课件59张PPT。教师用书独具演示演示结束周期现象 重复出现 重复 角的概念 公共端点 射线 射线 端点 逆时针顺时针没有作任何旋转重合象限角的概念 原点 x轴的非负半轴 第几象限角 终边相同的角的表示 {β|β＝α＋k×360°， k∈Z} 周期现象的应用 象限角的判断 终边相同的角的表示 课时作业（一）课件52张PPT。教师用书独具演示演示结束弧度制的定义 单位长度 弧度 弧度 角度与弧度的互化 2π 360° 180° π 0.017 45 57.30° 弧长与扇形面积公式 弧度制的概念 角度制与弧度制的互化 弧长公式与扇形面积公式 课时作业（二）课件56张PPT。教师用书独具演示演示结束任意角的正弦函数、余弦函数的定义 原点 单位长 正半轴 纵坐标vsin α横坐标uu＝cos α全体实数[－1,1]全体实数[－1,1]正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 正弦 正切 余弦 终边相同的角的正弦、余弦函数值的关系 sin x cos x 周期函数 非零实数T 任意一个 f(x＋T)＝f(x) T 最小 最小正周期 正弦函数、余弦函数的定义 正弦函数值、余弦函数值符号的判定 利用终边相同的角的正弦、余弦值间的关系求值 课时作业（三）课件49张PPT。教师用书独具演示演示结束诱导公式(－α，π±α)的推导 －sin α cos α －sin α －cos α －cos α cos α －sin α cos α sin α 利用诱导公式求值 利用诱导公式化简 利用诱导公式解条件求值问题 课时作业（四）课件61张PPT。教师用书独具演示演示结束正弦线 x轴 五点法作正弦函数的图像 (0,0) (π，0) (2π，0) 正弦函数的性质 五点法作图 与正弦函数有关的定义域问题 正弦函数的单调性及应用 与正弦函数有关的值域问题 课时作业（五）课件59张PPT。教师用书独具演示演示结束图像变换作余弦函数的图像 左 五点法作余弦函数的图像 余弦函数的性质 x＝2kπ(k∈Z)x＝2kπ＋π(k∈Z)2π[2kπ－π，2kπ](k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)偶函数y轴五点法作图 与余弦函数有关的定义域问题 余弦函数的单调性及应用 与余弦函数有关的值域或最值问题 课时作业（六）课件49张PPT。教师用书独具演示演示结束正切函数的定义 y＝tan α 正切线 AT 正切函数的图像与性质 kπ(k∈Z，k≠0) π 正切函数的诱导公式 正切函数的概念 利用诱导公式求值或化简 利用图像研究三角函数的性质 课时作业（七）课件55张PPT。教师用书独具演示演示结束函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的图像 值域 振幅 振幅 [－A＋b，A＋b] x＝0 初相 周期 |φ| |b| A 用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图像 图像变换 求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的解析式 课时作业（八）课件46张PPT。教师用书独具演示演示结束函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质 [－A，A] 求y＝Asin(ωx＋φ)的周期 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间 求y＝Asin(ωx＋φ)的最值 课时作业（九）课件47张PPT。教师用书独具演示演示结束三角函数在实际生活中的应用 三角函数在物理学中的应用 课时作业（十）§1周期现象
§2角的概念的推广
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)引导学生了解周期现象在现实中广泛存在，感受周期现象对实际工作的意义．
(2)初步理解用“旋转”定义角的概念；理解“正角”“负角”“零角”“象限角”“终边相同的角”的含义；掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法．
2．过程与方法
(1)通过具体的实例，了解周期现象是自然界中的基本现象，能够判断简单实际问题的周期现象．
(2)用运动变化的观点了解角的概念的推广是解决现实生活和生产中实际问题的需要，通过对各种角的表示的训练，提高分析、抽象、概括问题的能力．
3．情感、态度与价值观
(1)学会用数学方法来探究周期现象的规律，体味数学来源于生活，又指导于实践的意义，感受生活中处处有数学．
(2)从“由一点出发的两条射线形成的图形”到“射线绕着其端点旋转而形成角”的这一认识过程，感受“动”与“静”的对立统一，运动是绝对的，静止是相对的，静是动的一个状态，培养我们用运动变化的观点分析问题．
●重点难点
重点：初步理解用“旋转”定义角的概念，理解正角、负角、零角、象限角、终边相同角的含义，掌握象限角的概念．
难点：掌握终边相同角的表示方法，会书写所有与角α终边相同角的表示方法．
教学时要抓住周期现象来源于生活，生活中有大量的周期现象，多列举事例，然后归纳出周期现象的定义．采取从特殊到一般的方法及时归纳周期现象的定义．学习角的概念的推广时，要从初中角的概念入手，引导学生学会用运动的观点来看角的概念，紧抓关键词“旋转”，来理解正角、负角、零角等概念．在理解终边相同角的表示时，可采用由特殊到一般的方法，归纳总结规律．
(教师用书独具)
●教学建议
先复习初中学过的角的概念，然后设置“观览车”问题情境，推广角的概念，最后研究象限角的性质及表达式．与以往教材不同的是，把旋转的合成与角度的加法运算对应起来，使数与形紧密结合以加深学生对角度运算的直观认识．度数的减法，例如30°－60°，不只是数量的减法计算，而让学生理解为两次旋转的合成．实践表明，这种结合对学生直观掌握三角函数的种种性质是非常有帮助的．
●教学流程
创设问题情境：通过问题导思引出周期现象、任意角的概念．?引导学生探究：你能说说在直角坐标系中讨论角的好处吗？引出象限角、轴线角等概念．?试一试．[自主导学]中知识4的结论又是怎样的呢？那么如何表示这些角呢？师生共同探究终边相同角表示．?通过例1及互动探究，让学生感受周期现象对实际生活的意义．?通过例2及变式训练，使学生掌握象限角的判断及表示方法．?通过例3及变式训练，使学生掌握终边相同角的表示方法和步骤．?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识．?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.
课标解读
1.了解现实生活中的周期现象．
2．了解任意角的概念，理解象限角的概念．(重点)
3．掌握终边相同的角的含义及其表示．(难点)
周期现象
【问题导思】
观察下列实例：
(1)海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次．
(2)钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周．
上述两种现象，具有怎样的属性？
【提示】 周而复始，重复出现．
1．每间隔一段时间会重复出现，这种现象称为周期现象.
2.要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间这种现象是否会重复出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象．
角的概念
【问题导思】
将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？
【提示】 有顺时针和逆时针两种旋转方向．
1．角的有关概念
公共端点，射线，端点
2．角的概念的推广
类型
定义
图示
正角
按逆时针方向旋转形成的角.
负角
按顺时针方向旋转形成的角.
零角
射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，称这样的角为零度角，又称零角.
象限角的概念
【问题导思】
把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？
【提示】 终边可能落在坐标轴上或四个象限内．
1．前提条件
(1)角的顶点与原点重合．
(2)角的始边与x轴的非负半轴重合．
2．结论：角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.
终边相同的角的表示
【问题导思】
30°，390°，750°，…，30°＋k·360°(k∈Z)的角的终边有什么关系？
【提示】 相同．
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k×360°， k∈Z}.
周期现象的应用
水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？
【思路探究】 由于水车每隔5分钟转一圈，所以要计算1小时内最多盛水多少升，关键是确定1小时内水车转多少圈．
【自主解答】 因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．
1．应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”、“化无限为有限”的目的．
2．只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”就可以把问题转化到一个周期内来解决．
利用本例中的水车盛800升的水，至少需要多少时间？
【解】 设x分钟后盛水y升，由例1知每转一圈，水车最多盛水16×10＝160(升)，所以y＝·160＝32x，为使水车盛800升的水，则有32x≥800，所以x≥25，即水车盛800升的水至少需要25分钟.
象限角的判断
已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角，且指出在0°～360°范围内与其终边相同的角．
(1)420°；(2)－75°；(3)855°；(4)－510°.
【思路探究】
根据任意角的概念→确定角终边位置→判断角是第几象限角→在0°～360°内指出
与其终边相同的角
【自主解答】 如图所示：
由图可知：
(1)420°角在第一象限，在0°～360°范围内与60°角终边相同．
(2)－75°角在第四象限，在0°～360°范围内与285°角终边相同．
(3)855°角在第二象限，在0°～360°范围内与135°角终边相同．
(4)－510°角在第三象限，在0°～360°范围内与210°角终边相同．
解答此类问题要处理好以下两个问题：
1．根据角的正负明确旋转方向．
2．注意与终边落在坐标轴上的角比较大小．
此外，对于绝对值较大的角，可先找出与它终边相同的在0°～360°范围内的角，再确定角所在象限．
判断下列角所在的象限，并指出其在0°～360°范围内终边相同的角．
(1)549°； (2)－60°； (3)－503°36′.
【解】 (1)∵549°＝189°＋360°，
∴549°角为第三象限的角，与189°角终边相同．
(2)∵－60°＝300°－360°，
∴－60°角为第四象限的角，与300°角终边相同．
(3)∵－503°36′＝216°24′－2×360°，
∴－503°36′角为第三象限的角，与216°24′角终边相同.
终边相同的角的表示
图1－2－1
如图所示：
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
【思路探究】 解答本题可先写出与OA，OB终边重合的角的集合，然后利用不等式把阴影部分的角的集合表示出来．
【自主解答】 (1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，
终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
(2)由题图知，终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．
解答此类题目关键在于识图能力，我们可以借助角的旋转来探究该区域的一个合适的角的集合，最后把该角的集合加上k×360°，k∈Z即可．
图1－2－2
如图1－2－2所示，终边落在OA位置时的角的集合是________；终边落在OB位置，且在(－360°，360°)内的角的集合是________；终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________．
【解析】 由于射线OA是角120°的终边，
所以终边落在OA位置时的角的集合为{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}．
同理，终边落在OB位置时的角为α＝k·360°－45°，k∈Z，
当k＝0时，α＝－45°，k＝1时，α＝315°.
∴终边落在OB位置，且在(－360°，360°)内的角的集合为{－45°，315°}．
终边落在阴影部分(含边界)的角的集合为{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°}(k∈Z)．
【答案】 {α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}
{－45°，315°} {α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，
k∈Z}
忽视象限角的范围致误
若α是第二象限角，试确定2α、是第几象限角．
【错解】 由题意得90°<α<180°，
所以有180°<2α<360°，
45°<<90°.
故有2α为第三象限角、第四象限角或终边在y轴非正半轴上角，为第一象限角．
【错因分析】 致错原因是把α是第二象限角范围误认为是大于90°而小于180°，而应是{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}才完整．
【防范措施】 正确理解象限角的含义及范围是避免此类错误的关键．
【正解】 (1)由题意得
90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)， ①
∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z)．
故2α是第三或第四象限角或终边落在y轴非正半轴上的角．
(2)由①得45°＋k·180°<<90°＋k·180°(k∈Z)，
当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，得
45°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)，
故是第一象限角．
当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)得
45°＋180°＋n·360°<<90°＋180°＋n·360°(n∈Z)，
即225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z)，
故为第三象限角．
综上可知为第一或第三象限角．
1．判断是否为周期现象，关键是看在相同的间隔内，图像是否重复出现．
2．由于角的概念推广了，那么终边相同的角有无数个，这无数个终边相同的角构成一个集合．与α角终边相同的角可表示为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，要领会好k∈Z的含义．
3．熟记终边在坐标轴上的各角的度数，才能正确快速地用不等式表示各象限角，注意不等式表示的角的终边随整数k的改变而改变时，要对k分类讨论．
1．下列变化中不是周期现象的是( )
A．“春去春又回”
B．钟表的分针每小时转一圈
C．天干地支表示年、月、日的时间顺序
D．某同学每天上学的时间
【解析】 由周期现象的概念易知，某同学每天上学的时间不是周期记录．故选D.
【答案】 D
2．下列说法正确的是( )
A．三角形的内角必为第一、二象限角
B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．第四象限角是负角
D．钝角比第三象限角小
【解析】 对于A，当内角为90°，不是第一、二象限角．根据终边相同角的含义，终边不同的角一定不相等，则B正确．
第四象限角不一定是负角，如330°是第四象限角，
又∵第三象限的角的集合{α|k·360°＋180°<α∴β与α大小不能确定，与k的正负有关．
故A、C、D错误，B正确．
【答案】 B
3．与390°终边相同的角是( )
A．k·360°－30°，k∈Z
B．k·360°－390°，k∈Z
C．k·360°＋30°，k∈Z
D．k·180°＋30°，k∈Z
【解析】 只需将要表示的角表示成k·360°＋α，k∈Z，α∈(0°，360°)的形式，从而将问题转化为判断角α的象限即可．
因为390°＝360°＋30°，所以与其终边相同的角可写为k·360°＋30°，k∈Z.
【答案】 C
4．已知角α＝2 010°
(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.
【解】 (1)由2 010°除以360°，得商为5，余数为210°.
∴取k＝5，β＝210°，
α＝5×360°＋210°.
又∵β＝210°是第三象限角，
∴α为第三象限角．
(2)与2 010°终边相同的角：
k·360°＋2 010°(k∈Z)．
令－360°≤k·360°＋2 010°<720°(k∈Z)，
解得－6≤k<－3(k∈Z)．
所以k＝－6，－5，－4.
将k的值代入k·360°＋2 010°中，
得角θ的值为－150°，210°，570°.
一、选择题
1．探索如图所呈现的规律，判断2 013至2 014箭头的方向是( )
图1－2－3
【解析】 观察题图可知0到3为一个周期，
则从2 013到2 014对应着1到2到3.
【答案】 B
2．－330°是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【解析】 －330°＝30°＋(－1)·360°，则－330°是第一象限角．
【答案】 A
3．把－1 485°转化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是( )
A．45°－4×360° B．－45°－4×360°
C．－45°－5×360° D．315°－5×360°
【解析】 －1 485°＝－5×360°＋315°，故选D.
【答案】 D
4．(2013·济南高一检测)若α是第四象限的角，则180°－α是( )
A．第一象限的角 B．第二象限的角
C．第三象限的角 D．第四象限的角
【解析】 ∵α是第四象限的角，∴k·360°－90°<α∴－k·360°＋180°<180°－α<－k·360°＋270°，k∈Z，
∴180°－α是第三象限的角．
【答案】 C
5．在直角坐标系中，若α与β的终边互相垂直，则α与β的关系为( )
A．β＝α＋90°
B．β＝α±90°
C．β＝α＋90°－k·360°
D．β＝α±90°＋k·360°
【解析】 ∵α与β的终边互相垂直，故β－α＝±90°＋k·360°，k∈Z，∴β＝α±90°＋k·360°，k∈Z.
【答案】 D
二、填空题
6．α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________.
【解析】 依题意知，β的终边与60°角终边相同，
∴β＝k·360°＋60°，k∈Z.
【答案】 k·360°＋60°，k∈Z
7．θ是第三象限角，则是第________象限角．
【解析】 ∵k·360°＋180°<θ∴k·180°＋90°<当k＝2n(n∈Z)时，n·360°＋90°<当k＝2n＋1(n∈Z)时，n·360°＋270°<是第四象限角．
【答案】 二或四
8．与610°角终边相同的角表示为________．
【解析】 与610°角终边相同的角为n·360°＋610°＝n·360°＋360°＋250°＝(n＋1)·360°＋250°＝k·360°＋250°(k∈Z，n∈Z)．
【答案】 k·360°＋250°(k∈Z)
三、解答题
9．若一弹簧振子相对平衡位置的位移x(cm)与时间t(s)的函数关系如图所示，
图1－2－4
(1)求该函数的周期；
(2)求t＝10.5 s时该弹簧振子相对平衡位置的位移．
【解】 (1)由题图可知，该函数的周期为4 s.
