课件48张PPT。教师用书独具演示演示结束同角三角函数的基本关系 1 tan α 平方和 正切 1－cos2 α 1－sin2 α 1±2sin αcos α 已知一个角的三角函数值，求另外两个三角函数值 条件求值 三角函数式的化简与证明 课时作业（十九）课件49张PPT。教师用书独具演示演示结束两角差的余弦公式 cos αcos β＋sin αsin β 两角和的余弦公式 cos αcos β－sin αsin β 两角和与差的正弦公式 sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－ cos αsin β 给角求值 给值求值 给值求角 课时作业（二十）课件56张PPT。教师用书独具演示演示结束两角和与差的正切函数公式 给角求值 给值求值 给值求角 课时作业（二十一）课件57张PPT。教师用书独具演示演示结束倍角公式 2sin αcos α cos2α－sin2α 1－2sin2α 2cos2α－1 半角公式 利用二倍角公式化简或求值 利用半角公式化简或求值 综合应用 课时作业（二十二）第三章 三角恒等变形
§1同角三角函数的基本关系
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)掌握同角三角函数之间的三组常用关系，即平方关系、商数关系、倒数关系．
(2)会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值或化简三角函数式．
2．过程与方法
(1)牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题之中，提高学生分析、解决三角问题的思维能力．
(2)灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步掌握化归思想方法．
3．情感、态度与价值观
通过同角三角函数的基本关系学习，揭示事物之间的普遍联系规律，培养学生辩证唯物主义观点．
●重点难点
重点：理解同角三角函数的基本关系式．
难点：会利用同角三角函数的基本关系式求三角函数式的值，化简或证明三角关系式．
(教师用书独具)
●教学建议
讲同角三角函数的基本关系式时，应突出“同角”两字，同角三角函数的基本关系式将“同角”的三种重要的三角函数直接或间接地联系起来，在使用时，一要抓住本质，跟角的具体形式无关(如sin24α＋cos24α＝1)；二要注意这些关系式都是对于使它们有意义的那些角而言的(如tan α＝中，要求α≠kπ＋(k∈Z))．
另外，要提醒学生注意：sin2α是(sin α)2的简写，读做sin α的平方，不能将sin2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α的平方的正弦，两者迥然不同．21·cn·jy·com
●教学流程
创设问题情境，根据三角函数的定义，sin α，cos α，tan α之间有怎样的关系？?引导学生得出同角三角函数的基本关系式，并通过变形加强理解和记忆．?通过例1及变式训练，使学生熟练掌握已知一个角的三角函数值求另外两个函数值的方法．?通过例2及互动探究，使学生掌握条件求值问题的解法和思路．?通过例3及变式训练，使学生掌握三角函数式的化简或证明的思路方法．?归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.
课标解读
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.(重点)
2.会利用这两个公式求三角函数式的值，化简三角函数式或证明三角恒等式．(难点)
同角三角函数的基本关系
【问题导思】
(1)sin290°＋cos290°＝12＋02＝1；
(2)sin230°＋cos230°＝()2＋()2＝1；
(3)＝tan 60°＝；
(4)＝tan 150°＝－.
结合以上四例的结果，试猜想：sin2 α＋cos2 α＝？(α∈R)；＝？(α≠kπ＋，k∈Z)．你能用三角函数的定义验证吗？
【提示】 1；tan α；能．
1．关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2 α＝__1__；
(2)商数关系：＝tan__α.
2．文字叙述：同一个角 α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角 α的正切．
3．变形形式：
(1)1＝sin2 α＋cos2 α；
(2)sin2 α＝1－cos2_α；cos2 α＝1－sin2_α.
(3)sin α＝± ；cos α＝± .
(4)sin α＝cos αtan α.
(5)(sin α±cos α)2＝1±2sin_αcos__α.
已知一个角的三角函数值，求另外两个三角函数值
(1)若sin α＝－且α是第四象限角，求cos α，tan α；
(2)已知tan α＝－4且α是第二象限角，求sin α，cos α.
【思路探究】 (1)由sin2α＋cos2α＝1知cos2α＝1－sin2α由α的象限确定cos α值，从而利用＝tan α.
(2)由＝tan α得sin α与cos α关系式，再由sin2α＋cos2α＝1，求出sin α、cos α.
