课件17张PPT。4.3 单位圆与诱导公式理解正弦函数、余弦函数的诱导公式的推导过程；
能了解诱导公式之间的关系，能相互推导；
能利用诱导公式进行化简、求值等问题. 在上一节课中，我们已经学习了任意角的正弦函数的定义，以及终边相同的角的正弦函数值也相等，即sin(2kπ+α)＝sinα (k∈Z)，通过这个公式能把任意角的正弦函数值转化为求0°～360°的角的正弦函数值吗？ 如果能的话，那么任意角的三角函数求值，都可以转化为锐角三角函数求值，并通过查表方法而得到最终解决，本课就来讨论这一问题．设 ，对于任意一个 到 的角 ，以下四种情形中有且仅有一种成立．1.角 与 的正弦函数、余弦函数关系如图，利用单位圆作出任意角 与单位圆相交于点2.角 与 的正弦函数、余弦函数关系 如图，利用单位圆作出任意角 与单位圆相交于点此时，当点P逆（顺）时针旋转弧度 至点 时，点 是点P关
于原点的对称点.3.角 与 的正弦函数、余弦函数关系如图，利用单位圆作出任意角 与单位圆相交于点显然点P与点 关于y轴对称.此时，角 与单位圆相交于点 ,公式一：公式二：公式三：公式四：（1） ；（2） ；（3） 例1 求下列三角函数值：（1） 解：（2） （3） 4.角 与 的正弦函数、余弦函数关系 如图，利用单位圆作出任意角 与单位圆相交于点角 的终边与单位圆交于点 ，由平面几何知识可知,此时，(1)对任意角 ，下列关系式成立：(2)(3)(4)(5)(6)(7)以上公式叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式.例3:化简解：原式=理解正弦函数、余弦函数的诱导公式的推导过程；
能了解诱导公式之间的关系，能相互推导；
能利用诱导公式解决化简、求值等问题.把希望建筑在意欲和心愿上面的人们，二十次中有十九次都会失望。
——大仲马课件21张PPT。5.3 正弦函数的性质1.会利用五点法作出正弦函数的简图.
2.能利用图像研究正弦函数的性质.
3.会利用性质解决与此有关的一些简单问题.观察正弦线变化范围,判断y=sinx具有哪些性质?sinx取最大值为1sinx取最小值为－1性质一：正弦函数 y=sinx的定义域和值域定义域为R，值域为[-1,1]例1.下列各等式能否成立？为什么？
（1）2sinx=3；
（2）sinx=0.5不成立成立y=1y=-1正弦函数 y=sin x(x∈R) 的图像定义域为R值域为[-1,1]y=sinx，x∈R的图像为什么会重复出现形状相同的曲线呢?sin（x+2kπ）=sinx（k∈Z） 一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得定义域内的任意一个x值，都满足f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期.性质二 周期性 对于一个周期函数f（x），如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作它的最小正周期.例如：y=sinx的最小正周期T=2π正弦函数y=sinx(x∈R)的图像性质三：正弦函数 y=sinx 的单调性例2.利用五点法画出函数y=sinx-1的简图,并根据图像讨论它的性质.y=sinxy=sinx-1解：列表：0 1 0 -1 0-1 0 -1 -2 -1xyo-112?2?.....y=sinx-1, x∈[0， ]画出简图：从图像观察y=sinx-1的性质并填写下表R[-2,0]非奇非偶函数当 时,函数是增加的;
当 时,函数是减少的.当 时，最大值为0;
当 时，最小值为-2. 性质四：奇偶性正弦曲线关于原点（0，0）对称.
正弦函数f（x）=sinx为奇函数.R[-1,1]奇函数当 时，函数是增加的;
当 时，函数是减少的.1.函数 的定义域为( )B2.y=2-sinx的最大值及取得最大值时x的值为( )C通过本节学习应掌握以下几点:1.会利用五点法作出正弦函数的简图.
