一点，你认为该试验是古典概型吗？为什么？若是，则求此点的坐标小于1的概率；
(2)从1,2,3,4四个数中任意取出两个数，你认为该试验是古典概型吗？为什么？若是，则求所取两数之一是2的概率．
【思路探究】 要判断试验是否为古典概型，只需看该试验中所有可能的结果是否为有限个；每个结果出现的可能性是否相同．
【自主解答】 (1)在数轴的0～3之间任取一点，此点可以在0～3之间的任一位置，且在每个位置的可能性是相同的，具备等可能性．但试验结果有无限多个，不满足古典概型的特征“有限性”，因此不属于古典概型．
(2)因为此试验的所有基本事件共6个：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，且每个事件的出现是等可能的，因此属于古典概型，两数之一是2的概率为p＝＝.
1．列出随机试验的所有基本事件，进而求解相应事件概率．
2．判断是否为古典概型关键是看试验是否同时具备古典概型的两个特征．
下列概率模型中，是古典概型的个数为( )
(1)从区间[1,10]内任取一个数，求取到1的概率；
(2)从[1,10]中任意取一个整数，求取到1的概率；
(3)在一个正方形ABCD内画一点P，求P刚好与点A重合的概率；
(4)向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 第1个概率模型不是古典概型，因为从区间[1,10]内任意取出一个数，有无数个对象可取，所以不满足“有限性”．
第2个概率模型是古典概型，因为试验结果只有10个，而且每个数被抽到的可能性相等，即满足有限性和等可能性；
第3个概率模型不是古典概型，而是以后将学的几何概型；
第4个概率模型也不是古典概型，因为硬币不均匀，因此两面出现的可能性不相等．
【答案】 A
古典概型概率的计算
同时抛掷三枚质地均匀的硬币，计算：
(1) 恰有两枚出现正面的概率；
(2)至少有两枚出现正面的概率．
【思路探究】 先由古典概型的定义判断概型，然后由概率公式求解．
【自主解答】 依题意所有基本事件有(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．
(1)用A表示“恰有两枚出现正面”这一事件，则事件A包含(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)三个基本事件，而基本事件总数共8个，故所求概率P(A)＝.
(2)用B表示“至少有两枚出现正面”这一事件，则事件B包含(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)四个基本事件，而基本事件总数共8个，故所求概率P(B)＝＝.
1．在列出所有可能出现的结果时应注意按一个确定的顺序．保证不重不漏．
2．古典概型概率计算的步骤是：首先判断试验是不是古典概型，若是，则用列举法列出所有基本条件：
(1)计算所有的基本事件数n；
(2)计算事件A包含的基本事件数m；
(3)计算P(A)，P(A)＝.
将一枚骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，
(1)求点数之和是5的概率；
(2)设a，b分别是将一枚骰子先后抛掷两次向上的点数，求式子2a－b＝1成立的概率．
【解】 将一枚骰子先后抛掷两次，向上的点数分别记为(a，b)，则全部基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)
(1)点数之和是5的基本事件有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．
所以点数之和是5的概率是＝.
(2)由2a－b＝1可知a＝b，点数相等的基本事件有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，
所以式子2a－b＝1成立的概率是＝.
古典概型概念不清致误
把三枚硬币一起掷出，求出现两枚正面向上、一枚反面向上的概率．
【错解】 三枚硬币掷出，所有可能的结果有2×2×2＝8种，而出现两正一反是一种结果，故所求概率P＝.
【错因分析】 在所有的8种结果中，两正一反并不是一种结果，而是有三种结果：(正，正，反)，(正，反，正)(反，正，正)，上述错解在于对于等可能性事件的概念理解不清，所有8种结果的出现是等可能性的，如果把上述三种结果看作一种结果就不是等可能性事件了，应用求概率的基本公式P＝显然就是错误的．
【防范措施】 古典概型的计算务必紧扣它的两个特征有限、等可能．
【正解】 所求概率P＝.
解决古典概型应注意的问题
1．判断试验是否具有有限性和等可能性．
2．要分清基本事件总数n及事件A包含的基本事件数m，利用公式P(A)＝求解．
3．常用列举法、列表法、树状图法求基本事件总数.
1．下列事件属于古典概型是( )
A．任意抛掷两颗均匀的正方体骰子，所得点数之和作为基本事件
B．篮球运动员投篮，观察他是否投中
C．测量一杯水中水分子的个数
D．在4个完全相同的小球中任取1个
【解析】 判断一个事件是否为古典概型，主要看它是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性．
【答案】 D
2．广州亚运会要在某高校的8名懂外文的志愿者中选1名，其中有3人懂日文，则选到懂日文的志愿者的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 8名懂外文的志愿者中随机选1名有8个基本事件，“选到懂日文的志愿者”包含3个基本事件，因此所求概率为.
【答案】 A
3．(2013·重庆高考)若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________．
【解析】 甲、乙、丙三人随机地站成一排有(甲乙丙)、(甲丙乙)、(乙甲丙)、(乙丙甲)、(丙甲乙)、(丙乙甲)共6种排法，甲、乙相邻而站有(甲乙丙)、(乙甲丙)、(丙甲乙)、(丙乙甲)共4种排法，由概率计算公式得甲、乙两人相邻而站的概率为＝.
【答案】
4．一个口袋中装有2个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出2个球．
(1)写出该试验的基本事件及基本事件总数；
(2)求至少摸到1个黑球的概率．
【解】 (1)设2个白球编号为1,2,2个黑球编号为3,4，则基本事件是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共有6个基本事件．
(2)设至少摸到1个黑球为事件A，则事件A包含的基本事件共有5个，
所以P(A)＝.
一、选择题
1．一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有( )
A．(男，女)，(男，男)，(女，女)
B．(男，女)，(女，男)
C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)
D．(男，男)，(女，女)
【解析】 两个孩子有先后出生之分，与顺序有关．如(男，女)和(女，男)是两种不同的结果．
【答案】 C
2．从1,2，…，9共9个数字中任取一个数字，取出的数字为偶数的概率为( )
A. B. C. D.
【解析】 1,2,3，…，9中共有5个奇数，4个偶数，故任取一个数字为偶数的概率为.
【答案】 C
3．下列随机事件的数学模型属于古典概型的是( )
A．在适宜的条件下，种一粒种子，它可能发芽，也可能不发芽
B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个点
C．某射击手射击一次，可能命中0环、1环、2环、…、10环
D．四位同学用抽签的方法选一人去参加一个座谈会
【解析】 利用古典概型的两个条件判断．在A中，事件“发芽”与事件“不发芽”发生的概率不一定相等，与古典概型的第二个条件矛盾；在B中，横坐标和纵坐标都为整数的所有点为无限个，从而有无限个结果，这与古典概型的第一个条件矛盾；在C中，命中0环、1环、2环、…、10环的概率都不一样．
【答案】 D
4．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则点P(m，n)在直线x＋y＝4上的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】 由题意(m，n)的取值共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(1,6)；(2,1)，(2,2)，…，(2,6)；…；(6,1)，(6,2)，…，(6,6)这36种情况，而满足点P(m，n)在直线x＋y＝4上的取值情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)共3种情况，故所求概率为＝.
【答案】 D
5．(2013·课标全国卷Ⅰ)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】 从1,2,3,4中任取2个不同的数，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12种情形，而满足条件“2个数之差的绝对值为2”的只有(1,3)，(2,4)，(3,1)，(4,2)，共4种情形，所以取出的2个数之差的绝对值为2的概率为＝.
【答案】 B
二、填空题
6．(2013·浙江高考)从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于________．
【解析】 用A，B，C表示三名男同学，用a，b，c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为：AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc，共15种选法，其中都是女同学的选法有3种，即ab，ac，bc，故所求概率为＝.
【答案】
7．在1,2,3,4,5这5个自然数中，任取两个数，它们的积是偶数的概率是________．
【解析】 从5个自然数中任取两个数共有10种取法，列举如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，若两个数的积是偶数，则这两个数中至少有一个是偶数，满足条件的有(1,2)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(4,5)共7种情况，故所求概率为.
【答案】
8．若以连续掷两次均匀的骰子分别得到的点数m、n作为P点的坐标，则点P在圆x2＋y2＝16内的概率为________．
【解析】 基本事件的总数为6×6＝36(个)，设事件A＝“P(m，n)落在圆x2＋y2＝16内”，则A所包含的基本事件有(1,1)、(2,2)、(1,3)、(1,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(2,1)共8个．所以P(A)＝＝.