【自主解答】 (1)∵sin α＝－且α是第四象限角．
∴cos α＝＝ ＝，
tan α＝＝(－)×()＝－.
(2)∵tan α＝－4，∴＝－4，即＝16，
∴sin2α＝16cos2α.
又∵sin2α＋cos2α＝1，∴17cos2α＝1，cos2α＝.
∵α是第二象限角，∴cos α<0，∴cos α＝－.
sin α>0，sin α＝＝.
已知角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其他三角函数的值时，关键在于利用平方关系sin2α＋cos2α＝1，在开平方确定符号时，若角所在的象限只有一种可能，则所求结果只有一组，若角所在象限有两种可能，则一般所求结果有两组．
sin θ＝，tan θ>0求cos θ，tan θ的值．
【解】 ∵tan θ>0且sin θ＝>0知θ是第一象限角．
∴cos θ>0，∴cos θ＝＝＝，
tan θ＝＝×＝.
条件求值
已知tan θ＝2，求：
(1)；
(2)sin2 θ＋sin θcos θ－2cos2 θ的值．
【思路探究】 (1)中所求式中sin θ，cos θ都是一次式，且cos θ≠0，可分子、分母同除以cos θ，然后代入求值；
(2)所求式的分母1换为sin2 θ＋cos2 θ，然后分子、分母同除以cos2 θ，再代入求其值．
【自主解答】 (1)分子、分母同时除以cos θ(cos θ≠0)得，＝＝＝.
(2)sin2 θ＋sin θcos θ－2cos2 θ
＝
＝＝＝.
1．本例(2)中，把分母1换为sin2 θ＋cos2 θ，体现了三角函数式化简中的一种常用技巧．
2．已知tan α的值，求关于sin α，cos α的分式值的问题，有以下两种情况
(1)若分子、分母中sin α，cos α的次数相同(称为齐次式)，由cos α≠0，令分子、分母同除以cosn α(n∈N*)，将待求式化为关于tan α的表达式，再整体代入tan α的值求解．
(2)若待求式形如asin2 α＋bsin αcos α＋c，注意可将分母1化为sin2 α＋cos2 α，通过进一步转化，变为关于tan α的表达式，然后再求值．
3．若已知sin α与cos α的关系式，可以先求出tan α的值再求解，也可以直接代入求解．
条件不变，求的值．
【解】 ＝
＝＝＝.
三角函数式的化简与证明
(1)化简：·(1＋)·；
(2)求证：＝.
【思路探究】 (1)可以先把正切化为弦函数，再进行化简．
(2)解答时可以从左边转化到右边．
【自主解答】 (1)原式
＝··
＝··＝tan α.
(2)证明：左边＝
＝
＝
＝＝＝右边．
1．解答化简题(如(1))的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系．如本题中的“化切为弦”．
2．对于含有三角函数的二次根式化简问题，常把被开方数配成完全平方式，然后借助角的范围开方化简．若给出的范围不明确，对函数值产生影响时，应注意讨论．
3．证明三角恒等式要细心观察等式两边的差异，灵活运用学过的知识，使证明更加简便．
(1)化简：；(2)若tan α·sin α＜0，化简＋.
【解】 (1)＝＝|cos 400°|＝|cos(360°＋40°)|＝|cos 40°|＝cos 40°.
(2)由于tan α·sin α＜0，则tan α，sin α异号，
∴α在第二或第三象限，∴cos α＜0，
原式＝＋
＝＋
＝＋
＝＋＝＝－.
忽略讨论三角函数值的符号致误
若sin A＝，且A是三角形的一个内角，求的值．
【错解】 因为sin A＝，所以cos A＝＝，
所以＝＝6.
【错因分析】 由sin A＝说明A是锐角或钝角，那么cos A就有正、负之分，常见解法中忽视开方的符号而出现疏漏，上面解法就犯了此种错误．【出处：21教育名师】
【防范措施】 使用开方关系sin α＝± 和cos α＝±时，一定要注意正负号的选取，确定正负的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数值在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需按象限进行讨论．
【正解】 ∵ sin A＝＞0，∴A为锐角或钝角，
当A为锐角时，cos A＝＝，∴原式＝6.
当A为钝角时，cos A＝－＝－，
∴原式＝＝－.
1．本节课学习了三角函数的基本关系，即sin2α＋cos2α＝1，tan α＝.