(2)设本题中位移与时间的函数关系为x＝f(t)，由函
数的周期为4 s，可知f(10.5)＝f(2.5＋2×4)＝f(2.5)＝－8(cm)，故t＝10.5 s时弹簧振子相对平衡位置的位移为－8 cm.
图1－2－5
10．如图所示，试表示终边落在阴影区域的角．
【解】 在0°～360°范围中，终边落在指定区域的角是0≤α≤45°或315°≤α≤360°，转化为－360°～360°范围内，终边落在指定区域的角是－45°≤α≤45°，
故满足条件的角的集合为{α|－45°＋k·360°≤α≤45°＋k·360°，k∈Z}．
11．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；
(2)最小的正角；
(3)－720°到－360°的角．
【解】 与530°终边相同的角为k·360°＋530°，k∈Z.
(1)由－360°＜k·360°＋530°＜0°，且k∈Z可得k＝－2，故所求的最大负角为－190°.
(2)由0°＜k·360°＋530°＜360°且k∈Z可得k＝－1，
故所求的最小正角为170°.
(3)由－720°≤k·360°＋530°≤－360°且k∈Z得k＝－3，故所求的角为－550°.
(教师用书独具)
写出终边在直线y＝x上的角的集合．
【解】 在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个，即30°角和210°角，因此，所有与30°角终边相同的角组成的集合是S1＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}；所有与210°角终边相同的角组成的集合是S2＝{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}．
因此，终边在直线y＝x上的角的集合是：
S＝S1∪S2＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．
故终边在直线y＝x上的角的集合为S＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．
图
如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．
【解】 设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．
(1){α|k·360°＋30°≤α(2){α|k·360°＋210°≤α所以角α的集合应当是集合(1)与(2)的并集：
{α|k·360°＋30≤α §3弧度制
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
理解弧度制的概念，能正确进行弧度与角度的换算及弧长公式和扇形面积公式的应用．
2．过程与方法
通过弧度制与角度制的换算，体会角集合与实数集合之间一一对应的关系，培养利用联系、变化的观点去分析问题的能力．
3．情感、态度与价值观
通过弧度制与角度制的换算，理解并认识角度制与弧度制是辩证统一的，不是孤立、割裂的．
●重点难点
重点：弧度制的概念．
难点：扇形的弧长和面积公式及其应用．
(教师用书独具)
●教学建议
1．讲授新课要本着“教为主导，学为主体”的原则，引导学生去发现和探究弧度的意义．通过本节课的学习，要使学生理解弧度的意义，能正确进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数．了解角的集合与实数R之间可以建立起一一对应关系．掌握弧度制下的弧长公式，扇形的面积公式．会利用弧度解决某些实际问题．要求学生在理解的基础上记忆．
2．引进弧度制以后，应与角度制进行对比，使学生明确：(1)弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制．(2)1弧度是弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小，而1°是圆周的所对的圆心角的大小；(3)以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值．
●教学流程
创设情境，引出问题：类比长度、重量的不同度量制，那么角是否可以用除角度以外的单位制来度量呢？引入弧度制概念．?试探究：为什么可以用等于半径的弧所对的圆心角作为角的度量单位呢？这个弧度数是否与圆半径的大小有关？引入弧度定义．?试回答：弧度制与角度制有何异同点呢？如何换算呢？引出换算公式．?通过例1及变式训练，使学生进一步理解弧度的概念．?通过例2及变式训练，使学生熟练掌握角度制和弧度制之间的换算．?通过例3及变式训练，使学生掌握利用弧度制下的弧度、面积公式解决扇形的弧长、面积问题．?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正．
课标解读
1.了解角的另外一种度量方法——弧度制．
2．能够熟练地在角度制和弧度制之间进行换算．(重点)
3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．(难点)
弧度制的定义
【问题导思】
1．在初中学过的角度制中，把圆周角等分成360份，其中的一份是多少度？
【提示】 1度．
2．在给定半径的圆中，弧长一定时，圆心角确定吗？
【提示】 确定．
在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角为1弧度的角，它的单位符号是rad，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制．
角度与弧度的互化
【问题导思】
由弧度制的定义可以得到周角的弧度是多少？
【提示】 2π rad
1．角度与弧度的互化
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad
2π rad＝360°
180°＝π rad
π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017_45 rad
1 rad＝()°≈57.30°
2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度
0°
1°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧
度
0
π
2π
弧长与扇形面积公式
【问题导思】
初中学习过的弧长和面积公式是什么？
【提示】 弧长l＝，面积S＝.
已知r为扇形所在圆的半径，n为圆心角的度数，α为圆心角的弧度数.
角度制
弧度制
弧长公式
l＝
l＝|α|r
扇形面积公式
S＝
S＝l·r＝|α|r2
弧度制的概念
下列说法中，叙述错误的是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的
C．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度
D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关
【思路探究】 根据定义进行一一判定．
【自主解答】 A正确；1度的角是周角的，1弧度的角是周角的，B正确；根据弧度的定义，180°一定等于π弧度，C正确．根据角度制与弧度制的定义，无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短无关，而是与弧长和半径的比值有关，所以D错误，故选D.
【答案】 D
一般地对于概念客观题的判定，要紧扣概念的本质及概念中的易错、易混的词，同时要区分相近概念的异同点．
下列各说法中，错误的说法是( )
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
【解析】 根据1 rad的定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1 rad的角．
对照选项，知A、B、C正确，D项错误．
【答案】 D
角度制与弧度制的互化
将下列各角度与弧度互化．
(1)22.5°；(2)112°30′；(3)π；(4)－3 rad.
【思路探究】 依据换算关系π rad＝180°逐个角进行转化．
【自主解答】 (1)22.5°＝rad×22.5＝rad.
(2)112°30′＝112.5°＝rad×112.5＝rad.
(3)π＝×180°＝405°.
(4)－3 rad＝－3×()°≈－3×57.30°＝－171.90°.
1．在进行角度制和弧度制的换算时，抓住关系式π rad＝180°是解题的关键．
2．一些特殊角30°，45°，60°，90°，270°等的弧度数与度数的对应制今后常用，应熟记．
3．弧度与角度在表示角时，二者不可混合使用，如β＝2kπ＋30°(k∈Z)，这种方法是不恰当的．
把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.
【解】 ∵－1 480°＝×(－1 480)＝－.
又∵－＝－10π＋π，且0≤π<2π.
∴－1 480°＝2×(－5)π＋π.
弧长公式与扇形面积公式
已知扇形的周长为20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
【思路探究】 先用半径r表示弧长，再依据S＝lr建立扇形面积S与半径r之间的函数关系，最后利用配方法求最大值．
【自主解答】 设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S.
∵l＝20－2r
∴S＝lr＝(20－2r)· r＝－r2＋10r
＝－(r－5)2＋25(0＜r＜10)．
∴当半径r＝5 cm时，，扇形的面积最大，为25 cm2.
此时α＝＝＝2(rad)．
∴当它的半径为5 cm，圆心角为2 rad时，
扇形面积最大，最大值为25 cm2.
1．弧度制中求扇形弧长和面积的关键在于确定半径r和扇形圆心角弧度数α.解题时通常要根据已知条件列出方程，运用方程思想求解．
2．扇形的弧长公式和面积公式实质看作两个量间的函数关系，因此，经常出现以这两个公式为纽带的函数问题，涉及函数解析式的建立和函数最值的求解．掌握公式和函数的相关知识是解题的关键．
图1－3－1
如图，两块共圆心的扇形，已知OA＝6，OD＝4，∠AOB＝，
(1)求及的长；
(2)求阴影部分面积．
【解】 (1)由弧长公式l＝|α|r，
得的长为6×＝8，的长为4×＝.
(2)阴影部分面积为×6×8－×4×＝24－＝.
因角度制与弧度制混用而出错
将－1 485°化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为________．
【错解】 因为－1 485°＝－4×360°－45°
＝－4×360°＋(－360°＋315°)＝－5×360°＋315°，
所以－1 485°化为2kπ＋α形式应为－10π＋315°
【答案】 －10π＋315°
【错因分析】 只考虑了将－1 485°写成了“2kπ”的组合形式，而忽视了对α的要求，忽视了角度和弧度在同一表达式中必须统一形式，这是初学者极易犯的一个错误．
【防范措施】 在同一式子中，两种单位不能混用，如45°＋2kπ(k∈Z)与k·360°＋都是不允许的．表示角时，要么全用角度制，要么全用弧度制．
【正解】 由－1 485°＝－5×360°＋315°，
所以－1 485°可以表示为－10π＋π.
【答案】 －10π＋π
1．明确1弧度的含义是掌握本节问题的关键．
2．弧度制与角度制的互化是一种比例关系的变形，具体变化时，可牢记以下公式：＝，只要将已知数值填入相应位置，解出未知的数值，再添上相应的单位即可．
3．弧度制下的扇形面积公式可类比三角形的面积公式来记忆．
4．引入弧度制后，就有两种度量角的单位制，不仅使扇形的弧长和面积公式变得更加简洁，也建立了角与实数间的一一对应关系，为后面学习三角函数的定义打下了基础.
1.弧度化为角度是( )
A．110° B．160°
C．108° D．218°
【解析】 ＝×180°＝108°.
【答案】 C
2．若2弧度的圆心角所对的弧长为4 cm，则这个圆心角所对的扇形面积是( )
A．4 cm2 B．2 cm2
C．4π cm2 D．2π cm2
【解析】 设扇形的半径为r，则由l＝|α|r，
得r＝＝2(cm)，∴S＝|α|r2＝×2×22＝4(cm2)，故选A.
【答案】 A
3．把22°30′化为弧度的结果是________．
【解析】 22°30′＝22.5°＝π＝.
【答案】
4．把下列角化为2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)形式，写出终边相同的角的集合，并指出它是第几象限角．
(1)－；(2)－1 485°.
【解】 (1)－＝－8×2π＋，它是第二象限角．终边相同的角的集合为{α|α＝2kπ＋，k∈Z}．
(2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－10π＋，它是第四象限角．终边相同的角的集合为{α|α＝2kπ＋，k∈Z}.
一、选择题
1．－105°转化为弧度数为( )
A.π B．－π
C．－π D．－π
【解析】 －105°＝－105×＝－π.
【答案】 B
2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( )
A.π B．－π
C.π D．－π
【解析】 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的，用弧度制表示就是－4π－×2π＝－π.
【答案】 B
3．若圆的半径变成原来的2倍，扇形的弧长也增加到原来的2倍，则( )
A．扇形的面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积增加到原来的2倍
D．扇形的圆心角增加到原来的2倍
【解析】 扇形的圆心角α＝，l，R都变为原来的2倍，故α不变，选B.
【答案】 B
4．半径为1 cm，中心角为150°的角所对的弧长为( )
A.cm B.cm
C.cm D.cm
【解析】 ∵150°＝150×＝，
∴l＝×1＝cm.
【答案】 D
5．在半径为1的圆中，面积为1的扇形的圆心角的弧度数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 由S＝α·r2，得1＝·α·12，∴α＝2.
【答案】 B
二、填空题
6．若α＝3，则角α的终边所在的象限为________．
【解析】 ∵α＝3，∴<α<π，故α在第二象限．
【答案】 第二象限
图1－3－2
7．若角α的终边在如图1－3－2所示的阴影部分，则角α的取值范围是________．
【解析】 易知阴影部分的两条边界分别是和的终边，所以α的取值范围是{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
【答案】 {α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}
8．在与2 010°角终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数是________．
【解析】 ∵2 010°＝360°×5＋210°，210°＝，
∴与2 010°角终边相同的角为β＝2kπ＋，k∈Z.
当k＝－1时，β＝－为绝对值最小的角．
【答案】 －
三、解答题
9．已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求：
(1)的长；
(2)扇形所含弓形的面积．
【解】 (1)∵120°＝π＝π，
∴l＝|α|·r＝6×π＝4π，
∴的长为4π.
(2)∵S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，
如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于D点，
于是有S△OAB＝×AB×OD＝×2×6cos 30°×3＝9.
∴弓形的面积为S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.
∴弓形的面积是12π－9.
10．已知α＝－800°.
(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)求角γ，使γ与角α的终边相同，且γ∈(－，)．
【解】 (1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝π.
∴α＝－800°＝π＋(－3)×2π.
∵角α与π终边相同，∴角α是第四象限角．
(2)∵与角α终边相同的角可写为2kπ＋π，k∈Z的形式，
由γ与α终边相同，∴γ＝2kπ＋，k∈Z.
又∵γ∈(－，)，
∴－<2kπ＋<，k∈Z，解得k＝－1，
∴γ＝－2π＋＝－.
图1－3－3
11．如图，圆心在原点，半径为R的圆交x轴正半轴于A点，P，Q是圆上的两个动点，它们同时从点A出发沿圆周做匀速运动．OP逆时针方向每秒转，OQ顺时针方向每秒转.试求P，Q出发后每五次相遇时各自转过的弧度数及各自走过的弧长．
【解】 易知，动点P，Q由第k次相遇到第k＋1次相遇所走过的弧长之和恰好等于圆的一个周长2πR，
因此当它们第五次相遇时走过的弧长之和为10πR.
设动点P，Q自A点出发到第五次相遇走过的时间为t秒，走过的弧长分别为l1，l2，
则l1＝tR，l2＝|－|·tR＝tR.
因此l1＋l2＝tR＋tR＝10πR，
所以t＝＝20(秒)，
l1＝πR，l2＝πR.
由此可知，P转过的弧度数为，Q转过的弧度数为，P，Q走过的弧长分别为R和R.
(教师用书独具)
已知一扇形的圆心角是α，半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是一定值c(c＞0)，则当α为多少弧度时，该扇形的面积最大？
【解】 (1)设弧长为l，弓形的面积为S弓．
∵α＝60°＝，R＝10 cm.∴l＝αR＝π(cm)，
∴S弓＝S扇－S△＝×π×10－×102×sin 60°
＝50(－)(cm2)．
(2)由已知2R＋l＝c，∴R＝(l＜c)，
∴S＝Rl＝··l＝(cl－l2)＝－(l－)2＋，∴当l＝时，Smax＝，此时α＝＝＝2，∴当扇形圆心角为2弧度时，扇形的面积有最大值.
如图所示的圆中，已知圆心角∠AOB＝，半径OC与弦AB垂直，垂足为D，若CD＝a，求的长及其与弦AB所围成的弓形ACB的面积．
【解】 设圆的半径为r，的长为l，则l＝r，连接AC.
∵OA＝OB，OC与弦AB垂直，
∴∠AOC＝，
∴△AOC为等边三角形．
∵AD⊥OC，
∴OD＝CD，
∴r＝2CD＝2a，
∴l＝·2a＝，S扇形OACB＝lr＝，
S△AOB＝AB·OD＝·2a·a＝a2.
∴S弓形ACB＝S扇形OACB－S△AOB＝(－)a2.