【答案】
三、解答题
9．一个口袋内装有大小、质地相同的1个白球和已有不同编号的3个黑球，从中任意摸出2个球．
(1)共有多少种不同的基本事件，这些基本事件是否为等可能的？该试验属于古典概型吗？
(2)摸出的2个球都是黑球记为事件A，问事件A包含几个基本事件；
(3)计算事件A的概率．
【解】 (1)任意摸出2球，共有“白球和黑球1”、“白球和黑球2”、“白球和黑球3”、“黑球1和黑球2”、“黑球1和黑球3”、“黑球2和黑球3”6个基本事件．因为4个球的大小、质地相同，所以摸出每个球是等可能的，故6个基本事件是等可能的．由古典概型定义知这个试验属于古典概型．
(2)从4个球中摸出2个黑球包含3个基本事件，故事件A包含3个基本事件．
(3)因为试验中基本事件总数n＝6，而事件A包含的基本事件数m＝3，
所以P(A)＝＝＝.
10．(2013·陕西高考)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表．
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
6
(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
【解】 (1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
3
6
9
9
3
(2)记从A组抽到的3位评委分别为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6位评委分别为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手，从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果如图：
由树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P＝＝.
11．小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计一个游戏，规则如下：将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上，背面朝上，洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张，若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字(如“土”“土”构成“圭”)则小敏获胜，否则小慧获胜．你认为这个游戏对谁有利？请用列表或画树状图的方法进行分析，并写出构成的汉字进行说明．
【解】 这个游戏对小慧有利．
每次游戏时，所有可能出现的结果如下(列表)：
第一张卡片第二张卡片
土
口
木
土
(土，土)
(土，口)
(土，木)
口
(口，土)
(口，口)
(口，木)
木
(木，土)
(木，口)
(木，木)
总共有9种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中能组成上下结构的汉字的结果有4种：(土，土)“圭”，(口，口)“吕”，(木，口)“杏”或“呆”，(口，木)“呆”或“杏”．所以小敏获胜的概率为，小慧获胜的概率为.
所以这个游戏对小慧有利．
(教师用书独具)
一只口袋内装有大小相同的5个球，其中有3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球．问：
(1)共有多少个基本事件？
(2)摸出的2个球都是白球的概率是多少？
【自主解答】 (1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，从中摸出2个球，有如下基本事件(摸到1,2号球用(1,2)表示)：
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．
因此，共有10个基本事件．
(2)如图所示，上述10个基本事件发生的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到2个白球(记为事件A)，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，
故P(A)＝.
甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙两人抽到的牌的所有可能情况；
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，否则，乙胜．你认为此游戏是否公平，请说明你的理由．
【解】 (1)甲、乙两人抽到的牌的所有可能情况(方片4用4′表示)为(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)(4,3)(4,4′)(4′，2)(4′，3)，(4′，4)，共12种．
(2)甲抽到3，乙抽到的牌只能是2或4或4′.所以乙抽到的数字大于3的牌只能是4或4′.所以乙抽出的牌面数字比3大的概率为.
(3)甲抽到的牌比乙抽到的牌大有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种，所以甲获胜的概率为P1＝，乙获胜的概率为P2＝1－＝.因为≠，所以此游戏不公平．
2．2 建立概率模型
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)使学生进一步掌握古典概型的概率计算公式．
(2)能建立概率模型解决实际问题．
2．过程与方法
根据本节课的内容和学生的实际水平，通过两个试验的观察让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比骰子试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题．
3．情感、态度与价值观
概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象．适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例．使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神．
●重点难点
重点：建立概率模型解决古典概型在实际生活中的应用．
难点：古典概型中比较复杂的背景问题的概率求值问题．
(教师用书独具)
●教学建议
本节课是在学生已掌握了古典概型的定义及能够解决简单的概率求值问题的基础上学习的，教师可以例题为主线，通过学生自己动手发现问题，引导学生自主解决．
●教学流程
创设情境，引入新课，通过掷骰子试验建立古典概率模型?引导学生分析探究建立概率模型后每次试验的基本事件，掌握树状图是列举基本事件的常用方法?通过例1及变式训练掌握“有放回”与“不放回”的古典概型的区别及相应概率的求法与技巧?通过例2及变式训练掌握运用树状图解决“有序”与“无序”的古典概型的方法技巧?通过例3及变式训练，使学生掌握运用数形结合的方法解决所建立概率模型的技巧?归纳整理课堂小结，整体把握本节知识?完成当堂双基达标，巩固本节知识并进行反馈、矫正
课标解读
1.进一步掌握古典概型的概率计算公式(重点)．
2．对于一个实际问题，尝试建立不同的概率模型来解决(重点、难点).
由概率模型认识古典概型
【问题导思】
如何观察分析试验中的等可能结果？
【提示】 一次试验中的“等可能结果”实际是针对特定的观察角度而言的，例如：甲、乙、丙三名同学排成一
排，计算甲站在中间的概率时，若从三个同学的站位来看，共有“甲乙丙”、“甲丙乙”、“乙甲丙”、“乙丙甲”、“丙甲乙”、“丙乙甲”六种结果，若仅从甲的站位来看，则只有三种结果，即站左边、中间或右边．
1．一般来说，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件是人为规定的．如果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现，只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的，就是一个古典概型．
2．从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能的结果数越少，问题的解决就变得越简单．
3．树状图是进行列举的一种常用方法.
“有放回”与“不放回”的古典概型
从含有两件正品a1、a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，连续取两次：
(1)若每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件是次品的概率；
(2)若每次取出后又放回，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率．
【思路探究】 分别利用列举法列举出可能出现的条件，找到符合要求的事件，利用概率公式求概率．
【自主解答】 (1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果为(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．由6个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．
事件A由4个基本事件组成．因而P(A)＝＝.
(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)共9个基本事件．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．
事件B由4个基本事件组成，因而P(B)＝.
1．“有放回”与“无放回”问题的区别在于：对于某一试验，若采用“有放回”抽样，则同一个个体可能被重复抽取，而采用“不放回”抽样，则同一个个体不可能被重复抽取．
2．无论是“有放回”还是“无放回”抽取，每一件产品被取出的机会都是均等的．
一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1,2,3，…，10这10个数字，今随机地抽取两个小球，
如果：(1)小球是不放回的；
(2)小球是有放回的．
求两个小球上的数字为相邻整数的概率．
【解】 设事件A：两个小球上的数字为相邻整数．则事件A包括的基本事件有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(10,9)，(9,8)，(8,7)，(7,6)，(6,5)，(5,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)共18个．
(1)不放回取球时，总的基本事件数为90，故P(A)＝＝＝.
(2)有放回取球时，总的基本事件为100，故P(A)＝＝.
“有序”与“无序”的古典概型
图3－2－1
用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：
(1)3个矩形颜色都相同的概率；
(2)3个矩形颜色都不同的概率．
【思路探究】 由涂色的有序性可画出树状图解题．
【自主解答】 所有可能的基本事件共有27个，如图所示：
红红红蓝黄蓝红蓝黄黄红蓝黄黄红红蓝黄蓝红蓝黄黄红蓝黄蓝红红蓝黄蓝红蓝黄黄红蓝黄
(1)记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A，由图知，事件A的基本事件有3个，故P(A)＝＝.
(2)记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图知，事件B的基本事件有6个，故P(B)＝＝.
1．本题列出全部可能的结果采用的是树状图，对于试验结果不太多的情况，都可采用此法．
2．列出基本事件时要注意问题是否与顺序有关．
将甲、乙两枚骰子先后各抛掷一次，a，b分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所得的点数，若把点P(a，b)落在不等式组所表示的平面区域的事件记为A，求P(A)．
【解】 利用直角坐标系表示基本事件数及不等式组所表示的平面区域如图所示(阴影部分)．由图可知基本事件数为36个，落在不等式组所表示的平面区域的点共有6个，所以P(A)＝＝.
建立概率模型
先后抛掷两枚大小相同的骰子．
(1)求点数之和出现7点的概率；
(2)求出现两个4点的概率；
(3)求点数之和能被3整除的概率．
【思路探究】 明确先后掷两枚骰子的基本事件总数，然后用古典概型概率计算公式求出，可借图来确定基本事件总数．
【自主解答】 如图所示，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36种．
(1)记“点数之和出现7点”为事件A，从图中可以看出事件A包含的基本事件共6个，(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)，故P(A)＝＝.
(2)记“出现两个4点”为事件B.从图中可以看出事件B包含的基本事件只有1个，即(4,4)，故P(B)＝.
(3)记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的基本事件共12个，(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)，故P(C)＝＝.