2.要借助图像掌握正弦函数的性质.
3.能利用性质解决与此有关的一些简单问题.把别人的幸福当做自己的幸福，把鲜花奉献给他人，把棘刺留给自己！
——巴尔德斯课件14张PPT。7.3 正切函数的诱导公式 1.会推导正切函数的诱导公式.
熟练掌握正切函数的诱导公式，并能根据公式解决化简、求值等问题. 同学们已经知道，在正、余弦函数中，我们是先学诱导公式，再学图像与性质的. 在学正切函数时，我们为什么要先学图像与性质，再学诱导公式呢？观察下图，角α与角2π+α，2π-α，
π+α，π-α，-α的正切函数值有何关系？ 我们可以归纳出以下公式： 1、正切函数的诱导公式tan(2π+α)＝tanα tan(-α)＝-tanαtan(2π-α)＝-tanαtan(π-α)＝-tanαtan(π+α)＝tanαtan(π/2+α)＝-cotαtan(π/2-α)＝cotα其中角α是任意角这些公式都叫做正切函数的诱导公式任意角的三角函数0～2π的角的三角函数锐角的三角函数参考下面的框图，想想每次变换应该运用哪些公式?α±2kππ±α 由此可知，我们可以利用诱导公式，将任意角的三角函数问题转化为锐角的三角函数问题.由正切值求角时，一定要注意角的终边可能在的象限.解：在利用公式进行化简时一定要注意公式变形时符号及函数名称是否变化.1. 理解并记住正切函数的诱导公式.
2. 在利用公式进行化简求值时要注意角的终边所在的象限.重要的不是知识的数量，而是知识的质量，有些人知道很多很多，但却不知道最有用的东西。 ——列夫?托尔斯泰课件14张PPT。第一章 三角函数
§1 周期现象 了解周期现象在现实中的广泛存在.
感受周期现象对实际工作的意义.
3.能熟练地判断简单的实际问题的周期. 同学们： 你们有没有见过大海，观看过潮涨潮落?
相信大家见过的不多，那今天就来看看著名的钱塘江潮. 众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象. 比如，我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象.所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象. 我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的视频， 注意波浪是怎样变化的？可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象.请你举出生活中存在周期现象的例子.（单摆运动、四季变化等）那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？ 表1-1 思考回答下列问题：
①如何理解“散点图”？
②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么？
③如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”？ 从散点图可以看出，每经过相同的时间T（12h），水深度就重复出现相同的数值，因此，水深是周期性变化.这样的周期性现象我们身边还有很多，下面我们再分析几个例子. 例1.地球围绕着太阳转，地球到太阳的距离y随时间的变化是周期性的吗？ 例2.如图是钟摆的示意图，摆心A到铅垂线MN的距离记为y，钟摆偏离铅垂线MN的角记为θ，根据物理知识，y与θ都随时间的变化而周期性变化.N 例3. 如图是水车的示意图，水车上A点到水面的距离为y.假设水车5min转一圈，那么y的值每经5min就会重复出现，因此，该距离y随时间的变化也具有周期性. 由上面的例子，我们可以看到在自然界中存在着大量的周期现象. 今天是星期三那么7k(k∈Z)天后的那一天是星期几?7k(k∈Z)天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?答案: 星期三 星期三 星期五 通过本节的学习知道了周期现象在现实中广泛存在.
感受到了周期现象对实际工作的意义.