§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
4．1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义
4．2 单位圆与周期性
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
根据任意角三角函数的定义，归纳出三角函数在各象限的符号，并能根据角α的某种函数值符号，判断出α可能存在的象限．
2．过程与方法
通过三角函数的定义过程，培养由特殊到一般的解决问题的思想方法及数形结合分析问题、解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
通过三角函数定义的学习，培养从特殊到一般，从简单到复杂，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃．
●重点难点
重点：借助单位圆理解三角函数的定义；利用三角函数的定义求函数值．
难点：利用角的终边上的点的坐标刻画三角函数；三角函数的符号以及三角函数线的几何意义．
(教师用书独具)
●教学建议
在讲三角函数的定义时，首先应使学生理解每一个三角函数都是以角为自变量的函数，在角的终边上所取的点P(x，y)是任意取定的(当然不取原点)，由三角形的相似可知，所得比值都对应相等，因此，三角函数值都决定于角的终边的位置．三角函数都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．
在此基础上进一步讲解，由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数，这里的角通常采用弧度制来度量，使得角所取的值与三角函数值都是十进制的实数．即
对于三角函数的定义域，应抓住分母不为零这一关键，为此需要注意，当角的终边在坐标轴上时，点P的横、纵坐标中必有一个为零，由此可启发学生自己得出有关结论．
●教学流程
创设问题情境，引出问题：类比已经学过的锐角三角函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？?引导学生探究：单位圆中三角函数的定义并推广至任意角三角函数定义，理解三角函数是以角为自变量，坐标或坐标的比值为函数值的函数．?通过引导学生回答所提问题，使学生理解终边相同的角的三角函数值的关系及周期性的定义．?通过例1及变式训练，使学生掌握利用定义法求三角函数值．?通过例2及变式训练，使学生熟练掌握三角函数值的符号判断．?通过例3及变式训练，使学生掌握利用终边相同的角化简求值．?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.
课标解读
1.理解任意角的正弦、余弦的定义及其应用．(重点)
2．掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系．(重点)
3．理解周期函数的定义．(难点)
任意角的正弦函数、余弦函数的定义
【问题导思】
使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.
1．角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？
【提示】 sin α＝，cos α＝，tan α＝.
2．对于确定的锐角α，sin α、cos α、tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？
【提示】 不会．
3．在问题1中，取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？
【提示】 sin α＝y，cos α＝x，tan x＝.
1．单位圆的定义：在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆．
2．如图1－4－1所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆O交于点P(u，v)，那么：
图1－4－1
正弦函数
余弦函数
定义
点P的纵坐标v叫作角α的正弦函数，记作v＝sin_α
点P的横坐标u叫作角α的余弦函数，记作u＝cos_α
通常
表示法
y＝sin x定义域为全体实数，值域为[－1,1]
y＝cos x定义域为全体实数，值域为[－1,1]
在各
象限的
符号
正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
【问题导思】
三角函数在各象限的符号由什么来确定？
【提示】 由三角函数的定义知三角函数在各象限的符号由角α终边上任意一点的坐标来确定．
图1－4－2
口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
终边相同的角的正弦、余弦函数值的关系
【问题导思】
当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的三角函数值有什么关系？为什么？
【提示】 相等，因为它们的终边重合．
(1)sin(x＋k·2π)＝sin_x，(k∈Z)；
(2)cos(x＋k·2π)＝cos_x，(k∈Z)．
周期函数
【问题导思】
由sin(x＋k·2π)＝sin x，(k∈Z)可知函数值随着角的变化呈周期性变化，你能说一下函数的变化周期吗？
【提示】 2π，4π，6π，－2π…等都是函数的周期．
1．一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x＋T)＝f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期．
2．特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2kπ(k∈Z，k≠0)是正弦函数、余弦函数的周期，其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期.
正弦函数、余弦函数的定义
已知角α的终边落在直线y＝2x上，求sin α和cos α的值．
【思路探究】 终边落在直线y＝2x上的角有两类，所以应分类讨论求解．
【自主解答】 法一：由
得或.
即直线y＝2x与单位圆x2＋y2＝1的交点为P1(，)和P2(－，－)．
由正、余弦函数的定义知，
或
法二：当α的终边在第一象限时，取终边上一点P(1,2)．
r＝|OP|＝＝，
∴sin α＝＝＝，
cos α＝＝＝.
当α的终边在第三象限时，同理可求得
sin α＝＝＝－，
cos α＝＝＝－.
1．已知角α的终边在直线上，求α的三角函数值，常用的解题方法有以下两种
(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
(2)注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值sin α＝，余弦值cos α＝.
2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠ 0)，求2sin α＋cos α的值．
【解】 r＝＝5|a|，
若a>0，则r＝5a，
∴sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
∴2sin α＋cos α
＝－＝1.
若a<0，则r＝－5a，
∴sin α＝＝－，
cos α＝＝.
因此2sin α＋cos α＝－＋＝－1.
正弦函数值、余弦函数值符号的判定
确定下列各式的符号．
(1)sin 100°·cos 240°；(2)sin(－π)·cos 3.6π.
【思路探究】 由角的终边所在象限分别判断三角函数值的符号；进一步确定各式符号．
【自主解答】 (1)∵100°是第二象限角，∴sin 100°>0，
∵240°是第三象限角，∴cos 240°<0，
∴sin 100°·cos 240°<0.
(2)∵－π＝－4π＋π即－π与π终边相同，而π为第三象限角，∴－π也为第三象限角，
∴sin(－π)<0.
又∵3.6π＝4π－0.4π，即3.6π与－0.4π终边相同，
而－0.4π为第四象限角，
∴3.6π为第四象限角，
∴cos 3.6π>0，∴sin(－π)·cos 3.6π<0.
1．判断三角函数值的符号关键是看角α的终边所在的象限位置，若角α的终边位置难以判断应先利用α＝2kπ＋β(k∈Z)进行转化．
2．判断三角函数值的符号的步骤：
(1)先观察角α所在终边所在象限；(2)判断角α各个三角函数值的符号；(3)③给出最后的结论．
判断下面各式的符号：
(1)sin 105°·cos 230°；(2)sin ·cos ；(3)cos 6·sin 6.
【解】 (1)∵105°，230°分别为第二、第三象限角，
∴sin 105°>0，cos 230°<0，∴sin 105°·cos 230°<0.
(2)∵<<π，∴是第二象限角，
∴sin >0，cos <0，
∴sin ·cos <0.
(3)∵<6<2π，
∴6弧度的角为第四象限角，
∴cos 6>0，sin 6<0，∴cos 6·sin 6<0.
利用终边相同的角的正弦、余弦值间的关系求值
求下列各角的三角函数值：
(1)sin(－π)；(2)cos 1500°；
(3)sin π；(4)cos π.
【思路探究】 当角α不在0～2π之间时，常利用“终边相同的角的三角函数值相等”，把该角转化到0～2π之间，再求值．
【自主解答】 (1)sin(－π)＝sin(－4π＋)＝sin ＝.
(2)cos 1500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝.
(3)sin π＝sin(2π×2＋)＝sin ＝.
(4)cos π＝cos(2π×4＋)＝cos ＝.
1．终边相同的正弦、余弦值之间的关系可把任意角的三角函数化归为[0,2π)内的三角函数，实现“负化正，大化小”，体现了数学中的化归(转化)思想．
2．一定要熟记一些特殊角的三角函数，有利于准确求值．
(1)求值：sin 1 470°；
(2)求值：cos .
【解】 (1)sin 1 470°＝sin(4×360°＋30°)＝sin 30°＝.
(2)cos ＝cos(2π＋)＝cos ＝.
求三角函数值时忽略对参数的讨论致误
已知角α终边上的一点P(8t，－6t)(t≠0)，求sin α，cos α，tan α的值．
【错解】 ∵点P的坐标是(8t，－6t)，且t≠0，
∴r＝|PO|＝＝10t，
∴sin α＝＝＝－，
cos α＝＝＝，
tan α＝＝＝－.
【错因分析】 上述解法的错误有二：一是去根号后没有加绝对值；二是对t≠0这个条件不加分析.＝|a|，去绝对值符号时应分a≥0和a<0两种情况讨论，也可以直接从条件出发，因为t≠0，所以分t>0和t<0两种情况讨论．
【防范措施】 在利用三角函数的定义求角的三角函数值时，当角α的终边上的点的坐标用参数给出时，必须对参数的取值进行分类讨论，分类讨论时要做到不重不漏．
【正解】 ∵点P的坐标是(8t，－6t)，且t≠0，
∴r＝|PO|＝＝10|t|.
当t>0时，α是第四象限角，r＝|PO|＝10t.
sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝，
tan α＝＝＝－.
当t<0时，α是第二象限角，r＝|PO|＝－10t.
sin α＝＝＝，
cos α＝＝＝－.
tan α＝＝＝－.
1．三角函数的定义是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点．
2．三角函数值的符号主要涉及开方、去绝对值等计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上的角的三角函数值情况，因角的终边经过的点决定了三角函数值的符号，所以当点的位置不确定时注意进行讨论，体现了分类讨论的思想．
1．已知角α的终边与单位圆交于点(－，－)，则sin α的值为( )
A．－ B．－
C. D.
【解析】 由于x＝－，y＝－，由正弦函数的定义知，sin α＝y＝－，故选B.
【答案】 B
2．cos(－)等于( )
A. B．－
C. D．－
【解析】 cos(－)＝cos(－2π＋)＝cos＝.
【答案】 C
3．已知函数f(x)是周期函数，周期T＝6，且当x∈[0,6]，f(x)＝x，则f(100)＝________.
【解析】 ∵T＝6，
∴f(100)＝f(4＋16×6)＝f(4)＝4.
【答案】 4
4．已知角α的终边经过点(1，)，求sin(6π＋α)和cos(－10π＋α)的值．
【解】 由于x＝1，y＝，∴r＝.
∴sin α＝＝，cosα＝＝，
∴sin(6π＋α)＝sin α＝，
cos(－10π＋α)＝cos α＝.
一、选择题
1．若sin αcos α>0，则α在( )
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第一、四象限 D．第二、四象限
【解析】 由于sin αcos α>0，∴sin α与cos α同号，因此角α在第一象限或第三象限，故选B.
【答案】 B
2．(2013·大连高一检测)有下列命题：
①终边相同的角的同名三角函数的值相等；
②终边不同的角的同名三角函数的值不等；
③若sin α>0，则α是第一、二象限角；
④若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos α＝.
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 根据任意角的三角函数定义知①正确；对于②，我们可举出反例sin ＝sin ；对于③，可举出sin >0，但不是第一、二象限角；对于④，应是cos α＝(因为α是第二象限角，已有x<0)．故选A.
【答案】 A
3．当α为第二象限角时，－的值是( )
A．1 B．0 C．2 D．－2
【解析】 若α为第二象限角，则sin α>0，cos α<0，
所以－＝＋＝2，故选C.
【答案】 C
4．已知角α的终边在射线y＝－3x(x≥0)上，则sin αcos α等于( )
A．－ B．－
C. D.
【解析】 根据三角函数的定义，在终边上取点求值．在α终边上取一点P(1，－3)，此时x＝1，y＝－3，
∴r＝＝.
∴sin α＝＝－，cos α＝＝ .
∴sin αcos α＝－×＝－.
【答案】 A
5．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( )
A．sin α＋cos α>1 B．sin α＋cos α＝1
C．sin α＋cos α<1 D．不能确定
【解析】 本题可以采用验证法求解．
若α＝，易选A，也可以借助单位圆求解．
【答案】 A
二、填空题
6．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________.
【解析】 ∵sin θ＝＝－，
∴y＜0，
且y2＝64，∴y＝－8.
【答案】 －8
7．设A是第三象限角，|sin |＝－sin ，则是第________象限角．
【解析】 ∵A是第三象限角，∴由等分象限法知的终边落在第二或第四象限，
又∵|sin |＝－sin ，
∴sin <0，
∴是第四象限角．
【答案】 四
8．(2013·沈阳高一检测)cos 1 110°的值为________．
【解析】 cos 1 110°＝cos(3×360°＋30°)＝cos 30°＝.
【答案】
三、解答题
9．判断下列各式的符号．
(1)sin 240°·sin 300°；
(2)cos ·sin π；
(3)cos 4·cos 5.
【解】 (1)∵240°是第三象限角，
∴sin 240°＜0；
又∵300°是第四象限角，∴sin 300°＜0，
∴sin 240°·sin 300°＞0.
(2)∵sin π＝0.
∴cos π·sin π＝0.
(3)∵4是第三象限角，
∴cos 4＜0，又∵5是第四象限角，
∴cos 5＞0，∴cos 4·cos 5＜0.
10．角α的终边交单位圆于点M(x，)，求cos α，并指出角α的终边所在的象限．
【解】 ∵点M(x，)在单位圆上，
∴x2＋()2＝1，∴x2＝，∴x＝±.
①当x＝时，M(，)，cos α＝>0，sin α＝>0，
∴α是第一象限角．
②当x＝－时，M(－，)，cos α＝－<0，sin α＝>0，∴α是第二象限角．
11．已知角α的终边过点(3m－9，m＋2)且cos α<0，sin α>0，求m的取值范围．
【解】 ∵cos α<0，sin α>0，∴α的终边落在第二象限，
∴，∴，
∴－2∴m的取值范围是(－2,3).
(教师用书独具)
若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋π)＝f(x)，当x∈[0，)，f(x)＝2sin x，求f(－π)＋f(π)的值．
【解】 ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
又∵f(x＋π)＝f(x)，
∴函数f(x)的周期为π，
∴f(－π)＋f(π)＝f(－4π－)＋f(2π＋)
＝f(－)＋f()
＝－f()＋f()
＝－2sin＋2sin
＝－.
设f(x)＝sin(x)，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(72)的值．
【解】 f(x＋6)＝sin[(x＋6)]＝sin(x＋2π)＝sin x＝f(x)，
∴T＝6是f(x)＝sin x的周期．
∵f(1)＝sin ＝，f(2)＝sin ＝，f(3)＝sin π＝0，
f(4)＝sin ＝－，f(5)＝sin ＝－，f(6)＝sin 2π＝0.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(72)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＝0.
4．3 单位圆与诱导公式
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
理解三角函数线的定义并能运用三角函数线推导诱导公式并能解决相关问题．
2．过程与方法
(1)通过诱导公式的学习及应用，提高三角恒等变形能力．
(2)树立化归思想方法，将任意角的三角函数值问题转化为0°～90°间的角的三角函数值问题，培养学生化归转化能力．
3．情感、态度与价值观
通过诱导公式的学习和应用，感受事物之间的普遍联系规律，运用化归原理，揭示事物的本质属性，培养学生辩证唯物主义的思想．
●重点难点
重点：掌握诱导公式及其应用．
难点：借助单位圆推导正弦函数、余弦函数的诱导公式．
(教师用书独具)
●教学建议
学习单位圆的主要目的在于利用它来解决问题，在教学上，应不放弃可能的机会，引导学生借助单位圆的直观，探索三角函数的有关性质．教科书在练习或思考题中编排了一些习题，要求学生认真完成．三角函数线作为三角函数的几何表示，可适当补充一些三角函数线的应用，如比较三角函数值的大小；已知sin x＝，求x.
