模块学习评价
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列选项中，正确的赋值语句是( )
A．A＝x2－1＝(x＋1)(x－1) B．5＝A
C．A＝A*A＋A－2 D．4＝2＋2
【解析】 赋值语句的表达式“变量＝表达式”，故C正确．
【答案】 C
2．(2012·安徽高考)如图1所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )
图1
A．3 B．4 C．5 D．8
【解析】 当x＝1，y＝1时，满足x≤4，则x＝2，y＝2；
当x＝2，y＝2时，满足x≤4，则x＝2×2＝4，y＝2＋1＝3；
当x＝4，y＝3时，满足x≤4，则x＝2×4＝8，y＝3＋1＝4；
当x＝8，y＝4时，不满足x≤4，则输出y＝4.
【答案】 B
3．(2013·重庆高考)如图2是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为( )
图2
A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6
【解析】 由题意知，这10个数据落在区间[22,30)内的有22、22、27、29，共4个，所以其频率为＝0.4，故选B.
【答案】 B
4．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据
月份x
1
2
3
4
用水量y
4.5
4
3
2.5
由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是y＝－0.7x＋a，则a＝( )
A．5.15 B．5.20 C．1.75 D．5.25
【解析】 ＝2.5，＝3.5，∴a＝－b.
∴a＝3.5－(－0.7)×2.5＝5.25.
【答案】 D
5．有四个游戏盘，如图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖．小明希望中奖机会大，他应当选择的游戏盘为( )
【解析】 根据几何概型公式计算可得A、B、C、D对应的概率分别为，，1－，，故应选择的游戏盘为A.
【答案】 A
6．如图3所示，是一个算法的程序框图，该算法所输出的结果是( )
图3
A. B. C. D.
【解析】 该框图执行算法＋＋＝.
【答案】 C
7．(2013·广州检测)将一颗骰子连续抛掷两次，至少出现一次6点向上的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】 记至少出现一次6点向上为事件A，则A的对立事件为两次都不是6点向上，将一颗骰子连续掷两次，共有6×6＝36种情况．
其中两次都不是6点向上的情况有5×5＝25种．
∴P()＝，∴P(A)＝1－＝.
【答案】 B
8．某校举行2013年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数茎叶统计图如图3，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )
A．85,1.6 B．85,4 C．84,1.6 D．84,0.8
【解析】 由已知的茎叶图七位评委为某班的小品打出的分数为：79,84,84,86,84,87,93.
去掉一个最高分93和一个最低分79后．
＝＝85.
方差s2＝[(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(84－85)2＋(87－85)2]＝1.6.
【答案】 A
9．某调查机构调查了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图5所示)，则新生婴儿的体重(单位：kg)在[3.2,4.0)的人数是( )
图5
A．30 B．40 C．50 D．55
【解析】 新生婴儿的体重在[3.2,4.0](kg)的人数为100×(0.4×0.625＋0.4×0.375)＝40.
【答案】 B
10．(2013·四川高考)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图7所示．以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是( )
图7
【解析】 法一 由题意知样本容量为20，组距为5.
列表如下：
分组
频数
频率
[0,5)
1
0.01
[5,10)
1
0.01
[10,15)
4
0.04
[15,20)
2
0.02
[20,25)
4
0.04
[25,30)
3
0.03
[30,35)
3
0.03
[35,40]
2
0.02
合计
20
1
观察各选择项的频率分布直方图知选A.
法二 由茎叶图知落在区间[0,5)与[5,10)上的频数相等，故频率、也分别相等．比较四个选项知A正确，故选A.
【答案】 A
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填在题中的横线上)
11．一个工厂有若干个车间，今采用分层抽样法从全厂某天的2 048件产品抽取一个容量为128的样本进行质量检查，若一车间这一天生产256件产品，则从该车间抽取的产品件数为________．
【解析】 由题意，抽样比例为＝.
故应抽256×＝16(件)．
【答案】 16
12．(2013·山东高考)执行下面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n的值为________．
图8
【解析】 由程序框图可知：
第一次运行：F1＝1＋2＝3，F0＝3－1＝2，n＝1＋1＝2，＝＞ε，不满足要求，继续运行；
第二次运行：F1＝2＋3＝5，F0＝5－2＝3，n＝2＋1＝3，＝＝0.2＜ε，满足条件．
结束运行，输出n＝3.
【答案】 3
13．(2013·辽宁高考)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为____________．
【解析】 设5个班级中参加的人数分别为x1，x2，x3，x4，x5，则由题意知＝7，(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20，五个整数的平方和为20，则必为0＋1＋1＋9＋9＝20，由|x－7|＝3可得x＝10或x＝4.由|x－7|＝1可得x＝8或x＝6，由上可知参加的人数分别为4,6,7,8,10，故最大值为10.
