课件55张PPT。教师用书独具演示演示结束向量及其表示 大小 方向 方向 长度 起点 终点 长度 大小 有向线段 大小 向量的有关概念 1方向重合向量的有关概念 向量的表示 相等向量与共线向量 课时作业（十一）课件55张PPT。教师用书独具演示演示结束向量求和法则及运算律 和 a＋b 和 a＋b b＋a a＋(b＋c) 相反向量 相等 相反 零向量 －a 0 －b －a 向量的减法 相反向量 (－b) 向量的加法、减法运算 利用向量加法、减法的几何意义作图 向量加减法的综合应用 课时作业（十二）课件55张PPT。教师用书独具演示演示结束数乘向量及其运算律 向量 |λ||a| 相同 相反 有向线段 反 |λ| 原 |λ| λ a＋μ a λμ a λ a＋λ b 共线向量定理 非零 λ 非零 λ 向量的线性运算 共线向量定理及应用 向量线性运算的综合应用 课时作业（十三）课件43张PPT。教师用书独具演示演示结束平面向量基本定理 λe1＋λ2e2 基底 平面向量基本定理的理解 用基底表示向量 课时作业（十四）课件47张PPT。教师用书独具演示演示结束平面向量的坐标表示 x轴，y轴 单位向量 xi＋yj (x，y) (x，y) xi＋yj 平面向量的坐标运算 (x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (λx1，λy1) 向量平行的坐标表示 x1y2－x2y1＝0 成比例 成比例 平面向量的坐标表示 向量坐标形式的线性运算 平行向量的坐标表示 课时作业（十五）课件52张PPT。教师用书独具演示演示结束向量的夹角 0° 180° 90° a⊥b 0 向量的数量积 |b|cos θ |a||b|cos θ |a||b|cos θ 0 |b|cos θ 数量积的性质 a·b＝0 a⊥b?a·b＝0 向量数量积的运算律 b·a λ(a·b) a(λb) 平面向量数量积的运算 求向量的模 求向量的夹角 课时作业（十六）课件46张PPT。教师用书独具演示演示结束平面数量积的坐标表示 x1x2＋y1y2 相应坐标乘积的和 x1x2＋y1y2＝0 直线的方向向量 共线 方向向量 平面向量数量积的坐标运算 平面向量夹角问题 向量平行和垂直的坐标的应用 课时作业（十七）课件57张PPT。教师用书独具演示演示结束直线l：Ax＋By＋C＝0的法向量 垂直 (A，B) 点到直线的距离公式 向量在平面几何中的应用 向量在解析几何中的应用 向量在物理中的应用 课时作业（十八）第二章 平面向量
§1从位移、速度、力到向量
1．1 位移、速度和力
1．2 向量的概念
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)理解、掌握向量的概念．
(2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念．
2．过程与方法
在理解向量等有关概念的基础上，充分联系实际，培养学生解决生活实际问题的能力．
3．情感、态度与价值观
(1)通过对向量的学习，使学生对现实生活中的向量和标量有一个清楚的认识，培养学生对现实生活中的真善美的识别能力．
(2)对学生进行辨证思想的教育．
●重点难点
重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量．
难点：向量的概念，平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．
(教师用书独具)
●教学建议
1．本节的教学应当特别注意从向量的物理背景、几何背景入手，从学生熟悉的矢量概念引出向量概念，还可以要求学生自己举出一些“既有大小，又有方向的量”，从而使学生更好地把握向量的特点．
2．本节介绍了两种向量的表示方法：几何表示和字母表示．几何表示为用向量处理几何问题打下了基础，而字母表示则利于向量运算，这两种方法需要学生熟练掌握．教科书用黑体字母表示向量，如a，在手写时可用表示．用有向线段表示向量时，要提醒学生注意的方向是由点A指向点B，点A是向量的起点．
3．相等向量是长度相等且方向相同的向量，相等向量是一类向量的集合．
任何一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量与共线向量是等价的，这一点值得特别注意．还要注意平行向量与平行线段的区别．
共线向量和平行向量是研究向量的基础，由此可以将一组平行向量平移(不改变大小和方向)到一条直线上，这给问题的研究带来方便．教学中，要使学生体会两个共线向量并不一定要在一条直线上，只要两个向量平行就是共线向量，当然，在同一直线上的向量也是平行向量．要避免向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线相混淆，教学中可以通过对具体例子的辨析来正确掌握概念．
教学中，可以借助信息技术，通过向量的平移来说明向量的相等与起点无关．讲解中要求学生辨析“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法是否正确，目的是引导学生体会向量只与方向及模的大小有关而与起点的位置无关，但有向线段不仅与方向、长度有关，也与起点的位置有关．
●教学流程
创设问题情境，引出问题：位移是既有大小，又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？引入向量概念．?通过引导学生回答相关问题，引出有向线段、向量的构成要素，向量的长度(模)、零向量、单位向量等相关概念，并加深对向量的理解，熟悉其几何表示方法．?引导学生探究相等向量、共线向量的含义与性质，深刻领会相等向量是一类向量的集合，共线(平行)向量所在线段不一定平行等性质，避免与平面几何中直线平行相混淆．?通过例1及其变式训练，强化对向量相关概念的理解，深刻把握好各概念的内涵和外延．?通过例2及其变式训练，使学生掌握向量的表示方法及其应用策略．?引导学生探究相等向量、共线向量等概念，并完成例3及其互动探究，掌握解此类问题的方法．?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.
课标解读
1.理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点)
2．掌握共线向量、相等向量的概念．(难点)
3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)
向量及其表示
【问题导思】
1．在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？
【提示】 面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向．
2．对既有大小又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？
【提示】 利用有向线段来表示．
1．定义
既有大小又有方向的量叫作向量．
2．有向线段
具有方向和长度的线段叫作有向线段．其方向是由起点指向终点，以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫作有向线段的长度．记作||.
3．向量的长度
||(或|a|)表示向量(或a)的大小，即长度(也称模)．
4．向量的表示法
(1)向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．
(2)向量也可以用黑体小写字母如a，b，c…来表示，书写用 ， ， …来表示．
向量的有关概念
名称
定义
表示方法
零向量
长度为零的向量
0
单位向量
(向量a方
向上)
与向量a同方向，且长度为1的向量，叫作a方向上的单位向量
a0
相等向量
长度相等且方向相同的向量
若a等于b，记作a＝b
向量平行
或共线
表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合
a与b平行或共线，记作a∥b
向量的有关概念
下列说法正确的是( )
A．若向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上
B．若向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
C．向量的长度与向量的长度相等
D．单位向量都相等
【思路探究】 利用共线(平行)向量、单位向量、相等向量、向量的长度等概念逐项判断正确与否．
【自主解答】 对于A，考查的是有向线段共线与向量共线的区别．事实上，有向线段共线要求线段必须在同一直线上．而向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一直线上．
对于B，由于零向量与任一向量平行，因此若a，b中有一个为零向量时，其方向是不确定的．
对于C，向量与方向相反，但长度相等．
对于D，需要强调的是：单位向量不仅仅指的是长度，还有方向，而向量相等不仅仅需要长度相等而且还要求方向相同．
【答案】 C
1．对共线向量的理解是本题的关键点．向量共线即表示共线向量的有向线段在同一条直线上或平行．
2．熟知向量的基本概念，弄清基本概念之间的区别与联系是解决向量概念辨析题的基础．
下列说法正确的是( )
A.∥就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫相等向量
C．零向量的长度等于0
D．共线向量是在同一条直线上的向量
【解析】 ∥包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况，故选项A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故选项B错；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故选项D错．
【答案】 C
向量的表示
一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．
(1)作出向量、、；
(2)求||.
【思路探究】 先作出表示东南西北的方位图及100 km长度的线段，然后解答问题．
【自主解答】 (1)向量、、如图所示．
(2)由题意，易知与方向相反，故与共线，
又∵||＝||.∴在四边形ABCD中，AB綊CD.
∴四边形ABCD为平行四边形．
∴＝，∴||＝||＝200(km)．
1．在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．
2．用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性，为以后学习向量提供了几何方法，这也体现了数形结合的数学思想．应注意的是有向线段是向量的表示方法，并不是说向量就是有向线段．
3．要注意能够运用向量观点将实际问题抽象成数学模型．“数学建模”能力是今后能力培养的主要方向．
图2－1－1
在如图的方格纸中，画出下列向量．(每个小正方形的边长为1)
(1)||＝4，点A在点O正北方向；
(2)||＝2，点B在点O东偏南45°方向；
(3)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝，并说出c的终点的轨迹是什么？
【解】 (1)(2)(3)的图像如图所示．
(3)c的终点轨迹是以C为圆心半径为的圆．
相等向量与共线向量
图2－1－2
如图2－1－2所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点．
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与的模相等的向量；
(3)写出与相等的向量．
【思路探究】 解答本题可依据相等向量及共线向量的定义求解．
【自主解答】 ∵E、F分别是AC、AB的中点，
∴EF∥BC，且EF＝BC.
又∵D是BC的中点，∴EF＝BD＝DC.
(1)与共线的向量有：，，，，，，.
(2)与的模相等的向量有：，，，，.
(3)与相等的向量有：，.
1．本题以三角形中位线与底边的关系为载体，融相等向量及共线向量的知识于其中，求解时可充分借助于几何图形的相关性质，使向量与几何有机地结合起来，用共线向量反映几何图形中的位置关系，用向量模的关系，反映几何图形中的长度关系．
2．判断一组向量是否相等，关键看向量是否方向相同和长度相等，与起点和终点位置无关．对于共线向量，则只要同向或反向即可．
在本例条件不变的情况下，写出与共线的向量和与相等的向量．
【解】与共线的向量有：，，，，，，；
与相等的向量有：，.
忽视零向量方向致误
给出下列六个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同、终点相同；
②若|a|＝|b|，则a＝b；
③若＝，则ABCD是平行四边形；
④在平行四边形ABCD中，一定有＝；
⑤若m＝n，n＝k，则m＝k；
⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中不正确的命题的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【错解】 选B.
【错因分析】 ⑥中若b＝0则结论不成立，因为0的方向不确定．
【防范措施】 对于向量的概念要认真理解，尤其是零向量一定要记住其特殊性．
【正解】 两个向量起点相同、终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，却不一定起点相同，终点相同，故①不正确．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模相等，而且方向相同，而②中方向不一定相同，故不正确．③也不正确，因为A，B，C，D可能落在同一条直线上．零向量方向不确定，它与任一向量都平行，故⑥中若b＝0，则a与c就不一定平行了．因此⑥也不正确．
【答案】 C
1．学习了向量的概念及其表示，明确了有向线段与向量之间的关系．
2．掌握了特殊向量及向量之间的关系，以及它们的性质特点．
3．能在具体图形中找出相等向量与共线向量．
1．下列命题中，正确的是( )
A．|a|＝|b|?a＝b B．|a|＞|b|?a＞b
C．a＝b?a∥b D．|a|＝0?a＝0
【解析】 如果两个向量相等，则这两个向量必定平行．
【答案】 C
2．如图2－1－3，＝，AC与BD相交于点O，则相等的向量是( )
A.与
B.与
C.与
D.与
图2－1－3
【解析】 ||＝||，且与方向相同，则＝，故选D.
【答案】 D
3．给出下列命题：
①若|a|>|b|，则a>b；②若a＝b，则a∥b；③若|a|＝0，则a＝0；④0＝0；⑤向量大于向量；⑥方向不同的两个向量一定不平行．其中，正确命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)
【解析】 ①不正确．|a|>|b|知模的大小，而不能确定方向，向量不能比较大小；②正确．共线向量是指方向相同或相反的向量，相等向量一定共线；③正确；④不正确.0是一个向量，而0是一个数量，应|0|＝0；⑤不正确．因为向量不能比较大小，这是向量与数量的显著区别，向量的模可以比较大小；⑥不正确．因为平行向量包括方向相同和方向相反两种情况．
【答案】 ②③
图2－1－4
4．如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O且平行于AB的线段．
(1)写出图中的各组共线向量；
(2)写出图中的各对同向向量；
(3)写出图中的各对反向向量．
【解】 (1)向量，，，为一组共线向量；
向量与为一组共线向量；
向量与为一组共线向量；
向量与为一组共线向量；
向量与为一组共线向量．
(2)向量与，为同向向量，向量与，与，与分别为同向向量．
(3)与，与，与，与为反向向量.
一、选择题
1．如图2－1－5，在正方形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是( )
图2－1－5
A.与
B.与
C.与
D.与
【解析】 ∵＝，∴与可用同一条有向线段表示．
【答案】 B
图2－1－6
2．如图2－1－6所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是( )
A.＝
B．||＝||
C.＞
D.＜
【解析】 ||与||表示等腰梯形两腰的长度，故相等．
【答案】 B
图2－1－7
3．如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点，则与E的模相等的向量共有( )
A．6个 B．5个
C．4个 D．3个
【解析】 ∵E、F、D分别是边AC、AB和BC的中点，
∴EF＝BC，BD＝DC＝BC.
又∵AB，BC，AC均不相等，从而与的模相等的向量是：，，，，.
【答案】 B
图2－1－8
4．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中A，B，C，D，E，F，O中任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有( )
A．6个 B．7个
C．8个 D．9个
【解析】 由共线向量的定义及正六边形的性质，与向量共线的向量有，，，，，，，，，共有9个．故选D.