2．学会了求解已知一个角的三角函数值，结合基本关系求另外两个三角函数值．
3．学会了关于sin α、cos α的齐次式的求值问题．
4．掌握了关于三角函数式的化简、证明的一般思路．
1．已知α＝，则sin2 α＋cos2 α等于( )
A. B．0
C．1 D．无法确定
【解析】 sin2 α＋cos2 α＝1恒成立，故选C.
【答案】 C
2．(2013·大纲全国卷)已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝( )
A．－ B．－
C. D.
【解析】 因为α为第二象限角，所以cos α＝－＝－.
【答案】 A
3．已知α∈(π，π)，tan α＝2，则cos α＝________.
【解析】 依题意，得由此解得cos2α＝.
又α∈(π，π)，因此cos α＝－.
【答案】 －
4．化简下列各式：
(1)cos4α＋sin2α(1＋cos2α)；
(2).
【解】 (1)原式＝cos4α＋(1－cos2α)(1＋cos2α)＝cos4α＋1－cos4α＝1.
(2)原式＝
＝
＝＝1.
一、选择题
1．下列等式中正确的是( )
A．sin2＋cos2＝
B．若α∈(0,2π)，则一定有tan α＝
C．sin ＝±
D．sin α＝tan α·cos α(α≠kπ＋，k∈Z)
【解析】 选项A中，sin2＋cos2＝1，所以A不正确；利用同角的三角函数基本关系时一定要注意其隐含条件，对于B中cos α≠0，也即α≠kπ＋(k∈Z)，因而B不正确；因为0<<，所以sin >0，所以C错．
【答案】 D
2．已知tan α＝－2，则sin2α＋cos2α的值是( )
A. B.
C. D.
【解析】 原式 ＝
＝＝，故选B.
【答案】 B
3．已知sin αcos α＝，且π<α<，则cos α－sin α的值为( )
A. B．－
C. D．－
【解析】 ∵(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，
又π<α<π，∴cos α
∴cos α－sin α＝－，故选B.
【答案】 B
4．若sin θ＋sin2θ＝1，则cos2θ＋cos4θ等于( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
【解析】 由sin θ＋sin2θ＝1，解sin θ＝1－sin2θ，即cos2θ＝sin θ，
所以cos2θ＋cos4θ＝sin θ＋sin2θ＝1.
【答案】 B
5．若sin θ＝，cos θ＝，则m的值为( )
A．0 B．8
C．0或8 D．3＜m＜9
【解析】 由平方关系得
()2＋()2＝1
∴m＝0或8，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．化简sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β的结果为________．
【解析】 原式＝sin2α＋sin2β(1－sin2α)＋cos2αcos2β
＝sin2α＋sin2βcos2α＋cos2αcos2β
＝sin2α＋cos2α(sin2β＋cos2β)＝1.
【答案】 1
7．(2013·大纲全国卷)已知α是第三象限角，sin α＝－，则cot α＝________.
【解析】 由且α是第三象限角，
可得cos α＝－，所以cot α＝＝2.
【答案】 2
8．在△ABC中，tan A＝，则sin A＝________.
【解析】 ∵tan A＝＝，且sin2A＋cos2A＝1，
∴sin A＝±.
又∵A为△ABC的内角，∴sin A＝.
【答案】
三、解答题
9．化简： ＋(0＜α＜)．
【解】 原式＝ ＋
＝|cos－sin|＋|cos＋sin|，
∵α∈(0，)，∴∈(0，)．
∴cos－sin＞0，sin＋cos＞0.
∴上式＝cos－sin＋cos＋sin＝2cos.
10．已知2cos2α＋3cos αsin α－3sin2α＝1，求：(1)tan α；(2).
【解】 (1)由原条件得＝1
?＝1
?4tan2α－3tan α－1＝0得tan α＝－或tan α＝1；
(2)原式＝
当tan α＝－时，原式＝；当tan α＝1时，原式＝.
11．已知θ∈(0,2π)，且sin θ，cos θ是方程x2－kx＋k＋1＝0的两个实根，求k和θ的值．
【解】 由题意知
由①得1＋2sin θcos θ＝k2，
把②代入①得k2－2k－3＝0，
解得k＝3或k＝－1，
当k＝3时，sin θ·cos θ＝4不合题意，舍去．
当k＝－1时，
∴或
又θ∈(0,2π)，∴θ＝π或.