【答案】 10
14．若a是从区间[0,10]中任取一个数，则方程x2－ax＋1＝0无实解的概率是________．
【解析】 方程x2－ax＋1＝0无实解．
则Δ＝a2－4<0，
即(a－2)(a＋2)<0，
∴－2
∴0≤a<2，构成的区域长度为2.
从区间[0,10]中任取的一个实数a构成的区域长度为10.
故方程x2－ax＋1＝0无实解的概率为＝0.2.
【答案】 0.2
15．(2013·长沙检测)已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.
(1)圆C的圆心到直线l的距离为________；
(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________．
【解析】 (1)圆心坐标为(0,0)，
∴圆心到直线4x＋3y－25＝0的距离
d＝＝5.
(2)如图l1∥l，与圆x2＋y2＝12相交于M，N两点，且l1与l的距离为2，
则当点A位于劣弧上时，A到l的距离小于2.
作OH⊥l，交l1与D，
|OD|＝|OH|－2＝5－2＝3，
|ON|＝2，
∴cos∠DON＝＝＝，
∴∠DON＝，∴∠MON＝，
∴的长度为2π×2×＝，
∴由几何概型概率计算公式知点A到l的距离小于2的概率P＝＝＝.
【答案】 (1)5 (2)
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：
分数
50
60
70
80
90
100
人数
甲组
2
5
10
13
14
6
乙组
4
4
16
2
12
12
已经算得两个组的平均分都是80分．请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．
【解】 (1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．
(2)s＝×[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，
s＝×[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.
∵s(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人．从这一角度看，甲组的成绩较好．
(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，∴乙组成绩集中在高分段的人数多，同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人．从这一角度看，乙组的成绩较好．
17．(本小题满分12分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图9所示．
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
(2)计算甲班的样本方差；
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率．
图9
【解】 (1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160 cm～179 cm之间，而乙班身高集中于170 cm～180 cm之间．因此乙班平均身高高于甲班．
(2)＝
＝170(cm)．
甲班的样本方差
s2＝[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2(cm2)．
(3)设“身高为176 cm的同学被抽中”为事件A，从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173 cm的同学有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件：(181,176)，(176,176)，(178,176)，(176,173)，∴P(A)＝＝.
18．(本小题满分12分)(2013·天津高考)某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标(x，y，z)
(1,1,2)
(2,1,1)
(2,2,2)
(1,1,1)
(1,2,1)
产品编号
A6
A7
A8
A9
A10
质量指标(x，y，z)
(1,2,2)
(2,1,1)
(2,2,1)
(1,1,1)
(2,1,2)
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率．
(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，
①用产品编号列出所有可能的结果；
②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．
【解】 (1)计算10件产品的综合指标S，如下表：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
S
4
4
6
3
4
5
4
5
3
5
其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.
(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．
②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．
所以P(B)＝＝.
19．(本小题满分13分)(2013·广州检测)一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个，求：
(1)连续取两次都是白球的概率；
(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，连续取三次分数之和为4分的概率．
【解】 (1)设连续取两次的事件总数为M，包括以下基本事件：
(红，红)，(红，白1)，(红，白2)，(红，黑)，(白1，红)(白1，白1)(白1，白2)，(白1，黑)，(白2，红)，(白2，白1)，(白2，白2)，(白2，黑)，(黑，红)，(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，黑)，故M＝16.
设事件A：连续取两次都是白球，包括(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)共4个．
所以P(A)＝＝.
(2)连续取三次的基本事件总数为N，包括以下基本事件：(红，红，红)，(红，红，白1)，(红，红，白2)，(红，红，黑)；(红，白1，红)，(红，白1，白1)，……，如此，N＝64；
设事件B：连续取三次分数之和为4分；因为取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，则连续取三次分数之和为4分的有如下基本事件：
(红，白1，白1)，(红，白1，白2)，(红，白2，白1)，(红，白2，白2)，
(白1，红，白1)，(白1，红，白2)，(白2，红，白1)，(白2，红，白2)，
(白1，白1，红)，(白1，白2，红)，(白2，白1，红)，(白2，白2，红)，
(红，红，黑)，(红，黑，红)，(黑，红，红)，
共15个基本事件，故P(B)＝.
20．(本小题满分13分)为迎接春节，某工厂大批生产小孩玩具——拼图，工厂为了规定工时定额，需要确定加工拼图所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下：
拼图数x/个
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
加工时间y/分钟
62
68
75
81
89
95
102
108
115
122
(1)画出散点图，并判断y与x是否具有相关关系；
(2)求回归方程；
(3)根据求出的回归方程，预测加工2 010个拼图需用几个小时．(精确到0.1)
【解】 (1)散点图如图所示．
由散点图可以看出，两个变量具有线性相关关系．
(2)经计算得＝55，＝91.7＝38 500，iyi＝55 950.设所求的回归方程为y＝bx＋a，则有b＝≈0.668，a＝－b≈54.96.因此，所求的回归方程是y＝0.668x＋54.96.