3.能判断简单的实际问题的周期.惟有埋头，才能出头，急于出人头地，除了自寻苦恼之外，不会真正得到什么。
——莎翁课件23张PPT。 §2 角的概念的推广 1．理解正角、负角、零角的定义．
2．理解象限角的概念．
3．会表示终边相同的角.1.在初中角是如何定义的？定义1：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫作角.顶点边边定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫作角.ABo顶点始边 终边2.角是如何度量的?角的单位是度.规定:周角的1/360为1度的角.3.我们学过哪些角?它们的大小是多少?锐角:大于0度小于90度 直角：等于90度
钝角:大于90度小于180度 平角：等于180度
周角：等于360度 我们以前所学过的角都是大于0度，小于或等于360度的角.生活中的角是不是都在0°～3600 的范围内? 体操运动员转体720o，跳水运动员向内、向外转体1080o .经过1小时，时针、分针、秒针转了多少度？ 汽车在前进和倒车时，车轮转动的角度如何表示才比较合理?工人师傅在拧紧或拧松螺丝时，转动的角度如何表示比较合
适????? 这些例子中所提到的角不仅不在范围00 ～3600 中，而且方向不同，因此有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？ 逆时针 顺时针1.任意角定义：正角：按逆时针方向旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角 零角：射线不做旋转时形成的角任意角记法：角 或 ，可简记为 说明：1.角的正负由旋转方向决定.2.角可以任意大小，其数值的大小由旋转次数及终边位置决定.2.象限角的定义1)将角的顶点与原点重合2)始边重合于x轴的非负半轴终边落在第几象限就是第几象限角 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ坐标轴上的角：如果角的终边落在了坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.例如：角的终边落在x轴或y轴上.390°390°=30°+360°-330°=30°-3600=30°+1 360° =30°-1 360°30°=30°+ 0 360°30°+2 360°,
30°－2 360° 30°+3 360°,
30°－3 360° …… …,与30°终边相同的角的
一般形式为30°＋K·360°，K∈Z-330°与α终边相同的角的一般形式为α＋k·360°，k∈Z注意: (1)k∈Z (2)α是任意角 (3)k·360°与α 之间是“+”号，
如k·360°-30°,应看成k·360°+（-30°）.(5)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍.(4)k的两层含义：
(i)特殊性：每对k赋一个值可得一个具体角；
(ii)一般性：表示了所有与终边α重合的角的集合.例1 判断下列各角是第几象限角：（1）-60°；（2）585°；（3） -950°12'.解:（1）因为-60°角的终边在第四象限，所以它是第四象限角. （2）因为585°=360°+225°
所以585°与225°角的终边重合，而225°的终边在第三象限，所以585°是第三象限角.（3）因为-950°12' = （-2）×360°-230°12'
而-230°12'的终边在第二象限，所以-950°12 '是第二象限角. 例2 在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的集合（用0°～360°的角表示).
解 在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°与270°角（如图）.因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1=
而所有与270°角终边相同的角构成集合
S2=
于是，终边在y轴上的角的集合
S=S1∪S2=解：S=｛βIβ=k·3600+600,k∈Z｝.
S中适合-3600≤ ＜7200 的元素是
-3000,600,4200例3：写出与600终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式
-3600≤ ＜7200 的元素 写出来.1. 锐角是第几象限的角？2. 第一象限的角是否都是锐角？3. 小于90°的角都是锐角吗？答：锐角是第一象限的角.答：第一象限的角并不都是锐角.答：小于90°的角并不都是锐角，它也有可能是零角或负角.4. 下列说法：①一个角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角；
②1400°的角是第四象限的角；
③-300°的角与160°的角的终边相同
④相等的角的终边一定相同；
⑤终边相同的角一定相等.其中正确说法的
序号是________________.(1).(2).(4).5.在坐标平面内作出下列各角：30°,390°,-330°;
它们是 象限的角，可以统一表示为
___________________________.?第一α=k·3600+300(k=-1,0，1)1.任意角
的概念正角：射线按逆时针方向旋转形成的角负角：射线按顺时针方向旋转形成的角零角：射线不作任何旋转形成的角1)使角的顶点位于原点2)始边重合于x轴的非负半轴2.象限角终边落在第几象限就是第几象限角3.终边与 角ａ相同的角的一般形式为α＋k·3600，k∈Z不登高山，不知天之高也；不临深谷，不知地之厚也；不闻先王之遗言，不知学问之大也。 ——荀况课件18张PPT。 §3 弧度制
1.理解并掌握弧度制的定义.