【答案】 D
5．下列说法中，不正确的是( )
A．0与任意一个向量都平行
B．任何一个非零向量都可以平行移动
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同
【解析】 易知A、B、C均正确，D不正确，它们的终点可能相同，故选D.
【答案】 D
二、填空题
6．已知边长为3的等边△ABC，则BC边上的中线向量的模等于________．
【解析】 由于AD＝AB＝.∴||＝.
【答案】
图2－1－9
7．如图，设O是正方形ABCD的中心，则：①＝；②∥；③与共线；④＝.其中，所有正确的序号为________．
【解析】 根据正方形的几何性质以及向量的相等和共线的条件知①②③正确，与的方向不相同，故④不正确．
【答案】 ①②③
图2－1－10
8．如图2－1－10所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，连接相应分点，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与平行且长度为2 的向量个数是________．
【解析】 图中共有4个边长为2的正方形，每个正方形中有符合条件的向量2个(它们分别是连接左下和右上顶点的向量，方向相反)，故满足条件的向量共有8个．
【答案】 8
三、解答题
9．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：
(1)与相等的向量；
(2)与长度相等的向量；
(3)与共线的向量．
【解】 如图可知，(1)易知BC＝AD，所以与相等的向量为.
(2)由O是正方形ABCD对角线的交点可知OB＝OD＝OA＝OC，所以与长度相等的向量有，，，，，，.
(3)与共线的向量有，，.
图2－1－11
10．如图2－1－11所示，四边形ABCD中＝，N、M分别是AD、BC上的点，且＝.
求证：＝.
【证明】 ∵＝，∴||＝||且AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴||＝||，且DA∥CB.
又∵与的方向相同，∴＝.
同理可证，四边形CNAM是平行四边形，∴＝.
∵||＝||，||＝||，∴||＝||，
又∵与的方向相同，∴＝.
图2－1－12
11．如图2－1－12，A、B、C三点的坐标依次是(－1,0)、(0,1)、(x，y)，其中x、y∈R.当x、y满足什么条件时，向量与共线(其中O为坐标原点)?
【解】 由已知，A、B的坐标是(－1,0)、(0,1)，所以∠BAO＝45°.
当点C(x，y)的坐标满足x＝y＝0时，＝0，
这时与共线(零向量与任意向量都共线)；
当xy≠0，且x＝y，
即点C在一、三象限角平分线上时，
有AB∥OC，这时与共线．
综上，当x＝y时，与共线．
(教师用书独具)
如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是中国象棋的走法，“马”可以从A跳到A1或A2，用向量、表示“马”走了一步．试在图中画出“马”在B、C分别走了一步的所有情况．
【解】 如图所示，在B处有3种走法；在C处有8种走法．
如图，在4×5的方格图中，有一个向量，分别以图中的格点为起点和终点作向量．
(1)与向量相等的向量有多少个？
(2)与向量长度相等的向量有多少个？
【解】 (1)结合向量相等的定义及方格的特征可知与向量相等的向量有3个．
(2)与向量长度相等的向量有39个，因为对角线长度与长度相等的每个矩形中有4个与向量长度相等的向量．
而这样的矩形共有10个，所以共有4×10－1＝39个．
§2从位移的合成到向量的加法
2．1 向量的加法
2．2 向量的减法
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)能熟练运用三角形法则和平行四边形法则，作出几个向量的和、差向量．
(2)能结合图形进行向量计算．
(3)能准确表达向量加法的交换律和结合律，并能熟练地进行向量计算．
2．过程与方法
由概念的形成过程和解题的思维过程，体验数形结合思想的指导作用．
3．情感、态度与价值观
通过阐述向量的减法运算可以转化为向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想．
●重点难点
重点：向量的加法、减法运算．
难点：向量加法、减法的几何意义．
(教师用书独具)
●教学建议
几何中的向量加法是用几何作图来定义的，教科书给出了两个向量求和的三角形法则和平行四边形法则，多个向量求和的多边形法则．教科书采用三角形法则来定义向量的加法，这种定义对两向量共线时同样适用，而当两个向量共线时，平行四边形法则就不适用了．当两向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的．
当求两个或多个不共线向量的和时，和向量是从第一个向量的始点指向最后一个向量的终点．类比数的运算中减法是加法的逆运算，将向量的减法定义为向量加法的逆运算．教学时，要结合三角形法则认真体会其含义．两个向量的减法是把两个向量的始点放在一起，它们的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．
●教学流程
创设问题情境：对比实数的加法运算，如何求出两向量的和呢？?引导学生结合物理中力的合成，类比发现向量加法的定义及其运算性质．?引导学生探究向量减法的定义及向量减法的几何意义．?通过例1及变式训练，使学生熟练掌握向量的加、减运算．?通过例2及变式训练，使学生熟练掌握利用向量加、减法的几何意义作用．?通过例3及变式训练，掌握向量加、减法的综合应用．?归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正．
课标解读
1.掌握向量的加法、减法运算．(重点)
2．理解向量加法与减法的几何意义及加、减法的关系．(难点)
向量求和法则及运算律
【问题导思】
一架飞机要从A地经B地运物资到C地，问从A地到B地，与从B地到C地这两次位移之和是什么？
【提示】 如图所示，这两次位移之和为＋，而实际位移为.
由此可以看出＋＝.
类别
图示
几何意义
向量求和
的法则
平行
四边
形法则
已知向量a，b，作＝a，＝b，再作平行的＝b，连接DC，则四边形ABCD为平行四边形，向量叫作向量a与b的和，表示为＝a＋b
向量加
法的运
算律
交换律
a＋b＝b＋a
结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
相反向量
【问题导思】
向量与向量是一对特殊的向量，它们的长度和方向之间有什么关系？
【提示】 向量与向量长度相等，但方向相反，即＝－.
定义
把与a长度相等、方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作－a
性质
(1)零向量的相反向量仍是零向量，于是－(－a)＝a；
(2)互为相反向量的两个向量的和为0，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；
(3)若a＋b＝0，则a＝－b，b＝－a
向量的减法
【问题导思】
1．两个相反数的和为零，那么两个相反向量的和也为零向量吗？
【提示】 是零向量．
2．根据向量的加法，如何求作a－b?
【提示】 先作出－b，再按三角形或平行四边形法则作出a＋(－b)．
定义
向量a加上b的相反向量叫作a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，求两个向量差的运算，叫作向量的减法
几何
意义
如图，设＝a，＝b，则＝a－b，即a－b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量
向量的加法、减法运算
(1)在平行四边形ABCD中，＋－＝
( )
A. B.
C. D.
(2)化简＋＋－－＝________.
【思路探究】 (1)利用平行四边形法则和性质；
(2)可用三角形法则，即所谓“首尾相连”；也可以引入空间一点O，转化成以O为起点的向量进行化简．
【自主解答】 (1)在?ABCD中，＝，＝，
∴＋－＝(－)＋＝.
(2)法一 原式＝＋＋－(＋)
＝0－＝.
法二 在平面内任取一点O，连接OA，OB，OC，OD，则
原式＝(－)＋(－)＋(－)－(－)－(－)
＝－＋－＋－－＋－＋＝－＝.
【答案】 (1)C (2)
1．求解这类问题，一定要灵活应用向量加法、减法的三角形与平行四边形法则，并注意向量的起点和终点，当向量首尾相连且为和时，用加法；运用向量减法的三角形法则时，一定有两向量起点相同．
2．运用向量减法法则时，常考虑方法：(1)通过相反向量，把向量减法转化为加法；(2)引入点O，将向量起点统一．
化简：(1)(－)－(－)；
(2)(＋＋)－(－－)．
【解】 (1)(－)－(－)
＝－＝.
(2)(＋＋)－(－－)
＝＋－＋(＋)
＝＋－＋
＝－＋
＝＋＋
＝＋＝0.
利用向量加法、减法的几何意义作图
图2－2－1
如图2－2－1所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作b＋c－a.
【思路探究】 解答本题可用平行四边形法则作b＋c，再作b＋c－a.
【自主解答】 法一 以、为邻边作?OBDC，连接、，则＝＋＝b＋c，＝－＝b＋c－a.
法二 作＝＝b，连接AD，则＝－＝c－a，＝＋＝c－a＋b＝b＋c－a.
1．运用三角形法则，作两个向量和的关键是作平移，首尾连．作两个向量差的关键是作平移，共起点，两尾连，指被减．
2．当两向量不共线时，也可采用平行四边形法则，多个向量相加减时要注意灵活运用运算律．
如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
图2－2－2
图(1)
【解】 法一 如图(1)所示，在平面内任取一点O，
作＝a，＝b，
则＝a＋b，再作＝c，
则＝a＋b－c.
图(2)
法二 如图(2)所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，
则＝a＋b，再作＝c，则＝－c
连接OC，则＝a＋b－c.
向量加减法的综合应用
图2－2－3
如图2－2－3所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，设＝a，＝b，＝c，
求证：b＋c－a＝.
【思路探究】 要证明b＋c－a＝，可转化为证明b＋c＝＋a，从而利用向量加法证明；也可以从c－a入手，利用向量减法证明．
【自主解答】 在?ABCD中，＝＝b，＝c
法一 ∵b＋c＝＋＝＋＝，
又∵＋a＝＋＝.
∴b＋c＝＋a，即b＋c－a＝.
法二 ∵c－a＝－＝－＝，
＝＋＝－b，
∴c－a＝－b，即b＋c－a＝.
1．法一是利用三角形加法法则证明两个向量的和相等；法二是利用向量减法法则证明两个向量的差相等，证明时可灵活选择方法．
2．灵活选择方法，优化思维过程，通过恒等变形来证明等价命题是常用的证明恒等式的方法．
P、Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，求证：＋＝＋.
【证明】 ∵＝＋，
＝＋，
∴＋＝＋＋＋，
又∵＝，∴＋＝0，
∴＋＝＋.
错用向量减法法则致误
如图所示，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为r1、r2、r3，求.
图2－2－4
【错解】 因为＝＋，
＝＝－，
所以＝＋－＝r3＋r2－r1.
【错因分析】 错误使用了向量的减法法则导致解错．
【防范措施】 减法口决：始点相同，连接终点，箭头指向被减向量．应把首尾相接的放在一起计算，始点相同的放在一起计算．必要时，可画出图像，结合图像观察将使问
题更为直观．
【正解】 ＝＋＝＋
＝＋－＝r3＋r1－r2.
1．学习了向量加法的三角形法则和平行四边形法则．
2．学习了相反向量的概念，知道向量的减法是向量加法的逆运算．
3．学习了向量减法运算并且掌握了它的几何意义．
4．掌握了利用向量的加、减法进行化简、作图、表示其他向量，体会了数形结合的应用．
1．正方形ABCD的边长为1，则|＋|为( )
A．1 B.
C．3 D．2
【解析】 ∵＋＝，∴|＋|＝||＝，故选B.
【答案】 B
2．下列说法正确的是( )
A．0＋0＝0
B．对任意向量a，b，都有a＋b＝b＋a
C．对任意向量a，b，有|a＋b|>0
D．等式|a＋b|＝|a|＋|b|不可能成立
【解析】 ∵0＋0＝0，∴A不正确；|a＋b|≥0，∴C不正确；当a，b同向共线时，|a＋b|＝|a|＋|b|成立，
∴D不正确；B正确，故选B.
【答案】 B
3．化简－－＝________.
【解析】 原式＝－(＋)
＝－＝.
【答案】
图2－2－5
4．如图2－2－5，已知一点O到平行四边形ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，试用a，b，c表示向量.
【解】 ＝＋
＝＋
＝＋－
＝a＋c－b.
一、选择题
图2－2－6
1．如图2－2－6在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( )
A.＝
B.＋＝
C.－＝
D.＋＝0
【解析】 结合图形，可知A、B、D均正确，C错误，故选C.
【答案】 C
2．(2013·张家口高一检测)若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A.＝＋ B.＝－
C.＝－＋ D.＝－－
【解析】 ∵O、E、F是不共线的任意三点，∴＋＝，由此可以推出＝－.故选B.
【答案】 B
3．下列说法：
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a、b之一的方向相同；
②在△ABC中，必有＋＋＝0；
③在＋＋＝0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点；
④若a、b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．
其中正确的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】 ①中若a＋b＝0，则a＋b与a，b方向不相同．③中，A、B、C三点可能在一条直线上，④中当a，b方向相反时，|a＋b|≠|a|＋|b|.
【答案】 B
4．已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3则|＋＋|等于( )
A．0 B．5
C. D．2
【解析】 |＋＋|＝|＋|＝2||＝2＝2＝2.
【答案】 D
5．下列式子不能化简为A的是( )
A．(＋)＋
B．(＋)＋(＋)
C.－＋
D.＋－
【解析】 对于A有＋＋＝；对于B有＋(＋)＋＝＋(＋)＝；对于C有(－)＋＝＋＝，只有D无法化简为.
【答案】 D
二、填空题
图2－2－7
6．(2013·西安高一检测)如图，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|＝________.
【解析】 ∵＋＋＝＋＋＝，
∴|＋＋|＝||＝2.
【答案】 2
7．已知|a|＝|b|＝1，|a－b|＝，则|a＋b|＝________.
【解析】 利用a±b的几何意义，平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和，可得
|a－b|2＋|a＋b|2＝2|a|2＋2|b|2＝4，
∴|a＋b|＝1.