(3)当x＝2 010时，y＝0.668×2 010＋54.96≈1 397.6(分钟)，1 397.6分钟≈23.3小时．因此，加工2 010个拼图所需时间约为23.3小时．
21．(本小题满分12分)(2013·四川高考)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．
图10
(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i＝1,2,3)；
(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．
当n＝2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．
【解】 (1)变量x是在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生的一个数，共有24种可能．
当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1＝；
当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2＝；
当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3＝.
所以，输出y的值为1的概率为，输出y的值为2的概率为，输出y的值为3的概率为.
(2)当n＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率如下：
输出y的值为1的频率
输出y的值为2的频率
输出y的值为3的频率
甲
乙
比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大．
课件60张PPT。课件39张PPT。抽样方法的应用 用样本的频率分布估计总体频率分布 用样本的数字特征估计总体的数字特征 线性回归分析 方程的思想 课件25张PPT。算法设计 算法框图及画法 图2－1 基本算法语句 算法思想 图2－2 图2－3 课件33张PPT。随机事件的频率与概率 古典概型 几何概型 函数与方程思想在概率中的应用 综合检测(一)
第一章 统 计
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．为了调查全国人口的寿命，抽查了十一个省(市)的2 500名城镇居民，这个问题中“2 500名城镇居民的寿命的全体”是( )
A．总体 B．个体
C．样本 D．样本容量
【解析】 每个人的寿命是个体，抽出的2 500名城镇居民的寿命的全体是从总体中抽取的一个样本．
【答案】 C
2．某班的60名同学已编号1,2,3，…，60，为了解该班同学的作业情况，老师收取了号码能被5整除的12名同学的作业本，这里运用的抽样方法是( )
A．简单随机抽样法 B．系统抽样法
C．分层抽样法 D．抽签法
【解析】 抽出的号码是5,10,15，…，60.符合系统抽样的特点“等距抽样”．
【答案】 B
3．(2013·湖南高考)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝( )
A．9 B．10
C．12 D．13
【解析】 依题意得＝，故n＝13.
【答案】 D
4．有一个容量为80的样本，数据的最大值是140，最小值是51，组距为10，则可以分为( )
A．10组 B．9组
C．8组 D．7组
【解析】 由题意知极差为：140－51＝89.
＝8.9，故应分为9组．
【答案】 B
5．(2013·福建高考)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图1所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )
图1
A．588 B．480
C．450 D．120
【解析】 不少于60分的学生的频率为
(0.030＋0.025＋0.015＋0.010)×10＝0.8，
∴该模块测试成绩不少于60分的学生人数应为600×0.8＝480.
【答案】 B
6．下列图形中具有相关关系的两个变量是( )
【解析】 A、B为函数关系，D中所有点大约集中在一条直线附近，故具有相关关系．
【答案】 D
图2
7．(2012·陕西高考)设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n次方个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图2)，以下结论正确的是( )
A．直线l过点(，)
B．x和y的相关系数为直线l的斜率
C．x和y的相关系数在0到1之间
D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同
【答案】 A
8．(2013·福建高考)已知x与y之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y＝bx＋a.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是
( )
A．b>b′，a>a′ B．b>b′，aC．ba′ D．b【解析】 由(1,0)，(2,2)求b′，a′.
b′＝＝2，
a′＝0－2×1＝－2.
求，时，
iyi＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，
＝3.5，＝，
＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，
∴＝＝，
＝－×3.5＝－＝－，
∴a′.
【答案】 C
图3
9．A，B两名同学在5次数学考试中的成绩统计的茎叶图3所示，若A，B两人的平均成绩分别是XA，XB，则下列的结论正确的是( )
A．XAB．XA>XB，B比A成绩稳定
C．XAD．XA>XB，A比B成绩稳定
【解析】 由茎叶图知，A同学的5次数学成绩的平均值为XA＝(91＋92＋96＋103＋128)＝102，
XB＝(99＋108＋107＋114＋112)＝108，
∴XA【答案】 A
10．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图4所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，平均值为，则( )
图4
A．me＝mo＝ B．me＝mo＜
C．me＜mo＜ D．m0＜mo＜
【解析】 30个数中第15个数是5，第16个数是6，所以中位数为＝5.5，众数为5，
＝＝.
【答案】 D
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上)
11．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图5)．根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．
图5
【解析】 由直方图易得数学考试中成绩小于60分的频率为(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，所以所求分数小于60的学生数为3 000×0.2＝600.
【答案】 600
12．(2012·浙江高考)某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．
【解析】 男生人数为560×＝160.