2.能进行角度与弧度之间的换算.
3.能用弧度制解决简单的问题.1.角度制的定义
规定周角的1/360为1度的角，这种用度做单位来度量角的制度叫角度制.2、弧长公式及扇形面积公式1.弧度制在以单位长为半径的圆中,单位长度的弧所对的圆心角为1弧
度的角.它的单位符号是rad,读作弧度.设弧AB的长为l，若l=r，则∠AOB= 1弧度1弧度2π弧度若l=2r，若l=2πr，2弧度若圆心角∠AOB表示一个负角，且它所对的弧的长为3r，则∠AOB的弧度数的绝对值是即∠AOB=－－3弧度-3弧度圆心角AOB的弧度数的绝对值等于它所对的弧的长与半径长的比.一般地，我们规定：
正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，任一已知角α的弧度数的绝对值：其中l为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆的半径.这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制.2.弧度与角度的换算若l=2 π r，由180°=π弧度还可得1°=—— 弧度 ≈ 0．01745弧度180π1弧度 =（——）°≈ 57．30°=57°18′π180例1 把45°化成弧度.
解 45°=
例2 把 化成度.
解 1. 对于一些特殊角的度数与弧度数之间的换算要熟记.0π 2π2.用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”二字通常省略不写，但用“度”（°）为单位时不能省.3.用弧度为单位表示角时，通常写成“多少π”的形式.4.圆的弧长公式及扇形面积公式l =︱α︱r4.用弧度来度量角，实际上角的集合与实数集R之间建立一一对应的关系：正实数零负实数对应角的弧度数1.下列各选项中角的终边相同的是（ ）．B2. 如图，已知角的终边区域，求出角的范围.答案：1. 量角的制度:角度制与弧度制
弧度制除了使角与实数有一一对应关系外，
也为以后学习三角函数打下基础.2. 能熟练地进行角度与弧度之间的换算.3. 弧长公式：扇形面积公式：（其中 为圆心角 所对的弧长， 为圆心角的弧度数)悲观的人虽生犹死，乐观的人永生不老。
——拜伦课件18张PPT。§4 正弦函数和余弦函数的定义与
诱导公式
4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义
4.2 单位圆与周期性 1. 掌握正弦函数、余弦函数的定义.
利用单位圆理解正弦函数与余弦函数都是周期函数,并知道它们的周期.
3. 知道周期函数的定义.锐角三角函数的定义对边邻边斜边P(u,v)xyorMα 设锐角 的顶点与原点 重合,始边与 轴的非 负半轴重合.在 的终边上任取一点 ,它与原点的距离锐角三角函数坐标化M以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆叫作单位圆．当点P(u,v)就是 的终边与单位圆的交点时,锐角三角函数会有什么结果？由三角形相似知识可知,比值 与点P(u,v)
在终边上的位置无关,只与角 有关.任意角的三角函数定义如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(u,v)，那么：1.v叫作α的正弦函数， 记作sinα，即sinα=v； 2.u叫作α的余弦函数， 记作cosα，即cosα=u; 设α是一个任意的象限角，那么当α在第一、二、三、四象限时，sinα的取值符号分别如何？cosα的取值符号分别如何？综上分析，正、余弦函数在各个象限的取值符号如下表： +++－－－－+你有什么办法记住这些信息？ 例1：在直角坐标系的单位圆中，
(1) 画出角 ；
(2) 求出角 的终边与单位圆的交点坐标；
(3) 求出角 的正弦函数值、余弦函数值.例2 已知角 终边上一点P 求角 的正弦函数值、余弦函数值.