1．求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体基本事件用平面直角坐标系中的点表示，以便准确地找出某事件所包含的基本事件总数．
2．数形结合能使解决问题的过程变得形象直观，给问题的解决带来方便．
某乒乓球队有男乒乓球运动员4名、女乒乓球运动员3名，现要选一男一女两名运动员组成混合双打组合参加某项比赛，试列出全部可能的结果，若某女乒乓球运动员为国家一级运动员，则她参赛的概率是多少？
【解】 由于男运动员从4人中任意选取，女运动员从3人中任意选取，为了得到试验的全部结果，我们设男运动员为A，B，C，D，女运动员为1,2,3，我们可以用一个“有序数对”来表示随机选取的结果．如(A,1)表示：第一次随机选取从男运动员中选取的是男运动员A，从女运动员中选取的是女运动员1，可用列举法列出所有可能的结果．如下表所示，设“国家一级运动员参赛”为事件E.
男结果女
1
2
3
A
(A,1)
(A,2)
(A,3)
B
(B,1)
(B,2)
(B,3)
C
(C,1)
(C,2)
(C,3)
D
(D,1)
(D,2)
(D,3)
由上表可知，可能结果总数是12个．设女运动员1为国家一级运动员，她参赛的可能事件有4个，故她参赛的概率为P(E)＝＝.
知识性错误致误
设袋中有4只白球和2只黑球，现从袋中无放回地摸出2只球．
(1)求这2只球都是白球的概率；
(2)求这2只球中1只是白球1只是黑球的概率．
【错解】 一次摸出2只球，观察结果的颜色只能是(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)3种情况．
(1)用A表示“2只球都是白球”这一事件，则A＝{(白，白)}，所以P(A)＝.
(2)用B表示“2只球中1只是白球1只是黑球”这一事件，则B＝{(白，黑)}，所以P(B)＝.
【错因分析】 在上述错解中(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)3种结果的出现不是等可能的．
【防范措施】 弄清基本事件总数有哪些，注意每个基本事件的出现是等可能的．
【正解】 我们不妨把4只白球标以1,2,3,4号，2只黑球标以5,6号，则基本事件有(1,2)，(1,3)，…，(1,6)，(2,1)，(2,3)，…，(2,6)，…，(6,1)，(6,2)，…，(6,5)，共30个．
(1)用A表示“2只球都是白球”这一事件，则A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}共12个．
所以P(A)＝＝.
(2)用B表示“2只球中1只是白球1只是黑球”这一事件，则B＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)}，共16个．
所以P(B)＝＝.
1．注意区分古典概型中有无放回及有无顺序问题．
2．建立概率模型，常用列举法、列表法、树状图法求出基本事件的总数，从而解决问题．
1．下列不属于古典概型的性质的是( )
A．所有基本事件的个数是有限个
B．每个基本事件发生的可能性相等
C．任两个基本事件不能同时发生
D．可能有2个基本事件发生的可能性不相等
【解析】 古典概型的特征之一就是每个基本事件发生的可能性相等．
【答案】 D
2．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】 该试验共4个基本事件，所求事件包含2个基本事件，∴其概率P＝.
【答案】 A
3．从1,2,3，…，20中任取一个数，它恰好是3的倍数的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】 从1,2,3，…，20中任取一个数共有20种基本事件，其中是3的倍数是3,6,9,12,15,18共6种基本事件，由古典概型概率公式得是3的倍数的概率是＝.
【答案】 C
4．一个家庭中有两个小孩，设生男还是生女是等可能的，求此家庭中两小孩均为女孩的概率．
【解】 所有的基本事件是：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)共4个，均为女孩的基本事件只有1个，故此家庭中两个均为女孩的概率为P＝＝0.25.
一、选择题
1．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】 由古典概型的计算公式得P(A)＝＝.
【答案】 C
2．从{1,2,3,4,5}中随机选一个数为a，从{1,2,3}中随机选一个数为b ，则b>a的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】 从{1,2,3,4,5}中随机选一个数a，从{1,2,3}中随机选一个数b，共有以下不同结果：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)共15种．
其中满足b>a的有(1,2)，(1,3)，(2,3)三种，所以b>a的概率为＝，故选D.
【答案】 D
3．将一颗均匀的正方体骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b、c，则方程x2＋bx＋c＝0有相等的实根的概率为( )
A. B. C. D.
【解析】 方程x2＋bx＋c＝0有相等实根，故Δ＝b2－4c＝0即b2＝4c.基本事件总数为6×6＝36.当b＝4，c＝4或b＝2，c＝1时，b2＝4c成立，故P＝＝.
【答案】 D
4．从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好按字母顺序相邻的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】 从5张卡片中任取2张的基本事件总数为10，而恰好按字母顺序相邻的基本事件共有4个，故此事件的概率为＝.
【答案】 B
5．(2013·咸阳检测)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】 甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，所得的直线共有＝18(对)，而相互垂直的有5对，故根据古典概型概率公式得P＝.
【答案】 C
二、填空题
6．先后抛掷两枚均匀的骰子，记骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为________．
【解析】 解决本题的关键是对方程log2xy＝1的分析．先从由1,2,3,4,5,6组成的有序实数对中找到满足方程的个数，然后利用古典概型的概率计算公式求解．
由于满足log2xy＝1即2x＝y的(x，y)有(1,2)，(2,4)，(3,6)，又该试验有36个等可能发生的基本事件，所以所求概率为＝.
【答案】
7．(2013·江苏高考)现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________．
【解析】 因为正整数m，n满足m≤7，n≤9，所以(m，n)所有可能的取值一共有7×9＝63(种)，其中m，n都取到奇数的情况有4×5＝20(种)，因此所求概率为P＝.
【答案】
8．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于________．
【解析】 在正六边形中，6个顶点选取4个，种数为15.选取的4点能构成矩形只有正六边形的对边的4个顶点(例如AB与DE)，共有3种，
∴概率为＝.
【答案】
三、解答题
9．编号分别为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
运动员编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
得分
15
35
21
28
25
36
18
34
运动员编号
A9
A10
A11
A12
A13
A14
A15
A16
得分
17
26
25
33
22
12
31
38
(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：
区间
[10,20)
[20,30)
[30,40]
人数
(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，
①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；
②求这2人得分之和大于50的概率．
【解】 (1)4,6,6.
(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13.从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}，共15种．
②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}共5种．
所以P(B)＝＝.
10．一只口袋中有形状、大小都相同的6只小球，其中有2只白球、2只红球和2只黄球．从中一次随机摸出2只球，试求：
(1)2只球同色的概率；
(2)“恰有1只球是白球的概率”是“2只球都是白球的概率”的多少倍．
【解】 把6只小球分别标号，2只白球分别标为白1，白2；2只红球分别标为红1，红2；2只黄球分别标为黄1，黄2.则所有可能的结果如图所示：
由图知，所有可能的结果共有15种．
(1)记“2只球同色”为事件B，则B有3种可能结果，所以事件B的概率为P(B)＝＝.
(2)记“恰有1只是白球”为事件C，“2只球都是白球”为事件D，则事件C有8种可能结果，事件D有1种可能结果，所以P(C)＝，P(D)＝.
所以“恰有一只球是白球的概率”是“2只球都是白球的概率”的8倍．
11．(2013·北京高考)如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
图3－2－1
(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；
(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)
【解】 (1)在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率为.
(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或5日或7日或8日”，所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为.
(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
(教师用书独具)
甲、乙两人做出拳游戏(锤子、剪刀、布)．求一次出拳游戏中：
(1)平局的概率；
(2)甲赢的概率；
(3)乙赢的概率．
【解】 甲有3种不同的出拳方法，每一种出法是等可能的，乙同样有等可能的3种不同出法．一次出拳游戏共有3×3＝9种不同的结果，可以认为这9种结果是等可能出现的，所以一次游戏(试验)是古典概型，它的基本事件总数为9.
平局的含义是两人出法相同．例如都出了锤子．甲赢的含义是甲出锤子且乙出剪刀，甲出剪刀且乙出布，甲出布且乙出锤子这3种情况．乙赢的含义是乙出锤子且甲出剪刀，乙出剪刀且甲出布，乙出布且甲出锤子这3种情况．
设平局为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C.由图容易得到：
(1)平局含3个基本事件(图中的△)P(A)＝＝；
(2)甲赢含3个基本事件(图中的⊙)，P(B)＝＝；
(3)乙赢含3个基本事件(图中的※)，P(C)＝＝.