【答案】 1
图2－2－8
8．如图2－2－8，D、E、F分别是BC，CA，AB的中点，则－＋＝________.(用图中标注的向量表示)
【解析】 －＋＝＋＝＋＝.
【答案】
三、解答题
9．一架测绘飞机从观测点O向东飞行30 km，然后沿西北方向飞行20 km，接着向西飞行10 km到观测点P.
(1)求飞机的位移；
(2)求飞机的路程．
【解】 (1)以O为原点，OA所在直线为x轴，
建立平面直角坐标系，如图．
作BH⊥OA，垂足为H，
则OA＝30，AB＝20，BP＝10，
依题意，得∠OAB＝45°，∠AHB＝90°.
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴AH＝BH＝20，OH＝BP＝10，
∴OP＝BH＝20.
所以飞机的位移为＋＋＝，
即飞机的位移在观测点O正北方向20 km.
(2)飞机的路程为
S＝||＋||＋||
＝30＋20＋10＝40＋20(km)．
10．已知点B是?ACDE内一点，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及.
【解】 ∵四边形ACDE为平行四边形，
∴＝＝c，
＝－＝b－a，
＝－＝c－a，
＝－＝c－b，
＝＋＝b－a＋c.
11．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？
【解】 由向量加法的平行四边形法则，得＝a＋b，＝－＝a－b.
则有：当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线相等，四边形ABCD为矩形；
当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形；
当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形．
(教师用书独具)
已知两个向量a，b，求证：若|a＋b|＝|a－b|，则a的方向与b的方向垂直，反之也成立．
【证明】 如图所示，①若a与b垂直，设＝a，＝b，因为a与b的方向垂直，所以⊥，以OA、OB为邻边作矩形OACB，则|a＋b|＝||，|a－b|＝||.
又∵OACB为矩形，
∴||＝||.
∴|a＋b|＝|a－b|，
②若|a＋b|＝|a－b|，设OA＝a，＝b，
以OA、OB为邻边作平行四边形，
则|a＋b|＝||，|a－b|＝||，
又∵|a＋b|＝|a－b|，
∴||＝||，
即平行四边形OACB的对角线相等，
∴平行四边形OACB是矩形，
∴a的方向与b的方向垂直．
已知A，B，C是不共线的三点，O是△ABC内一点，若＋＋＝0，求证：O是△ABC的重心．
【证明】 ∵＋＋＝0，
∴＝－(＋)，即＋是与方向相反且长度相等的向量．
如图所示，以OB，OC为相邻的两边作平行四边形，则＝＋，所以＝－，所以A、O、D三点共线．
在平行四边形OBDC中，设OD与BC交于E，则＝，＝，
所以AE是△ABC的边BC上的中线，且||＝2||，所以点O是△ABC的重心．
§3从速度的倍数到数乘向量
3．1 数乘向量
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)理解并掌握实数与向量的积的意义．
(2)会利用实数与向量的积的运算律进行有关计算．
2．过程与方法
由概念的形成过程体验分类讨论的数学思想的指导作用．
3．情感、态度与价值观
(1)通过对实数与向量的乘积一节的学习，培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力．
(2)实数与向量的积还是一个向量，它的长度和方向的变化由实数λ决定，给学生揭示事物是在不断地运动变化着．
(3)通过本节内容的学习，使学生掌握实数与向量的积．从形上看，就是图形的放大或缩小，从而揭示事物在不断地运动变化过程中，“万变不改其性”的哲理．
●重点难点
重点：向量的数乘运算及其几何意义，向量共线定理．
难点：向量共线定理的应用．
(教师用书独具)
●教学建议
教科书用具体的实例分析，帮助学生理解数乘向量．类比数的乘法的定义方法，从三个相同向量相加入手，引出数乘向量，由特殊到一般给出了数乘向量的一般定义．教学中要强调：(1)λa是一个向量；(2)λa有长度和方向，其长度为|λa|＝|λ|·|a|，其方向与λ的符号有关，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0或a＝0时，λa＝0；(3)数乘向量的几何意义是把向量a沿着a的方向或a的反方向延长或缩短．
●教学流程
创设问题情境：类比a＋a＋a＝3a，a＋a＋a等于3a吗？?引导学生结合已学过的向量加法运算，观察比较分析，采取合情推理的方法探索出数乘运算定义及几何意义．?引导学生回答所提问题，使学生理解并掌握数乘向量的模、方向及其运算律等相关性质．?通过例1及变式训练，使学生熟练掌握向量的线性运算．?通过例2及变式训练，使学生掌握共线向量的应用．?通过例3及变式训练，使学生掌握线性运算的综合应用．?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.
课标解读
1.掌握数乘向量的运算及几何意义．(重点)
2．理解两个向量共线的含义，掌握向量共线的判定定理和性质定理．(难点)
3．了解向量线性运算的性质及其几何意义.
数乘向量及其运算律
【问题导思】
类比实数的运算“a＋a＋a＝3a”，你能猜想向量“a＋a＋a”等于什么吗？
【提示】 a＋a＋a相加为向量，其结果为3a.
1．数乘向量
(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa.
(2)长度：|λa|＝|λ||a|.
(3)方向：λa的方向
(4)几何意义：将表示向量a的有向线段伸长或压缩．当|λ|＞1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的|λ|倍；当|λ|＜1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩短为原来的|λ|倍．
2．运算律
向量的数乘运算满足下列运算律：
设λ，μ为实数，则
(1)(λ＋μ)a＝λ a＋μ a；
(2)λ(μa)＝λμ a；
(3)λ(a＋b)＝λ a＋λ b.
共线向量定理
【问题导思】
我们明确了λa(λ∈R)的运算及含义，那么若一个向量b＝λa(a≠0)，则向量a、b有什么关系呢？
【提示】 a与b是共线向量．
1．判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λ a，则向量b与非零向量a共线．
2．性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λ a.
向量的线性运算
计算：(1)3(6a＋b)－9(a＋b)；
(2)[(3a＋2b)－(a＋b)]－2(a＋b)；
(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
【思路探究】 准确应用向量的数乘，加法、减法的运算律化简．
【自主解答】 (1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
(2)原式＝(2a＋b)－a－b＝a＋b－a－b＝0.
(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
1．向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
2．对于线性运算，把握运算顺序为：运算律去括号→数乘向量→向量加减．
(1)化简[(4a－3b)＋b－(6a－7b)]；
(2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求(a－b)－(a－b)＋(2b－a)．
【解】 (1)原式＝[4a－3b＋b－a＋b]
＝[(4－)a＋(－3＋＋)b]
＝(a－b)
＝a－b.
(2)原式＝a－b－a＋b＋2b－a
＝(－1－1)a＋(－1＋＋2)b
＝－a＋b
＝－(3i＋2j)＋(2i－j)
＝(－5＋)i＋(－－)j
＝－i－5j.
共线向量定理及应用
已知两个非零向量a、b不共线，＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b.
(1)证明：A、B、C三点共线．
(2)试确定实数k，使ka＋b与a＋kb共线．
【思路探究】 (1)＝－→＝－→找出与的等量关系
(2)令ka＋b＝λ(a＋kb)→利用a与b不共线，求λ、k
【自主解答】 (1)证明 由于＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b，
则＝－＝a＋2b－a－b＝b，
而＝－＝a＋3b－a－b＝2b，
于是＝2，即与共线，
又∵与有公共点A，
∴A、B、C三点共线．
(2)解 由于a、b为非零向量且不共线，
∴a＋kb≠0.
若ka＋b与a＋kb共线，
则必存在唯一实数λ使ka＋b＝λ(a＋kb)，
整理得：(k－λ)a＝(λk－1)b，
因为非零向量a、b不共线，
因此，∴，或，
即存在实数λ＝1，使ka＋b与a＋kb共线，
此时k＝1.或存在实数λ＝－1，使ka＋b与a＋kb共线，
此时k＝－1，因此，k＝±1都满足题意．
1．本题中证明点共线的关键是由点构成的向量要有公共点，并且共线．
2．证明两个向量a与b共线时，只需证明a＝λb(b≠0)．若已知a与b(b≠0)共线，则可利用两向量共线的性质，得到λ1a＝λ2b.
利用向量共线定理可以解决点共线、线共点及两直线平行等问题，如要证A，B，C三点共线，只需证＝λ或＝k(λ，k∈R)等；要证AB∥CD，只需证＝λ(λ∈R)．也可解决相关求参问题．
已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1.若a与b共线，则( )
A．λ＝0 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．λ＝0或e1∥e2
【解析】 e1∥e2时，显然a与b共线；若e1，e2不共线，设a＝kb，则有(1－2k)e1＋λe2＝0，于是，即
【答案】 D
向量线性运算的综合应用
图2－3－1
如图所示，已知?ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，.
【思路探究】 解答本题可先将，视为未知量，再利用已知条件找等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)求出，.
【自主解答】 法一 设＝x，则＝x，
＝e1－x，＝e1－x，
又＝x，由＋＝得
x＋e1－x＝e2，解方程得x＝e2－e1，
即＝e2－e1，
由＝－，＝e1－x，得＝－e1＋e2.
法二 设＝x，＝y，则＝x，＝－y.
由＋＝，＋＝得
用2乘以②与①相减得x－2x＝e1－2e2，解得
x＝(2e2－e1)，即＝(2e2－e1)，
同理得y＝(－2e1＋e2)，即＝－e1＋e2.
1．由已知向量表示未知向量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律，还应重视平面几何定理的应用．
2．当用已知向量表示未知向量比较困难时，应考虑方程思想，利用方程的观点进行求解．
图2－3－2
(2013·大连高一检测)如图所示，D，E分别是△ABC中边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知＝a，＝b，试用a、b分别表示、、.
【解】 由三角形中位线定理，知DE綊BC，故＝，即＝a.
＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b.
＝＋＋＝＋＋＝－a－b＋a＝a－b.
数形结合思想在向量线性运算中的应用
(12分)如图所示，在△ABC中，＝，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N，设＝a，＝b，用a，b表示向量，，，，，.
图2－3－3
【思路点拨】 利用DE∥BC等条件进行转化．
【规范解答】 ∵DE∥BC，＝， 1分
∴＝＝b，＝－＝b－a. 4分
由△ADE∽△ABC，得＝＝(b－a). 6分
又∵AM是△ABC底边BC的中线，DE∥BC，
∴＝＝(b－a). 8分
＝＋＝a＋＝a＋(b－a)＝(a＋b). 10分
∵△ADN∽△ABM，＝，
∴＝＝(a＋b). 12分
建立已知向量与未知向量之间的关系时，应注意结合几何图形，利用平面几何中的一些结论，转化为相等向量、相反向量、共线向量及比例关系．
1．学习了数乘向量的概念以及数乘的运算律，明确了λa的大小、方向以及几何意义．
2．学习了向量共线的判定定理和性质定理．
3．掌握了向量加、减、数乘的线性运算，从而进行化简求值．
4．能够应用向量共线的判定定理证明三点共线或两直线平行．
1．设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有( )
(1)a与－λa的方向相反；
(2)|－λa|≥|a|；
(3)a与λ2a方向相同；
(4)|－2λa|＝2|λ|·|a|.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】 由向量数乘的几何意义知(3)(4)正确．
【答案】 B
2．下列各式计算正确的是( )
A．a＋b－(a＋b)＝2a
B．2(a＋b)＋c＝2a＋b＋c
C．3(a－b)＋3(a＋b)＝0
D．a＋b－(b－3c)＝a＋3c
【解析】 A，不正确，结果应为0；B不正确，C不正确；D正确，故选D.
【答案】 D
3．(2013·郑州高一检测)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
【解析】 如图所示：作 OG∥EF交DC于G，由于DE＝EO，得DF＝FG.
又由AO＝OC得FG＝GC，
于是＝＝(－b＋a)，
那么＝＋＝(a＋b)＋(－b＋a)＝a＋b.
【答案】 B
4．如果向量＝i－2j，＝i＋mj，其中向量i、j不共线，试确定实数m的值，使A、B、C三点共线．
【解】 ∵A、B、C三点共线，即、共线，
∴存在实数λ使得＝λ，
即i－2j＝λ(i＋mj)．∴i－2j＝λi＋λmj.
于是解得m＝－2，
即m＝－2时，A、B、C三点共线.
一、选择题
1．已知|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，若a＝λb，则λ的值为( )
A. B．－
C. D．－
【解析】 由于＝，且a，b反向，所以a＝－b，故选B.
【答案】 B
图2－3－4
2．如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若＝a，＝b，则等于( )
A.(a－b)
B．－(a－b)
C.(a＋b)
D．－(a＋b)
【解析】 ∵M是BC的中点，∴＝(a＋b)．
【答案】 C
3．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，且a、b不共线，则四边形ABCD的形状是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
【解析】 ∵＝＋＋＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，∴∥，
又∵与不平行，所以四边形ABCD为梯形，故选A.
【答案】 A
4．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A、B、D B．A、B、C
C．B、C、D D．A、C、D
【解析】 ＝＋＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2，
∴与共线，∴A、B、D三点共线．
【答案】 A
5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于( )
A. B.
C．－ D．－
【解析】 如图所示：
＝＋
＝＋
＝＋(－)
＝＋.
所以λ＝.
【答案】 A
二、填空题
6．设a、b是两个非零向量，若8a－kb与－ka＋b共线，则实数k＝________.