解 因为点P 在角 的终边上，
所以 可知
则sin = cos =010-10 在直角坐标系的单位圆中，画出下列各特殊角，求各个角终边与单位圆的交点坐标，并将各特殊角的正弦函数值、余弦函数值填入下表 观察此表格中的数据,你能发现函数y=sinx和y=cosx的变化有什么特点吗？ 观察右图，在单位圆中，由任意角
的正弦函数、余弦函数定义不难得到下
列事实：终边相同的角的正弦函数值相
等，即 ；
终边相同的角的余弦值相等，
即 . 上述两个等式说明：对于任意一个角x，每增加 的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变.所以，正弦函数值、余弦函数值均是随角的变化呈周期性变化的.我们把这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期函数. 正弦函数、余弦函数是周期函数，称
为正弦函数、余弦函数的周期. 例如， 等都是它们的周期.其中 是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期. 一般地，对于函数f(x)，如果存在非零常数T ，对定义域内的任意一个x值，都有f(x+T)=f(x), 那么函数f(x)称为周期函数，T称为这个函数的周期.周期函数1.已知角的终边过点P（-3，-4），求角的正弦、余弦值. 2.确定下列三角函数值的符号.（1） ;（2） ; (3) ;理解正弦函数、余弦函数的定义.
知道正弦函数、余弦函数都是周期函数，并知道它的最小正周期为 .
了解周期函数的定义.不辞艰险出夔门，救国图强一片心；莫谓东方皆落后，亚洲崛起有黄人。
——吴玉章课件17张PPT。§5 正弦函数的性质与图像
5.1 从单位圆看正弦函数的性质
5.2 正弦函数的图像1.会用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图像.
2.掌握正弦函数图像的“五点作图法”.
3.掌握与正弦函数有关的简单图像平移变换和对称变换.前面我们定义了任意角三角函数之后，又从“数”的角度研究了三角函数的关系式及诱导公式，从这节课开始，我们将从函数的角度来一起探讨三角函数的图像与性质，首先来看：正弦函数的图像与性质P(u,v)Mxyα正弦函数y=sinx有以下性质：
（1）定义域：R
（2）值域：[-1，1]
（3）它是周期函数，其
周期是
（4）在[0， ]上的单调性
增区间为：
减区间为： 从单位圆看正弦函数的性质函数y=sinx1. sinα、cosα的几何意义.PMAT正弦线MP余弦线OM想一想?三角问题几何问题一、三角函数线135 o 角的
正弦线为 MP；
余弦线为 OM；PA(1,0)TM135 o2.作出 135 o 的三角函数线:(1) 列表(2) 描点(3) 连线1.用描点法作出函数图像的主要步骤是怎样的？二、画出函数y=sinx图像作法:(1)等分(2)作正弦线(3)平移(4)连线2.因为终边相同的角的三角函数值相同，
所以y=sinx的图像在……，
…与y=sinx,x∈[0,2π]的图像相同.3.正弦曲线与x轴的交点图像的最高点图像的最低点4.五点作图法简图作法(1)列表(列出对图像形状起关键作用的五点坐标)(3)连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)(2)描点(定出五个关键点)1-1y= -sinx, x [0, ]解：x例1.作出 的图像.y=-sinx,x [0, ].....例2.画出y=1+sinx , x∈[0， ]的简图解：xyo-112?2?.....xyo-112?2?.....1.用五点法画出y=sinx+2, x∈[0， ]的简图y=sinx+2, x∈[0， ]xyo-112?2?.....2.用五点法画出y=sinx-1, x∈[0， ]的简图y=sinx-1, x∈[0， ]1.会用单位圆中的正弦线画出正弦函数图像.
2.掌握正弦函数图像的“五点作图法”.
3.掌握与正弦函数有关的简单图像的平移变换和对称变换.通过本节学习应掌握以下几点:冰山在海里移动,它之所以显得庄严宏伟,是因为只有1/8露出水面。
——海明威《老人与海》课件13张PPT。 §6 余弦函数的图像与性质1.会用“五点法”作余弦函数的图像.