综上知k＝－1，θ＝π或.
(教师用书独具)
已知<α<，cos(α＋)＝m(m≠0)，求tan(－α)的值．
【解】 由于(α＋)＋(－α)＝π，
于是cos(－α)＝－cos(α＋)＝－m.
由于<α<，所以0<－α<.
则sin(－α)＝.
所以tan(－α)＝－.
已知＝k(0＜α＜)．试用k表示sin α－cos α的值．
【解】 ＝
＝＝2sin αcos α＝k.
当0＜α＜时，sin α＜cos α，此时sin α－cos α＜0，
∴sin α－cos α＝－
＝－
＝－.
当≤α＜时，sin α≥cos α，
此时sin α－cos α≥0，
∴sin α－cos α＝＝＝.
§2两角和与差的三角函数
2．1 两角差的余弦函数
2．2 两角和与差的正弦、余弦函数
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)掌握C(α－β)公式的推导，并能用赋值法，求出C(α＋β)．
(2)应用C(α±β)求三角函数值．
(3)掌握S(α±β)的公式推导并会应用．
2．过程与方法
通过公式的推导过程，领会其中的数学基本思想，掌握研究数学的基本方法，从而提高数学素质．
3．情感、态度与价值观
通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识的发展过程，体会一般与特殊的关系与转化，培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力．
●重点难点
重点：两角和与差的正弦、余弦函数公式的推导过程及应用．
难点：公式的应用．
(教师用书独具)
●教学建议
两角和的余弦是推导出其他和(差)角三角函数公式的基础．本小节在推导两角和与差的余弦公式时，利用单位圆与平面向量的数量积，先证得两角差的余弦公式，而后用－β代替β推得了两角和的余弦公式．在推导该公式前，可通过一些特殊的角的三角函数值的关系，引导学生发现公式，然后再加以证明，这样做更符合学生的认知规律．
●教学流程
创设问题情境：在单位圆中，比较·两种计算形式下的关系．?由Cα－β推导Cα＋β及Sα±β的形式，并比较记忆．?通过例1及变式训练，使学生掌握给角求值问题的方法、步骤．?通过例2及互动探究，使学生掌握给值求值问题的思路、方法．?通过例3及变式训练，使学生掌握给值求角问题的步骤、方法．?归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.
课标解读
1.了解两角差的余弦公式的推导过程．
2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦公式，两角和的正弦、余弦公式．(重点)
3.会利用公式解决简单的化简求值问题．(难点)
两角差的余弦公式
【问题导思】
若在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B，则＝(cos α，sin α)，＝(cos β，sin β)．α∈[0,2π)，β∈[0,2π)．对·的两种形式你有什么发现？
图3－2－1
【提示】 ∵·＝||||cos θ＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)
＝cos αcos β＋sin αsin β；
又∵·＝||||cos(α－β)＝cos(α－β)，
即cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.
两角和的余弦公式
【问题导思】
如何由cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β得到两角和的余弦，即cos(α＋β)应该等于什么？
【提示】 由－β代替两角差的余弦公式中的β，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.
cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.
两角和与差的正弦公式
【问题导思】
你能借助cos(α±β)这组公式推导sin(α±β)的公式吗？
【提示】 能，运用Cα－β和诱导公式，有：
sin(α＋β)＝cos[－(α＋β)]＝cos[(－α)－β]
＝cos(－α)cos β＋sin(－α)sin β
＝sin αcos β＋cos αsin β，
即sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.
在公式Sα＋β中用－β代替β可得：
sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋cos αsin(－β)
＝sin αcos β－cos αsin β，
即sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
1．sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.(Sα＋β)
2．sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsinβ.(Sα－β)
给角求值
求值：(1)sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°；
(2)cos 285°cos 15°－sin 255°sin 15°；
(3)cos(x＋20°)cos(x－40°)＋cos(x－70°)sin(x－40°)．
【思路探究】 利用诱导公式将大角化为小角，再灵活运用两角和与差的正弦、余弦公式．
【自主解答】 (1)原式＝sin 163°sin 223°＋sin(163°＋90°)sin(223°＋90°)＝sin 163°sin 223°＋cos 163°cos 223°
＝cos(223°－163°)＝cos 60°＝.