将一粒骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，问：
(1)共有多少种不同的结果？
(2)两点数的和是3的倍数的结果有多少种？
(3)两点数的和是3的倍数的概率是多少？
【解】 (1)将一粒骰子先后抛掷两次，用(x，y)表示掷得的结果，其中x表示第一次掷得的结果，y表示第二次掷得的结果，则所有的结果是：(1,1)，(1,2)(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36种等可能出现的结果；
(2)两点数的和是3的倍数的结果有(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(3,6)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，(6,3)，(6,6)，共有12种结果；
(3)记“两点数的和为3的倍数”为事件A，则事件A包含的结果有12种，所以所求的概率为P(A)＝＝.
2．3 互斥事件
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
使学生理解互斥事件和对立事件的概念；能利用公式解决简单的概率问题．
2．过程与方法
通过知识迁移，与集合中相关概念的对比；培养学生用对立统一思想分析问题并解决问题．
3．情感、态度与价值观
通过学生独立思考、分组讨论，培养学生自主学习的习惯、与人合作的团队精神．
●重点难点
重点：理解互斥事件和对立事件概念的区别和联系．
难点：灵活运用P(A＋B)＝P(A)＋P(B)和P(A)＝1－P()两个公式来解决问题．
(教师用书独具)
●教学建议
以问题为主线，引导发现法，教师可以从学生生活掷骰子事件出发，逐步导出互斥事件，使学生既有兴趣又很轻松的理解互斥事件，为下面的学习打好理论基础．
●教学流程
创设情境，引入新课，以课本上的掷骰子为例探究各事件间的关系?总结出互斥和对立事件的概念并展现它们之间的区别与联系，给出概率加法公式?通过例1及变式训练，使学生明确，互斥和对立事件的关系掌握判断事件的方法?通过例2及变式训练，使学生掌握互斥事件概率的运算?通过对互斥事件和对立事件的理解完成例3及变式训练进一步体会概率加法公式?归纳总结，知识升华，使学生从整体上把握本节知识?完成当堂双基达标，巩固本节知识并进行反馈、矫正
课标解读
1.了解互斥事件的概念及概率加法公式(重点)．
2．掌握对立事件的概率及概率的计算公式(重点)．
3．能利用互斥事件、对立事件的概率计算公式解决复杂的古典概率的计算问题(难点)．
4．理解互斥事件和对立事件的区别和联系.
互斥事件
【问题导思】
在掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下事件：C1＝{出现1点}，C2＝{出现2点}，C3＝{出现3点}，C4＝{出现4点}，C5＝{出现5点}，C6＝{出现6点}，D1＝{出现的点数不大于1}，D2＝{出现的点数大于4}，D3＝{出现的点数小于6}，E＝{出现的点数小于7}，F＝{出现的点数大于6}，G＝{出现的点数为偶数}，H＝{出现的点数为奇数}．
1．事件D3与事件F能同时发生吗？
【提示】 不能．
2．如果事件“C2发生或C4发生或C6发生”，就意味着哪个事件发生？
【提示】 意味着事件G发生．
3．事件D2与事件H同时发生，意味着哪个事件发生？
【提示】 C5发生．
1．互斥事件的定义
在一个随机试验中，我们把一次试验中不能同时发生的两个事件A和B称作互斥事件．
2．事件A与B至少有一个发生
给定事件A，B，我们规定A＋B为一个事件，事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．
根据上述定义推广可得：事件A1＋A2＋…＋An表示在一次随机试验中，事件A1，事件A2，…，事件An中至少有一个发生．
3．互斥事件的概率加法公式
一般地，如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生(即A，B中至少有一个发生)的概率等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．这个公式称为互斥事件的概率加法公式．
如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件A1＋A2＋…＋An发生(即A1，A2，…，A n中至少有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1＋A2＋…＋A_n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
对立事件及其概率的求法公式
【问题导思】
在知识1的问题导思中，事件G与事件H能同时发生吗？这两个事件有什么关系？
【提示】 事件G与事件H不能同时发生，但必有一个发生．
1．定义
在每一次试验中，如果两个事件A与B不能同时发生，并且一定有一个发生，那么事件A与B称作是对立事件，事件A的对立事件记为.
2．性质
P(A)＋P()＝1，即P(A)＝1－P().
互斥事件与对立事件的判断
从装有除颜色外其他均相同的5只白球和5只红球的袋中任意取出3只球，判断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件．
(1)“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；
(2)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；
(3)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球．”
【思路探究】 根据对立事件和互斥事件的定义来判断．
【自主解答】 从袋中任意取出3只球有4种结果：3只白球；2只白球1只红球；1只白球2只红球；3只红球．
(1)因为“取出2只红球1只白球”与“取出1只红球2只白球”不能同时发生，所以它们是互斥事件．
当“取出3只白球”时，它们都没有发生，所以它们不是对立事件．
(2)“取出3只球中至少有1只白球”包括三种结果：1只白球2只红球，2只白球1只红球，3只白球．因此它与“取出3只红球”不能同时发生，它们是互斥事件，且它们中必有一个发生，所以又是对立事件．
(3)当取出的3只球都是红球时，它们同时发生，所以它们不是互斥事件，也不是对立事件．
1．要判断两个事件是不是互斥事件，只需找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生，若不能同时发生，则为互斥事件，在互斥的前提下，看两个事件中是否必有一个发生，可判断是否为对立事件．
2．判断事件的关系，尤其是互斥事件和对立事件在求概率时非常重要，它直接决定了求解是否正确．应注意互斥事件不能同时发生，对立事件除不能同时发生外，其和事件为必然事件，这些也可类比集合进行理解．
判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明道理．
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数为1～10各10张)中，任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
【解】 (1)是互斥事件，不是对立事件．
道理是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)是对立事件．
道理是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们是对立事件，
(3)不是互斥事件，也不是对立事件．
道理是：从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生．因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
互斥事件的概率
盒子里装有除颜色外其他均相同的各色球共12个，其中5红、4黑、2白、1绿，从中任取1球，记事件A为“取出1个红球”，事件B为“取出1个黑球”，事件C为“取出1个白球”，事件D为“取出1个绿球”．已知P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
求(1)“取出1球为红球或黑球”的概率；
(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率．
【思路探究】 从12球中任取一球，取到红球、黑球、白球互斥，所以可用互斥事件概率的加法公式求解．
【自主解答】 法一 (1)“取出1球为红球或黑球”的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为
P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.
法二 (1)“取出1球为红球或黑球”的对立事件为“取出1球为白球或绿球”，即A＋B的对立事件为C＋D，故“取出1球为红球或黑球”的概率为
P(A＋B)＝1－P(C＋D)＝1－(P(C)＋P(D))＝1－(＋)＝.
(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1球为绿球”，即A＋B＋C的对立事件为D，所以“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为P(A＋B＋C)＝1－P(D)＝1－＝.
1．解决本题的关键是明确取到不同颜色球不可能同时发生，即互斥．由此可知用概率加法公式．
2．若随机试验中，涉及多个事件，应先分析判断这几个事件是否互斥(或对立)，若是，可利用互斥事件概率的加法公式求解．当某一事件包含几个互斥的事件时，求该事件发生的概率也有上述规律．
在数学考试中，小明的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80分～89分的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07.
(1)求小明在数学考试中，取得80分以上(含80分)成绩的概率；
(2)求小明考试及格的概率．
【解】 分别记小明的成绩“在90分以上”、“在80分～89分”、“在70分～79分”、“在60分～69分”为事件事件B、C、D、E，这四个事件彼此互斥．
(1)小明的成绩在80分以上的概率是P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.
(2)小明考试及格的概率是P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
对立事件的概率
某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或7环的概率；
(2)射中7环以下的概率．
【思路探究】 求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先去求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．
【自主解答】 (1)记“射中10环”为事件A，记“射中7环”为事件B.由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件．“射中10环或7环”的事件为A＋B，故P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.
(2)记“射中7环以下”为事件E，E的对立事件为，则事件为“射中7环或8环或9环或10环”．由“射中7环”、“射中8环”、“射中9环”、“射中10环”是彼此互斥事件，故P()＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，从而P(E)＝1－P()＝1－0.97＝0.03.
所以射中10环或7环的概率为0.49，射中7环以下的概率为0.03.
1．必须分析清楚事件A，B是否互斥，只有互斥事件才可以用概率的加法公式．
2．当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时，可先转化为求其对立事件的概率．
经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候人数及相应概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
(1)至多2人排队等候的概率是多少？
(2)至少1人排队等候的概率是多少？
【解】 记事件“在窗口等候的人数为0,1,2,3,4,5人及以上”的事件分别为A，B，C，D，E，F，则它们彼此互斥．
(1)至多2人排队等候的概率是：
法一 P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
法二 P(A＋B＋C)＝1－P(D＋E＋F)＝0.56.
(2)至少1人排队等候的概率是：
法一 P(B＋C＋D＋E＋F)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)
＝0.16＋0.3＋0.3＋0.1＋0.04＝0.9.