2.掌握余弦函数y=cosx的图像和性质.
3.会应用余弦函数y=cosx的图像与性质解决一些简单问题.因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图像在
…与y=sinx,x∈[0,2π]的图像相同正弦曲线1.如何作正弦函数的图像？由 能得到余弦函数的图像吗？余弦曲线利用变换法作余弦函数的图像余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移
个单位长度而得到．类比学习正弦函数图像的方法，在作函数
的图像中起关键作用的点有哪些？函数性质RRy=sinxy=cosx奇函数：图像关于原点对称偶函数：图像关于y轴对称单调性值 域对称轴方程x=k?(k∈Z)对称中心为(k ?+?/2,0)(k∈Z)函数y=cosx有对称性吗？cosx-1
例1．画出函数 的简图，根据图像讨论函数的性质．xcosx0 0-1-2-1 0 ０－１０１解：列表1y=cosx-1 描点连线：例2：比较和且余弦函数在 上是单调递增的,大小对于实数范围内的x，分别写出满足sinx=cosx,sinx>cosx,
sinx
2.用“五点法”作余弦函数的图像. 被人揭下面具是一种失败，自己揭下面具却是一种胜利。
——雨果课件20张PPT。§7 正切函数
7.1 正切函数的定义
7.2 正切函数的图像与性质1. 了解任意角的正切函数概念.
2. 能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像.
3. 根据正切函数的图像熟练推导出正切函数的性质.
4. 能熟练掌握正切函数的图像与性质. 常见的三角函数除正弦函数、余弦函数外还有正切函数，在前两次课中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质.
今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数 . 在直角坐标系中，
如果角α满足：α∈R，
α≠ ＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P（a，b），唯一确定比值 . 一、正切函数的定义 根据函数定义，比值 是角α的函数，
我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝tanα， 1、正切函数的定义其中α∈R，α≠ +kπ，k∈Z.比较正、余弦和正切的定义，不难看出：
tanα＝ (α∈R，α≠kπ+ ，k∈Z). 由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为三角函数.2、正切线 如右图，单位圆与x轴正半轴的交点为A(1 ,0)，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点A(1 ,0)作
x轴的垂线，与角的终边或终边的延长线相交于T点.从图中可以看出：
当角α位于第一和第三象限时，T点位于x轴的上方；
当角α位于第二和第四象限时，T点位于x轴的下方. 不论角α的终边在第几象限，都有 ，
使得角α的正切值与有向线段AT的值相等.因此，我们称
有向线段AT为角α的正切线.由于3、正切函数的周期 所以 是正切函数的周期.
是它的最小正周期.1.想一想正弦函数是如何借助其正弦线做出的图像？
2.我们能否借助正切线做出正切函数的图像？如何做？(2)找横坐标（把x轴上 到 这一段分
成8等份）二、正切函数的图像与性质1、正切函数的图像作法如下：
(1)作直角坐标系,并在直
角坐标系y轴左侧作单位圆.(3)在单位圆右半圆中作出正切线.(4)平移. (5)连线.1、正切函数的图像全体实数R正切函数在开区间 上是增加的.xyo2、正切函数的性质(1)定义域(2)值域(3)周期性 正切函数是周期函数，T= .∴正切函数是奇函数，正切曲线关于原点O对称.(4)奇偶性(5)单调性例1求函数 的定义域.例2. 不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小.与与又且 是单调递增的即例3 求 的单调区间：的增区间为的增区间为A. B . C. D.以上都不对1. 已知 则( ) A.a2. 正切函数的图像