【答案】 160
13．为了解某地高一年级男生的身高情况，从其中的一个学校选取容量为60的样本(60名男生的身高，单位：cm)，分组情况如下：
分组
151.5～
158.5
158.5～
165.5
165.5～
172.5
172.5～
179.5
频数
6
21
m
频率
a
0.1
则表中的m＝________，a＝________.
【解析】 由表中信息可知，0.1＝，∴m＝0.1×60＝6，
则身高在165.5～172.5内的频数为60－6－21－6＝27.
∴a＝＝0.45.
【答案】 6 0.45
14．如图3是某保险公司提供的资料，在1万元以上的保险单中，少于2.5万元，那么不少于2.5万元的保险单有________万元．
图3
【解析】 不少于1万元的占700万元的21%，金额为700×21%＝147万元，1万元以上的保险单中，超过或等于2.5万元的保险单占，金额为×147＝91万元，故不少于2.5万元的保险单有91万元．
【答案】 91
15．(2012·郑州高一检测)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本方差为________．
【解析】 由题意知，(a＋0＋1＋2＋3)＝1，所以a＝－1，
∴样本方差s2＝[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.
【答案】 2
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)某篮球运动员在2013赛季各场比赛的得分情况如下：12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50.如何分析该运动员的整体水平及发挥的稳定程度？
【解】 画出茎叶图如图所示：
由茎叶图可以看出，该运动员的平均得分及中位数、众数都在20到40之间，且分布较对称，集中程度高，说明该运动员发挥比较稳定
17．(本小题满分12分)从高三学生中抽取50名学生参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频率如下(单位：分)：
[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100)，8.
(1)列出样本的频率分布表(含累积频率)；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计成绩在[60,90)分的学生比例；
(4)估计成绩在85分以下的学生比例．
【解】 (1)频率分布表如下：
成绩分组
频数
频率
累积频率
[40,50)
2
0.04
0.04
[50,60)
3
0.06
0.1
[60,70)
10
0.2
0.3
[70,80)
15
0.3
0.6
[80,90)
12
0.24
0.84
[90,100)
8
0.16
1.00
估计
50
1.00
(2)频率分布直方图如图所示：
(3)成绩在[60,90)分的学生比例，即学生成绩在[60,90)分的频率，0.2＋0.3＋0.24＝74%.
(4)成绩在85分以下的学生比例，即学生成绩不足85分的频率．设相应频率为b，则＝，故b＝0.72.
估计成绩在85分以下的学生约占72%.
18．(本小题满分12分)以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：
房屋面积(m2)
115
110
80
135
105
销售价格(万元)
24.8
21.6
18.4
29.2
22
(1)画出数据对应的散点图；
(2)求线性回归方程，并在散点图中画出回归直线；
(3)根据(2)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格．
【解】 (1)数据对应的散点图如图所示：
(2)＝109，＝23.2，(xi－)2＝1 570，
(xi－)(yi－)＝308，
设所求的回归直线方程为y＝bx＋a，
则b＝≈0.196 2，
a＝－b＝23.2－109×0.196 2＝1.814 2，
故所求回归直线方程为y＝0.196 2x＋1.814 2.
(3)据(2)，当x＝150 m2时，销售价格的估计值为
y＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2(万元)．
19．(本小题满分13分)某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，把成绩分组，得到的频率分布表如下：
组号
分组
频数
频率
第1组
[160,165)
5
0.050
第2组
[165,170)
①
0.350
第3组
[170,175)
30
②
第4组
[175,180)
20
0.200
第5组
[180,185]
10
0.100
总计
100
1.00
(1)求出频率分布表中①、②位置的相应的数据；
(2)这次笔试成绩的中位数落在哪组内？
(3)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽多少名学生进入第二轮面试？
【解】 (1)由题意知第2组的频数为100－5－30－20－10＝35(人)(或100×0.35＝35(人))；第3组的频率为1－0.050－0.350－0.200－0.100＝0.300(或＝0.300)．
(2)第1组和第2组的频率的和为0.400，第4组和第5组的频率的和为0.300，所以这次笔试成绩的中位数落在第3组内．
(3)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：×6＝3(人)，第4组：×6＝2(人)，第5组：×6＝1(人)．
所以第3、4、5组分别抽取3人，2人，1人．
20．(本小题满分13分)某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利润y(元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系见下表：
x
3
4
5
6
7
8
9
y
66
69
73
81
89
90
91
已知：x＝280，xiyi＝3 487.
(1)求，；
(2)画出散点图；
(3)求纯利润y与每天销售件数x之间的回归直线方程．
【解】 (1)＝＝6(件)，
＝＝≈79.86(元)．
(2)散点图如下：
(3)由散点图知，y与x有线性相关关系．
设回归直线方程为y＝bx＋a.
由x＝280，
x1yi＝3 487，
＝6，＝，得
b＝＝＝4.75，
a＝－6×4.75≈51.36.
故回归直线方程为y＝4.75x＋51.36.