【解析】 由题意知8a－kb＝λ(－ka＋b)，
即
∴k＝±2.
【答案】 ±2
7．在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________.(用a、b表示)
【解析】 由＝3，得4＝3＝3(a＋b)．
又∵＝a＋b，
所以＝－
＝(a＋b)－(a＋b)＝－a＋b.
【答案】 －a＋b
图2－3－5
8．如图，△ABC中，＝＝，若＝a，＝b，＝λa＋μb，则λ＋μ________.
【解析】 ∵＝－＝－＝(＋)＋
＝－b－a＋b＝b－a.
∴λ＋μ＝－＋＝0.
【答案】 0
三、解答题
图2－3－6
9．如图所示，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，点N在对角线BD上，且BN＝BD.
求证：M、N、C三点共线．
【证明】 设＝a，＝b，则
＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋＝a＋b＝(a＋b)．
＝＋＝＋＝a＋b.
∴＝，∴向量与共线．
又由于与有公共点M，故M、N、C三点共线．
10．设e1，e2是不共线的向量，已知向量＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A、B、D三点共线，求k的值．
【解】 证明存在实数λ，使得＝λ.
又＝－＝e1－4e2，
所以要使＝λ，则2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，
所以所以k＝－8.
11．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，若＝t，则t等于多少？
【解】 ∵A、M、Q三点共线，∴＝α＋β(α＋β＝1)，
∴＝＝＋＝＋，
又∵＝＋，∴α＝，β＝，
所以α＋β＝＋＝1，∴t＝.
(教师用书独具)
在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，求λ＋μ的值．
【解】 设＝a，＝b，则＝a＋b，
＝b＋a，＝a＋b，
＝λ＋μ＝λ(b＋a)＋μ(b＋a)
＝(λ＋μ)b＋(λ＋μ)a＝a＋b.
又∵a、b不共线，
所以，解得λ＝μ＝，∴μ＋λ＝.
证明向量、、的终点A、B、C共线，则存在实数λ，μ且λ＋μ＝1，使得＝λ＋μ.
【证明】 若向量、、的终点A、B、C共线，则有：＝t， ①
在△AOB、△AOC中分别利用向量的三角形法则，有：
＝－，＝－，代入①
得：－＝t(－)，
即：(1－t)＋t＝，
不妨令λ＝1－t，μ＝t，则有：
λ＋μ＝且λ＋μ＝1.
3．2 平面向量基本定理
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)了解平面向量基本定理及其意义，会利用向量基本定理解决简单问题；
(2)掌握线段中点的向量表达式．
2．过程与方法
(1)通过平面向量基本定理的得出过程，体会由特殊到一般的思维方法；
(2)通过本节学习，体验用基底表示平面内任一向量的方法．
3．情感、态度与价值观
通过实例，体会向量语言或运算在解决数学问题和实际问题中的工具作用．
●重点难点
重点：平面向量基本定理及其应用．
难点：平面向量基底的理解和定理的应用．
(教师用书独具)
●教学建议
教科书用具体例子引出了定理，意在培养学生的观察、抽象、概括能力．在平面上任一向量都可唯一地表示为两个不共线向量的线性组合．对于平面上的向量，任意一组不共线向量都可作为基底．平面向量基本定理是平面向量坐标表示的依据．对于定理的证明教科书作为选学内容出现，意在降低要求．但证明存在性、唯一性的方法，既要证明存在性，又要证明唯一性，可以介绍给学生．
●教学流程
创设问题情境，引出问题：给定平面内任意两个向量e1，e2，平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示呢？?引导学生结合已经学过的向量运算法则，作出向量3e1＋2e3，e1－2e2，观察比较分析，采取从特殊到一般，再到特殊以及合情推理的方法发现并验证平面向量基本定理．?通过引导学生回答所提问题，理解掌握平面向量基本定理的特征、成立条件、适用范围、作用以及相关概念等内容．?通过例1及变式训练，巩固学生对平面向量基本定理的理解?通过例2及互动探究，使学生掌握用基底表示向量的方法和步骤?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.
课标解读
1.了解平面向量基本定理及其意义．(重点)
2．能应用平面向量基本定理解决一些实际问题．(难点)
平面向量基本定理
如果e1和e2(如图2－3－7①)是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λe1＋λ2e2(如图2－3－7②)，其中不共线的向量e1和e2叫作表示这个平面内所有向量的一组基底．
图2－3－7
平面向量基本定理的理解
如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ、μ是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0；
(2)对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对；
(3)线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；
(4)当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量．
【思路探究】 根据平面向量基本定理和基底的概念加以判断．
【自主解答】 (1)正确．若λ≠0，则e1＝－e2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0.
(2)不正确．由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定．
(3)正确．平面α内的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立．
(4)不正确．结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe1和μe2确定后，其和向量λe1＋μe2便唯一确定．
1．对于平面内任何向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解为两个不共线的向量的和的形式．
2．向量的基底是指平面内不共线的向量，事实上若e1，e2是基底，则必有e1≠0，e2≠0，且e1与e2不共线，如0与e1、e1与2e1、e1＋e2与2(e1＋e2)等均不能构成基底．
设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的序号是________．(写出所有满足条件的序号)
【解析】 ①中，设e1＋e2＝λe1，则无解，
∴e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2可作为一组基底；
②中，设e1－2e2＝λ(e2－2e1)，
则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，则无解，
∴e1－2e2与e2－2e1不共线，即e1－2e2与e2－2e1可作为一组基底；
③中，∵e1－2e2＝－(4e2－2e1)，
∴e1－2e2与4e2－2e1共线，即e1－2e2与4e2－2e1不可作为一组基底；
④设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，∴无解．
∵e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2与e1－e2可作为一组基底．
【答案】 ③
用基底表示向量
在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，试用基底a，b表示，.
【思路探究】 可以利用向量加法的三角形法则将，用，表示即可；也可以用，表示，，建立方程组求解，.
【自主解答】 法一：如图，设AC，BD相交于点O，
则有＝＝a，＝＝b，∴＝＋＝－＝a－b，＝＋＝a＋b.
法二：设＝x，＝y，则有，即，解之可得x＝a－b，y＝a＋b，即＝a－b，＝a＋b.
1．若题目中已给出了基底，求解此类问题时，常利用向量加法的三角形法则或平行四边行法则，结合数乘运算找到所求向量与基底的关系．
2．若题目中没有给出基底，常结合已知条件先寻找一组从同一点出发的两不共线向量作为基底，而后用上述方法求解．
本例条件不变，设M为DC中点，则用a，b表示结果如何？
【解】 由本例解答可知，＝＝a＋b，＝a－b，
∴＝＋＝＋＝a＋b＋(a－b)
＝a＋b.
转化思想在平面向量中的应用
如图，在平行四边形ABCD中，F是CD的中点，AF与BD交于E，求证：E为线段BD的三等分点．
图2－3－8
【思路点拨】 要证E为线段BD的三等分点，只需证B＝B，可设B＝μB.选取A，A作为基底，通过A＋B＝A建立相应的方程组，并进行运算，求出μ＝即可．
【规范解答】 设A＝a，A＝b，则
B＝A－A＝b－a，
A＝A＋D＝A＋A＝b＋a. 3分
因为A、E、F与B、D、E分别共线，所以存在实数λ、μ∈R，使A＝λA，B＝μB.
于是A＝a＋λb，B＝μb－μa. 6分
由A＋B＝A得，(1－μ)a＋μb＝a＋λb.
因为a，b不共线，由平面向量基本定理，
∴1－μ＝且μ＝λ. 9分
解得λ＝μ＝.∴B＝B，
即E为线段BD(靠近D)的一个三等分点. 12分
用向量解决平面几何问题的一般步骤如下：
(1)选取不共线的两个平面向量作为基底；
(2)将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题；
(3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解；
(4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解．
1．学习了平面向量基本定理，明确了其含义及特征．
2．学习了基底的概念，明确了基底的两个特性：即不共线、不唯一．
3．初步掌握了平面向量基本定理的应用，并且待定系数法解题的方法得到巩固．
1．已知平行四边形ABCD，下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是( )
A.， B.，
C.， D.，
【解析】 结合图形及基底的概念知D正确，故选D.
【答案】 D
2．下列关于基底的说法正确的序号是( )
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；
②基底中的向量可以是零向量；
③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是惟一确定的．
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
【解析】 由基底的定义可知①③正确．
【答案】 B
3．(2013·四川高考)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.
【解析】 由向量加法的平行四边形法则，得＋＝.
又O是AC的中点，∴AC＝2AO，∴＝2，
∴＋＝2.
又＋＝λ，∴λ＝2.
【答案】 2
图2－3－9
4．如图所示，已知梯形ABCD中，AB∥DC，且AB＝2CD，E、F分别是DC、AB的中点，设＝a，＝b，试用a、b为基底表示、、.
【解】 连接FD，∵DC∥AB，AB＝2CD，E、F分别是DC、AB的中点，
∴DC綊FB.
∴四边形DCBF为平行四边形．
依题意，＝＝＝b，
＝＝－＝－＝a－b，
＝－＝－－＝－－
＝－(a－b)－×b＝b－a.
一、选择题
1．设点O是?ABCD两对角线的交点，下列向量组：
①与；②与；③与；④与.可作为该平面其他向量基底的是( )
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
【解析】 如图所示，与不共线，与不共线，所以它们可作为该平面其他向量的基底，故选B.
【答案】 B
2．如果e1、e2是平面内所有向量的一组基底，那么( )
A．若实数m、n使得me1＋ne2＝0，则m＝n＝0
B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1、λ2为实数
C．对于实数m、n，me1＋ne2不一定在此平面上
D．对于平面内的某一向量a，存在两对以上的实数，m、n，使a＝me1＋ne2
【解析】 只有A正确．
【答案】 A
3．设一直线上三点A，B，P满足＝m(m≠－1)，O是直线所在平面内一点，则用，表示为( )
A.＝＋m
B.＝m＋(1－m)
C.＝
D.＝＋
【解析】 由＝m得－＝m(－)，
∴＋m＝＋m，∴＝.
【答案】 C
图2－3－10
4．如图所示，在矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则＝( )
A.(5e1＋3e2)
B.(5e1－3e2)
C.(3e2－5e1)
D.(5e2－3e1)
【解析】 ＝(＋)＝(＋)＝·(5e1＋3e2)．
【答案】 A
5．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(＋)，
λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
【解析】 原式可化为－＝λ(e1＋e2)，其中e1，e2分别是，方向上的单位向量．∴＝λ(e1＋e2)，(λ≥0)，
因此，AP平分∠BAC，∴P必落在∠A的平分线上，
即P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．设G是△ABC的重心(即三条中线的交点)，＝a，＝b.试用a，b表示＝________.
【解析】 延长AG交BC于D，
∵＝＝(＋)
＝(＋)＝＋(－)＝＋
＝a＋b.
【答案】 a＋b
7．已知e1、e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a、b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为__________．
【解析】 若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb即得λ≠4.
【答案】 λ≠4
图2－3－11
8．如图2－3－11所示，在?ABCD中，＝a，＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．
【解析】 由于AN＝3NC，
∴CN＝CA，
∴＝＋＝－＝－(＋)＝－＝b－a.
【答案】 b－a
三、解答题
9．判断下列命题的正误，并说明理由：
(1)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a、b、c、d∈R)，则a＝c，b＝d；
(2)若e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e1＋e2、e1－e2表示出来．
【解】 (1)错，当e1与e2共线时，结论不一定成立．
(2)正确，假设e1＋e2与e1－e2共线，则存在实数λ，使e1＋e2＝λ(e1－e2)，即(1－λ)e1＝－(1＋λ)e2.
因为1－λ与1＋λ不同时为0，所以e1与e2共线，这与e1与e2不共线矛盾．
所以e1＋e2与e1－e2不共线，因而它们可以作为基底，该平面内的任一向量可以用e1＋e2、e1－e2表示出来．
10．已知＝λ(λ∈R)，O是平面内任意一点(O不在直线AB上)．
(1)试以，为基底表示；
(2)当λ＝时，试确定点P的位置．
【解】 (1)∵＝－，＝－.
由＝λ得(－)＝λ(－)，
∴＝λ＋(1－λ).
(2)当λ＝时，由(1)可知＝＋＝(＋)，结合向量加法的几何意义可知，此时点P为线段AB的中点．
图2－3－12
11．如图，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a、b表示.
【解】 ∵＝，＝，设＝λ，
则由平行四边形法则可得＝λ(＋)＝2λ＋2λ.
由E、G、F三点共线，
则 2λ＋2λ＝1，即λ＝.
从而＝，
所以＝＝(a＋b).
(教师用书独具)
如图所示，
平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且BM＝AB，点N在BC上，且BN＝BC.求证：M、N、D三点共线．
【证明】 设＝e1，＝e2，
则＝＝e2.
∵＝e2，＝＝e1.
∴＝－＝e2－e1.
又∵＝－＝e2－e1
＝3(e2－e1)＝3.