3. 正切函数的性质
1.定义域：
2.值域：
3.周期性：
4.奇偶性：
5.单调性：全体实数R奇函数正切函数在开区间 内都是增加的.正切函数是周期函数，最小正周期T=白发无凭吾老矣！青春不再汝知乎？年将弱冠非童子，学不成名岂丈夫？
——俞良弼课件30张PPT。§8 函数y=Asin(wx＋ )的
图像（一）熟练掌握五点作图法的实质；
理解表达式y＝Asin(ωx＋ )，掌握A、 、ωx+ 的含义；
理解振幅变换、周期变换和相位变换的规律，会对函数y＝sinx进行振幅变换、周期变换和相位变换；
会利用振幅变换、周期变换和相位变换的方法，作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像. 在物理和工程技术的许多问题中，经常会遇到形如
y＝Asin(ωx+ )的函数，例如：在简谐振动中位移与时间表的函数关系就是形如y＝Asin(ωx+ )的函数.正因为如此，我们要研究它的图像与性质，今天先来学习它的图像.解：例1: 作函数 及 的图像 x 由上例可以看出：在函数y＝Asinx（A＞0）中，
A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通
常称A为振幅. 函数y=Asinx (A>0且A≠1)的图像可以看作是把y=sinx的图像上所有点的纵坐标变化为原来的A倍(横坐标不变) 而得到的.描述下列曲线 可以由正弦曲线如何变换得到练习：例2: 作函数 及 的图像 x作图?函数y=sin(x+ )的图像可以看作是把y=sinx的图像上
所有的点向左(当 >0时)或向右(当 <0时)平移| |个
单位而得到的.描述下列曲线可以由正弦曲线如何变换得到练习：函数y=sin?x (? >0且?≠1)的图像可以看作是把
y=sinx的图像上所有点的横坐标变化为原来的
倍(纵坐标不变)而得到的.描述下列曲线可以由正弦曲线如何变换得到练习：1.列表：例3：作函数 及 的图像 x?2.描点：y=sin2xy=sinx连线:1.列表：2.描点作图：y=sinx作函数 与 的图像，
并观察它们可以由 的图像如何变换得到.列表x010-10y=sin2x作图函数y=sin(ωx+ )的图像可以看作是把y=sinωx
的图像上所有的点向左(当 >0时)或向右(当 <0
时)平移| |个单位而得到的.描述下列曲线可以由 的图像如何变换得到练习：y=sinxy=Asinxy=sinxy=sin(x+ )横坐标不变
纵坐标变为原来的A倍向左或向右
平移| |个单位y=sinxy=sinωx纵坐标不变
横坐标变为
原来的1/ω倍ＡＢＢ熟练掌握五点作图法的实质；
理解表达式y=Asin(ωx+ )，掌握A、 、ωx+ 的含义；
理解振幅变换、周期变换和相位变换的规律，会对函数
y=sinx进行振幅变换、周期变换和相位变换；
会利用振幅变换、周期变换和相位变换的方法，作函数
y=Asin(ωx+ )的图像.把一页书好好地消化，胜过匆匆地阅读一本书。
——麦考莱课件22张PPT。§8 函数y=Asin(wx＋ ) 的
图像（二）会利用振幅变换、周期变换和相位变换的方法，作函
数y=Asin(ωx+ )的图像.
2.会借助正弦函数、余弦函数研究函数y＝Asin(ωx+ )
的单调性及最值.y=sinxy=Asinxy=sinxy=sin(x+ )横坐标不变
纵坐标变为原来的A倍向左或向右
平移| |个单位y=sinxy=sinωx纵坐标不变
横坐标变为原来的1/ω倍例1 画出函数y=3sin(2 + )的简图函数 y=sinx y=sin(x+ ) 的图像（1）向左平移2??方法1:先平移后伸缩演示方法1:先平移后伸缩一般规律 请思考：还有其它变换方式吗？（2） 向左平移
方法2:先伸缩后平移2??y=sin2x① 方法2:先伸缩后平移演示方法2:先伸缩后平移一般规律例2.求下列函数的最大值、最小值，以及达到最大值、最小值时的集合.解:(1)(2)(3)例6: (1)求函数 的递增区间.