法二 P(B＋C＋D＋E＋F)＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.
对互斥事件概念理解有误
抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是，记事件A为“出现奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，求P(A＋B)．
【错解】 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1.
【错因分析】 误认为事件A、B是互斥事件，所以错误地得出
P(A)＝，P(B)＝，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1.
【防范措施】 运用公式时，要明确公式所使用的范围，否则容易出错．
【正解】 记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1、A2、A3，A4，由题意知这四个事件彼此互斥．
故P(A＋B)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝＋＋＋＝.
1．互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥．
2．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式，如果事件不互斥，那么公式就不能使用！
3．求复杂事件的概率通常有两种方法
方法一：将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；
方法二：先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．
如果采用方法一，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．
1．事件A与B是对立事件，且P(A)＝0.6，则P(B)等于( )
A．0.4 B．0.6 C．0.5 D．1
【解析】 由对立事件的性质知P(A)＋P(B)＝1，
∴P(B)＝1－0.6＝0.4.
【答案】 A
2．某产品分甲、乙、丙三级，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对该产品抽查一件抽到甲级品的概率为( )
A．0.09 B．0.97 C．0.99 D．0.96
【解析】 产品共分三个等级，出现乙级品和丙级品的概率分别为0.03和0.01，则出现甲级品的概率为1－0.03－0.01＝0.96.
【答案】 D
3．从一箱苹果中任取一个，如果其重量小于200克的概率为0.2，重量在[200,300]克的概率为0.5，那么重量超过300克的概率为( )
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
【解析】 设“重量小于200克”为事件A，“重量在[200,300]克之间”为事件B，“重量超过300克”为事件C，则P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.2－0.5＝0.3.故选B.
【答案】 B
4．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求：
(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率．
【解】 甲、乙两人下棋，其结果有甲胜、和棋、乙胜三种，它们是互斥事件，“甲获胜”可看做是“和棋或乙胜”的对立事件．“甲不输”可看做是“甲胜”“和棋”这两个互斥事件的和事件，亦可看做“乙胜”的对立事件．
于是，(1)“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率P＝1－－＝，即甲获胜的概率是.
(2)法一 设事件A为“甲不输”，它可看做是“甲胜”“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以P(A)＝＋＝.
法二 设事件A为“甲不输”，它可看做是“乙胜”的对立事件，所以P(A)＝1－＝，即甲不输的概率是.
一、选择题
1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但不对立事件 D．以上答案都不对
【解析】 “甲分得红牌”与“乙分得红牌”不能同时发生，但也不是必有一个发生，故选C.
【答案】 C
2．从一篮鸡蛋中取一个，如果其质量小于30克的概率为0.3，在[30,40]克的概率为0.5，则质量不小于30克的概率是( )
A．0.3 B．0.5 C．0.8 D．0.7
【解析】 “不小于30克”与“小于30克”为对立事件，则概率为1－0.3＝0.7.
【答案】 D
3．(2013·南昌检测)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )
A. B.
C. D.
【解析】 法一 (直接法)：所取3个球中至少有1个白球的取法可分为互斥的两类：两红一白有6种取法；一红两白有3种取法，而从5个球中任取3个球的取法共有10种，所以所求概率为，故选D.
法二 (间接法)：至少有一个白球的对立事件为所取3个球中没有白球，即只有3个红球，共1种取法，故所求概率为1－＝，故选D.
【答案】 D
4．掷一枚硬币，若出现正面记1分，出现反面记2分，则恰好得3分的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 有三种可能：①连续3次都掷得正面概率为；②第一次掷得正面，第二次掷得反面，其概率为；③第一次掷得反面，第二次掷得正面，其概率为.因而恰好得3分的概率为＋＋＝.
【答案】 A
5．从1,2,3，…，9这9个数中任取两数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数；
上述事件中，对立事件是( )
A．① B．②④
C．③ D．①③
【解析】 互为对立事件的两个事件既不能同时发生又必有一个发生．故③是符合要求的．
【答案】 C
二、解答题
6．从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P(A＋B)＝________.
【解析】 一副扑克牌中有1张红桃K,13张黑桃，事件A与事件B互斥，
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
【答案】
图3－2－2
7．如图3－2－2所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是________．
【解析】 1－0.35－0.30－0.25＝0.1.
【答案】 0.1
8．(2013·沈阳高一检测)一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，摸出红球的概率为________．
【解析】 由题意知A＝“摸出红球或白球”与B＝“摸出黑球”是对立事件，又P(A)＝0.58，∴P(B)＝1－P(A)＝0.42，又C＝“摸出红球或黑球”与D＝“摸出白球”为对立事件，P(C)＝0.62，∴P(D)＝0.38.设事件E＝“摸出红球”，则P(E)＝1－P(B∪D)
＝1－P(B)－P(D)＝1－0.42－0.38＝0.2.
【答案】 0.2
三、解答题
9．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛．
(1)求所选3人中恰有1名女生的概率；
(2)求所选3人中至少有1名女生的概率．
【解】 4名男生记为1,2,3,4，两名女生记为5,6，从这6个人中选3个人的方法有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,2,6)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,3,6)，(3,4,5)，(3,4,6)，(4,5,6)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,3,6)，(1,4,5)，(1,4,6)，(1,5,6)，(2,4,5)，(2,4,6)，(2,5,6)，(3,5,6)共20种方法．
(1)所选3人中恰好有1名女生的情况有(1,2,5)，(1,2,6)，(2,3,5)，(2,3,6)，(3,4,5)，(3,4,6)，(1,3,5)，(1,3,6)，(1,4,5)，(1,4,6)，(2,4,5)，(2,4,6)共12种方法．故所选3人中恰好有1名女生的概率为＝.
(2)所选3人中恰好有2名女生的情况有(1,5,6)，(2,5,6)，(3,5,6)，(4,5,6)，共4种情况，则所选3人中至少有1名女生的情况共有12＋4＝16种．
所以，所选3人中至少有1名女生的概率为＝(1－＝)．
10．某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．
(1)求中三等奖的概率；(2)求中奖的概率．
【解】 设“中三等奖”为事件A，“中奖”为事件B，
从四个小球中有放回地取两球有：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共有16种不同的结果．
(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有：
(1,3)，(2,2)，(3,1)，(0,3)，(1,2)，(2,1)(3,0)，有7种结果，
则中三等奖的概率为P(A)＝.
(2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种；
两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：(2,3)，(3,2)．
两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：(3,3)．
则中奖的概率为P(B)＝＝.
11．(2013·湖南高考)
图3－2－3
某人在如图3－2－3所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量：
Y
51
48
45
42
频数
4
(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg的概率．
【解】 (1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：
Y
51
48
45
42
频数
2
4
6
3
所种作物的平均年收获量为
＝＝＝46.
(2)由(1)知，P(Y＝51)＝，P(Y＝48)＝.故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率为P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝＋＝.
(教师用书独具)
假设向三个相邻的军火库投掷一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，炸中其余两个的概率各为0.1，只要炸中一个，另两个也会发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率．
【自主解答】 设A、B、C分别表示炸中第一、第二、第三个军火库这三个事件，则P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1.又设D表示军火库发生爆炸这个事件，则有D＝A＋B＋C，其中A、B、C彼此互斥，所以P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225，则军火库发生爆炸的概率为0.225.
袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取1球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？
【解】 从袋中任取1球，记事件A＝{摸得红球}，事件B＝{摸得黑球}，事件C＝{摸得黄球}，事件D＝{摸得绿球}，则有
解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
所以，得到黑球的概率为，得到黄球的概率为，得到绿球的概率为.§3模拟方法——概率的应用
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
使学生了解模拟方法估计概率的实际应用，初步体会几何概型的意义；并能够运用模拟方法估计概率．
2．过程与方法
培养学生实践能力、协调能力、创新意识和处理数据能力以及应用数学意识．
3．情感、态度与价值观
鼓励学生动手试验，探索、发现规律并解决实际问题，激发学生学习的兴趣．
●重点难点
重点：借助模拟方法来估计某些事件发生的概率；
几何概型的概念及应用；
体会随机模拟中的统计思想：用样本估计总体．
难点：设计和操作一些模拟试验，对从试验中得出的数据进行统计、分析；应用随机数解决各种实际问题．
(教师用书独具)
●教学建议
本节课是在采用信息技术和数学知识整合的基础上从生活实际中提炼数学素材，使学生在熟悉的背景下、在认知冲突中展开学习，通过试验活动的开展，使学生在试验、探究活动中获取原始数据，进而通过数与形的类比，在老师的引导、启发下感悟出模拟的数学结论，通过结论的运用提升为数学模型并加以应用，它实现了学生在学习过程中对知识的探究、发现的创作经历，调动了学生学习的积极性和主动性，同学们在亲身经历知识结论的探究中获得了对数学价值的新认识．
本课是使学生通过试验掌握用模拟方法估计概率，主要是用分组合作试验、探究方法研究数学知识，因此评价时更注重探究和解决问题的全过程，鼓励学生的探索精神，引导学生对问题的正确分析与思考，关注学生提出问题、参与解决问题的全过程，关注学生的创新精神和实践能力．
●教学流程
创设问题情境，引出问题：用试验的方法怎么模拟面积型几何概型?引导学生从实物进行试验模拟，通过试验发现利弊，进而激发学生思考其他方法?通过引导学生回答所提问题理解几何概型的条件、特征，讨论由几何概型能够解决的问题?通过例1及其变式训练，使学生掌握与长度有关的几何概型问题的解题方法
?通过例2及其变式训练，使学生掌握与面积有关的几何概型问题的解题策略?通过例3及其变式训练阐明与体积有关的几何概型问题，使学生明确用几何概型解决问题的基本模式?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正
课标解读
1.记住几何概型的概念和特点(重点)．
2．掌握几何概型的计算方法和步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题(重点、难点)．
3．了解模拟方法的基本思想，会利用这种思想解决某些具体问题，如求某些不规则图形的近似面积等(难点).
模拟方法与几何概型
【问题导思】
我们做这样一个试验：往一个圆木盘上随意的掷飞镖，飞镖可能落在圆盘上的任何一个位置．
1．本试验的结果有多少个？
【提示】 无数个．
2．每个试验结果出现的可能性均等吗？
【提示】 均等．
3．它与古典概型有何区别？
【提示】 古典概型中的结果是有限的，而本试验的结果是无限的．
1．模拟方法
模拟方法是一种非常有效而且应用广泛的方法，所以我们常常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率，用模拟方法可以在短时间内完成大量的重要试验．
2．几何概型
向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1?G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即
P(点M落在G1)＝，
则称这种模型为几何概型．
几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．
几何概型的适用情况以及计算步骤
1.适用情况
几何概型用来计算事件发生的概率时适用于无限多个试验结果的情况，每种结果的出现也要求必须是等可能的．而且事件发生在一个有明确范围的区域中，其概率与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例．
2．计算步骤
①判断是否是几何概型，尤其是判断等可能性；
②计算基本事件空间与事件A所含的基本事件对应的区域的几何度量(长度、面积或体积)n和m.这是计算的难点；
③利用概率公式P(A)＝计算.
与长度有关的几何概型
取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不少于1 m的概率有多大？
【思路探究】 先确定概率模型为几何模型，再计算．
【自主解答】 如图所示，记A＝{剪得的两段绳子长都不小于1 m}，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生．
全部试验结果构成的区域长度是绳子的长度3 m，事件A包含的结果构成的区域长度是中间一段的长度，为3×＝1 m，
故事件A发生的概率P(A)＝.
1．解决本题借助图形更容易理解．
2．如果试验的全部结果所构成的区域的几何度量能转化为实际意义上的线段长度，这种模型称为长度型的几何概型，可按下列公式来计算其概率：
P(A)＝.
函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，则任取一点x0，求使f(x0)≤0成立的概率．
【解】 令f(x)≤0，即x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2，所以当所取的点x0满足－1≤x0≤2时，f(x0)≤0成立．又区间[－5,5]的长度为10，区间[－1,2]的长度为3，因此在区间[－5,5]上任取一点x0，
使f(x0)≤0成立的概率为.
与面积有关的几何概型
向面积为9的△ABC内投一点P，求△PBC的面积小于3的概率．
【思路探究】 先利用图形找到点P所落的区域，再利用面积比求概率．
【自主解答】 如图，作AD⊥BC，垂足为D，设ED＝AD，则AE＝AD.过E作MN∥BC，则MN＝BC.
∴S△AMN＝MN·AE＝×BC×AD＝×BC·AD＝S△ABC.
设事件A：“△PBC的面积小于3”，而点P落在△ABC内任一点的概率相同，当点P落在MN上时，
S△PBC＝S△ABC＝3.
当点P落在线段MN上部时，S△PBC>S△ABC＝3.
当P落在线段MN下部时，S△PBC<S△ABC＝3.
∴事件A的概率只与四边形BCNM的面积有关，属几何概型．∵S△ABC＝9，S△AMN＝S△ABC＝4，
∴P(A)＝＝＝.
如果试验的全部结果所构成的区域的几何度量能转化为平面图形的面积，这种模型称为面积型的几何概型，可按下列公式来计算其概率：
P(A)＝.
一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率．
【解】 海豚在水中自由游弋，其在水池中的哪个位置是等可能的，故为几何概型，如图所示：
区域Ω是长30 m，宽20 m的长方形，图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”．问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．由于区域Ω的面积为30×20＝600(m2)，阴影部分的面积30×20－26×16＝184(m2)．
P(A)＝＝≈0.31，即海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率数为0.31.
与体积有关的几何概型
已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，求使四棱锥M－ABCD的体积小于的概率．
【思路探究】 解答本题的关键是结
一、选择题
1．某人将一枚硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，则( )
A．概率为0.6 B．频率为0.6
C．频率为6 D．概率接近于0.6
【解析】 连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，只能说明频率是0.6，只有进行大量的试验时才可估计概率．
【答案】 B
2．下列说法错误的是( )
A．频率反映事件的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小
B．做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A的概率
C．频率是不能脱离n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值
D．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值
【解析】 根据频率与概率的意义可知，A正确；C、D均正确，B不正确，故选B.
【答案】 B
3．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
13
8
5
7
6
13
18
10
11
9
则取到号码为奇数的频率是( )
A．0.53 B．0.5
C．0.47 D．0.37
【解析】 ＝＝0.53.
【答案】 A
4．(2013·沈阳检测)“某彩票的中奖概率为”意味着( )
A．买1 000张彩票就一定能中奖
B．买1 000张彩票中一次奖
C．买1 000张彩票一次奖也不中
D．购买彩票中奖的可能性是
【解析】 中奖概率为，并不意味着买1 000张彩票就一定中奖，中一次奖或一次也不中，因此A、B、C均不正确．
【答案】 D
5．2013年山东省高考数学试题中，共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项正确的概率为，某家长说：“要是都不会做，每题都随机选择其中一个选项，则一定有3题答对”这句话( )
A．正确 B．错误
C．不一定 D．无法解释
【解析】 把解答一个选择题作为一次试验，答对的概率是，说明做对的可能性大小是.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，那么答对3题的可能性较大，但是并不一定答对3道，也可能都选错，或仅有2,3,4题选对，甚至12个题都选择正确．
【答案】 B
二、填空题
6．样本容量为200的频率分布直方图如图3－1－1所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为________，数据落在[6,10)内的概率约为________．
图3－1－1
【解析】 样本数据落在[6,10)内的频率为0.08×4＝0.32，
频数为200×0.32＝64.
由频率与概率的关系知数据落在[6,10)内的概率约为0.32.
【答案】 64 0.32
7．在5张不同的彩票中有2张奖票，5个人依次从中各抽取1张，各人抽到奖票的概率________(填“相等”“不相等”)．
【解析】 因为每人抽得奖票的概率均为，与前后的顺序无关．
【答案】 相等
8．如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黑球(只是颜色不同)，每次从中任取一球，记下颜色后放回并搅匀，取了10次有9次白球，估计袋中数量最多的是________．
【解析】 取了10次有9次白球，则取出白球的频率是，估计其概率约是，那么取出黑球的概率是，那么取出白球的概率大于取出黑球的概率，所以估计袋中数量最多的是白球 .
【答案】 白球
三、解答题
9．(1)设某厂产品的次品率为2%，问“从该厂产品中任意地抽取100件，其中一定有2件次品”这一说法对不对？为什么？
(2)若某次数学测验，全班50人的及格率为90%，若从该班中任意抽取10人，其中有5人及格是可能的吗？
【解】 (1)这种说法不对，因为产品的次品率为2%，是指产品是次品的可能性为2%，所以从该产品中任意地抽取100件，其中有可能有2件次品，而不是一定有2件次品．
(2)这种情况是可能的．
10．(2013·课标全国卷Ⅱ)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图3－1－2所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
图3－1－2
(1)将T表示为X的函数；
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率．
【解】 (1)当X∈[100,130)时，
T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000.
当X∈[130,150]时，
T＝500×130＝65 000.
所以T＝
(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X∈[120, 150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.