让学生增强“数形结合”的意识，也为今后学习有关内容打下基础．有条件时，可用计算机演示，例如当角α由0增加到2π时，观察正弦线、余弦线、正切线的变化，从而得知各函数值的增减情况．在适当的时候，可以让有兴趣的学生写篇小论文，说明单位圆的应用．
●教学流程
创设问题情境，你能根据圆的对称性得到α与π＋α的三角函数值间的关系吗？?引导学生探究各种对称关系下的角与α的数量关系，得出诱导公式．?通过例1及变式训练，使学生掌握诱导公式在求值问题中的应用．?通过例2及互动探究，使学生掌握利用诱导公式进行化简．?通过例3及其变式训练，使学生掌握诱导公式在条件求值问题中的应用．?归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.
课标解读
1.会借助单位圆推导正弦函数、余弦函数的诱导公式．(难点)
2．掌握诱导公式及其应用．(重点)
诱导公式(－α，π±α)的推导
【问题导思】
由三角函数的定义知，终边相同，则三角函数值相等，那么由π＋α与α，π－α与α，－α与α角的终边关系，可以得到什么样的结论呢？(以正弦为例)
【提示】 sin(π＋α)＝－sin α sin(π－α)＝sin α
sin(－α)＝－sin α
(1)sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α.
(2)sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α.
(3)sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α.
诱导公式(±α)的推导
【问题导思】
根据我们推导π±α与α，－α与α的正弦、余弦函数关系的方法，±α与α的终边有什么关系？函数值的关系又会怎样？(以正弦为例)
【提示】 ＋α的终边是由α的终边逆时针旋转得到π，－α的终边与α的终边关于y＝x对称，故sin(＋α)＝cos α，sin(－α)＝cos α.
(1)sin(＋α)＝cos_α，cos(＋α)＝－sin_α.
(2)sin(－α)＝cos_α，cos(－α)＝sin_α.
利用诱导公式求值
求下列三角函数值．
(1)sin 495°·cos(－675°)；
(2)sin(2nπ＋)·cos(nπ＋π)(n∈Z)．
【思路探究】 首先要理解诱导公式，其次要灵活应用，注意对n分类讨论．
【自主解答】 (1)sin 495°·cos(－675°)
＝sin(360°＋135°)·cos(360°＋315°)
＝sin 135°·cos 315°
＝sin(180°－45°)cos(360°－45°)
＝sin 45°·cos 45°＝×＝.
(2)当n为奇数时：
原式＝sin π·(－cos π)＝sin(π－)·[－cos(π＋)]
＝sin ·cos ＝×＝；
当n为偶数时：
原式＝sin πcos π＝sin(π－)·cos(π＋)
＝sin ·(－cos )＝×(－)＝－.
已知角求值，一般利用诱导公式，逐步把角化为锐角再求，已知函数值求角，注意观察分析已知角和待求角之间的关系，恰当地选择公式进行变形．当含有字母参数时，一般要分类讨论．
求值：sin 315°＋sin(－30°)＋cos 225°＋sin 480°.
【解】 原式＝sin(360°－45°)－sin 30°＋cos(180＋45°)＋sin(360°＋120°)
＝－sin 45°－sin 30°－cos 45°＋sin 120°
＝－2sin 45°－sin 30°＋sin(180°－60°)
＝－2sin 45°－sin 30°＋sin 60°
＝－2×－＋
＝－.
利用诱导公式化简
化简：
cos[＋α]＋cos[－α](n∈Z)．
【思路探究】 当n为偶数时，可直接用公式cos(2kπ＋α)＝cos α化简；
当n为奇数时，则应先用公式cos(2kπ＋α)＝cos α，
再用公式cos(π＋α)＝－cos α或公式cos(π－α)＝－cos α化简，因此解答本题应分n为偶数和n为奇数两类化简．
【自主解答】 原式＝cos[nπ＋(＋α)]＋cos[nπ－(＋α)]．
当n为偶数时，即n＝2k(k∈Z)时，
原式＝cos(＋α)＋cos[－(＋α)]＝2cos(＋α)；
当n为奇数时，即n＝2k＋1(k∈Z)时，
原式＝cos[2kπ＋π＋(＋α)]＋cos[2kπ＋π－(＋α)]＝cos[π＋(＋α)]＋cos[π－(＋α)]＝－cos(＋α)－cos(＋α)＝－2cos(＋α)．
综上可知，原式＝
1．解答本题的关键就是对n分类讨论，分为奇数和偶数．
2．三角函数的化简，要尽量化为2kπ±α的形式，形如kπ±α的形式先要对k的奇偶性进行讨论．同样地，若出现·2π±α的形式，应按k＝3n，k＝3n＋1，k＝3n＋2(n∈Z)进行分类讨论！其他的情况也可类似地解决．
若将本例中的“cos”改为“sin”应如何化简？
【解】 原式＝sin[nπ＋(＋α)＋sin(nπ－(＋α)]
当n为偶数时，即n＝2k(k∈Z)时，
原式＝sin(＋α)＋sin[－(＋α)]
＝sin(＋α)－sin(＋α)＝0；
当n为奇数时，即n＝2k＋1(k∈Z)时，
原式＝sin[2kπ＋π＋(＋α)]＋sin[2kπ＋π－(＋α)]
＝sin[π＋(＋α)]＋sin[π－(＋α)]
＝－sin(＋α)＋sin(＋α)＝0.
综上可知，原式＝0.
利用诱导公式解条件求值问题
已知cos(－α)＝，
求cos(＋α)sin(－α)．
【思路探究】 解答本题要注意到(－α)＋(＋α)＝π，－α＝π－(＋α)，(＋α)＋(－α)＝等角之间的关系，恰当应用诱导公式求值．
【自主解答】 ∵(＋α)＋(－α)＝，
∴sin(＋α)＝sin[－(－α)]
＝cos(－α)＝.
∴sin(－α)＝sin[π－(＋α)]
＝sin(＋α)
＝.
∵(－α)＋(＋α)
＝π
∴cos(＋α)＝cos[π－(－α)]
＝－cos(－α)＝－.
∴cos(＋α)sin(－α)＝－×＝－.
1．观察已知角与未知角之间的关系，运用诱导公式将不同名的函数化为同名的函数，将不同的角化为相同的角，是解决问题的关键．
2．对于有条件的三角函数求值题，求解的一种基本方法是从角的关系上寻求突破：找到所求角与已知角之间的关系，结合诱导公式，进而把待求式转化到已知式而完成求值．
(2013·广东高考)已知sin＝，那么cos α＝( )
A．－ B．－
C. D.
【解析】 sin(＋α)＝cos α，
故cos α＝，故选C.
【答案】 C
利用单位圆解三角不等式
(12分)求出满足下列条件的角的集合：
(1)sin α≥；(2)cos α<－；
(3)sin α≤cos α.
【思路点拨】 本题需要准确理解三角函数的定义，准确找到角的终边．
【规范解答】 (1)作直线y＝交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域(图(1)阴影部分)即为角α终边的范围．由sin ＝sin ＝知，符合条件的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}. 4分
图(1) 图(2)
(2)作直线x＝－交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，则OC与OD围成的区域(图(2)阴影部分，不含边界)即为角α终边的范围．由cos ＝cos ＝－知，符合条件的角α的集合为{α|2kπ＋<α<2kπ＋，k∈Z}. 8分
(3)画出角α＝的终边及其反向延长线，显然终边落在阴影部分(图(3))的角满足不等式，由图易得α的集合为{α|－π＋2kπ≤α≤＋2kπ，k∈Z}. 12分
图(3)
利用单位圆解三角不等式的一般步骤为：
第一步：找出不等式对应方程的根；
第二步：找出满足不等式条件的范围，即满足不等式的角的终边所在区域；
第三步：结合单位圆写出不等式的解集，要注意这里写范围时起点值要小于终点值，不要出现[π＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z这种情况．
1．诱导公式的作用是将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值，使用过程中的关键：一是符号问题，二是函数名称问题．要熟记口诀“奇变偶不变，符号看象限”，并在解题过程中去理解和掌握．
2．诱导公式是一个有机的整体，解题时要根据角的特征，选取适当的公式进行化简计算，对形如nπ±α型的角，要注意对n进行讨论．
3．由诱导公式可以看出，在三角函数中，角和三角函数值之间是多值对应关系，一个角对应一个三角函数值，而一个三角函数值则对应多个角．
1．cos 等于( )
A. B．－
C. D．－
【解析】 cos ＝cos(π＋)＝－cos ＝－.
【答案】 B
2．如果cos(π＋A)＝－，那么sin(＋A)＝( )
A. B．－
C．－ D.
【解析】 cos(π＋A)＝－cos A＝－，∴cos A＝，
∴sin(＋A)＝cos A＝，故选A.
【答案】 A
3．求值：cos＋cos＋cos＋cos＝________.
【解析】 原式＝cos＋cos＋cos(π－)＋cos(π－)＝cos＋cos－cos－cos
＝0.
【答案】 0
4．化简：.
【解】 原式＝
＝
＝sin α.
一、选择题
1．cos(－)＋sin(－)的值为( )
A．－ B.
C. D.
【解析】 原式＝cos－sin＝cos－sin＝－cos＋sin＝.
【答案】 C
2．(2013·石家庄高一检测)若cos(2π－α)＝，则sin(－α)等于( )
A．－ B．－
C. D．±
【解析】 ∵cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α＝，
∴sin(－α)＝－cos α＝－，故选A.
【答案】 A
3．已知f(x)＝sin x，下列式子成立的是( )
A．f(x＋π)＝sin x B．f(2π－x)＝sin x
C．f(x－)＝－cos x D．f(π－x)＝－f(x)
【解析】 由于sin(x－)＝－sin(－x)＝－cos x，故C成立，选C.
【答案】 C
4．已知cos(π＋α)＝－，则sin(π＋α)等于( )
A. B．－
C．± D．－
【解析】 由于cos(π＋α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝，
∴sin(π＋α)＝sin(2π－＋α)
＝sin(α－)＝－sin(－α)
＝－cos α＝－，故选D.
【答案】 D
5．下列三角函数中，与sin 数值相同的是( )
①sin(nπ＋)；②cos(2nπ＋)；③sin(2nπ＋)；
④cos[(2n＋1)π－]；⑤sin[(2n＋1)π－](n∈Z)．
A．①② B．①③④
C．②③⑤ D．①③⑤
【解析】 ①中，sin(nπ＋)＝
＝
②中，cos(2nπ＋)＝cos ＝sin(－)＝sin ；
③中，sin(2nπ＋)＝sin ；
④中，cos(2nπ＋π－)＝cos(π－)＝－cos ≠sin ；
⑤中，sin(2nπ＋π－)＝sin(π－)＝sin .
故②③⑤中的三角函数与sin 的数值相同．
【答案】 C
二、填空题
6．sin 315°－cos 135°＋2sin 570°的值是________．
【解析】 原式＝sin(360°－45°)－cos(180°－45°)＋2sin(360°＋210°)
＝－sin 45°＋cos 45°＋2sin(180°＋30°)
＝－2sin 30°＝－2×＝－1.
【答案】 －1
7.的值是________．
【解析】 原式＝
＝
＝＝
＝.
【答案】
8．若sin(π＋α)＋cos(＋α)＝－m，则cos(－α)＋2sin(2π－α)的值为________．
【解析】 ∵sin(π＋α)＋cos(＋α)
＝－sin α－sin α＝－m，
∴sin α＝.
∴cos(－α)＋2sin(2π－α)
＝－sin α－2sin α＝－3sin α
＝－.
【答案】 －
三、解答题
9．已知角α终边上一点P(－4,3)，
求的值．
【解】 点P到原点O的距离|OP|＝＝5，根据三角函数的定义得：sin α＝，cos α＝－.
＝
＝
＝
＝＝×(－)＝－.
10．化简：··.
【解】 ··
＝··
＝··
＝··
＝··＝1.
11．若f(sin x)＝cos 17x，求f()的值．
【解】 由sin x＝，得x＝2kπ＋或x＝2kπ＋(k∈Z)．
∵sin(2kπ＋)＝sin，sin(2kπ＋)＝sin，
∴f()＝f(sin)
＝cos＝cos(2π＋)＝cos
＝cos(π－)＝－cos＝－，
或f()＝f(sin)＝cos
＝cos(14π＋)
＝cos＝.
即f()＝±.
(教师用书独具)
求函数y＝的定义域．
【解】 ∵2sin x－≥0，
∴sin x≥.
如图所示，2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.
∴y＝的定义域为[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)．
使sin x≤cos x成立的x的一个变化区间是( )
A．[－，] B．[－，]
C．[－，] D．[0，π]
【解析】 如图所示，在直角坐标系中作出单位圆及直线y＝x，因为sin x≤cos x，由三角函数线的定义知角x的终边应落在直线y＝x上或者该直线的下方，故选A.
【答案】 A
§5正弦函数的性质与图像
5．1 从单位圆看正弦函数的性质
5．2 正弦函数的图像
5．3 正弦函数的性质
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)了解作正弦函数图像的三种方法．
(2)掌握五点作图法，并会利用此方法作出[0,2π]上的正弦曲线．
(3)掌握正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期，单调区间和最值．
2．过程与方法
通过图像变换的学习，培养运用数形结合思想分析、解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
通过本节知识的学习，使学生进一步了解从特殊到一般，从一般到特殊的辩证思想方法和分析、探索、化归、类比的科学研究方法在解决数学问题中的应用．
●重点难点
重点：正弦函数的图像特征及性质，五点法作图．
难点：正弦函数的单调性及最值，正弦函数的对称轴、对称中心．
(教师用书独具)
●教学建议
本节的教学重点是正弦函数的性质与图像．难点是，理解弧度值到x轴上点的对应和正弦型函数．开始时，教学过程一定要慢一些，让学生有一个形成正确概念的过程．在小学度量角度使用的是60°进制，弧度用弧长(十进制)度量，再转化为x轴上的有向长度．实践证明，这个抽象过程对初学者有一定的难度．画出图像后，接着要解决确定函数的主要因素：在一个周期内的关键的五个点．
讲正弦函数的性质时，要从多方面讲解，一方面要用正弦函数的定义，从理论上分析推导，例如用sin α＝证明正弦函数的值域是[－1,1]；用诱导公式证明正弦函数是周期函数，且周期为2kπ，k∈Z且k≠0等等．另一方面要观察图形，使学生对这些性质有直观印象，图形有正弦线和正弦曲线，都应教会学生如何观察，这两者的观察方法是有区别的，教师在讲课时，可充分利用多媒体设备，让学生观察、理解、记忆，如果没有多媒体设备，可以自己制作教具，例如单位圆示教板就可以自制，这对于提高教学效果有很大的帮助．
●教学流程
创设问题情境，可以通过作出某些特殊点作出正弦函数的图像吗？?通过引导学生回答问题，探究正弦曲线的特征及画法．?通过正弦曲线，引导学生得出正弦函数的性质．?通过例1及变式训练，使学生熟练掌握“五点法”作图．?通过例2及变式训练，使学生掌握与正弦函数有关的定义域问题的求法．?通过例3、例4及变式训练与正弦函数单调性应用及有关的函数值域问题的求法．?归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.