21．(本小题满分13分)从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测试，两人在相同条件下各射击10次，命中的环数如下：
甲：7,8,6,9,6,5,9,9,7,4
乙：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7
(1)分别计算甲、乙两人射击命中环数的极差、众数和中位数；
(2)分别计算甲、乙两人射击命中环数的平均数、方差、标准差；
(3)比较两人的成绩，然后决定选择哪一个人参赛．
【解】 (1)甲：极差是9－4＝5，众数是9，中位数是7；
乙：极差是9－5＝4，众数是7，中位数是7.
(2)甲＝＝7，
s＝[(7－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2＋(9－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝2.8，
s甲＝＝≈1.673；
乙＝＝7，
s＝[(9－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2]＝1.2，
s乙＝＝≈1.095.
(3)∵甲＝乙，s甲＞s乙，
∴甲、乙两人的平均成绩相等，乙的成绩比甲的成绩稳定一些，从成绩的稳定性考虑，应选择乙参赛．
综合检测(二)
第二章 算法初步
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列问题的算法适宜用选择结构表示的是( )
A．求点P(－1,3)到直线l：3x－2y＋1＝0的距离
B．由直角三角形的两条直角边长求斜边长
C．解不等式ax＋b>0(a≠0)
D．计算100个数的平均数
【解析】 适用于选择结构的算法具有判断、讨论，并根据判断结果选择不同的操作，由此可知只有C符合，故选C.
【答案】 C
2．用二分法求方程x2－10＝0的近似根的算法中要用哪种算法结构( )
A．顺序结构 B．选择结构
C．循环结构 D．以上都用
【解析】 由求方程x2－10＝0的近似根的算法设计知以上三种结构都用到．
【答案】 D
3．(2013·天津高考)
图1
阅读如图1所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为( )
A．7
B．6
C．5
D．4
【解析】 n＝1，S＝0.
第一次：S＝0＋(－1)1×1＝－1，－1＜2，n＝1＋1＝2，
第二次：S＝－1＋(－1)2×2＝1,1＜2，n＝2＋1＝3，
第三次：S＝1＋(－1)3×3＝－2，－2＜2，n＝3＋1＝4，
第四次：S＝－2＋(－1)4×4＝2,2＝2，
满足S≥2，跳出循环，输出n＝4.
【答案】 D
4．下述算法语句的运行结果为( )
N＝1
S＝0
Do
S＝S＋N
N＝N＋1
Loop While S<＝10
输出N－1
A．5 B．4
C．11 D．6
【解析】 S＝1＋2＋3＋4＋5时停止循环，故选A.
【答案】 A
5．执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为( )
图2
A．105 B．16
C．15 D．1
【解析】 当i＝1时，s＝1×1＝1；当i＝3时，s＝1×3＝3；当i＝5时，s＝3×5＝15；当i＝7时，i【答案】 C
6．运行以下算法语句时，执行循环体的次数是( )
i＝1
Do
i＝i＋1
i＝i*i
Loop While i<10
输出i
A．2 B．10
C．11 D．8
【解析】 第一次执行循环体，
i＝1，
i＝i＋1＝2，
i＝i·i＝4，
i＝4<10，成立，
第二次执行循环体，
i＝i＋1＝5，
i＝i·i＝25，
i＝25<10，不成立，
退出循环，共执行了2次循环体．
【答案】 A
7．阅读如图4所示的算法框图，运行相应的程序，则循环体执行的次数是
( )
A．50 B．49
C．100 D．98
【解析】 当i＝2,4,6，…，98时，执行循环体，共执行了49次．
【答案】 B
图4 图5
8．在阳光体育活动中，全校学生积极参加室外跑步．高三(1)班每个学生上个月跑步的路程从大到小排列依次是a1，a2，a3，…，a50(任意i＝1,2，…，49，ai＞ai＋1)，如图是计算该班上个月跑步路程前10名学生的平均路程的算法框图．则图中判断框①和处理框②内应分别填写( )
A．i＜10，＝ B．i＜11，＝
C．i＜11，＝ D．i＜10，＝
【解析】 注意到判断框中应是保证恰好是10名学生，再注意到走出判断框的结果将是10个数的和，于是选C.
【答案】 C
9．如图6，该框图是求函数f(x)＝x2－3x＋5，当x∈{0,3,6,9，…，60}时函数值的一个算法框图，则①处应填( )
A．x＝x＋3 B．x＝3x
C．3x＝x D．x＋3＝x
【解析】 0,3,6,9，…，60，后一个数比前一个数大3.
【答案】 A
图6 图7
10．(2013·北京高考)执行如图7所示的程序框图，输出的S值为( )
A．1 B.
C. D.
【解析】 当i＝0，S＝1时，执行S＝后得S＝，i＝i＋1＝1；
当i＝1，S＝时，执行S＝后得S＝，i＝i＋1＝2.