(2)cos 285°cos 15°－sin 255°sin 15°
＝cos(270°＋15°)cos 15°－sin(270°－15°)sin 15°
＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15°
＝sin(15°＋15°)＝sin 30°＝.
(3)cos(x＋20°)cos(x－40°)＋cos(x－70°)sin(x－40°)
＝cos(x＋20°)cos(x－40°)
＋cos[90°－(x＋20°)]sin(x－40°)
＝cos(x＋20°)cos(x－40°)＋sin(x＋20°)sin(x－40°)
＝cos(x＋20°－x＋40°)＝cos 60°＝.
1．逆用公式Cα±β，Sα±β时，应依据公式的结构特征，必要时把角度和名称进行调整．
2．公式中只有两个角，运用公式求值时务必熟记公式的结构特征和符号规律．
求下列各式的值：
(1)cos215°－sin215°；
(2)sin 7°cos 37°－sin 83°cos 307°.
【解】 (1)cos215°－sin215°
＝cos 15°cos 15°－sin 15°sin 15°
＝cos(15°＋15°)＝cos 30°＝.
(2)sin 7°cos 37°－sin 83°cos 307°
＝sin 7°cos 37°－cos 7°cos(270°＋37°)
＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37°
＝sin(7°－37°)＝－sin 30°
＝－.
给值求值
已知α、β是锐角，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，求sin β的值．
【思路探究】 若将cos(α＋β)展开，再利用平方关系求sin β，运算量大，观察待求角β与条件角α＋β、α之间的关系，发现β＝(α＋β)－α，可利用两角差的正弦公式求解．
【自主解答】 ∵α是锐角，且sin α＝，
∴cos α＝＝ ＝.
又∵sin(α＋β)＝＝ ＝，
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)．sin α＝×－(－)×＝.
1．本题属于给值求值问题，求解时，关键是从已知角间的关系入手，分析出已知角和待求角的关系．如本题中巧用β＝(α＋β)－α这一关系．
2．常见角的变换为
(1)2α＋β＝(α＋β)＋α，2α－β＝(α－β)＋α；
(2)＝(α－)－(－β)，
＝(α＋)－(＋β)；
(3)(＋α)＋(＋β)＝＋(α＋β)；
(4)(＋α)＋(－β)＝＋(α－β)．
将本例中条件“已知α、β是锐角”改为“α、β都是钝角”．仍求sin β的值．
【解】 ∵α是钝角且sin α＝，
∴cos α＝－＝－ ＝－.
∵α、β为钝角且cos(α＋β)＜0，
∴180°＜α＋β＜270°，
∴sin(α＋β)＝－
＝－＝－，
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝－×(－)－(－)×＝.
给值求角
已知α、β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值．
【思路探究】 本题可先求出cos(α－β)的值，结合α－β的范围，再求出α－β的值．
【自主解答】 ∵α、β均为锐角，
∴sin α＝，sin β＝.
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×＝.
又sin α∴－<α－β<0.
故α－β＝－.
1．这类问题的求解，关键环节有两点：
(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图像，角可求解．
2．确定求所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定．
已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值．
【解】 由cos α＝，0<α<，得
sin α＝＝＝.
由0<β<α<，得0<α－β<.
又∵cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝
＝＝.
由β＝α－(α－β)得
∴cos β＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.
∵0<β<，∴β＝.
忽略讨论角的范围致误
已知在△ABC中，sin A＝，cos B＝，求cos C.
【错解】 ∵sin A＝，∴cos A＝±.∵cos B＝，∴sin B＝，于是cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sin Asin B－cos Acos B＝·－·(±)．
故cos C＝或cos C＝.
【错因分析】 这个解答看似正确，其实没有慎重讨论角的范围．
【防范措施】 若不注意三角形的内角和为180°，即不认真讨论角的范围，就会多出一个错误答案cos C＝.处理的方法是找出正弦函数值与sin A＝最接近的角30°和45°以及余弦函数值与cos B＝最接近的角60°和90°，切忌找的角范围过大或过小．
【正解】 ∵sin A＝，∴cos A＝±.∵cos B＝，∴sin B＝，于是cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sin Asin B－cos Acos B＝×－×(±)．
即cos C＝或cos C＝.但1．本节课学习了利用向量法推导cos(α－β)公式，并且利用诱导公式推出cos(α＋β)、sin(α±β)的公式．
2．学会了给角求值、给值求值、给值求角等问题的处理思路．
3．初步掌握了cos(α±β)、sin(α±β)公式的正用、逆用、变形应用．
4．初步掌握了辅助角公式的应用，并体会了转化思想的应用．
1．cos 57°cos 12°＋sin 57°sin 12°的值是( )
A．0 B.