11．在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量，单位：mm)共有100个数据，将数据分组如下表：
分组
频数
[1.30,1.34)
4
[1.34,1.38)
25
[1.38,1.42)
30
[1.42,1.46)
29
[1.46,1.50)
10
[1.50,1.54)
2
总计
100
(1)画出频率分布直方图；
(2)估计纤度落在[1.38,1.50)mm中的概率及纤度小于1.42的概率是多少．
【解】 (1)频率分布直方图，如图：
(2)纤度落在[1.38,1.50)mm中的频数是30＋29＋10＝69，
则纤度落在[1.38,1.50)mm中的频率是＝0.69，
所以估计纤度落在[1.38,1.50)mm中的概率为0.69.
纤度小于1.42 mm的频数是4＋25＋30＝59，
则纤度小于1.42 mm的频率是＝0.59，
所以估计纤度小于1.42 mm的概率为0.59.
一、选择题
1．一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有( )
A．(男，女)，(男，男)，(女，女)
B．(男，女)，(女，男)
C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)
D．(男，男)，(女，女)
【解析】 两个孩子有先后出生之分，与顺序有关．如(男，女)和(女，男)是两种不同的结果．
【答案】 C
2．从1,2，…，9共9个数字中任取一个数字，取出的数字为偶数的概率为
( )
A. B. C. D.
【解析】 1,2,3，…，9中共有5个奇数，4个偶数，故任取一个数字为偶数的概率为.
【答案】 C
3．下列随机事件的数学模型属于古典概型的是( )
A．在适宜的条件下，种一粒种子，它可能发芽，也可能不发芽
B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个点
C．某射击手射击一次，可能命中0环、1环、2环、…、10环
D．四位同学用抽签的方法选一人去参加一个座谈会
【解析】 利用古典概型的两个条件判断．在A中，事件“发芽”与事件“不发芽”发生的概率不一定相等，与古典概型的第二个条件矛盾；在B中，横坐标和纵坐标都为整数的所有点为无限个，从而有无限个结果，这与古典概型的第一个条件矛盾；在C中，命中0环、1环、2环、…、10环的概率都不一样．
【答案】 D
4．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则点P(m，n)在直线x＋y＝4上的概率是( )
A. B.
C. D.
【解析】 由题意(m，n)的取值共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(1,6)；(2,1)，(2,2)，…，(2,6)；…；(6,1)，(6,2)，…，(6,6)这36种情况，而满足点P(m，n)在直线x＋y＝4上的取值情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)共3种情况，故所求概率为＝.
【答案】 D
5．(2013·课标全国卷Ⅰ)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A. B.
C. D.
【解析】 从1,2,3,4中任取2个不同的数，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12种情形，而满足条件“2个数之差的绝对值为2”的只有(1,3)，(2,4)，(3,1)，(4,2)，共4种情形，所以取出的2个数之差的绝对值为2的概率为＝.
【答案】 B
二、填空题
6．(2013·浙江高考)从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于________．
【解析】 用A，B，C表示三名男同学，用a，b，c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为：AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc，共15种选法，其中都是女同学的选法有3种，即ab，ac，bc，故所求概率为＝.
【答案】
7．在1,2,3,4,5这5个自然数中，任取两个数，它们的积是偶数的概率是________．
【解析】 从5个自然数中任取两个数共有10种取法，列举如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，若两个数的积是偶数，则这两个数中至少有一个是偶数，满足条件的有(1,2)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(4,5)共7种情况，故所求概率为.
【答案】
8．若以连续掷两次均匀的骰子分别得到的点数m、n作为P点的坐标，则点P在圆x2＋y2＝16内的概率为________．
【解析】 基本事件的总数为6×6＝36(个)，设事件A＝“P(m，n)落在圆x2＋y2＝16内”，则A所包含的基本事件有(1,1)、(2,2)、(1,3)、(1,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(2,1)共8个．所以P(A)＝＝.
【答案】
三、解答题
9．一个口袋内装有大小、质地相同的1个白球和已有不同编号的3个黑球，从中任意摸出2个球．
(1)共有多少种不同的基本事件，这些基本事件是否为等可能的？该试验属于古典概型吗？
(2)摸出的2个球都是黑球记为事件A，问事件A包含几个基本事件；
(3)计算事件A的概率．
【解】 (1)任意摸出2球，共有“白球和黑球1”、“白球和黑球2”、“白球和黑球3”、“黑球1和黑球2”、“黑球1和黑球3”、“黑球2和黑球3”6个基本事件．因为4个球的大小、质地相同，所以摸出每个球是等可能的，故6个基本事件是等可能的．由古典概型定义知这个试验属于古典概型．
(2)从4个球中摸出2个黑球包含3个基本事件，故事件A包含3个基本事件．
(3)因为试验中基本事件总数n＝6，而事件A包含的基本事件数m＝3，
所以P(A)＝＝＝.
10．(2013·陕西高考)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表．
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
6
(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
【解】 (1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
3
6
9
9
3
(2)记从A组抽到的3位评委分别为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6位评委分别为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手，从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果如图：
由树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P＝＝.
11．小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计一个游戏，规则如下：将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上，背面朝上，洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张，若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字(如“土”“土”构成“圭”)则小敏获胜，否则小慧获胜．你认为这个游戏对谁有利？请用列表或画树状图的方法进行分析，并写出构成的汉字进行说明．
【解】 这个游戏对小慧有利．
每次游戏时，所有可能出现的结果如下(列表)：
第二张卡片
第一张卡片
土
口
木
土
(土，土)
(土，口)
(土，木)
口
(口，土)
(口，口)
(口，木)
木
(木，土)
(木，口)
(木，木)
总共有9种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中能组成上下结构的汉字的结果有4种：(土，土)“圭”，(口，口)“吕”，(木，口)“杏”或“呆”，(口，木)“呆”或“杏”．所以小敏获胜的概率为，小慧获胜的概率为.
所以这个游戏对小慧有利．
一、选择题
1．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】 由古典概型的计算公式得P(A)＝＝.
【答案】 C
2．从{1,2,3,4,5}中随机选一个数为a，从{1,2,3}中随机选一个数为b ，则b>a的概率是( )
A. B.
C. D.
【解析】 从{1,2,3,4,5}中随机选一个数a，从{1,2,3}中随机选一个数b，共有以下不同结果：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)共15种．
其中满足b>a的有(1,2)，(1,3)，(2,3)三种，所以b>a的概率为＝，故选D.
【答案】 D
3．将一颗均匀的正方体骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b、c，则方程x2＋bx＋c＝0有相等的实根的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 方程x2＋bx＋c＝0有相等实根，故Δ＝b2－4c＝0即b2＝4c.基本事件总数为6×6＝36.当b＝4，c＝4或b＝2，c＝1时，b2＝4c成立，故P＝＝.
【答案】 D
4．从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好按字母顺序相邻的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】 从5张卡片中任取2张的基本事件总数为10，而恰好按字母顺序相邻的基本事件共有4个，故此事件的概率为＝.
【答案】 B
5．(2013·咸阳检测)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是( )
A. B.
C. D.
【解析】 甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，所得的直线共有＝18(对)，而相互垂直的有5对，故根据古典概型概率公式得P＝.
【答案】 C
二、填空题
6．先后抛掷两枚均匀的骰子，记骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为________．
【解析】 解决本题的关键是对方程log2xy＝1的分析．先从由1,2,3,4,5,6组成的有序实数对中找到满足方程的个数，然后利用古典概型的概率计算公式求解．
由于满足log2xy＝1即2x＝y的(x，y)有(1,2)，(2,4)，(3,6)，又该试验有36个等可能发生的基本事件，所以所求概率为＝.
【答案】
7．(2013·江苏高考)现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________．
【解析】 因为正整数m，n满足m≤7，n≤9，所以(m，n)所有可能的取值一共有7×9＝63(种)，其中m，n都取到奇数的情况有4×5＝20(种)，因此所求概率为P＝.
【答案】
8．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于________．
【解析】 在正六边形中，6个顶点选取4个，种数为15.选取的4点能构成矩形只有正六边形的对边的4个顶点(例如AB与DE)，共有3种，
∴概率为＝.
【答案】
三、解答题
9．编号分别为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
运动员编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
得分
15
35
21
28
25
36
18
34
运动员编号
A9
A10
A11
A12
A13
A14
A15
A16
得分
17
26
25
33
22
12
31
38
(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：
区间
[10,20)
[20,30)
[30,40]
人数
(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，
①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；
②求这2人得分之和大于50的概率．
【解】 (1)4,6,6.
(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13.从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}，共15种．
②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}共5种．
所以P(B)＝＝.