由于此时i≥2是成立的，
因此输出S＝.
【答案】 C
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上)
11．下面为一个求20个数的平均数的算法语句，在横线上应填充的语句为________．
S＝0
For i＝1 To ________
输入x
S＝S＋x
Next
a＝S/20
输出a
【解析】 20个数，故应填20.
【答案】 20
12．下图是某算法的算法框图，则程序运行后输出的结果是________．
图8
【解析】 由题意得
∵n＝4>3，故输出s＝27.
【答案】 27
13．分析下面的算法语句：
输入x；
若输入38，运行上面的语句后，得到的结果是________．
【解析】 输入38，程序运行过程是：
9<38<100，成立，
a＝3
b＝8
x＝10×8＋3＝83
输出x＝83.
【答案】 83
14．(2013·湖北高考)阅读如图9所示的程序框图，运行相应的程序，若输入m的值为2，则输出的结果i＝________.
图9
【解析】 m＝2，A＝1，B＝1，i＝0.
第一次：i＝0＋1＝1，A＝1×2＝2，B＝1×1＝1，A>B；
第二次：i＝1＋1＝2，A＝2×2＝4，B＝1×2＝2，A>B；
第三次：i＝2＋1＝3，A＝4×2＝8，B＝2×3＝6，A>B；
第四次：i＝3＋1＝4，A＝8×2＝16，B＝6×4＝24，A终止循环，输出i＝4.
【答案】 4
15．(2013·湖南高考)执行如图10所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为________．
图10
【解析】 当a＝1，b＝2时，a>8不成立，执行a＝a＋b后a的值为3，当a＝3，b＝2时，a>8不成立，执行a＝a＋b后a的值为5，当a＝5，b＝2时，a>8不成立，执行a＝a＋b后a的值为7，当a＝7，b＝2时，a>8不成立，执行a＝a＋b后a的值为9，由于9>8成立，故输出a的值为9.
【答案】 9
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)写出解不等式x2－2x－3＜0的一个算法．
【解】 算法步骤如下：
1．求出对应方程x2－2x－3＝0的两根－1,3；
2．确定根的大小：－1＜3；
3．写出解集{x|－1＜x＜3}．
17．(本小题满分12分)(2013·深圳检测)根据下列语句画出相应的算法框图．
S＝1
n＝1
Do
S＝S*n
n＝n＋1
Loop While S<1 000
输出n－1
【解】 算法框图如下：
18．(本小题满分12分)设计一个算法，求满足1×2＋2×3＋…＋n×(n＋1)<1 000的最大整数n，画出框图，并用循环语句描述．
【解】 框图： 用语句描述为：
19．(本小题满分13分)某次数学考试中，其中一小组的成绩为：
55 89 69 73 81 56 90 74 82
设计一个算法，从这些成绩中搜索出小于75的成绩，并画出算法框图．
【解】 算法：
1． 将序列中的数m与“75”比较，如果此数m小于75，则输出此数；
2． 如果序列中还有其他数，重复第1步；
3． 在序列中一直到没有可比的数为止．
算法框图如下：
20．(本小题满分13分)用基本语句描述计算102＋202＋302＋…＋1 0002的算法并画出相应的算法框图．
【解】 法一 用For语句：
S＝0
For i＝10 To 1 000 Setp 10
S＝S＋i*i
Next
输出S
算法框图见图(1)．
法二 用Do Loop语句：
S＝0
i＝10
Do
S＝S＋i*i
i＝i＋10
Loop While i≤1 000
输出S
算法框图见图(2)．
21．(本小题满分13分)高一(3)班共有54名同学参加数学竞赛，现在已有了这54名同学的竞赛分数，请设计算法，要求计算竞赛成绩优秀的同学的平均分数并输出(规定90分以上为优秀)，画出算法框图，并用基本语句描述算法．
【解】 算法框图如图所示：
用基本语句描述算法如下：
综合检测(三)
第三章 概 率
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法正确的是( )
A．如果一事件发生的概率为一百万分之一，说明此事件不可能发生
B．如果一事件发生的概率为，那么在10次试验中，该事件发生了3次
C．如果某奖券的中奖率是10%，则购买一张奖券中奖的可能性是10%
D．如果一事件发生的概率为99.999 999 9%，说明此事件必然发生
【解析】 某一事件发生的概率很小或很大，都还说明此事件是随机事件，概率描述刻画了该事件发生可能性大小，所以A，D均不正确，B不正确，C正确，故选C.