∴向量与共线，又∵M是公共点，故M、N、D三点共线．
设a，b是两个不共线的非零向量，记＝a，＝tb(t∈R)，＝(a＋b)，那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？
【解】 ∵＝a，＝tb，＝(a＋b)，
∴＝－＝tb－a，
＝－＝(a＋b)－a＝b－a，
∵A、B、C三点共线，∴存在实数λ，使＝λ，
即tb－a＝λ(b－a)．
由于a，b不共线，∴解得
故当t＝时，A、B、C三点共线．
§4平面向量的坐标
4．1 平面向量的坐标表示
4．2 平面向量线性运算的坐标表示
4．3 向量平行的坐标表示
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)掌握平面向量的坐标运算，能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的坐标运算法则，并能进行相关运算．
(2)掌握向量共线的坐标表示及应用．
2．过程与方法
通过向量的正交分解及坐标运算，进一步体会向量的工具作用．
3．情感、态度与价值观
(1)通过学习向量的坐标表示，实现几何与代数的完美结合，使学生明白知识与知识之间、事物之间的相互联系和相互转化．
(2)通过例题及练习，让学生了解向量的几何运算和代数运算，培养学生的辩证思维．
●重点难点
重点：向量坐标形式下的线性运算及共线的条件．
难点：共线条件坐标表示的应用．
(教师用书独具)
●教学建议
在直角坐标平面xOy内，给出了向量的坐标，定义了向量加法、减法和数乘向量的运算法则，从而将向量运算数量化、代数化．将数与形紧密地联系在一起，使一些几何问题的证明，转化为数量的运算，学生更容易掌握．
引入向量的直角坐标后，平行向量基本定理只要用向量的坐标表示即可．教学时，可在复习平面向量基本定理的基础上，引导学生自己探索用平面向量坐标表示向量共线的条件．教学时要注意零向量可与任一向量平行的规定．
●教学流程
创设问题情境，引出问题：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数表示，对直角坐标平面内的每一个向量如何表示呢？?引导学生结合平面向量基本定理和平面直角坐标系，观察、比较、分析、采取合情推理方法发现向量的坐标表示方法．?通过回答所提问题，理解向量的坐标表示，线性运算及向量共线的坐标表示．?通过例1及变式训练，使学生熟练掌握点与向量的坐标表示．?通过例2及变式训练，使学生熟练掌握向量坐标形式的线性运算．?通过例3及变式训练，使学生熟练掌握共线向量的坐标表示．?归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.
课标解读
1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．(重点)
2．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．(重点)
3．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(重点)
平面向量的坐标表示
【问题导思】
已知，是单位向量，且与互相垂直，如图所示．||＝4，∠AOC＝60°，你能利用，来表示吗？与有怎样的特点？
图2－4－1
【提示】 ＝2＋6；，是单位向量，且与垂直．
图2－4－2
在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，a为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O为起点作＝a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y使得＝xi＋yj，因此a＝xi＋yj，把实数对(x，y)叫作向量a的坐标，记作a＝(x，y)．
平面向量的坐标运算
【问题导思】
学习了向量的坐标表示后，你可以推导向量的加法、减法、数乘的坐标运算吗？
【提示】 可以．
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)．
(2)λa＝(λx1，λy1)．
(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．
向量平行的坐标表示
1.设a，b是非零向量，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，则存在实数λ，使a＝λb，用坐标表示为x1y2－x2y1＝0.
若y1≠0且y2≠0，则上式可变形为＝.
2．文字语言描述向量平行的坐标表示
定理1 若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例．
定理2 若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行.
平面向量的坐标表示
图2－4－3
在直角坐标系xOy中，向量a，b的方向如图2－4－3所示，且|a|＝2，|b|＝3，分别求出它们的坐标．
【思路探究】 由于向量a，b的起点在坐标原点，因此，只需求出终点A，B的坐标．
【自主解答】 设点A(x，y)，B(x0，y0)，
∵|a|＝2，且∠AOx＝45°.
∴x＝2cos 45°＝，且y＝2sin 45°＝.
又∵b＝3，∠xOB＝90°＋30°＝120.
∴x0＝3cos 120°＝－，y0＝3sin 120°＝.
故a＝＝(，)，b＝＝(－，)．
1．向量的正交分解是平面向量分解中常见的一种情形，即基底i，j垂直的情况．
2．要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点和终点的坐标却可以不同．
(1)意义不同，点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向．
(2)当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同．
已知点O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设＝a，＝b，＝c且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，求向量，.
【解】 如图所示，以点O为原点，所在直线为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，
∵||＝1，∠AOB＝150°，
∴B(－cos 30°，sin 30°)，
∴B(－，)．
∵||＝3，
∴C(－3sin 30°，－3cos 30°)，
即C(－，－)．
又∵A(2,0)，
∴＝(－，)－(2,0)＝(－－2，)，
＝(－，－)－(－，)＝(，－－)．
向量坐标形式的线性运算
已知点A、B、C的坐标分别为A(2，－4)、B(0,6)、C(－8，10)．求向量＋2－的坐标．
【思路探究】 由A、B、C三点的坐标，求出、、的坐标，再利用向量的加法，减法，数乘的坐标运算求解．
【自主解答】 由A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)得，
＝(－2,10)，＝(－8,4)，＝(－10,14)，
∴＋2－
＝(－2,10)＋2(－8,4)－(－10,14)
＝(－2,10)＋(－16,8)－(－5,7)
＝(－18,18)－(－5,7)＝(－13,11)．
1．已知向量起点和终点坐标，应先求出该向量的坐标，然后利用法则进行加、减、数乘运算．
2．若求某点的坐标，常用待定系数法先设出点的坐标，然后列方程组求解．
本例的条件不变，求使＝＋成立的D点坐标．
【解】 设D(x，y)，则＝(x－2，y＋4)，
又＋＝(－2,10)＋(－10,14)
＝(－12,24)，
若＝＋，则
(x－2，y＋4)＝(－12,24)，
∴∴
因此D点坐标为(－10,20)．
平行向量的坐标表示
已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，求实数x的值，并指明此时它们是同向还是反向？
【思路探究】
计算a＋b
及4b－2a→由共线求
x的值→写出a，b并
判断方向
【自主解答】 a＝(1,1)，b＝(2，x)，
∴a＋b＝(3，x＋1)，
4b－2a＝(6,4x－2)．
又a＋b与4b－2a平行，故6(x＋1)－3(4x－2)＝0.
解得x＝2.
此时a＋b＝(3,3)，4b－2a＝(6,6)＝2(a＋b)，
∴a＋b与4b－2a的方向相同．
解决向量共线问题时，常常根据向量平行的坐标表示，将向量间的平行关系转化为坐标间的数量关系来求解．
平面内三个给定向量a＝(1,3)，b＝(2，－1)，c＝(2,4)，
若(a－kc)∥(2b－a)，求实数k.
【解】 ∵a－kc＝(1－2k,3－4k)，
2b－a＝(3，－5)，
(a－kc)∥(2b－a)，
∴(－5)·(1－2k)－3(3－4k)＝0，
∴k＝.
对共线向量的定义理解不到位致误
若向量a＝(－1，x)与b＝(－x,2)共线，求x.
【错解】 ∵a，b共线，∴(－1)×2－x(－x)＝0，得x＝－(舍去)或x＝，故x＝为所求．
【错因分析】 舍去x＝－没有道理．
【防范措施】 共线的两个向量可以是同向共线，也可以是反向共线．解答这类试题时，要认真审题，对求得的参数需进行讨论，舍去不合题意的参数值．
【正解】 ∵a，b共线，∴(－1)×2－x(－x)＝0，得x＝±，
而x＝时，a＝(－1，)，b＝(－，2)＝(－1，)＝a，此时a，b同向共线；
x＝－时，b＝－a，此时a，b异向共线．
故x＝±为所求．
1．学习了向量的坐标表示以及向量线性运算的坐标表示．
2．学习了向量平行的坐标表示．
3．学会了利用向量共线的坐标表示，求点、向量的坐标以及处理三点共线问题．
1．已知点A(－1，－2)，B(4,3)，则A的坐标为( )
A．(3,1) B．(－5，－5)
C．(5,5) D．(－5,5)
【解析】 ＝(4,3)－(－1，－2)＝(5,5)，故选C.
【答案】 C
2．(2012·广东高考)若向量＝(2,3)，＝(4,7)，则＝
( )
A．(－2，－4) B．(2,4)
C．(6,10) D．(－6，－10)
【解析】 利用向量加法的坐标运算求解．
∵＝(4,7)，∴＝(－4，－7)．
∵＝＋，
∴＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．
【答案】 A
3．已知a＋b＝(1,3)，a－b＝(5,7)，则a＝________，b＝________.
【解析】 由a＋b＝(1,3)，a－b＝(5,7)，
∴2a＝(1,3)＋(5,7)＝(6,10)，∴a＝(3,5)．
2b＝(1,3)－(5,7)＝(－4，－4)，∴b＝(－2，－2)．
【答案】 (3,5) (－2，－2)
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，ν＝2a－b，且u∥ν，求x的值．
【解】 法一：据已知可得u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，ν＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．
由u∥ν知存在λ∈R，使u＝λν，
即(2x＋1,4)＝λ(2－x,3)＝((2－x)λ，3λ)．
∴解得x＝.
法二：由已知，得u＝(2x＋1,4)，
ν＝(2－x,3)，
∵u∥ν，∴(2x＋1)·3－4(2－x)＝0.
∴x＝.
一、选择题
1．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b等于( )
A．(7,3) B．(7,7)
C．(1,7) D．(1,3)
【解析】 a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)．
【答案】 A
2．(2013·海口高一检测)已知a＝(2,4)，b＝(x,1)，当a＋b与a－b共线时，x值为( )
A. B．1 C. D.
【解析】 a＋b＝(2＋x,5)，a－b＝(2－x,3)，
∵a＋b与a－b共线，
∴3(2＋x)－5(2－x)＝0，解得：x＝.
【答案】 C
3．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b( )
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线
【解析】 a＋b＝(x,1)＋(－x，x2)＝(0，x2＋1)，由于x2＋1≥1，∴点(0，x2＋1)在y轴正半轴上．
∴a＋b平行于y轴，故选C.
【答案】 C
4．已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与向量A同向的单位向量是( )
A．(，－) B．(－，)
C．(－，) D．(，－)
【解析】 ∵与A同向的单位向量为，
|A|＝＝5.
A＝(7，－3)－(4,1)＝(3，－4)，
∴＝(，－)．
【答案】 A
5．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝( )
A．(－2，－4) B．(－3，－6)
C．(－4，－8) D．(－5，－10)
【解析】 若a∥b，则m＋2×2＝0，∴m＝－4，∴b＝(－2，－4)．
因此2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．在?ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝________.
【解析】 ＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，
∴＝－＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)．
【答案】 (－3，－5)
7．已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝2，∠xOA＝150°，则向量的坐标为________．
【解析】 过A分别作AM、AN垂直于x轴、y轴，垂足为M、N.易知AM＝1，AN＝，
∴A(－，1)，∴＝(－，1)．
【答案】 (－，1)
图2－4－4
8．(2012·山东高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为________．
【解析】 设A(2,0)，B(2,1)，由题意知劣弧长为2，∠ABP＝＝2.
设P(x，y)，则x＝2－1×cos(2－)＝2－sin 2，y＝1＋1×sin(2－)＝1－cos 2，
∴的坐标为(2－sin 2,1－cos 2)．
【答案】 (2－sin 2,1－cos 2)
三、解答题
9．已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(－2,1)、(－1,3)、(3,4)，求顶点D的坐标．
【解】 设顶点D的坐标为(x，y)，
∵＝(－1,3)－(－2,1)＝(1,2)，
＝(3,4)－(x，y)＝(3－x,4－y)．
∴由＝，得(1,2)＝(3－x,4－y)
即，解得
∴平行四边形ABCD顶点D的坐标为(2,2)．
10．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．
设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
【解】 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴解得
(3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，
∴M(0,20)．
又∵＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2) ，
∴N(9,2)．∴＝(9，－18)．
11．已知A、B、C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且＝，＝，
(1)求E，F的坐标；
(2)判断与是否共线．
【解】 (1)设E(x1，y1)，F(x2，y2)，依题意得＝(2,2)，＝(－2,3)，
由＝，
可知(x1＋1，y1)＝(2,2)，
即，∴，
∴E(－，)．
由＝可知(x2－3，y2＋1)＝(－2,3)，
∴，∴.∴F(，0)．
∴E点坐标为(－，)，F点坐标为(，0)．
(2)由(1)知：
＝－＝(，0)－(－，)＝(，－)，
又∵＝(4，－1)，
∴＝(4，－1)＝，即与共线.
(教师用书独具)
已知向量u＝(x，y)与向量v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)表示．
(1)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)与f(b)的坐标；
(2)求使f(c)＝(p，q)(p，q为常数)的向量c的坐标；
(3)证明：对任意的向量a，b及常数m，n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立．
【思路探究】 解决本题的关键是找出函数v＝f(u)的对应关系式，此处的向量为向量的坐标，因此可通过坐标运算解决．
【自主解答】 (1)∵a＝(1,1)，
∴f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)．又∵b＝(1,0)，
∴f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．
(2)设c＝(x，y)，则f(c)＝(y,2y－x)＝(p，q)，
∴∴∴c＝(2p－q，p)．
(3)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)，
所以f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)．
因为mf(a)＝m(a2,2a2－a1)，nf(b)＝n(b2,2b2－b1)，
所以mf(a)＋nf(b)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，
所以f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立．
定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的是
( )
A．若a与b共线，则a⊙b＝0
B．a⊙b＝b⊙a
C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)
D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2
【解析】 A项，a与b共线，则?λ∈R使得a＝λb则有m＝λp，n＝λq，a⊙b＝λpq－λpq＝0；B项，b⊙a＝np－mq＝－(a⊙b)；C项，(λa)⊙b＝(λm，λn)⊙(p，q)＝λmq－λnp＝λ(mq－np)＝λ(a⊙b)；D项，(a⊙b)2＋(a·b)2＝(mq－np)2＋(mp＋nq)2＝m2q2＋n2p2＋m2p2＋n2q2＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2.故选B.