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1.会用单位圆理解和记忆正弦函数的性质．(重点)
2．会用“五点法”画正弦曲线．(难点)
3．能用正弦函数的图像理解和记忆正弦函数的性质．(重点、难点)
正弦线
【问题导思】
在直角坐标系中，利用单位圆作出的，的角的终边与单位圆交点分别为P1，P2，我们可以发现，sin ＝M1P1，sin ＝M2P2.对于任意角α，sin α＝MP吗？
图1－5－1
【提示】 等于．
设任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，我们称线段MP为角α的正弦线，P叫正弦线的终点．
五点法作正弦函数的图像
【问题导思】
利用单位圆中的正弦线作正弦函数的图像较为复杂，观察图像，其中哪些点较为关键？
【提示】 一个周期内起点，最高点，平衡点，最低点，终点．
在函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像上，起着关键作用的有五个关键点：
(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)．描出这五个点后，函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像的形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就得到这个函数的简图．我们称这种画正弦曲线的方法为“五点法”．
正弦函数的性质
【问题导思】
1．一般地，研究一个函数的性质要从哪些方面入手？
【提示】 定义域、值域、单调性、奇偶性、周期、最值等．
2．正弦函数的周期为2π，在研究正弦函数性质时，选取哪个区间研究，既简单又有效？
【提示】 选取[－，]上的图像来研究即可掌握整个定义域上的性质．
性质
定义域
R
值域
[－1,1]
最大值与
最小值
当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1；
当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymin＝－1
性质
周期性
周期函数，T＝2π
单
调
性
在[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)
上是增加的；
在[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)
上是减少的
奇偶性
奇函数，图像关于原点对称
对称性
对称中心、(kπ，0)k∈Z，对称轴x＝kπ＋，k∈Z
五点法作图
作出函数y＝－1＋2sin x，x∈[0,2π]的简图．
【思路探究】 分别令x＝0，，π，，2π，求出对应的y值，再描点连线．
【自主解答】 按五个关键点列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
－1＋2sin x
－1
1
－1
－3
－1
利用正弦函数的性质描点连线作图，如图：
1．解答本题的关键是要抓住五个关键点．使函数中x取0，，π，，2π，然后相应求出y值再作出图像．
2．五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，作图过程中要注重整体代换思想的运用，特别是在取值、描点上，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持平滑，注意凸凹方向．
作出函数y＝1－2sin x，x∈[0,2π]的简图，并观察其图像与本例函数图像的关系．
【解】 根据表中数据画出简图.
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
1－2sin x
1
－1
1
3
1
由图像知y＝1－2sin x的图像与上例中y＝－1＋2sin x的图像关于x轴对称.
与正弦函数有关的定义域问题
求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝log3(sin x－)．
【思路探究】 根据解析式列出三角不等式，再根据图像解三角不等式即可．
【自主解答】 (1)要使函数有意义，则2sin x＋1≥0，
即sin x≥－.
如图，y＝sin x图像在一个周期[－，]内符合sin x≥－的x的范围是[－，π]．
由此可知，满足sin x≥－的x的范围是[－＋2kπ，π＋2kπ](k∈Z)．
即函数y＝的定义域为[－＋2kπ，π＋2kπ](k∈Z)．
(2)要使函数有意义，则sin x>.
作出y＝sin x图像．
由图像知，使sin x>的x的范围是(2kπ＋，2kπ＋π)(k∈Z)．
1．求与y＝sin x有关的函数的定义域，实质上是解三角不等式sin x>m(或sin x2．解三角不等式sin x≥m(或sin x求不等式sin x>－的解集．
【解】 结合y＝sin x的图像可知，满足sin x>－的x的取值范围是2kπ－∴不等式的解集是{x|2kπ－正弦函数的单调性及应用
(1)比较下列各组三角函数值的大小：
①sin 与sin ；
②sin(－π)与sin(－)．
(2)求函数y＝－2sin x－1的增区间．
【思路探究】 (1)只需将所给角通过诱导公式化到同一单调区间内，然后利用y＝sin x的单调性比较大小．
(2)该函数的单调增区间正好是y＝sin x的减区间．
【自主解答】 (1)①∵sin＝sin(4π＋)＝sin，
sin＝sin(8π＋)＝sin.∵0<<<，
又∵y＝sin x在(0，)上单调递增，
∴sin②∵sin(－π)＝－sinπ.
sin(－π)＝－sin(2π＋π)＝－sinπ，
由于<π<π<π，
且y＝sin x在(，π)上单调递减，
∴sinπ>sinπ，∴－sinπ<－sinπ，
即sin(－π)(2)由于y＝sin x的单调减区间为[2kπ＋，2kπ＋π](k∈Z)，
∴y＝－2sin x－1的增区间为
[2kπ＋，2kπ＋π](k∈Z)．
1．比较sin α与sin β的大小时，可利用诱导公式把sin α与sin β转化为同一单调区间上的正弦值，再借助于正弦函数的单调性来进行．
2．比较sin α与cos β的大小，常把cos β转化为sin(±β)后，再依据单调性进行比较．
3．当不能将两角转到同一单调区间上时，还可以借助于图像或值的符号比较．
比较sin 194°与cos 110°的大小．
【解】 ∵sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，
cos 110°＝cos(180°－70°)＝－cos 70°
＝－sin(90°－70°)＝－sin 20°，
由于0°<14°<20°<90°，
而y＝sin x在[0°，90°]上单调递增，
∴sin 14°－sin 20°，
即sin 194°>cos 110°.
与正弦函数有关的值域问题
求使函数y＝－sin2x＋sin x＋取得最大值和最小值的自变量x的集合，并求出函数的最大值和最小值．
【思路探究】 解答本题可令t＝sin x换元，先由x∈R求t的取值范围，再求二次函数y＝－t2＋t＋的最大值和最小值，最后解三角方程求相应自变量x的集合．
【自主解答】 令t＝sin x，则－1≤t≤1.
y＝－t2＋t＋＝－(t－)2＋2.
所以，当t＝时，ymax＝2.
此时sin x＝，即x＝2kπ＋或x＝2kπ＋(k∈Z)．
∴当t＝－1时，ymin＝－.
此时sin x＝－1即x＝2kπ＋(k∈Z)．
求正弦函数的值域一般有以下两种方法：
(1)将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域，例如转化为y＝a(sin x＋b)2＋c型的值域问题．
(2)利用sin x的有界性求值域，如y＝asin x＋b，－|a|＋b≤y≤|a|＋b.
求f(x)＝2sin2x＋2sin x－，x∈[，]的值域．
【解】 令t＝sin x，
∵x∈[，π]，
∴≤sin x≤1，即≤t≤1，
∴f(x)＝g(t)＝2(t＋)2－1，t∈[，1]且该函数在[，1]上是增加的．
∴f(x)min＝g()＝1，f(x)max＝g(1)＝.
∴f(x)＝2sin2x＋2sin x－，x∈[，π]的值域为[1，].
忽视正弦函数的有界性致误
设sin x＋sin y＝，求M＝sin x＋sin2y－1的最大值与最小值．
【错解】 ∵sin x＋sin y＝，∴sin x＝－sin y.
∴M＝－sin y＋sin2y－1＝sin2y－sin y－＝(sin y－)2－.
则当sin y＝时，Mmin＝－；
当sin y＝－1时，Mmax＝.
【错因分析】 若将sin y＝－1代入已知条件，得sin x＝，这是不可能的．错误的原因在于消去sin x后，忘记了sin x对sin y的取值有制约作用．
【防范措施】 正弦函数是有界的，即－1≤sin x≤1，解题时要注意条件的限制作用，切勿扩大函数的取值范围．
【正解】 ∵sin x＋sin y＝，∴sin x＝－sin y.
∵－1≤sin x≤1，∴
解得－≤sin y≤1.
又∵M＝sin2y－sin y－＝(sin y－)2－，
∴当sin y＝，sin x＝－时，Mmin＝－；
当sin y＝－，sin x＝1时，Mmax＝.
1．三角函数图像直观地反映了三角函数的性质，所以画好三角函数的图像是研究三角函数性质的关键，因此一定要掌握正弦、余弦函数的图像特征，特别是会灵活运用五点作图法准确作出函数图像．
2．在记忆和应用正弦函数的性质时，能结合图像一定要联系图像进行综合思考，将数与形有机地结合起来．
3．求解与正弦函数有关的值域或最值问题时，一定要注意三角函数的有界性，同时注意换元法的应用．
1．函数y＝1－sin x，x∈[0,2π]的大致图像是下图中的
( )
【解析】 由五点法作图得图像为B.
【答案】 B
2．函数y＝的定义域为( )
A．R B．{x∈R|x≠kπ，k∈Z}
C．[－1,0)∪(0,1] D．{x|x≠0}
【解析】 ∵sin x≠0，∴x≠kπ，(k∈Z)．故选B.
【答案】 B
3．正弦函数y＝sin x，x∈R的图像的一条对称轴是( )
A．y轴 B．x轴
C．直线x＝ D．直线x＝π
【解析】 结合y＝sin x(x∈R)的图像可知，其对称轴应过图像的最高点或最低点，故选C.
【答案】 C
4．在[0,2π]内用五点法作出y＝－sin x－1的简图．
【解】 (1)按五个关键点列表：
x
0
π
2π
y
－1
－2
－1
0
－1
(2)描点并用光滑曲线连接可得其图像，
如图所示：
一、选择题
1．用五点法作函数y＝2sin 2x的图像时，首先应描出的五点的横坐标可以是( )
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
【解析】 由五点法作图易知，2x分别取0，，π，，2π，故选B.
【答案】 B
2．下列不等式中成立的是( )
A．sin(－)C．sin 3>sin 2 D．sin>sin(－)
【解析】 由于0<<<，而y＝sin x在[0，]上单调递增，
∴sin－sin，即sin(－)>sin(－)，故选A.
【答案】 A
3．设函数f(x)＝sin x，x∈R，对于以下三个命题：
①函数f(x)的值域是[－1,1]；②当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值1；③当且仅当2kπ＋π其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】 显然①②正确，③不正确，故选C.
【答案】 C
4．函数y＝sin 2x的一个增区间是( )
A．[－，] B．[－，]
C．[0，] D．[－，0]
【解析】 由正弦函数知，y＝sin 2x在－≤2x≤单调递增，故选B.
【答案】 B
5．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为( )
A．y＝3，x＝
B．y＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)
C．y＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)
D．y＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)
【解析】 由函数性质得ymax＝3，此时sin x＝－1即x＝2kπ－，k∈Z，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．函数y＝sin x(0【解析】 结合y＝sin x的图像可知，当00，∴0【答案】 (0,1]
7．(2013·济南高一检测)函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图像与直线y＝有________个交点．
【解析】 在同一坐标系中作出函数y＝1＋sin x，y＝的图像，如图所示：在x∈[0,2π]内共两个交点．
【答案】 两
8．函数y＝的定义域是________，单调减区间是________．
【解析】 ∵－2sin x≥0，∴sin x≤0，结合y＝sin x的图像可知，2kπ＋π≤x≤2kπ＋2π，k∈Z.
∴函数y的定义域为[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)．
又∵y＝sin x的增区间为[2kπ－，2kπ＋]，(k∈Z)，而sin x≤0，
∴函数y＝的减区间为[2kπ＋，2kπ＋2π]，(k∈Z)．
【答案】 [2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z) [2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)
三、解答题
9．求函数y＝sin(2x－)的递增区间．
【解】 t＝2x－，则y＝sin t.
∵y＝sin t的递增区间为[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z，
∴2kπ－≤t≤2kπ＋，k∈Z，
2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z.
∴kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴函数y＝sin(2x－)的递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
10．画出函数y＝3＋2sin x，x∈[－π，2π]的图像，并根据图像和解析式讨论其性质．
【解】 利用五点法作出函数y＝3＋2sin x，x∈[－π，2π]的图像，如图所示：
其性质为：
定义域：x∈[－π，2π]；值域：[1,5]；奇偶性：非奇非偶函数；周期性：不存在周期性；单调性：在区间[－π，
－]，[，]上单调递减；在区间[－，]，[，2π]上单调递增．
11．求下列函数的最值，并求取得最值时x的取值集合：
(1)y＝3－2sin 2x；
(2)y＝sin2x－4sin x＋5.
【解】 (1)∵－1≤sin 2x≤1，
∴－2≤－2sin 2x≤2.
∴y∈[1,5]．
∴当x＝kπ＋(k∈Z)时，函数有最小值1；
当x＝kπ＋(k∈Z)时，函数有最大值5，
即函数取最小值1时，x的取值集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}，当函数取最大值5时，x的取值集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
(2)∵y＝(sin x－2)2＋1，sin x∈[－1,1]，
∴当sin x＝－1，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝10；
当sin x＝1，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymin＝2，
即y取得最大值10时，x的取值集合是
{x|x＝2kπ＋，k∈Z}；
y取得最小值2时，x的取值集合是
{x|x＝2kπ＋，k∈Z}.
(教师用书独具)
定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f(x)＝sin x.
(1)当x∈[－π，0]时，求f(x)的解析式；
(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的函数简图；
(3)当f(x)≥时，求x的取值范围．
【解】 (1)若x∈[－，0]，则－x∈[0，]
∵f(x)是偶函数
∴f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sin x.
若x∈[－π，－]，则π＋x∈[0，]
∵f(x)是最小正周期为π的周期函数，
∴f(x)＝f(π＋x)＝sin(π＋x)＝－sin x.
所以x∈[－π，0]，f(x)＝－sin x.
(2)函数f(x)在[－π，π]上的函数简图，如图所示．
(3)x∈[0，π]，sin x≥，可得≤x≤，函数周期为π，所以x的取值范围是{x|kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z}．
已知－≤x≤，f(x)＝sin2x＋2sin x＋2，求f(x)的最大值和最小值，并求出相应的x值．
【解】 令t＝sin x，则由－≤x≤π知，－≤t≤1，
∴f(x)＝g(t)＝t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1，
当t＝1时，f(x)max＝5，
此时，sin x＝1，x＝.
当t＝－时，f(x)min＝，
此时，sin x＝－，x＝－.