【答案】 C
2．从装有十个红球和十个白球的罐子里任取2个球，下列情况是互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有一个红球，至少有一个白球
B．恰有一个红球，都是白球
C．至少有一个红球，都是白球
D．至多有一个红球，都是红球
【解析】 A中，“至少有一个红球”可能为一红一白，“至少有一个白球”，可能为一白一红，两事件可能同时发生，故不是互斥事件．B中“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任选两球还有两球都是红球的情况，故不是对立事件．C为对立事件，D为对立事件．
【答案】 B
3．(2013·吉安检测)取一个正方形及其外接圆，随机向圆内抛一颗豆子，则豆子落在正方形外的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 设圆的半径为a，则S圆＝πa2，
S正方形＝(a)2＝2a2，
故豆子落在正方形外的概率为＝.
【答案】 B
图1
4．如图1所示，在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是( )
A. B.
C. D.
【解析】 作PE⊥BC，AD⊥BC，垂足分别为E，D.当△PBC的面积刚好等于时，PE＝AD，要想S△PBC>S，则PB>AB，故概率为P＝＝.
【答案】 C
5．设a是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x2＋ax＋2＝0有两个不相等的实数根的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 若方程有实根，则a2－8>0.a的所有取值情况共6种，满足a2－8>0的有4种情况，故P＝＝.
【答案】 A
6．在一个袋子中装有分别标注着数字1,2,3,4,5,6的六个小球，这些小球除标注的数字外，完全相同．现从中随机地一次取出两个小球，则取出的小球标注的数字之和为5或6的概率是( )
A. B.
C. D.
【解析】 用(x，y)表示取出两球上标注的数字，则所有的基本事件是：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共有15个．数字之和为5或6包含的基本事件有：(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，共有4个．则所求概率为.
【答案】 C
7．(2013·九江检测)在三棱锥的六条棱中任意选择两条，则这两条棱是一对异面直线的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 在三棱锥的六条棱中任意选择两条直线共有15种情况，其中异面的情况有3种，则两条棱异面的概率为P＝＝.
【答案】 C
8．甲、乙两人玩猜数字，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1.就称甲乙“心有灵犀”，现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，则满足要求的事件可能的结果有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16种．而依题意得基本事件的总数有36种．
故P＝＝.
【答案】 D
9．从装有4粒相同的玻璃球的瓶中，随意倒出若干粒玻璃球(至少1粒)，记倒出奇数粒玻璃球的概率为P1，倒出偶数粒玻璃球的概率为P2，则( )
A．P1＜P2 B．P1＞P2
C．P1＝P2 D．P1，P2大小不能确定
【解析】 我们将4粒玻璃球编号为1、2、3、4号，倒出1粒有4种情况，倒出2粒有6种情况，倒出3粒有4种情况，倒出4粒有1种情况，我们可认为基本事件总数为4＋6＋4＋1＝15，则倒出奇数粒玻璃球的概率为，倒出偶数粒玻璃球的概率为.
【答案】 B
10．(2013·安徽高考)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 由题意，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戊)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，
所求概率P＝.
【答案】 D
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上)
11．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点p的坐标，则点p落在圆x2＋y2＝25外的概率是________．
【解析】 易知p(x，y)共有36种，其中p落在x2＋y2＝25外的有(1,5)，(5,1)，(1,6)，(6,1)，(2,5)，(5,2)，(2,6)，(6,2)，(3,5)，(5,3)，(3,6)，(6,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(6,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)共有21种，
∴P＝＝.
【答案】
12．在正方形ABCD内任取一点P，则使∠APB<90°的概率是________．
【解析】 如图所示，以AB为直径作半圆，当点P落在上时，∠APB＝90°，所以使∠APB<90°的点落在图中的阴影部分．设正方形的边长为1，“在正方形ABCD内任取一点P，则使∠APB<90°”为事件A，则μΩ＝1，μA＝1－π×()2＝1－，∴P(A)＝1－.
【答案】 1－
13．先后2次抛掷一枚骰子，所得点数分别为x，y，则是整数的概率是________．
【解析】 先后两次抛掷一枚骰子，得到的点数分别为x，y的情况一共有36种，其中是整数的情况有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,6)共14种．故是整数的概率为.
【答案】
图2
14．如图2，一只蚂蚁在一直角边长为1 cm的等腰直角三角形ABC(∠B为直角)的边长爬行，则蚂蚁距A点不超过1 cm的概率为________．
【解析】 该问题属于几何概型，蚂蚁沿△ABC的边爬行的总长度为2＋，其中距A点不超过1 cm时的长度为1＋1＝2，根据几何概型概率计算公式得P＝＝2－.
【答案】 2－
15．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为________．
【解析】 点P的所有可能值为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，点P(a，b)落在直线x＋y＝n上(2≤n≤5，n∈N)，且事件Cn的概率最大，当n＝3时，P点可能是(1,2)，(2,1)．当n＝4时，P点可能为(1,3)，(2,2)，即事件C3，C4的概率最大，故n＝3或4.