(2)求函数 的递减区间.解:(1)(2)1.将函数y=sin2x的图像向左平移π/6得到的曲线对应的解析式为（ ）
A.y=sin(2x+π/6) B.y=sin(2x－π/6)
C.y=sin(2x+π/3) D.y=sin(2x－π/3)
2. 要得到函数y=cos3x的图像，只需将函数y=cos(3x-π/6) 的图像（ ）
A.向左平移π/6个单位 B.向右平移π/6个单位
C.向左平移π/18个单位 D.向右平移π/18个单位CC3.填空题：4.求下列函数的最小值以及取最小值时的x值的集合.会利用振幅变换、周期变换和相位变换的方法，作函数
y=Asin(ωx+ )的图像.
2.会借助正弦函数、余弦函数研究函数y=Asin(ωx+ )的
单调性及最值.霸祖孤身取二江，子孙多以百城降。豪华尽出成功后，逸乐安知与祸双？
——王安石课件19张PPT。§9 三角函数的简单应用通过学习三角函数的简单应用学会数学建模的过程.三角函数能够模拟许多周期现象，因此在解决实际问题中有着广泛的应用.例1.水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，图是一个
水车工作的示意图，它的直径为3m,其中心（即圆心）O距水
面1.2m,如果水车逆时针匀速旋转，旋转一圈的时间是
min.在水车轮边缘上取一点P，点P距水面的高度为h (m).
(1)求h与时间t的函数解析式，并作出这个函数的简图.
(2) 讨论如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少时，所
求得的函数解析式中的参数将会发生哪些变化.若水车转速
加快或减慢，函数解析式中的参数又会受到怎样的影响？例2.海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮,晚潮叫汐,在通常情况下,船在涨潮时候驶进航道,靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋,下面给出了某港在某季节每天几个时刻的水深. (1)选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的水深的近似值;(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4m，安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙(船底与海底的距离)，该船何时能进入港口？(3)若船的吃水深度为4m，安全间隙为1.5m,该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3m的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？分析(1)考察数据，可选用正弦函数，再利用待定系数法求解；
(2)在涉及三角不等式时，可利用图像求解. 解(1)可设所求函数为f(x)=Asinωx+k，由已知数
据求得A=2.5，k=5，T=12，
故f(x)=2.5sin( x)+5.241261839152152.57.5在整点时的水深近似为:
1:00；5:00；13:00；17:00为 6.3m；
2:00；4:00；14：00；16:00为 7.2m；
7:00；11:00；19:00；23:00为 3.7m；
8:00；10:00；20:00；22:00为 2.8m；(2)由2.5sin( x)+5≥5.5，得画出y=sin( x)的图像，(如图所示)由图像可得y=sin( x)y=0.2 0.4≤ x≤5.6， 或 12.4≤x≤17.6.故该船在0：24至5：36和12：24至17：36期间可以进港.(3) 若2≤x≤24, x时刻吃水深度为h(x)=4－0.3(x－2)，由f(x)≥h(x)+1.5，得y=sin( x)y=0.12x+0.44 画出y=sin 和y=0.44－0.12x的图像(如图)，由图像可知当x=6.7时，即6：42时，该船必须停止卸货，将船驶向较深的水域. 一半径为3m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上一点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数;
(2)点P第一次达到最高点大约要多长时间？φ解:(1)不妨设水轮沿逆时针方向旋
转,如图所示,建立平面直角坐标系.
设角 ( < <0)是以Ox为
始边，OP0为终边的角.由OP在ts内所转过的角为 ，
可知以Ox为始边， OP为终边的角为则当t=0时，z=0，可得因为 ，所以 ≈-0.73，故所求函数关系式为故P点纵坐标为3sin( )，(2)令 得解得t≈5.5.答:点P第一次达到最高点大约需要5.5s.通过学习三角函数的简单应用,体会数学建模的过程.把学问过于用作装饰是虚假；完全依学问上的规则而断事是书生的怪癖。
——培根 