§6余弦函数的图像与性质
6．1 余弦函数的图像
6．2 余弦函数的性质
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)掌握余弦函数的性质．
(2)能正确使用“五点法”“几何法”“图像变换法”画出余弦函数的简图．
2．过程与方法
通过图像的做法，培养运用数形结合思想分析、解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
通过本节的学习，培养学生掌握从特殊到一般、从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃．
●重点难点
重点：五点法作出余弦函数的图像，并理解图像性质．
难点：余弦函数的对称性．
(教师用书独具)
●教学建议
关于余弦函数y＝cos x的性质，教科书写得比较简明，这是因为学生已经有了研究正弦函数y＝sin x性质的经验．对于余弦函数的性质很容易理解，讲课时，让学生观察余弦线或余弦曲线，逐一说出余弦函数的定义域、值域、最大值和最小值以及何时取得最大值和最小值，奇偶性，单调区间．
其中单调区间不必死记硬背，只要观察[0,2π]上的图像，可知[0，π]是余弦函数的一个减区间，[π，2π]是余弦函数的一个增区间，然后根据余弦函数的周期为2π的整数倍，就可得到一般结果．
●教学流程
创设情境：如何由正弦函数的图像得到余弦函数的图像？?引导学生利用图像变换法和五点法得到余弦函数的图像．?对比正弦函数的性质让学生结合图像得到余弦函数的性质．?通过例1及互动探究，使学生掌握与余弦函数有关的图像的画法．?通过例2及变式训练，使学生掌握余弦型函数定义域的求法．?通过例3例4及变式训练，使学生掌握与余弦函数有关的函数单调性应用及值域的求法．?归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正．
课标解读
1.会利用诱导公式，通过图像平移得到余弦函数的图像．
2．会用五点法画出余弦函数在[0,2π]上的图像．(重点)
3．掌握余弦函数的性质及应用．(重点、难点)
图像变换作余弦函数的图像
【问题导思】
如何由y＝sin x的图像得到y＝sin(x＋)＝cos x的图像呢？
【提示】 y＝sin x图像向左平移个单位即得y＝cos x的图像．
余弦函数y＝cos x的图像可以通过将正弦曲线y＝sin x向左平移个单位长度得到．如图是余弦函数y＝cos x(x∈R)的图像，叫作余弦曲线．
图1－6－1
五点法作余弦函数的图像
【问题导思】
用五点法可以作出正弦函数的图像，利用这个方法作出余弦函数的图像吗？五个关键点是什么？
【提示】 能．五个关键点分别为(0,1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)．
画余弦曲线，通常也使用“五点法”，即在函数y＝cos x(x∈[0,2π])的图像上有五个关键点，为(0,1)，(，0)，(π，－1)，(π，0)，(2π，1)，可利用此五点画出余弦
函数y＝cos x，x∈R的简图(如图)．
图1－6－2
余弦函数的性质
【问题导思】
研究正弦函数y＝sin x的性质时，主要研究了它的哪些性质？类比正弦函数的性质，能得到余弦函数y＝cos x的性质吗？
【提示】 主要研究了y＝sin x的定义域、值域、周期、单调性、对称轴、对称中心等．可以类比得到y＝cos x的性质．
图像
定义域
R
值域
[－1,1]
最大值，
最小值
当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1.
周期性
周期函数，T＝2π
单
调
性
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的；
在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减少的．
奇偶性
偶函数，图像关于y轴对称
五点法作图
对于函数y＝3＋2cos x
(1)用五点法作出此函数的简图．
(2)求使此函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合并分别写出最大值、最小值；
(3)讨论此函数的单调性．
【思路探究】 由五点法画简图，根据图像求最值及讨论单调性．
【自主解答】 (1)按五个关键点列表如下，描点画出图像(如图)．
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
y＝3＋2cos x
5
3
1
3
5
(2)当cos x＝1，即x∈{x|x＝2kπ，k∈Z}时，
ymax＝3＋2＝5；
当cos x＝－1，即x∈{x|x＝(2k＋1)π，k∈Z}时，ymin＝3－2＝1.
(3)y＝3＋2cos x的增减区间就是y＝cos x的增减区间．
所以当x∈[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)时，函数y＝cos x是增加的，y＝3＋2cos x也是增加的；当x∈[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)时，函数y＝cos x是减少的，y＝3＋2cos x也是减少的．
1．本题(3)讨论单调性的关键是把y＝3＋2cos x的单调性转化为cos x的单调性．
2．作函数y＝acos x＋b的图像的步骤：
(1)列表：由x＝0，，π，，2π时，cos x＝1,0，－1，0,1，求出y值；
(2)描点：在同一坐标系中描五个关键点；
(3)连线：用平滑曲线．
将本例中的函数改为y＝2cos x，画出简图，并观察其图像与例中函数图像的关系．
【解】 按五个关键点列表如下：
x
0
π
2π
y＝cos x
1
0
－1
0
1
y＝2cos x
2
0
－2
0
2
描点画图像如图所示：
由图像可知，曲线y＝3＋2cos x可看作是曲线y＝2cos x向上平移3个单位得到的.
与余弦函数有关的定义域问题
求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝＋lg(2sin x－1)．
【思路探究】
解
题
流
程写出满足条
件的三角不
等式(组)解三角不
等式(组)利用图像写出不等式
(组)的解集利用三角
函数线
【自主解答】 (1)要使函数有意义，则2cos x－≥0，
∴cos x≥.
画出y＝cos x的图像及直线y＝，如图，
由图像可知函数定义域为
{x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
(2)要使函数有意义，则?，
cos x≤的解集为{x|＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z}，
sin x>的解集为{x|＋2kπ∴函数的定义域为{x|＋2kπ≤x<π＋2kπ，k∈Z}．
1．求三角函数的定义域时，一般要解三角不等式，其主要方法是借助于三角函数的图像，关键有两点：(1)选取合适的一个周期；(2)确定边界值．
2．当函数由几部分构成时，应取使每一部分有意义的x取值范围的公共范围，即取它们的交集．
求函数y＝的定义域．
【解】 要使函数有意义，需2cos x＋>0，
即cos x>－.
画出y＝cos x的图像，
由图像知，2kπ－∴函数的定义域为
{x|2kπ－余弦函数的单调性及应用
(1)求函数y＝3－cos x的单调增区间；
(2)比较大小：cos________ cos(－)．
【思路探究】 (1)y＝3－cos x的单调性与y＝－cos x的单调性一致，与y＝cos x的单调性相反；(2)利用诱导公式转化到同一单调区间上来比较大小．
【自主解答】 (1)由于y＝cos x的单调减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)，
所以函数y＝3－cos x的单调增区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
(2)由于cosπ＝cos(2π＋π)
＝cos，
cos(－)＝cos，
又∵<，而y＝cos x在[0，π]上单调递减，
∴cos>cos，
即cos【答案】 <
1．形如y＝acos x＋b(a≠0)函数的单调区间
(1)当a>0时，其单调性同y＝cos x的单调性一致；
(2)当a<0时，其单调性同y＝cos x的单调性恰好相反．
2．比较cos α与cos β的大小时，可利用诱导公式化为[0，π]内的余弦函数值来进行．
求函数y＝cos 2x的单调增区间．
【解】 由于y＝cos x的递增区间为[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)，
由2kπ＋π≤2x≤2kπ＋2π，k∈Z
得kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z
因此，y＝cos 2x的单调增区间为[kπ＋，kπ＋π](k∈Z)．
与余弦函数有关的值域或最值问题
求下列函数的最大值及最小值．
(1)y＝－3cos x＋1；
(2)y＝(cos x－)2－3.
【思路探究】 对(1)可利用余弦函数本身的范围及一次函数的单调性求解，对(2)可考虑利用二次函数的单调性求解．
【自主解答】 (1)因为－1≤cos x≤1，又因为一次函数y＝－3m＋1在m∈R上是单调减函数，所以：
当cos x＝－1时，ymax＝4，
当cos x＝1时，ymin＝－2.
(2)因为－1≤cos x≤1，所以根据函数y＝(m－)2－3的性质，得
当cos x＝时，ymin＝－3；
当cos x＝－1时，ymax＝－.
1．形如y＝acos x＋b的三角函数的最值问题，主要是利用cos x的有界性即－1≤cos x≤1求整个函数的最值．
2．与cos x有关的函数的最值问题，常用换元法．
求下列函数的值域：
(1)y＝2cos(2x＋)，x∈(－，)；
(2)y＝cos2x－3cos x＋2.
【解】 (1)∵－∴－∴y＝2cos(2x＋)．x∈(－，)的值域为(－1,2)．
(2)令t＝cos x，∵x∈R，∴t∈[－1,1]．
∴原函数化为y＝t2－3t＋2＝(t－)2－.
∴二次函
一、选择题
1．探索如图所呈现的规律，判断2 013至2 014箭头的方向是( )
图1－2－3
【解析】 观察题图可知0到3为一个周期，
则从2 013到2 014对应着1到2到3.
【答案】 B
2．－330°是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【解析】 －330°＝30°＋(－1)·360°，则－330°是第一象限角．
【答案】 A
3．把－1 485°转化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是( )
A．45°－4×360° B．－45°－4×360°
C．－45°－5×360° D．315°－5×360°
【解析】 －1 485°＝－5×360°＋315°，故选D.
【答案】 D
4．(2013·济南高一检测)若α是第四象限的角，则180°－α是( )
A．第一象限的角 B．第二象限的角
C．第三象限的角 D．第四象限的角
【解析】 ∵α是第四象限的角，∴k·360°－90°<α∴－k·360°＋180°<180°－α<－k·360°＋270°，k∈Z，
∴180°－α是第三象限的角．
【答案】 C
5．在直角坐标系中，若α与β的终边互相垂直，则α与β的关系为( )
A．β＝α＋90°
B．β＝α±90°
C．β＝α＋90°－k·360°
D．β＝α±90°＋k·360°
【解析】 ∵α与β的终边互相垂直，故β－α＝±90°＋k·360°，k∈Z，∴β＝α±90°＋k·360°，k∈Z.
【答案】 D
二、填空题
6．α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________.
【解析】 依题意知，β的终边与60°角终边相同，
∴β＝k·360°＋60°，k∈Z.
【答案】 k·360°＋60°，k∈Z
7．θ是第三象限角，则是第________象限角．
【解析】 ∵k·360°＋180°<θ∴k·180°＋90°<当k＝2n(n∈Z)时，n·360°＋90°<当k＝2n＋1(n∈Z)时，n·360°＋270°<是第四象限角．
【答案】 二或四
8．与610°角终边相同的角表示为________．
【解析】 与610°角终边相同的角为n·360°＋610°＝n·360°＋360°＋250°＝(n＋1)·360°＋250°＝k·360°＋250°(k∈Z，n∈Z)．
【答案】 k·360°＋250°(k∈Z)
三、解答题
9．若一弹簧振子相对平衡位置的位移x(cm)与时间t(s)的函数关系如图所示，
图1－2－4
(1)求该函数的周期；
(2)求t＝10.5 s时该弹簧振子相对平衡位置的位移．
【解】 (1)由题图可知，该函数的周期为4 s.
(2)设本题中位移与时间的函数关系为x＝f(t)，由函
数的周期为4 s，可知f(10.5)＝f(2.5＋2×4)＝f(2.5)＝－8(cm)，故t＝10.5 s时弹簧振子相对平衡位置的位移为－8 cm.
图1－2－5
10．如图所示，试表示终边落在阴影区域的角．
【解】 在0°～360°范围中，终边落在指定区域的角是0≤α≤45°或315°≤α≤360°，转化为－360°～360°范围内，终边落在指定区域的角是－45°≤α≤45°，
故满足条件的角的集合为{α|－45°＋k·360°≤α≤45°＋k·360°，k∈Z}．
11．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；
(2)最小的正角；
(3)－720°到－360°的角．
【解】 与530°终边相同的角为k·360°＋530°，k∈Z.
(1)由－360°＜k·360°＋530°＜0°，且k∈Z可得k＝－2，故所求的最大负角为－190°.
(2)由0°＜k·360°＋530°＜360°且k∈Z可得k＝－1，
故所求的最小正角为170°.
(3)由－720°≤k·360°＋530°≤－360°且k∈Z得k＝－3，故所求的角为－550°.
一、选择题
1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin(100πt＋)，则当t＝时，电流I为( )
A．5 B.
C．2 D．－5
【解析】 t＝代入I＝5sin(100πt＋)＝5sin(＋)＝，故选B.
【答案】 B
2．某城市6月份的平均气温最高，为29.45 ℃；12月份平均气温最低，为18.35 ℃.若x月份的平均气温为y ℃，满足条件的一个模拟函数可以是( )
A．y＝23.9－5.55sin x
B．y＝23.9－5.55cos x
C．y＝23.9－5.55tan x
D．y＝23.9＋5.55cos x
【解析】 将x＝6，x＝12分别代入验证可知，只有B符合要求，故选B.
【答案】 B
图1－9－7
3．如图1－9－7是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
【解析】 因为相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期．
【答案】 C
4．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cos(t＋)，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵T＝，∴＝＝2π，
∴l＝.
【答案】 D
5．一半径为10的水轮，水轮的圆心到水面的距离为7，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y与时间x(秒)满足函数关系式y＝Asin(ωx＋φ)＋7，则( )
A．ω＝，A＝10 B．ω＝，A＝10
C．ω＝，A＝17 D．ω＝ ，A＝17
【解析】 T＝＝15，ω＝，A＝10.
【答案】 A
二、填空题
6．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为________．
【解析】 由题意知
解得
再结合题意可得4＝，T＝8＝，ω＝，
故f(x)＝2sin(x＋φ)＋7.
把(3,9)代入上式得sin(＋φ)＝1，即＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
又∵|φ|<，∴φ＝－.
故f(x)＝2sin(x－)＋7.
【答案】 f(x)＝2sin(x－)＋7
7．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin(100πt＋)来表示，则电压值的最大值是________，第一次获得这个最大值的时间是________．
【解析】 由E＝220 sin(100πt＋)，
∵t∈[0，＋∞)，当sin(100πt＋)＝1时，
Emax＝220 (V)．
第一次获得最大值时，100πt＋＝得：t＝(s)．
【答案】 220 V s
8．某时钟的秒针端点A到中心的距离为5 cm，秒针均匀地绕O点旋转到B点，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点重合，将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝________，其中，t∈[0,60]．
【解析】 由题意易知A＝10，ω＝，
∴d＝10sint.
【答案】 10sint
三、解答题
9．如图1－9－8，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin ωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图像，且图像的最高点为S(3,2 )；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.求A，ω的值和M，P两点间的距离．
图1－9－8
【解】 依题意，有A＝2 ，＝3，又T＝，
∴ω＝，
∴y＝2 sinx.当x＝4时，y＝2sin＝3，
∴M(4,3)．
又∵P(8,0)，∴|MP|＝＝5.
10．2013年的元旦，广州从0时到24时的气温变化曲线近似地满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A，ω＞0，|φ|≤π)．从天气台得知：广州在2010的第一天的温度为1到9度，其中最高气温只出现在下午14时，最低气温只出现在凌晨2时．
(1)求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的表达式；
(2)若元旦当天，M市的气温变化曲线也近似地满足函数y＝A1sin(ω1x＋φ1)＋b1，且气温变化也为1到9度，只不过最高气温和最低气温出现的时间都比广州迟了四个小时，求M市的温度函数表达式．
【解】 (1)由已知可得：b＝5，A＝4，T＝24?ω＝.
又因为最低气温出现在凌晨2时，
则有2ω＋φ＝2kπ－.
又因为|φ|≤π?φ＝－π，
则所求的函数表达式为y＝4sin(x－π)＋5.
(2)由已知得M市的气温变化曲线近似地满足函数
y＝4sin[(x－4)－π]＋5
＝4sin(x－π)＋5.
图1－9－9
11．一个悬挂在弹簧上的小球，被从它的静止位置向下拉0.2米的距离，如图所示，此小球在t＝0时被放开并允许振动．如果此小球在1秒后又回到这一位置．小球在时间t(秒)时相对于平衡位置(即静止的位置)的位移s(米)由s＝Asin(ωt＋φ)决定．
(1)求出描述此小球运动的函数关系式；
(2)求当t＝6.5秒时小球所在的位置．
【解】 (1)取向上的位移为正，
由题中条件可知A＝0.2，T＝1，ω＝＝2π.
又∵t＝0时，s＝－0.2，故0.2sin φ＝－0.2，
取φ＝－，
故s＝0.2sin(2πt－)，
即s＝－0.2cos 2πt，t∈[0，＋∞)．
(2)令t＝6.5，则s＝－0.2cos 13π＝0.2，
故当t＝6.5秒时小球在静止位置的上方0.2米处.