【答案】 3或4
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)甲盒中有一个红色球，两个白色球，这3个球除颜色外完全相同，有放回地连续抽取2次，每次从中任意地取出1个球，计算下列事件的概率．
(1)取出的2个球都是白球；
(2)取出的2个球中至少有一个白球．
【解】 设红色球为A，白色球为B、C.如图．有放回地连续抽取2次共有9种情形．
(1)其中取出的2个球都是白球有4种．∴“取出的2个球都是白球”的概率为P＝；
(2)“取出的2个球中至少有一个白球”的对立事件是“取出的2个球均为红球”仅有一种．∴P＝1－＝.
17．(本小题满分12分)某学校成立三个社团，共60人参加，A社团有39人，B社团有33人，C社团有32人．同时只参加A、B社团的有10人，同时只参加A、C社团的有11人，三个社团都参加的有8人，随机选取一个成员．求：
(1)他至少参加两个社团的概率为多少？
(2)他参加不超过两个社团的概率是多少？
【解】 解题时需先求出同时只参加B、C社团的人数和单独参加一个社团的人数，然后弄清每个要求的事件中包含哪些基本事件，注意“至少”和“不超过”的理解，画出Venn图可得参加各社团的情况如图所示，用M表示“他至少参加两个社团”，用N表示“他参加不超过两个社团”，则有：
法一 (1)“他至少参加两个社团”的概率为：
P(M)＝＝.
(2)“他参加不超过两个社团”的概率为：
P(N)＝＝.
法二 从对立事件的角度考虑．
(1)“他至少参加两个社团”的对立事件为“他只参加一个社团”，则P(M)＝1－＝.
(2)“他参加不超过两个社团”的对立事件为“他参加三个社团”，则P(N)＝1－＝.
18．(2013·广州检测)(本小题满分12分)盒中装有标有数字1,2,3,4的卡片各2张，从盒中任意取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：
(1)抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；
(2)抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概率；
(3)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率．
【解】 (1)记“抽出的3张卡片上最大的数字是4”为事件A，由题意得试验的结果为2个(1,1,2)，(1,1,3)，(1,1,4)，(1,2,2)，(1,3,3)，(1,4,4)，(2,2,3)，(2,2,4)，(2,3,3)，(2,4,4)，(3,3,4)，(3,4,4)；8个(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)，
所以结果总数为2×12＋8×4＝56，而事件A所包含的结果数为36，P(A)＝＝.
(2)记“抽出的3张中有2张卡片上的数字是3”的事件为B，则P(B)＝＝.
(3)记“抽出的3张卡片上的数字互不相同”为事件C，“抽出的3张卡片上的两个数字相同”的事件记为D，由题意，事件C与事件D是对立事件，
因为P(D)＝＝＝，
所以P(C)＝1－＝.
19．(本小题满分13分)(2013·山东高考)某小组共有 A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：
A
B
C
D
E
身高
1.69
1.73
1.75
1.79
1.82
体重指标
19.2
25.1
18.5
23.3
20.9
(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；
(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．
【解】 (1)从身高低于1.80的同学中任取2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个．
由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
选到的2人身高都在1.78以下的事件有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3个．
因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P＝＝.
(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个．
由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个．
因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P ＝.
20．(本小题满分13分)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A，B，C区中分别有18,27,18个工厂．
(1)求从A，B，C区中分别抽取的工厂个数；
(2)若从抽得的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．
【解】 (1)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数比为＝，所以从A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.
(2)设A1，A2为在A区中抽得的2个工厂，B1，B2，B3为在B区中抽得的3个工厂，C1，C2为在C区中抽得的2个工厂，在这7个工厂中随机抽取2个，全部可能的结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共有21种．
随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A区的结果(记为事件X)有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，
B3)，(A2，C1)，(A2，C2)共有11种，所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P(X)＝.
21．(本小题满分13分)某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)；第二组[14,15)……第五组[17,18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图：
图2
(1)若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；
(2)设m、n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m，n∈[13,14)∪[17,18]．求事件“|m－n|＞1”的概率．
【解】 (1)由题中的直方图知，成绩在[14,16)内的人数为50×(0.16×1)＋50×(0.38×1)＝27(人)，
所以该班成绩良好的人数为27人．
(2)设事件M：“|m－n|＞1”
由频率分布直方图知，成绩在[13,14)的人数为50×0.06×1＝3人，设这3人分别为x，y，z；
成绩在[17,18)的人数为50×0.08×1＝4人，
设这4人分别为A，B，C，D.
若m，n∈(13,14)时，则有xy，xz，yz共3种情况；
若m，n∈[17,18]时，则有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种情况；
若m，n分别在[13,14)和[17,18]内时，
此时有|m－n|＞1.
A
B
C
D
x
xA
xB
xC
xD
y
yA
yB
yC
yD
z
zA
zB
zC
zD
共有12种情况．
所以基本事件总数为3＋6＋12＝21种，
则事件“|m－n|＞1”所包含的基本事件个数有12种．
∴P(M)＝＝.