【答案】 B
§5从力做的功到向量的数量积
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)掌握平面向量的数量积及其几何意义和应用．
(2)会用两个向量的数量积解决向量的垂直问题．
(3)理解两个向量的数量积的运算律．
2．过程与方法
经历平面向量数量积的形成过程，体会用数量积及其运算处理简单的物理问题、代数问题、几何问题的数学思想．
3．情感、态度与价值观
通过本节的学习，培养学生观察事物的洞察能力和创新能力．
●重点难点
重点：平面向量数量积性质的应用．
难点：求两平面向量的夹角
(教师用书独具)
●教学建议
关于向量数量积的定义．两向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与数的乘法是有区别的．教学时，要注意：(1)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角决定；
(2)当a≠0时，由a·b＝0不能推出b一定是零向量，这是因为任一与a垂直的非零向量b，都有a·b＝0；
(3)一个向量与单位向量的数量积，其几何意义就是向量在单位向量上的正射影的数量．教科书给出了两个向量内积的五条性质，性质(2)给出了两个向量垂直的充要条件；性质(3)求向量的长度，在向量的内积运算中经常用到；性质(4)求两个向量夹角，体现了向量的内积与三角的联系．对于性质的证明教科书未作要求，教学时，不必补充证明方法．对性质的运用，可结合具体的例题去说明．
●教学流程
创设问题情境，引出问题：物理中的“功”的大小与哪些量有关？结合向量的学习你有什么想法？?引导学生从模的大小夹角以及运算结果等几个方面探究并定义数量积的概念．?引导学生回答提出的问题，从细节上进一步理解向量数量积的定义，类比已学过的运算律，探究并证明其运算律．?通过例1及其变式训练，使学生掌握进行向量数量积运算的基本方法和思路．?通过例2及互动探究，使学生掌握向量模的求法．?通过例3及变式训练，使学生掌握向量夹角的求法．?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.
课标解读
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．(重点)
2．体会平面向量的数量积与向量射影的关系．
3．能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题．(难点)
向量的夹角
【问题导思】
平面中的任意两个向量都可以平移至起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？
【提示】 存在夹角，不一样．
定义
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角
范围
0°≤θ≤180°
特例
θ＝0°
a与b同向
θ＝180°
a与b反向
θ＝90°
a与b垂直，记作a⊥b，规定0可与任一向量垂直
向量的数量积
【问题导思】
图2－5－1
一个物体在力F的作用下产生位移s，如图．
1．如何计算这个力所做的功？
【提示】 w＝|s||F|cos θ.
2．力F在位移方向上的分力是多少？
【提示】 |F|cos θ.
3．力做功的大小与哪些量有关？
【提示】 与力F的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．
1．射影：|b|cos θ叫作向量b在a方向上的射影(也叫投影)．
2．数量积：已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．
3．规定：零向量与任一向量的数量积为0.
4．几何意义：a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos θ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos θ的乘积．
数量积的性质
【问题导思】
根据a·b＝|a||b|cos θ，你能得出|a·b|与|a||b|的关系吗？
【提示】 能，|a·b|＝||a|·|b|cos θ|＝|a|·|b|·|cos θ|≤|a||b|.
(1)若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cos θ.
(2)若a⊥b，则a·b＝0；反之，若a·b＝0，则a⊥b，通常记作a⊥b?a·b＝0.
(3)|a|＝＝.
(4)cos θ＝(|a||b|≠0)．
(5)对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．
向量数量积的运算律
已知向量a，b，c与实数λ，则
(1)交换律：a·b＝b·a.
(2)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a(λb)．
(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
平面向量数量积的运算
已知|a|＝10，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°.
求：(1)a·b；
(2)a在b方向上的射影；
(3)(a－2b)·(a＋b)；
(4)(a－b)2.
【思路探究】 利用向量数量积的定义、几何意义并结合数量积的运算律求解．
【自主解答】 (1)a·b＝|a||b|cos 120°＝10×4×(－)＝－20.
(2)a在b方向上的射影为|a|cos 120°＝10×(－)＝－5.
(3)(a－2b)·(a＋b)＝a2＋a·b－2a·b－2b2
＝a2－a·b－2b2＝|a|2－|a||b|cos 120°－2|b|2
＝100－10×4×(－)－2×42＝88.
(4)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|cos 120°＋|b|2
＝100－2×10×4×(－)＋42
＝100＋40＋16＝156.
1．求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求出|a|和|b|；③利用数量积的定义：a·b＝|a||b|cos θ求解．要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写．
2．若所求形式比较复杂，则应先运用数量积运算律展开、化简，再确定向量的模和夹角，最后根据定义求出数量积．
已知|a|＝5，|b|＝3，若(1)a∥b，(2)a⊥b，(3)a与b的夹角为45°.分别求出a·b.
【解】 (1)当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°，
∴a·b＝|a||b|cos 0°＝5×3×1＝15.
若a与b反向，则它们的夹角为180°，
∴a·b＝|a||b|cos 180°＝5×3×(－1)＝－15.
(2)当a⊥b时，它们的夹角为90°，
∴a·b＝|a||b|cos 90°＝0.
(3)当a与b夹角为45°时，
a·b＝|a||b|cos 45°＝5×3×＝.
求向量的模
已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为.求|a＋b|，|a－b|，|3a＋b|.
【思路探究】 利用向量模的性质a2＝|a|2，将结论转化为寻找与|a|，|b|，a·b之间的关系，再运用数量积定义计算．
【自主解答】 a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝.
|a＋b|＝＝
＝＝5.
∵|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝25，
∴|a－b|＝5，
|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋b2＋6a·b＝325.
则|3a＋b|＝5.
1．此类求解模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
2．数量积的性质a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
本例的已知条件若改为“|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5”，如何求|3a＋b|的值？
【解】 ∵|3a－2b|2＝9|a|2－12a·b＋4|b|2
＝9×25－12a·b＋4×25＝325－12a·b，
又∵|3a－2b|＝5，
∴325－12a·b＝25，则a·b＝25.
于是|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2
＝9×25＋6×25＋25＝400.
故|3a＋b|＝20.
求向量的夹角
已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
【思路探究】 由(a＋3b)·(7a－5b)＝0及(a－4b)·(7a－2b)＝0建立a·b与b2以及|a|与|b|的等量关系，求a与b的夹角．
【自主解答】 由已知得(a＋3b)·(7a－5b)＝0，
即7a2＋16a·b－15b2＝0 ①
(a－4b)·(7a－2b)＝0，
即7a2－30a·b＋8b2＝0 ②
①、②两式相减得2a·b＝b2，∴a·b＝b2，
代入①、②中任一式得a2＝b2，设a、b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
1．由于|a|，|b|及a·b都是实数，因此在涉及有关|a|，|b|及a·b的相应等式中，可用方程的思想求解(或表示)未知量．如本例中“a·b＝b2”、“代入方程得到的等式a2＝b2”都是方程中加减消元的思想．
2．求向量a，b夹角的流程图
设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．
【解】 ∵m和n是两个单位向量，其夹角是60°，
∴m·n＝|m|×|n|×cos 60°＝，
设a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角为α，
∴cos α＝＝，
＝＝－，
∵0°≤α≤180°，
∴a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角为120°.
忽视夹角范围致误
设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
【错解】 由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，得
cos θ＝<0，∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，
化简得2t2＋15t＋7<0.解得－7【错因分析】 当(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0已包括了向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π即共线且方向相反的情况，故应排除这种情况．
【防范措施】 由公式cos θ＝可知若θ为钝角，则cos θ<0，即a·b<0，同时也应注意向量a，b共线且反向这一情况．要排除掉．
【正解】 当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，但此时夹角不是钝角．
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，则
∴
∴所求实数t的取值范围是(－7，－)∪(－，－)．
1．学习了向量的夹角，以及向量的数量积的概念与运算律．
2．明确了数量积的几何意义与物理意义．
3．掌握了数量积的性质以及特殊情况下的数量积．
4．会用数量积的性质求向量的模长、夹角等问题．
5．能够利用数量积解决垂直问题．
1．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中正确的是( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则a＝0或λ＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
【解析】 由向量数量积的运算性质知A、C、D错误．
【答案】 B
2．已知向量a，b，满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
【解析】 设a与b的夹角为θ，
∵a·b＝|a||b|cos θ＝2，
∴1×4cos θ＝2，∴cos θ＝，
又∵0≤θ≤π，∴θ＝，故选C.
【答案】 C
3．(2013·秦皇岛高一检测)△ABC中，·＜0，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
【解析】 ∵·＝||||cos A＜0，
∴cos A＜0.∴A是钝角．∴△ABC是钝角三角形．
【答案】 C
4．若向量a与向量b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72.求：
(1)|a|；(2)|a＋b|.
【解】 (1)∵(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－a·b－6|b|2＝－72.
∴|a|2－|a|×4cos 60°－6×16＝－72，
即|a|2－2|a|－24＝0，解得|a|＝6.
(2)|a＋b|＝＝
＝＝2 .
一、选择题
1．(2012·辽宁高考)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是( )
A．a∥b B．a⊥b
C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b
【解析】 因为|a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2，即a·b＝0，故a⊥b.
【答案】 B
2．|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且c⊥a，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
【解析】 c⊥a，设a与b的夹角为θ，则(a＋b)·a＝0，所以a2＋a·b＝0，所以a2＋|a||b|cos θ＝0，
则1＋2cos θ＝0，所以cos θ＝－，所以θ＝120°.故选C.
【答案】 C
3．|a|＝2，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的射影等于( )
A．2 B．120°
C．－1 D．由向量b的长度确定
【解析】 |a|cos 120°＝2×(－)＝－1.
【答案】 C
4．若A·B＋A2＝0，则△ABC为( )
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
【解析】 0＝A·B＋A2＝A·(B＋A)
＝A·A，∴A⊥A，∴∠BAC＝90°.
【答案】 A
5．(2012·浙江高考)设a，b是两个非零向量( )
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
【解析】 由|a＋b|＝|a|－|b|知(a＋b)2＝(|a|－|b|)2，即a2＋2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2，
∴a·b＝－|a||b|.
∵a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉＝－1，
∴〈a，b〉＝π，此时a与b反向共线，因此A错误．
当a⊥b时，a与b不反向也不共线，因此B错误．
若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ＝－1，使b＝－a，满足a与b反向共线，故C正确．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a＋λa|＝|1＋λ||a|，|a|－|b|＝|a|－|λa|＝(1－|λ|)|a|，只有当－1≤λ≤0时，|a＋b|＝|a|－|b|才能成立，否则不能成立，故D错误．
【答案】 C
二、填空题
6．(2013·天津高考)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．
【解析】 设AB的长为a(a>0)，因为＝＋，＝＋＝－，于是·＝(＋)·＝·－2＋2＝－a2＋a＋1，由已知可得－a2＋a＋1＝1.又a>0，
∴a＝，即AB的长为.
【答案】
7．已知|a|＝|b|＝|c|＝1，且满足3a＋mb＋7c＝0，其中?a，b?＝60°，则实数m＝________.
【解析】 ∵3a＋mb＋7c＝0，
∴3a＋mb＝－7c，
∴(3a＋mb)2＝(－7c)2，
化简得9＋m2＋6ma·b＝49.
又∵a·b＝|a||b|cos 60°＝，
∴m2＋3m－40＝0，
解得m＝5或m＝－8.
【答案】 5或－8
8．(2012·课标全国卷)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
【解析】 ∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，
∴a·b＝|a|·|b|cos 45°＝|b|，
|2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10，
∴|b|＝3.
【答案】 3
三、解答题
9．已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|.
【解】 (1)∵(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝，
又∵|a|＝1，∴|b|2＝1－＝，即|b|＝，
∴cos θ＝＝＝.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
(2)|a＋b|＝＝
＝＝.
10．已知向量a与b的夹角为120°，若向量c＝a＋b，且c⊥a，则的值为多少？
【解】 由c⊥a可得c·a＝0，则c＝a＋b两边同时与a求数量积可得a2＋a·b＝0，所以|a|2＋|a||b|cos 120°＝0，所以＝.
11．已知a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，若有两个不?
一、选择题
1．如图2－1－5，在正方形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是( )
图2－1－5
A.与
B.与
C.与
D.与
【解析】 ∵＝，∴与可用同一条有向线段表示．
【答案】 B
图2－1－6
2．如图2－1－6所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是( )
A.＝
B．||＝||
C.＞
D.＜
【解析】 ||与||表示等腰梯形两腰的长度，故相等．
【答案】 B
图2－1－7
3．如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点，则与的模相等的向量共有( )
A．6个 B．5个
C．4个 D．3个
【解析】 ∵E、F、D分别是边AC、AB和BC的中点，
∴EF＝BC，BD＝DC＝BC.
又∵AB，BC，AC均不相等，从而与的模相等的向量是：，，，，.