一、选择题
1．－105°转化为弧度数为( )
A.π B．－π
C．－π D．－π
【解析】 －105°＝－105×＝－π.
【答案】 B
2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( )
A.π B．－π
C.π D．－π
【解析】 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的，用弧度制表示就是－4π－×2π＝－π.
【答案】 B
3．若圆的半径变成原来的2倍，扇形的弧长也增加到原来的2倍，则( )
A．扇形的面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积增加到原来的2倍
D．扇形的圆心角增加到原来的2倍
【解析】 扇形的圆心角α＝，l，R都变为原来的2倍，故α不变，选B.
【答案】 B
4．半径为1 cm，中心角为150°的角所对的弧长为( )
A.cm B.cm
C.cm D.cm
【解析】 ∵150°＝150×＝，
∴l＝×1＝cm.
【答案】 D
5．在半径为1的圆中，面积为1的扇形的圆心角的弧度数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 由S＝α·r2，得1＝·α·12，∴α＝2.
【答案】 B
二、填空题
6．若α＝3，则角α的终边所在的象限为________．
【解析】 ∵α＝3，∴<α<π，故α在第二象限．
【答案】 第二象限
图1－3－2
7．若角α的终边在如图1－3－2所示的阴影部分，则角α的取值范围是________．
【解析】 易知阴影部分的两条边界分别是和的终边，所以α的取值范围是{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
【答案】 {α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}
8．在与2 010°角终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数是________．
【解析】 ∵2 010°＝360°×5＋210°，210°＝，
∴与2 010°角终边相同的角为β＝2kπ＋，k∈Z.
当k＝－1时，β＝－为绝对值最小的角．
【答案】 －
三、解答题
9．已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求：
(1)的长；
(2)扇形所含弓形的面积．
【解】 (1)∵120°＝π＝π，
∴l＝|α|·r＝6×π＝4π，
∴的长为4π.
(2)∵S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，
如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于D点，
于是有S△OAB＝×AB×OD＝×2×6cos 30°×3＝9.
∴弓形的面积为S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.
∴弓形的面积是12π－9.
10．已知α＝－800°.
(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)求角γ，使γ与角α的终边相同，且γ∈(－，)．
【解】 (1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝π.
∴α＝－800°＝π＋(－3)×2π.
∵角α与π终边相同，∴角α是第四象限角．
(2)∵与角α终边相同的角可写为2kπ＋π，k∈Z的形式，
由γ与α终边相同，∴γ＝2kπ＋，k∈Z.
又∵γ∈(－，)，
∴－<2kπ＋<，k∈Z，解得k＝－1，
∴γ＝－2π＋＝－.
图1－3－3
11．如图，圆心在原点，半径为R的圆交x轴正半轴于A点，P，Q是圆上的两个动点，它们同时从点A出发沿圆周做匀速运动．OP逆时针方向每秒转，OQ顺时针方向每秒转.试求P，Q出发后每五次相遇时各自转过的弧度数及各自走过的弧长．
【解】 易知，动点P，Q由第k次相遇到第k＋1次相遇所走过的弧长之和恰好等于圆的一个周长2πR，
因此当它们第五次相遇时走过的弧长之和为10πR.
设动点P，Q自A点出发到第五次相遇走过的时间为t秒，走过的弧长分别为l1，l2，
则l1＝tR，l2＝|－|·tR＝tR.
因此l1＋l2＝tR＋tR＝10πR，
所以t＝＝20(秒)，
l1＝πR，l2＝πR.
由此可知，P转过的弧度数为，Q转过的弧度数为，P，Q走过的弧长分别为R和R.
一、选择题
1．若sin αcos α>0，则α在( )
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第一、四象限 D．第二、四象限
【解析】 由于sin αcos α>0，∴sin α与cos α同号，因此角α在第一象限或第三象限，故选B.
【答案】 B
2．(2013·大连高一检测)有下列命题：
①终边相同的角的同名三角函数的值相等；
②终边不同的角的同名三角函数的值不等；
③若sin α>0，则α是第一、二象限角；
④若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos α＝.
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 根据任意角的三角函数定义知①正确；对于②，我们可举出反例sin ＝sin ；对于③，可举出sin >0，但不是第一、二象限角；对于④，应是cos α＝(因为α是第二象限角，已有x<0)．故选A.
【答案】 A
3．当α为第二象限角时，－的值是( )
A．1 B．0
C．2 D．－2
【解析】 若α为第二象限角，则sin α>0，cos α<0，
所以－＝＋＝2，故选C.
【答案】 C
4．已知角α的终边在射线y＝－3x(x≥0)上，则sin αcos α等于( )
A．－ B．－
C. D.
【解析】 根据三角函数的定义，在终边上取点求值．在α终边上取一点P(1，－3)，此时x＝1，y＝－3，
∴r＝＝.
∴sin α＝＝－，cos α＝＝ .
∴sin αcos α＝－×＝－.
【答案】 A
5．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( )
A．sin α＋cos α>1 B．sin α＋cos α＝1
C．sin α＋cos α<1 D．不能确定
【解析】 本题可以采用验证法求解．
若α＝，易选A，也可以借助单位圆求解．
【答案】 A
二、填空题
6．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________.
【解析】 ∵sin θ＝＝－，
∴y＜0，
且y2＝64，∴y＝－8.
【答案】 －8
7．设A是第三象限角，|sin |＝－sin ，则是第________象限角．
【解析】 ∵A是第三象限角，∴由等分象限法知的终边落在第二或第四象限，
又∵|sin |＝－sin ，
∴sin <0，
∴是第四象限角．
【答案】 四
8．(2013·沈阳高一检测)cos 1 110°的值为________．
【解析】 cos 1 110°＝cos(3×360°＋30°)＝cos 30°＝.
【答案】
三、解答题
9．判断下列各式的符号．
(1)sin 240°·sin 300°；
(2)cos ·sin π；
(3)cos 4·cos 5.
【解】 (1)∵240°是第三象限角，
∴sin 240°＜0；
又∵300°是第四象限角，∴sin 300°＜0，
∴sin 240°·sin 300°＞0.
(2)∵sin π＝0.
∴cos π·sin π＝0.
(3)∵4是第三象限角，
∴cos 4＜0，又∵5是第四象限角，
∴cos 5＞0，∴cos 4·cos 5＜0.
10．角α的终边交单位圆于点M(x，)，求cos α，并指出角α的终边所在的象限．
【解】 ∵点M(x，)在单位圆上，
∴x2＋()2＝1，∴x2＝，∴x＝±.
①当x＝时，M(，)，cos α＝>0，sin α＝>0，
∴α是第一象限角．
②当x＝－时，M(－，)，cos α＝－<0，sin α＝>0，∴α是第二象限角．
11．已知角α的终边过点(3m－9，m＋2)且cos α<0，sin α>0，求m的取值范围．
【解】 ∵cos α<0，sin α>0，∴α的终边落在第二象限，
∴，∴，
∴－2∴m的取值范围是(－2,3).
一、选择题
1．cos(－)＋sin(－)的值为( )
A．－ B.
C. D.
【解析】 原式＝cos－sin＝cos－sin＝－cos＋sin＝.
【答案】 C
2．(2013·石家庄高一检测)若cos(2π－α)＝，则sin(－α)等于( )
A．－ B．－
C. D．±
【解析】 ∵cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α＝，
∴sin(－α)＝－cos α＝－，故选A.
【答案】 A
3．已知f(x)＝sin x，下列式子成立的是( )
A．f(x＋π)＝sin x B．f(2π－x)＝sin x
C．f(x－)＝－cos x D．f(π－x)＝－f(x)
【解析】 由于sin(x－)＝－sin(－x)＝－cos x，故C成立，选C.
【答案】 C
4．已知cos(π＋α)＝－，则sin(π＋α)等于( )
A. B．－
C．± D．－
【解析】 由于cos(π＋α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝，
∴sin(π＋α)＝sin(2π－＋α)
＝sin(α－)＝－sin(－α)
＝－cos α＝－，故选D.
【答案】 D
5．下列三角函数中，与sin 数值相同的是( )
①sin(nπ＋)；②cos(2nπ＋)；③sin(2nπ＋)；
④cos[(2n＋1)π－]；⑤sin[(2n＋1)π－](n∈Z)．
A．①② B．①③④
C．②③⑤ D．①③⑤
【解析】 ①中，sin(nπ＋)＝
＝
②中，cos(2nπ＋)＝cos ＝sin(－)＝sin ；
③中，sin(2nπ＋)＝sin ；
④中，cos(2nπ＋π－)＝cos(π－)＝－cos ≠sin ；
⑤中，sin(2nπ＋π－)＝sin(π－)＝sin .
故②③⑤中的三角函数与sin 的数值相同．
【答案】 C
二、填空题
6．sin 315°－cos 135°＋2sin 570°的值是________．
【解析】 原式＝sin(360°－45°)－cos(180°－45°)＋2sin(360°＋210°)
＝－sin 45°＋cos 45°＋2sin(180°＋30°)
＝－2sin 30°＝－2×＝－1.
【答案】 －1
7.的值是________．
【解析】 原式＝
＝
＝＝
＝.
【答案】
8．若sin(π＋α)＋cos(＋α)＝－m，则cos(－α)＋2sin(2π－α)的值为________．
【解析】 ∵sin(π＋α)＋cos(＋α)
＝－sin α－sin α＝－m，
∴sin α＝.
∴cos(－α)＋2sin(2π－α)
＝－sin α－2sin α＝－3sin α
＝－.
【答案】 －
三、解答题
9．已知角α终边上一点P(－4,3)，
求的值．
【解】 点P到原点O的距离|OP|＝＝5，根据三角函数的定义得：sin α＝，cos α＝－.
＝
＝
＝
＝＝×(－)＝－.
10．化简：··.
【解】 ··
＝··
＝··
＝··
＝··＝1.
11．若f(sin x)＝cos 17x，求f()的值．
【解】 由sin x＝，得x＝2kπ＋或x＝2kπ＋(k∈Z)．
∵sin(2kπ＋)＝sin，sin(2kπ＋)＝sin，
∴f()＝f(sin)
＝cos＝cos(2π＋)＝cos
＝cos(π－)＝－cos＝－，
或f()＝f(sin)＝cos
＝cos(14π＋)
＝cos＝.
即f()＝±.
一、选择题
1．用五点法作函数y＝2sin 2x的图像时，首先应描出的五点的横坐标可以是( )
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
【解析】 由五点法作图易知，2x分别取0，，π，，2π，故选B.
【答案】 B
2．下列不等式中成立的是( )
A．sin(－)C．sin 3>sin 2 D．sin>sin(－)
【解析】 由于0<<<，而y＝sin x在[0，]上单调递增，
∴sin－sin，即sin(－)>sin(－)，故选A.
【答案】 A
3．设函数f(x)＝sin x，x∈R，对于以下三个命题：
①函数f(x)的值域是[－1,1]；②当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值1；③当且仅当2kπ＋π其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 显然①②正确，③不正确，故选C.
【答案】 C
4．函数y＝sin 2x的一个增区间是( )
A．[－，] B．[－，]
C．[0，] D．[－，0]
【解析】 由正弦函数知，y＝sin 2x在－≤2x≤单调递增，故选B.
【答案】 B
5．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为( )
A．y＝3，x＝
B．y＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)
C．y＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)
D．y＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)
【解析】 由函数性质得ymax＝3，此时sin x＝－1即x＝2kπ－，k∈Z，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．函数y＝sin x(0【解析】 结合y＝sin x的图像可知，当00，∴0【答案】 (0,1]
7．(2013·济南高一检测)函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图像与直线y＝有________个交点．
【解析】 在同一坐标系中作出函数y＝1＋sin x，y＝的图像，如图所示：在x∈[0,2π]内共两个交点．
【答案】 两
8．函数y＝的定义域是________，单调减区间是________．
【解析】 ∵－2sin x≥0，∴sin x≤0，结合y＝sin x的图像可知，2kπ＋π≤x≤2kπ＋2π，k∈Z.
∴函数y的定义域为[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)．
又∵y＝sin x的增区间为[2kπ－，2kπ＋]，(k∈Z)，而sin x≤0，
∴函数y＝的减区间为[2kπ＋，2kπ＋2π]，(k∈Z)．
【答案】 [2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z) [2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)
三、解答题
9．求函数y＝sin(2x－)的递增区间．
【解】 t＝2x－，则y＝sin t.
∵y＝sin t的递增区间为[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z，
∴2kπ－≤t≤2kπ＋，k∈Z，
2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z.
∴kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴函数y＝sin(2x－)的递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
10．画出函数y＝3＋2sin x，x∈[－π，2π]的图像，并根据图像和解析式讨论其性质．
【解】 利用五点法作出函数y＝3＋2sin x，x∈[－π，2π]的图像，如图所示：
其性质为：
定义域：x∈[－π，2π]；值域：[1,5]；奇偶性：非奇非偶函数；周期性：不存在周期性；单调性：在区间[－π，
－]，[，]上单调递减；在区间[－，]，[，2π]上单调递增．
11．求下列函数的最值，并求取得最值时x的取值集合：
(1)y＝3－2sin 2x；
(2)y＝sin2x－4sin x＋5.
【解】 (1)∵－1≤sin 2x≤1，
∴－2≤－2sin 2x≤2.
∴y∈[1,5]．
∴当x＝kπ＋(k∈Z)时，函数有最小值1；
当x＝kπ＋(k∈Z)时，函数有最大值5，
即函数取最小值1时，x的取值集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}，当函数取最大值5时，x的取值集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
(2)∵y＝(sin x－2)2＋1，sin x∈[－1,1]，
∴当sin x＝－1，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝10；
当sin x＝1，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymin＝2，
即y取得最大值10时，x的取值集合是
{x|x＝2kπ＋，k∈Z}；
y取得最小值2时，x的取值集合是
{x|x＝2kπ＋，k∈Z}.
一、选择题
1．函数y＝sin(x＋θ)(0<θ≤π)是R上的偶函数，则θ的值为( )
A．0 B.
C. D．π
【解析】 当θ＝时，y＝sin(x＋)＝cos x是偶函数．
【答案】 C
2．若函数f(x)＝cos x，x∈[0，]，则函数f(x)的最小值为( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵x∈[0，]，∴x∈[0，]，∴cos x≥×，即f(x)＝cos x≥.
【答案】 A
3．函数y＝x2cos x的部分图像是( )
图1－6－3
【解析】 设f(x)＝x2cos x，
f(－x)＝(－x)2cos(－x)＝x2cos x＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，故排除B、D.
当x＝，y＝cos＝＞0，故排除C.
【答案】 A
4．(2013·天津高一检测)设M和m分别表示函数y＝cos x－1的最大值和最小值，则M＋m等于( )
A. B．－
C．－ D．－2
【解析】 ymax＝－1＝－，
ymin＝×(－1)－1＝－，
∴M＋m＝－－＝－2.
【答案】 D
5．已知f(x)＝sin(x＋)，g(x)＝cos(x－)，则f(x)的图像( )
A．与g(x)的图像相同
B．与g(x)的图像关于y轴对称
C．向左平移个单位，得到g(x)的图像
D．向右平移个单位，得到g(x)的图像
【解析】 f(x)＝sin(x＋)＝cos x，g(x)＝cos(x－)＝sin x，所以把f(x)的图像向右平移个单位，得到g(x)的图像．
【答案】 D
二、填空题
6．y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．
【解析】 结合y＝cos x的图像可知，a≤0.