10．一只口袋中有形状、大小都相同的6只小球，其中有2只白球、2只红球和2只黄球．从中一次随机摸出2只球，试求：
(1)2只球同色的概率；
(2)“恰有1只球是白球的概率”是“2只球都是白球的概率”的多少倍．
【解】 把6只小球分别标号，2只白球分别标为白1，白2；2只红球分别标为红1，红2；2只黄球分别标为黄1，黄2.则所有可能的结果如图所示：
由图知，所有可能的结果共有15种．
(1)记“2只球同色”为事件B，则B有3种可能结果，所以事件B的概率为P(B)＝＝.
(2)记“恰有1只是白球”为事件C，“2只球都是白球”为事件D，则事件C有8种可能结果，事件D有1种可能结果，所以P(C)＝，P(D)＝.
所以“恰有一只球是白球的概率”是“2只球都是白球的概率”的8倍．
11．(2013·北京高考)如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
图3－2－1
(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；
(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)
【解】 (1)在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率为.
(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或5日或7日或8日”，所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为.
(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
一、选择题
1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但不对立事件 D．以上答案都不对
【解析】 “甲分得红牌”与“乙分得红牌”不能同时发生，但也不是必有一个发生，故选C.
【答案】 C
2．从一篮鸡蛋中取一个，如果其质量小于30克的概率为0.3，在[30,40]克的概率为0.5，则质量不小于30克的概率是( )
A．0.3 B．0.5
C．0.8 D．0.7
【解析】 “不小于30克”与“小于30克”为对立事件，则概率为1－0.3＝0.7.
【答案】 D
3．(2013·南昌检测)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )
A. B.
C. D.
【解析】 法一 (直接法)：所取3个球中至少有1个白球的取法可分为互斥的两类：两红一白有6种取法；一红两白有3种取法，而从5个球中任取3个球的取法共有10种，所以所求概率为，故选D.
法二 (间接法)：至少有一个白球的对立事件为所取3个球中没有白球，即只有3个红球，共1种取法，故所求概率为1－＝，故选D.
【答案】 D
4．掷一枚硬币，若出现正面记1分，出现反面记2分，则恰好得3分的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 有三种可能：①连续3次都掷得正面概率为；②第一次掷得正面，第二次掷得反面，其概率为；③第一次掷得反面，第二次掷得正面，其概率为.因而恰好得3分的概率为＋＋＝.
【答案】 A
5．从1,2,3，…，9这9个数中任取两数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数；
上述事件中，对立事件是( )
A．① B．②④
C．③ D．①③
【解析】 互为对立事件的两个事件既不能同时发生又必有一个发生．故③是符合要求的．
【答案】 C
二、解答题
6．从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P(A＋B)＝________.
【解析】 一副扑克牌中有1张红桃K,13张黑桃，事件A与事件B互斥，
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
【答案】
图3－2－2
7．如图3－2－2所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是________．
【解析】 1－0.35－0.30－0.25＝0.1.
【答案】 0.1
8．(2013·沈阳高一检测)一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，摸出红球的概率为________．
【解析】 由题意知A＝“摸出红球或白球”与B＝“摸出黑球”是对立事件，又P(A)＝0.58，∴P(B)＝1－P(A)＝0.42，又C＝“摸出红球或黑球”与D＝“摸出白球”为对立事件，P(C)＝0.62，∴P(D)＝0.38.设事件E＝“摸出红球”，则P(E)＝1－P(B∪D)
＝1－P(B)－P(D)＝1－0.42－0.38＝0.2.
【答案】 0.2
三、解答题
9．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛．
(1)求所选3人中恰有1名女生的概率；
(2)求所选3人中至少有1名女生的概率．
【解】 4名男生记为1,2,3,4，两名女生记为5,6，从这6个人中选3个人的方法有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,2,6)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,3,6)，(3,4,5)，(3,4,6)，(4,5,6)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,3,6)，(1,4,5)，(1,4,6)，(1,5,6)，(2,4,5)，(2,4,6)，(2,5,6)，(3,5,6)共20种方法．
(1)所选3人中恰好有1名女生的情况有(1,2,5)，(1,2,6)，(2,3,5)，(2,3,6)，(3,4,5)，(3,4,6)，(1,3,5)，(1,3,6)，(1,4,5)，(1,4,6)，(2,4,5)，(2,4,6)共12种方法．故所选3人中恰好有1名女生的概率为＝.
(2)所选3人中恰好有2名女生的情况有(1,5,6)，(2,5,6)，(3,5,6)，(4,5,6)，共4种情况，则所选3人中至少有1名女生的情况共有12＋4＝16种．
所以，所选3人中至少有1名女生的概率为＝(1－＝)．
10．某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．
(1)求中三等奖的概率；(2)求中奖的概率．
【解】 设“中三等奖”为事件A，“中奖”为事件B，
从四个小球中有放回地取两球有：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共有16种不同的结果．
(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有：
(1,3)，(2,2)，(3,1)，(0,3)，(1,2)，(2,1)(3,0)，有7种结果，
则中三等奖的概率为P(A)＝.
(2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种；
两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：(2,3)，(3,2)．
两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：(3,3)．
则中奖的概率为P(B)＝＝.
11．(2013·湖南高考)
图3－2－3
某人在如图3－2－3所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量：
Y
51
48
45
42
频数
4
(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg的概率．
【解】 (1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：
Y
51
48
45
42
频数
2
4
6
3
所种作物的平均年收获量为
＝＝＝46.
(2)由(1)知，P(Y＝51)＝，P(Y＝48)＝.故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率为P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝＋＝.
一、选择题
1．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为
( )
A．0.008 B．0.004
C．0.002 D．0.005
【解析】 大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出的2毫升水样中有大肠肝菌为事件A，则事件A构成区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则P(A)＝＝0.005.
【答案】 D
2．(2012·辽宁高考)在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 设AC＝x，CB＝12－x，所以x(12－x)<32，解得x<4或x>8.又x>0,12－x>0，所以0【答案】 C
图3－3－2
3．(2013·临沂检测)如图3－3－2，在直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠xOT内的概率是( )
A. B.
C. D.
【解析】 设A＝{射线OA落在∠xOT内}，则A的几何度量为60°，而区域的总几何度量为360°，故P(A)＝＝.
【答案】 D
4．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体容器内自由飞行，若小蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则小蜜蜂“安全飞行”的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 小蜜蜂若要“安全飞行”，则需控制在以正方体中心为中心的棱长为1的小正方体内部，所以“安全飞行”的概率为两者体积之比，即为.
【答案】 C
图3－3－3
5．如图3－3－3，矩形ABCD中，点E为边CD的中点．若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 不妨设矩形的长、宽分别为a、b，于是S矩形＝ab，S△ABE＝ab，由几何概率的定义可知P＝＝.
【答案】 C
二、填空题
6．在区间[－2,2]上，随机地取一个数x，则x2位于0到1之间的概率是________．
【解析】 x2位于0到1之间时x∈[－1,1]，∴P＝＝.
【答案】
图3－3－4
7．如图3－3－4所示，在一个边长为3 cm的正方形内部画一个边长为2 cm的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是________．
【解析】 因为小正方形的面积与大正方形的面积的比值为.
所以所投的点落入小正方形内的概率是.
【答案】
8．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为________．
【解析】 P＝＝π.
【答案】 π
三、解答题
9．设m在[0,5]上随机地取值，求方程x2＋mx＋＋＝0有实数根的概率．
【解】 方程有实数根?Δ＝m2－4(＋)≥0?m≤－1或m≥2.
又∵m∈[0,5]，
∴方程x2＋mx＋＋＝0有实数根的m的取值范围为[2,5]．
∴方程x2＋mx＋＋＝0有实数根的概率为P＝＝.
10．已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.
(1)若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求f(x)有零点的概率；
(2)若a，b都是从区间[0,4]上任取的一个数，求f(1)＞0的概率．
【解】 (1)a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，则基本事件的总数为5×5＝25.
f(x)有零点的条件为Δ＝a2－4b≥0.即a2≥4b；而事件“a2≥4b”包含12个基本事件：(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所以f(x)有零点的概率P1＝.
(2)a，b都是从区间[0,4]上任取的一个数，
f(1)＝－1＋a－b＞0，
即a－b＞1，
由右图可知f(1)＞0的概率P2＝＝.
图3－3－5
11．如图3－3－5所示，在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦的长度不超过1的概率．
【解】 弦长不超过1，即|OQ|≥，而点Q在直径AB上，是随机的，事件A＝{弦长超过1}．
由几何概型的概率公式，得P(A)＝＝.
∴弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－.