【答案】 B
图2－1－8
4．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中A，B，C，D，E，F，O中任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有( )
A．6个 B．7个
C．8个 D．9个
【解析】 由共线向量的定义及正六边形的性质，与向量共线的向量有，，，，，，，，，共有9个．故选D.
【答案】 D
5．下列说法中，不正确的是( )
A．0与任意一个向量都平行
B．任何一个非零向量都可以平行移动
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同
【解析】 易知A、B、C均正确，D不正确，它们的终点可能相同，故选D.
【答案】 D
二、填空题
6．已知边长为3的等边△ABC，则BC边上的中线向量的模等于________．
【解析】 由于AD＝AB＝.∴||＝.
【答案】
图2－1－9
7．如图，设O是正方形ABCD的中心，则：①＝；②∥；③与共线；④＝.其中，所有正确的序号为________．
【解析】 根据正方形的几何性质以及向量的相等和共线的条件知①②③正确，与的方向不相同，故④不正确．
【答案】 ①②③
图2－1－10
8．如图2－1－10所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，连接相应分点，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与平行且长度为2 的向量个数是________．
【解析】 图中共有4个边长为2的正方形，每个正方形中有符合条件的向量2个(它们分别是连接左下和右上顶点的向量，方向相反)，故满足条件的向量共有8个．
【答案】 8
三、解答题
9．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：
(1)与相等的向量；
(2)与长度相等的向量；
(3)与共线的向量．
【解】 如图可知，(1)易知BC＝AD，所以与相等的向量为.
(2)由O是正方形ABCD对角线的交点可知OB＝OD＝OA＝OC，所以与长度相等的向量有，，，，，，.
(3)与共线的向量有，，.
图2－1－11
10．如图2－1－11所示，四边形ABCD中＝，N、M分别是AD、BC上的点，且＝.
求证：＝.
【证明】 ∵＝，∴||＝||且AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴||＝||，且DA∥CB.
又∵与的方向相同，∴＝.
同理可证，四边形CNAM是平行四边形，∴＝.
∵||＝||，||＝||，∴||＝||，
又∵与的方向相同，∴＝.
图2－1－12
11．如图2－1－12，A、B、C三点的坐标依次是(－1,0)、(0,1)、(x，y)，其中x、y∈R.当x、y满足什么条件时，向量与共线(其中O为坐标原点)?
【解】 由已知，A、B的坐标是(－1,0)、(0,1)，所以∠BAO＝45°.
当点C(x，y)的坐标满足x＝y＝0时，＝0，
这时与共线(零向量与任意向量都共线)；
当xy≠0，且x＝y，
即点C在一、三象限角平分线上时，
有AB∥OC，这时与共线．
综上，当x＝y时，与共线．
一、选择题
图2－2－6
1．如图2－2－6在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( )
A.＝
B.＋＝
C.－＝
D.＋＝0
【解析】 结合图形，可知A、B、D均正确，C错误，故选C.
【答案】 C
2．(2013·张家口高一检测)若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A.＝＋ B.＝－
C.＝－＋ D.＝－－
【解析】 ∵O、E、F是不共线的任意三点，∴＋＝，由此可以推出＝－.故选B.
【答案】 B
3．下列说法：
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a、b之一的方向相同；
②在△ABC中，必有＋＋＝0；
③在＋＋＝0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点；
④若a、b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．
其中正确的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 ①中若a＋b＝0，则a＋b与a，b方向不相同．③中，A、B、C三点可能在一条直线上，④中当a，b方向相反时，|a＋b|≠|a|＋|b|.
【答案】 B
4．已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3则|＋＋|等于( )
A．0 B．5
C. D．2
【解析】 |＋＋|＝|＋|＝2||＝2＝2＝2.
【答案】 D
5．下列式子不能化简为A的是( )
A．(＋)＋
B．(＋)＋(＋)
C.－＋
D.＋－
【解析】 对于A有＋＋＝；对于B有＋(＋)＋＝＋(＋)＝；对于C有(－)＋＝＋＝，只有D无法化简为.
【答案】 D
二、填空题
图2－2－7
6．(2013·西安高一检测)如图，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|＝________.
【解析】 ∵＋＋＝＋＋＝，
∴|＋＋|＝||＝2.
【答案】 2
7．已知|a|＝|b|＝1，|a－b|＝，则|a＋b|＝________.
【解析】 利用a±b的几何意义，平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和，可得
|a－b|2＋|a＋b|2＝2|a|2＋2|b|2＝4，
∴|a＋b|＝1.
【答案】 1
图2－2－8
8．如图2－2－8，D、E、F分别是BC，CA，AB的中点，则－＋＝________.(用图中标注的向量表示)
【解析】 －＋＝＋＝＋＝.
【答案】
三、解答题
9．一架测绘飞机从观测点O向东飞行30 km，然后沿西北方向飞行20 km，接着向西飞行10 km到观测点P.
(1)求飞机的位移；
(2)求飞机的路程．
【解】 (1)以O为原点，OA所在直线为x轴，
建立平面直角坐标系，如图．
作BH⊥OA，垂足为H，
则OA＝30，AB＝20，BP＝10，
依题意，得∠OAB＝45°，∠AHB＝90°.
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴AH＝BH＝20，OH＝BP＝10，
∴OP＝BH＝20.
所以飞机的位移为＋＋＝，
即飞机的位移在观测点O正北方向20 km.
(2)飞机的路程为
S＝||＋||＋||
＝30＋20＋10＝40＋20(km)．
10．已知点B是?ACDE内一点，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及.
【解】 ∵四边形ACDE为平行四边形，
∴＝＝c，
＝－＝b－a，
＝－＝c－a，
＝－＝c－b，
＝＋＝b－a＋c.
11．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？
【解】 由向量加法的平行四边形法则，得＝a＋b，＝－＝a－b.
则有：当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线相等，四边形ABCD为矩形；
当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形；
当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形．
一、选择题
1．已知|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，若a＝λb，则λ的值为( )
A. B．－
C. D．－
【解析】 由于＝，且a，b反向，所以a＝－b，故选B.
【答案】 B
图2－3－4
2．如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若＝a，＝b，则等于( )
A.(a－b)
B．－(a－b)
C.(a＋b)
D．－(a＋b)
【解析】 ∵M是BC的中点，∴＝(a＋b)．
【答案】 C
3．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，且a、b不共线，则四边形ABCD的形状是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
【解析】 ∵＝＋＋＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，∴∥，
又∵与不平行，所以四边形ABCD为梯形，故选A.
【答案】 A
4．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A、B、D B．A、B、C
C．B、C、D D．A、C、D
【解析】 ＝＋＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2，
∴与共线，∴A、B、D三点共线．
【答案】 A
5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于( )
A. B.
C．－ D．－
【解析】 如图所示：
＝＋
＝＋
＝＋(－)
＝＋.
所以λ＝.
【答案】 A
二、填空题
6．设a、b是两个非零向量，若8a－kb与－ka＋b共线，则实数k＝________.
【解析】 由题意知8a－kb＝λ(－ka＋b)，
即
∴k＝±2.
【答案】 ±2
7．在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________.(用a、b表示)
【解析】 由＝3，得4＝3＝3(a＋b)．
又∵＝a＋b，
所以＝－
＝(a＋b)－(a＋b)＝－a＋b.
【答案】 －a＋b
图2－3－5
8．如图，△ABC中，＝＝，若＝a，＝b，＝λa＋μb，则λ＋μ________.
【解析】 ∵＝－＝－＝(＋)＋
＝－b－a＋b＝b－a.
∴λ＋μ＝－＋＝0.
【答案】 0
三、解答题
图2－3－6
9．如图所示，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，点N在对角线BD上，且BN＝BD.
求证：M、N、C三点共线．
【证明】 设＝a，＝b，则
＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋＝a＋b＝(a＋b)．
＝＋＝＋＝a＋b.
∴＝，∴向量与共线．
又由于与有公共点M，故M、N、C三点共线．
10．设e1，e2是不共线的向量，已知向量＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A、B、D三点共线，求k的值．
【解】 证明存在实数λ，使得＝λ.
又＝－＝e1－4e2，
所以要使＝λ，则2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，
所以所以k＝－8.
11．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，若＝t，则t等于多少？
【解】 ∵A、M、Q三点共线，∴＝α＋β(α＋β＝1)，
∴＝＝＋＝＋，
又∵＝＋，∴α＝，β＝，
所以α＋β＝＋＝1，∴t＝.
一、选择题
1．设点O是?ABCD两对角线的交点，下列向量组：
①与；②与；③与；④与.可作为该平面其他向量基底的是( )
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
【解析】 如图所示，与不共线，与不共线，所以它们可作为该平面其他向量的基底，故选B.
【答案】 B
2．如果e1、e2是平面内所有向量的一组基底，那么( )
A．若实数m、n使得me1＋ne2＝0，则m＝n＝0
B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1、λ2为实数
C．对于实数m、n，me1＋ne2不一定在此平面上
D．对于平面内的某一向量a，存在两对以上的实数，m、n，使a＝me1＋ne2
【解析】 只有A正确．
【答案】 A
3．设一直线上三点A，B，P满足＝m(m≠－1)，O是直线所在平面内一点，则用，表示为( )
A.＝＋m
B.＝m＋(1－m)
C.＝
D.＝＋
【解析】 由＝m得－＝m(－)，
∴＋m＝＋m，∴＝.
【答案】 C
图2－3－10
4．如图所示，在矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则＝( )
A.(5e1＋3e2)
B.(5e1－3e2)
C.(3e2－5e1)
D.(5e2－3e1)
【解析】 ＝(＋)＝(＋)＝·(5e1＋3e2)．
【答案】 A
5．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(＋)，
λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
【解析】 原式可化为－＝λ(e1＋e2)，其中e1，e2分别是，方向上的单位向量．∴＝λ(e1＋e2)，(λ≥0)，
因此，AP平分∠BAC，∴P必落在∠A的平分线上，
即P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．设G是△ABC的重心(即三条中线的交点)，＝a，＝b.试用a，b表示＝________.
【解析】 延长AG交BC于D，
∵＝＝(＋)
＝(＋)＝＋(－)＝＋
＝a＋b.
【答案】 a＋b
7．已知e1、e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a、b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为__________．
【解析】 若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb即得λ≠4.
【答案】 λ≠4
图2－3－11
8．如图2－3－11所示，在?ABCD中，＝a，＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．
【解析】 由于AN＝3NC，
∴CN＝CA，
∴＝＋＝－＝－(＋)＝－＝b－a.
【答案】 b－a
三、解答题
9．判断下列命题的正误，并说明理由：
(1)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a、b、c、d∈R)，则a＝c，b＝d；
(2)若e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e1＋e2、e1－e2表示出来．
【解】 (1)错，当e1与e2共线时，结论不一定成立．
(2)正确，假设e1＋e2与e1－e2共线，则存在实数λ，使e1＋e2＝λ(e1－e2)，即(1－λ)e1＝－(1＋λ)e2.
因为1－λ与1＋λ不同时为0，所以e1与e2共线，这与e1与e2不共线矛盾．
所以e1＋e2与e1－e2不共线，因而它们可以作为基底，该平面内的任一向量可以用e1＋e2、e1－e2表示出来．
10．已知＝λ(λ∈R)，O是平面内任意一点(O不在直线AB上)．
(1)试以，为基底表示；
(2)当λ＝时，试确定点P的位置．
【解】 (1)∵＝－，＝－.
由＝λ得(－)＝λ(－)，
∴＝λ＋(1－λ).
(2)当λ＝时，由(1)可知＝＋＝(＋)，结合向量加法的几何意义可知，此时点P为线段AB的中点．
图2－3－12
11．如图，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a、b表示.
【解】 ∵＝，＝，设＝λ，
则由平行四边形法则可得＝λ(＋)＝2λ＋2λ.
由E、G、F三点共线，
则 2λ＋2λ＝1，即λ＝.
从而＝，
所以＝＝(a＋b).
一、选择题
1．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b等于( )
A．(7,3) B．(7,7)
C．(1,7) D．(1,3)
【解析】 a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)．
【答案】 A
2．(2013·海口高一检测)已知a＝(2,4)，b＝(x,1)，当a＋b与a－b共线时，x值为( )
A. B．1
C. D.
【解析】 a＋b＝(2＋x,5)，a－b＝(2－x,3)，
∵a＋b与a－b共线，
∴3(2＋x)－5(2－x)＝0，解得：x＝.
【答案】 C
3．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b( )
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线
【解析】 a＋b＝(x,1)＋(－x，x2)＝(0，x2＋1)，由于x2＋1≥1，∴点(0，x2＋1)在y轴正半轴上．
∴a＋b平行于y轴，故选C.
【答案】 C
4．已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与向量同向的单位向量是( )
A．(，－) B．(－，)
C．(－，) D．(，－)
【解析】 ∵与同向的单位向量为，
| |＝＝5.
＝(7，－3)－(4,1)＝(3，－4)，
∴＝(，－)．
【答案】 A
5．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝( )
A．(－2，－4) B．(－3，－6)
C．(－4，－8) D．(－5，－10)
【解析】 若a∥b，则m＋2×2＝0，∴m＝－4，∴b＝(－2，－4)．
因此2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．在?ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝________.