【答案】 (－π，0]
7．函数y＝－2cos x＋10取最小值时，自变量x的集合是________．
【解析】 由于－1≤cos x≤1，所以当cos x＝1，即x＝2kπ(k∈Z)时，y取得最小值8.
【答案】 {x|x＝2kπ，k∈Z}
8．已知函数y＝2cos x(0≤x≤1 000π)的图像和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是________．
【解析】 如图，y＝2cos x的图像在[0,2π]上与直线y＝2围成封闭图形的面积为S＝4π，所以在[0,1 000π]上封闭图形的面积为4π×500＝2 000π.
【答案】 2 000π
三、解答题
9．画出函数y＝cos x＋|cos x|的图像，并根据图像讨论其性质．
【解】 y＝cos x＋|cos x|
＝利用五点法画出其图像，如图，
由图像可知函数具有以下性质：定义域R；值域：[0,1]；奇偶性：偶函数；周期性：最小正周期为2π的周期函数；单调性：在区间[2kπ，2kπ＋](k∈Z)上是减少的；在区间[2kπ－，2kπ](k∈Z)上是增加的．
10．判断方程|x|＝cos x在(－x，＋x)内根的个数．
【解】 在同一直角坐标系中作出函数y＝|x|和y＝cos x的图像，如图．
当x＞时，y＝|x|＞＞1，y＝cos x≤1.
当x＜－时，y＝|x|＞＞1，y＝cos x≤1，所以两函数的图像只在(－，)内有两个交点，所以|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内有两个根．
11．已知函数f(x)＝2acos2x－2acos x＋a＋b的定义域为[0，]，而且函数f(x)的最大值为1，最小值为－5，求a，b.
【解】 f(x)＝2a(cos2x－cos x)＋a＋b
＝2a[(cos x－)2－]＋a＋b
＝2a(cos x－)2＋b
由x∈[0，]知，cos x∈[0,1]．
(1)a＞0，
当cos x＝0时，f(x)取最大值a＋b；
当cos x＝时，f(x)取最小值b.
∴，解得.
(2)a＜0，
当cos x＝0时，f(x)取最小值a＋b；
当cos x＝时，f(x)取最大值b.
∴，∴.
综上知或.
一、选择题
1．若＜θ＜，则下列关系成立的是( )
A．sin θ＞cos θ＞tan θ
B．cos θ＞tan θ＞sin θ
C．sin θ＞tan θ＞cos θ
D．tan θ＞sin θ＞cos θ
【解析】 法一 画出正弦曲线、余弦曲线、正切曲线进行比较．
法二 取特殊值.
【答案】 D
2．函数y＝lg(1＋tan x)的定义域是( )
A．(kπ－，kπ＋)(k∈Z)
B．(kπ－，kπ＋)(k∈Z)
C．(kπ－，kπ＋)(k∈Z)
D．(kπ－，kπ＋)(k∈Z)
【解析】 由题意得1＋tan x＞0，即tan x＞－1，
由正切函数的图像得 kπ－＜x＜kπ＋(k∈Z)．
【答案】 C
3．已知函数f(x)＝sin，g(x)＝tan(π－x)，则( )
A．f(x)与g(x)都是奇函数
B．f(x)与g(x)都是偶函数
C．f(x)是奇函数，g(x)是偶函数
D．f(x)是偶函数，g(x)是奇函数
【解析】 ∵f(x)＝sin(＋)＝cos，∴f(x)为偶函数．∵g(x)＝－tan x，∴g(x)为奇函数．
【答案】 D
4．函数y＝tan(x＋)，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z的图像的一个对称中心是
( )
A．(0,0) B．(，0)
C．(，0) D．(π，0)
【解析】 由x＋＝，得x＝－，k∈Z，
∴此函数的图像的对称中心是(－，0)(k∈Z)．
当k＝2时，对称中心是(，0)．
【答案】 C
5．已知f(α)＝，则f(－π)的值为( )
A. B．－
C. D．－
【解析】 由于tan(－α＋)＝
＝＝，所以f(α)＝
＝－cos α，则f(－π)＝－cos(－π)
＝－cos(－10π－)＝－cos ＝－.
【答案】 B
二、填空题
6．函数y＝＋＋的值域为________．
【解析】 由函数解析式可知sin x≠0，cos x≠0，且tan x≠0，所以角x的终边不能落在坐标轴上．
①当角x是第一象限角时，sin x>0，cos x>0，tan x>0，此时y＝3.
②当角x是第二、三、四象限角时，sin x，cos x，tan x的值都是一个正值两个负值，此时y＝－1.
∴此函数的值域是{－1,3}．
【答案】 {－1,3}
7．α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝ x，则tan α＝________.
【解析】 由于cos α＝＝x，且x<0，可解得x＝－.
∴tan α＝＝－.
【答案】 －
8．(2013·福建高考)已知函数f(x)＝，则f＝________.
【解析】 ∵∈，
∴f＝－tan ＝－1，
∴f＝f(－1)＝2×(－1)3＝－2.
【答案】 －2
三、解答题
9．解不等式－1≤tan x≤.
【解】 作出函数y＝tan x，x∈(－，)的图像，如图所示．观察图像可得：在(－，)内，满足条件的x为－≤x≤，由正切函数的周期性可知，满足不等式的x的解集为{x|－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z}．
10．求值
(1)sin 750°sin 150°＋cos 930°cos(－870°)＋tan 600°tan 1 110°.
(2)tan(－1 200°)tan 1 290°＋tan(－1 020°)tan(－1 050°)＋tan 945°.
【解】 (1)原式＝sin(720°＋30°)sin(180°－30°)＋cos(3×360°－150°)cos(－720°－150°)＋tan(720°－120°)tan(3×360°＋30°)
＝sin 30°sin 30°＋cos 150°cos 150°－tan(180°－60°)tan 30°
＝sin230°＋cos2(180°－30°)＋tan 60°tan 30°
＝sin230°＋cos230°＋×＝＋＋1＝2.
(2)原式＝tan(－7×180°＋60°)tan(7×180°＋30°)＋tan(－6×180°＋60°)tan(－6×180°＋30°)＋tan(5×180°＋45°)
＝tan 60°tan 30°＋tan 60°tan 30°＋tan 45°
＝×＋×＋1
＝1＋1＋1＝3.
11．已知角α的终边经过点P(，－)，
(1)求sin α的值；
(2)求·的值．
【解】 (1)∵|OP|＝＝1，
∴sin α＝＝＝－.
(2)原式＝·
＝＝＝.
由余弦函数的定义得cos α＝，故所求式子的值为.
一、选择题
1．已知简谐运动f(x)＝2sin(x＋φ)(|φ|<)的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初期φ分别为( )
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
【解析】 T＝＝＝6，代入(0,1)点得sin φ＝.
∵－<φ<，∴φ＝.
【答案】 A
2．(2012·安徽高考)要得到函数y＝cos(2x＋1)的图像，只要将函数y＝cos 2x的图像( )
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【解析】 ∵y＝cos(2x＋1)＝cos[2(x＋)]，
∴只要将函数y＝cos 2x的图像向左平移个单位即可，故选C.
【答案】 C
3．(2013·绍兴高一检测)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图像如图1－8－4所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则( )
图1－8－4
A．A＝4 B．ω＝1
C．φ＝ D．B＝4
【解析】 由题图可知A＝＝2，B＝2，T＝4(π－)＝π，∴ω＝＝＝2.
∴y＝2sin(2x＋φ)＋2，代入点(，4)得φ＝.
【答案】 C
4．在同一平面直角坐标系中，函数y＝cos(＋)(x∈[0,2π])的图像和直线y＝的交点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．4
【解析】 根据诱导公式，y＝sin ， 作出y＝sin ，x∈[0,2π]的图像及y＝的图像可得解．故选C.
【答案】 C
5．(2012·浙江高考)把函数y＝cos 2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是( )
【解析】 y＝cos 2x＋1y＝cos x＋1
y＝cos(x＋1)＋1y＝cos(x＋1)．
结合选项可知应选A.
【答案】 A
二、填空题
6．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图像如图所示，则ω等于________．
图1－8－5
【解析】 从题图中可以看出：周期T＝－－(－π)＝，所以ω＝＝3.
【答案】 3
7．把函数y＝2sin(x＋)的图像向左平移m个单位，所得图像关于y轴对称，则m的最小正值是________．
【解析】 把y＝2sin(x＋)的图像向左平移m个单位，则y＝2sin(x＋m＋)，其图像关于y轴对称，
∴m＋＝kπ＋，即m＝kπ－，k∈Z.
∴取k＝1，m的最小正值为.
【答案】 π
8．已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图像的对称轴完全相同．若x∈[0，]，则f(x)的取值范围是________．
【解析】 由于对称轴完全相同，所以它们的周期相同，∴ω＝2，∴f(x)＝3sin(2x－)．
由x∈[0，]，得－≤2x－≤π，∴－≤f(x)≤3.
【答案】 [－，3]
三、解答题
9．若函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<)在其一个周期内的图像上有一个最高点(，3)和一个最低点(，－5)，求该函数的解析式．
【解】 由题意知：b＝＝－1，T＝π，A＝4，∴ω＝＝2.
所以所求函数为y＝4sin(2x＋φ)－1.
∵(，3)为该函数图像上的点，
∴当x＝时，y＝3.
即4sin(＋φ)－1＝3，
∴sin(＋φ)＝1，
∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
∴φ＝＋2kπ.
∵|φ|<，∴φ＝，
∴该函数的解析式为
y＝4sin(2x＋)－1.
10．已知函数y＝3sin(x－)，
(1)求它的振幅、周期、初相；
(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图像；
(3)说明y＝3sin(x－)的图像可由y＝sin x的图像经怎样的变换而得到．
【解】 (1)y＝3sin(x－)的振幅A＝3，周期T＝＝4π，初相φ＝－.
(2)列出下表，并描点画出图像如图.
x－
0
π
2π
x
y
0
3
0
－3
0
(3)①把y＝sin x的图像上所有的点向右平移个单位长度，得到y＝sin(x－)的图像；
②把y＝sin(x－)图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(x－)的图像；
③将y＝sin(x－)的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin(x－)的图像．
11．已知函数y＝的图像如图1－8－6所示，试求k，ω，φ的值．
图1－8－6
【解】 由于[－2,0)上图像是一线段，由(0,1)和(－2,0)知k＝.
当0≤x≤时，
T＝4(－)＝4π，
故ω＝.
将点(，0)代入y＝2sin(x＋φ)
得×＋φ＝nπ，n∈Z.
∴φ＝nπ－，n∈Z.
一、选择题
1．已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( )
A．关于点(，0)对称 B．关于直线x＝对称
C．关于点(，0)对称 D．关于直线x＝对称
【解析】 由于T＝＝π，∴ω＝2，则f(x)＝sin(2x＋)．当x＝时，sin(＋)＝0，
∴该函数的图像关于点(，0)对称，故选A.
【答案】 A
2．函数y＝8sin(6x＋)取最大值时，自变量x的取值集合是( )
A．{x|x＝－＋，k∈Z}
B．{x|x＝＋，k∈Z}
C．{x|x＝，k∈Z}
D．{x|x＝＋，k∈Z}
【解析】 ∵y的最大值为8，此时sin(6x＋)＝1，即6x＋＝2kπ＋(k∈Z)，
∴x＝＋，(k∈Z)，故选B.
【答案】 B
3．(2013·济南高一检测)若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω＝( )
A．3 B．2
C. D.
【解析】 由题意知，函数在x＝处取得最大值1，所以1＝sin，故选C.
【答案】 C
4．下列函数中，图像关于直线x＝对称的是( )
A．y＝sin(2x－) B．y＝sin(2x－)
C．y＝sin(2x＋) D．y＝sin(＋)
【解析】 验证法，当x＝时，A.sin(－)＝sin≠±1；B.sin(－)＝sin＝1，故选B.
【答案】 B
5．将函数y＝sin(2x＋)的图像向右平移个单位，所得图像所对应的函数是
( )
A．非奇非偶函数 B．既奇又偶函数
C．奇函数 D．偶函数
【解析】 将函数y＝sin(2x＋)的图像向右平移个单位后，得函数y＝sin[2(x－)＋]＝sin(2x－＋)＝sin 2x，为奇函数，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．当－≤x≤时，函数f(x)＝sin(x＋)的最大值是________，最小值是________．
【解析】 ∵－≤x≤，∴－≤x＋≤π，
∵当x＋＝－，即x＝－时，f(x)min＝－，
当x＋＝，即x＝时，f(x)max＝.
【答案】 －
7．关于f(x)＝4sin(2x＋)(x∈R)有下列结论：
①函数的最小正周期为π；
②表达式可改写为f(x)＝4cos(2x－)；
③函数的图像关于点(－，0)对称；
④函数的图像关于直线x＝－对称．
其中正确结论的序号为________．
【解析】 显然函数f(x)的周期T＝＝π，①正确；由于f(x)＝4sin(2x＋)＝4cos[－(2x＋)]＝4cos(－2x＋)＝4cos(2x－)，所以②正确；当x＝－时，sin(－＋)＝sin0＝0，所以③正确，④不正确．
【答案】 ①②③
图1－8－7
8．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象如图1－8－7所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 013)的值等于________．
【解析】 由图可知该函数的周期为8，得ω＝，A＝2，代入点(2,2)，得sin(×2＋φ)＝1，＋φ＝，得φ＝0，∴y＝2sin x.根据对称性有f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(8)＝0，从而f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)＝251×[f(1)＋f(2)＋…＋f(8)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝251×0＋2sin ＋2sin ＋2sin π＋2sin π＋2sin π＝2＋.
【答案】 2＋
三、解答题
9．(2013·石家庄高一检测)已知函数f(x)＝2sin(2x－)，x∈R.
(1)写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标；
(2)求函数f(x)在区间[0，]上的最大值和最小值．
【解】 (1)由2x－＝kπ＋(k∈Z)得，x＝＋(k∈Z)．
所以函数f(x)的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.
由2x－＝kπ得x＝＋(k∈Z)．
所以函数f(x)的对称中心为(＋，0)，k∈Z.
(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤π，
∴当2x－＝－，即x＝0时，
f(x)取得最小值－1；
当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值2.
10．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图像的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．
【解】 (1)∵x＝是函数y＝f(x)的图像的对称轴，
∴sin(2×＋φ)＝±1.
∴＋φ＝kπ＋，k∈Z.
∵－π<φ<0，∴φ＝－.
(2)由(1)知φ＝－，因此y＝sin(2x－)．
由题意得2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，即kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴函数y＝sin(2x－)的单调增区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．
11．记函数f(x)＝5sin(x－)(k≠0)．
(1)写出f(x)的最大值M，最小值m，最小正周期T；
(2)试求正整数k的最小值，使得当自变量x在任意两相邻整数间(包括整数本身)变化时，函数f(x)至少有一个值是M，一个值是m.
【解】 (1)M＝5，m＝－5，T＝＝.
(2)由题意知f(x)在相邻两整数之间(包括整数本身)至少有一个M和一个m，∴最小正周期T≤1，则≤1，∴|k≥10π，又k为正整数，∴正整数k的最小值为32.