【解析】 ＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，
∴＝－＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)．
【答案】 (－3，－5)
7．已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝2，∠xOA＝150°，则向量的坐标为________．
【解析】 过A分别作AM、AN垂直于x轴、y轴，垂足为M、N.易知AM＝1，AN＝，
∴A(－，1)，∴＝(－，1)．
【答案】 (－，1)
图2－4－4
8．(2012·山东高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为________．
【解析】 设A(2,0)，B(2,1)，由题意知劣弧长为2，∠ABP＝＝2.
设P(x，y)，则x＝2－1×cos(2－)＝2－sin 2，y＝1＋1×sin(2－)＝1－cos 2，
∴的坐标为(2－sin 2,1－cos 2)．
【答案】 (2－sin 2,1－cos 2)
三、解答题
9．已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(－2,1)、(－1,3)、(3,4)，求顶点D的坐标．
【解】 设顶点D的坐标为(x，y)，
∵＝(－1,3)－(－2,1)＝(1,2)，
＝(3,4)－(x，y)＝(3－x,4－y)．
∴由＝，得(1,2)＝(3－x,4－y)
即，解得
∴平行四边形ABCD顶点D的坐标为(2,2)．
10．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．
设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
【解】 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴解得
(3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，
∴M(0,20)．
又∵＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2) ，
∴N(9,2)．∴＝(9，－18)．
11．已知A、B、C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且＝，＝，
(1)求E，F的坐标；
(2)判断与是否共线．
【解】 (1)设E(x1，y1)，F(x2，y2)，依题意得＝(2,2)，＝(－2,3)，
由＝，
可知(x1＋1，y1)＝(2,2)，
即，∴，
∴E(－，)．
由＝可知(x2－3，y2＋1)＝(－2,3)，
∴，∴.∴F(，0)．
∴E点坐标为(－，)，F点坐标为(，0)．
(2)由(1)知：
＝－＝(，0)－(－，)＝(，－)，
又∵＝(4，－1)，
∴＝(4，－1)＝，即与共线.
一、选择题
1．(2012·辽宁高考)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是( )
A．a∥b B．a⊥b
C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b
【解析】 因为|a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2，即a·b＝0，故a⊥b.
【答案】 B
2．|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且c⊥a，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
【解析】 c⊥a，设a与b的夹角为θ，则(a＋b)·a＝0，所以a2＋a·b＝0，所以a2＋|a||b|cos θ＝0，
则1＋2cos θ＝0，所以cos θ＝－，所以θ＝120°.故选C.
【答案】 C
3．|a|＝2，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的射影等于( )
A．2 B．120°
C．－1 D．由向量b的长度确定
【解析】 |a|cos 120°＝2×(－)＝－1.
【答案】 C
4．若·＋2＝0，则△ABC为( )
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
【解析】 0＝·＋2＝·(＋)
＝·，∴⊥，∴∠BAC＝90°.
【答案】 A
5．(2012·浙江高考)设a，b是两个非零向量( )
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
【解析】 由|a＋b|＝|a|－|b|知(a＋b)2＝(|a|－|b|)2，即a2＋2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2，
∴a·b＝－|a||b|.
∵a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉＝－1，
∴〈a，b〉＝π，此时a与b反向共线，因此A错误．
当a⊥b时，a与b不反向也不共线，因此B错误．
若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ＝－1，使b＝－a，满足a与b反向共线，故C正确．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a＋λa|＝|1＋λ||a|，|a|－|b|＝|a|－|λa|＝(1－|λ|)|a|，只有当－1≤λ≤0时，|a＋b|＝|a|－|b|才能成立，否则不能成立，故D错误．
【答案】 C
二、填空题
6．(2013·天津高考)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．
【解析】 设AB的长为a(a>0)，因为＝＋，＝＋＝－，于是·＝(＋)·＝·－2＋2＝－a2＋a＋1，由已知可得－a2＋a＋1＝1.又a>0，
∴a＝，即AB的长为.
【答案】
7．已知|a|＝|b|＝|c|＝1，且满足3a＋mb＋7c＝0，其中?a，b?＝60°，则实数m＝________.
【解析】 ∵3a＋mb＋7c＝0，
∴3a＋mb＝－7c，
∴(3a＋mb)2＝(－7c)2，
化简得9＋m2＋6ma·b＝49.
又∵a·b＝|a||b|cos 60°＝，
∴m2＋3m－40＝0，
解得m＝5或m＝－8.
【答案】 5或－8
8．(2012·课标全国卷)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
【解析】 ∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，
∴a·b＝|a|·|b|cos 45°＝|b|，
|2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10，
∴|b|＝3.
【答案】 3
三、解答题
9．已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|.
【解】 (1)∵(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝，
又∵|a|＝1，∴|b|2＝1－＝，即|b|＝，
∴cos θ＝＝＝.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
(2)|a＋b|＝＝
＝＝.
10．已知向量a与b的夹角为120°，若向量c＝a＋b，且c⊥a，则的值为多少？
【解】 由c⊥a可得c·a＝0，则c＝a＋b两边同时与a求数量积可得a2＋a·b＝0，所以|a|2＋|a||b|cos 120°＝0，所以＝.
11．已知a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，若有两个不同时为零的实数k，t，使得a＋(t－3)b与－ka＋tb垂直，试求k的最小值．
【解】 ∵a⊥b，∴a·b＝0，
又由已知得[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0，
∴－ka2＋t(t－3)b2＝0.
∵|a|＝2，|b|＝1，
∴－4k＋t(t－3)＝0.
∴k＝(t2－3t)＝(t－)2－(t≠0)．
故当t＝时，k取最小值－.
一、选择题
1．设向量a＝(1,0)，b＝(，)，则下列结论中正确的是( )
A．|a|＝|b| B．a·b＝
C．a∥b D．a－b与b垂直
【解析】 ∵|a|＝1，|b|＝，∴|a|≠|b|；
又∵a·b＝1×＋0×＝≠；
易知a与b不共线，所以A，B，C均不正确．
∵a－b＝(，－)，
且(a－b)·b＝×＋×(－)＝0，
∴(a－b)⊥b，故选D.
【答案】 D
2．(2012·辽宁高考)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x＝( )
A．－1 B．－
C. D．1
【解析】 a·b＝(1，－1)·(2，x)＝2－x＝1?x＝1.
【答案】 D
3．已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
【解析】 ∵＝(1,1)，＝(－3,3)，
∴·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，∴∠BAC＝90°.
【答案】 A
4．已知＝(－2,1)， ＝(0,2)，且∥， ⊥，则点C的坐标是( )
A．(2,6) B．(－2，－6)
C．(2,6) D．(－2,6)
【解析】 设C(x，y)，则＝(x＋2，y－1)，
＝(x，y－2)，＝(2,1)．
由∥，⊥，得
解得
∴点C的坐标为(－2,6)．
【答案】 D
5．若a＝(2,1)，b＝(3,4)，则向量a在向量b方向上的射影为( )
A．2 B．2
C. D．10
【解析】 |a|cos θ＝|a|＝＝＝2.
【答案】 B
二、填空题
6．(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2,2)．若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．
【解析】 ∵∠ABO＝90°，∴⊥，∴·＝0.
又＝－＝(2,2)－(－1，t)＝(3,2－t)，
∴(2,2)·(3,2－t)＝6＋2(2－t)＝0.
∴t＝5.
【答案】 5
7．直线l1：x＋2y－3＝0和直线l2：x－3y＋1＝0的夹角θ＝________.
【解析】 任取l1和l2的方向向量m＝(1，－)和n＝(1，)，设m和n的夹角为α，
则cos α＝＝，
∴α＝45°.∴θ＝45°.
【答案】 45°
8．已知a＝(2,1)，b＝(λ，1)，λ∈R，a与b的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是________．
【解析】 cos θ＝＝，
∵θ为锐角，∴0＜cos θ＜1，即0＜＜1，
∴，解得，
故λ的取值范围是{λ|λ＞－且λ≠2}．
【答案】 {λ|λ＞－且λ≠2}
三、解答题
9．在平面直角坐标系内，已知三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，求：
(1)，的坐标；
(2)|－|的值；
(3)cos ∠BAC的值．
【解】 (1)＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
＝(2,5)－(1,0)＝(1,5)．
(2)因为－＝(－1,1)－(1,5)＝(－2，－4)，
所以|－|＝＝2.
(3)因为·＝(－1,1)·(1,5)＝4，||＝，||＝，
cos ∠BAC＝＝＝.
10．平面内三个点A、B、C在一条直线上，且＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)且⊥，求实数m、n的值．
【解】 ∵A、B、C三点在同一直线上，∴∥.
∵＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，
∴＝－＝(7，－1－m)，
＝－＝(n＋2,1－m)，
∴7(1－m)－(n＋2)·(－1－m)＝0，
即mn－5m＋n＋9＝0， ①
∵⊥，∴(－2)×n＋m×1＝0，
即m－2n＝0. ②
联立①、②解得或
11．已知点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两条对角线所成的锐角的余弦值．
【解】 (1)∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)．
由·＝1×(－3)＋1×3＝0得⊥，
∴AB⊥AD.
(2)∵AB⊥AD，四边形ABCD为矩形，∴＝.
设点C的坐标为(x，y)，
则＝(x＋1，y－4)．
又＝(1,1)，
∴，∴，∴C(0,5)，
从而＝(－2,4)，＝(－4,2)且||＝2，||＝2，·＝8＋8＝16.
故与的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝.
∴矩形两条对角线所成的锐角的余弦值为.
一、选择题
1．已知一物体在共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)(单位：N)的作用下产生位移s＝(2lg 5,1)(单位：m)，则共点力对物体做的功W为( )
A．lg 2 J B．lg 5 J
C．1 J D．2 J
【解析】 设F＝F1＋F2＝(lg 2＋lg 5，lg 2＋lg 2)
＝(1，lg 4)，∴W＝F·s＝1×2lg 5×lg 4＋1＝lg(25×4)＝2.
【答案】 D
2．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为( )
A．6 B．2
C．2 D．2
【解析】 由已知得F1＋F2＋F3＝0，
∴F3＝－(F1＋F2)．
∴F＝F＋F＋2F1·F2
＝F＋F＋2|F1||F2|cos 60°＝28.
∴|F3|＝2.
【答案】 D
3．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为( )
A．(－2,4) B．(－30,25)
C．(10，－5) D．(5，－10)
【解析】 令平移后点P′(x，y)，
有＝5v，∴(x，y)＝(－10,10)＋5×(4，－3)＝(10，－5)．
【答案】 C
4．(2013·福建高考)在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )
A. B．2
C．5 D．10
【解析】 ∵·＝(1,2)·(－4,2)＝－4＋4＝0，∴⊥，∴S四边形ABCD＝||·||＝××2＝5.
【答案】 C
5．已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，且·＝·＝·，则点O、N、P依次是△ABC的( )
A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心
C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心
(注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心)
【解析】 由||＝||＝||，知点O为△ABC的外心；由＋＋＝0，知点N为△ABC的重心；
∵·＝·，
∴(－)·＝0，
∴·＝0.∴⊥.
∴CA⊥PB.
同理，AP⊥BC，
∴点P为△ABC的垂心．故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．在△ABC中，若∠C＝90°，AC＝BC＝4，则·＝________.
【解析】 由∠C＝90°，AC＝BC＝4，知△ABC是等腰直角三角形．∴BA＝4，∠ABC＝45°，
∴·＝4×4×cos 45°＝16.
【答案】 16
7．若直线l过点A(2，－3)且它的一个法向量为n＝(3,2)，则直线l的方程为________．
【解析】 设P(x，y)是直线l上任意一点，则＝(x－2，y＋3)，
由于·n＝0，∴3(x－2)＋2(y＋3)＝0，即3x＋2y＝0.
【答案】 3x＋2y＝0
图2－7－3
8．用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图2－7－3所示，已知物体的重力大小为10 N，则每根绳子的拉力大小是________．
【解析】 因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10 N.
【答案】 10 N
三、解答题
9．如图所示，支座A受F1，F2两个力的作用，已知|F1|＝40 N，与水平线成θ角；|F2|＝70 N，沿水平方向；两个力的合力F＝100 N，求角θ的余弦值以及合力F与水平线的夹角β的余弦值．
图2－7－4
【解】 由F＝F1＋F2，得|F|2＝|F1＋F2|2＝|F1|2＋|F2|2＋2F1·F2，即1002＝402＋702＋2F1·F2，解得F1·F2＝1 750，
所以cos θ＝＝＝.
又因为＝－，
所以－F1＝F2－F，所以|F1|＝|F2－F|.
所以|F1|2＝|F2－F|2＝|F2|2＋|F|2－2F·F2，
即402＝702＋1002－2F·F2.
所以F·F2＝6 650.
所以cos β＝＝＝.
图2－7－5
10．如图所示，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
【解】 设＝a，＝b，
则＝a－b，＝a＋b.
而||＝|a－b|＝
＝
＝＝，
∴||2＝5－2a·b＝4，得2a·b＝1.
又∵||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝1＋4＋2a·b，
∴||2＝6，
∴||＝，即AC＝.
11．两个粒子a，b从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为Sa＝(4,3)，Sb＝(2,10)．求：
(1)写出此时粒子b相对于粒子a的位移S；
(2)计算S在Sa方向上的投影．
【解】 (1)S＝Sb－Sa＝(2,10)－(4,3)＝(－2,7)．
(2)S在Sa方向上的投影为|S|cos θ，θ为S与Sa的夹角．
∵S·Sa＝|S||Sa|cos θ，
∴|S|cos θ＝＝
＝＝.