C. D.
【解析】 原式＝cos(57°－12°)
＝cos 45°＝.
【答案】 D
2．在△ABC中，如果sin A·sin B＜cos A·cos B，则△ABC一定是( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
【解析】 ∵sin A·sin B＜cos A·cos B
∴cos(A＋B)＞0，
故－cos C＞0，∴cos C＜0，
∴C为钝角．
【答案】 D
3．(2013·江西高考)设f(x)＝sin 3x＋cos 3x，若对任意实数x都有|f(x)|≤a，则实数a的取值范围是________．
【解析】 由于f(x)＝sin 3x＋cos 3x＝
2sin，则|f(x)|＝2≤2，要使|f(x)|≤a恒成立，则a≥2.
【答案】 [2，＋∞)
4．设α∈(0，)，若sin α＝，求cos(α－)的值．
【解】 ∵α∈(0，)，sin α＝，
∴cos α＝＝ ＝，
∴cos(α－)＝(cos αcos＋sin αsin)
＝(×＋×)＝.
一、选择题
1．化简sin(x＋y)sin(x－y)＋cos(x＋y)cos(x－y)的结果是( )
A．sin 2x B．cos 2y
C．－cos 2x D．－cos 2y
【解析】 原式＝cos[(x＋y)－(x－y)]＝cos 2y.故选B.
【答案】 B
2．对任意的锐角α，β，下列不等关系中一定成立的是( )
A．sin(α＋β)>sin α＋sin β
B．sin(α－β)>sin α－sin β
C．cos(α＋β)D．cos(α－β)【解析】 α，β为任意锐角，在(0，π)上余弦函数是减函数，显然cos α>0，cos β>0，cos(α＋β)【答案】 C
3．已知α和β都是锐角，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，则sin β的值是( )
A. B. C. D.
【解析】 ∵α、β都是锐角，∴cos α＝ ＝，
sin(α＋β)＝ ＝.
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)·sin α
＝×－(－)×＝.
【答案】 C
4．已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，则cos(α－β)的值为( )
A. B. C. D．－
【解析】 由sin α＋sin β＝①
cos α＋cos β＝②
①2＋②2，得2(sin αsin β＋cos αcos β)＝－1.
∴cos(α－β)＝－.
【答案】 D
5．函数y＝sin x＋cos x＋2，(x∈[0，])的最小值是( )
A．2－ B．2＋
C．3 D．1
【解析】 y＝(sin x＋cos x)＋2
＝sin(x＋)＋2.
∵x∈[0，]，∴x＋∈[，]．
当x＝0或x＝时，ymin＝×＋2＝3.
【答案】 C
二、填空题
6．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.
【解析】 由cos(α＋β)＝sin(α－β)，得cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，
(cos α－sin α)(cos β＋sin β)＝0.
因为α，β均为锐角，所以cos β＋sin β>0，
所以cos α－sin α＝0，即tan α＝1.
【答案】 1
7．sin(65°－x)·cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)＝________.
【解析】 原式＝sin(65°－x)·sin[90°－(x－20°)]＋cos(65°－x)·cos(110°－x)＝cos[(65°－x)－(110°－x)]＝cos(65°－110°)＝cos 45°＝.
【答案】
8．(2013·课标全国卷Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.
【解析】 y＝sin x－2cos x＝，
设＝cos α，＝sin α，
则y＝(sin xcos α－cos xsin α)＝sin(x－α)．
∵x∈R∴x－α∈R，∴ymax＝.
又∵x＝θ时，f(x)取得最大值，
∴f(θ)＝sin θ－2cos θ＝.
又sin2θ＋cos2θ＝1，
∴即cos θ＝－.
【答案】 －
三、解答题
9．已知α、β∈(，π)，sin(α＋β)＝－，sin(β－)＝，求cos(α＋)的值．
【解】 ∵α、β∈(，π)，∴α＋β∈(，2π)．
∴cos(α＋β)＝＝.
又β－∈(，)，∴cos(β－)＝－.
∴cos(α＋)＝cos[(α＋β)－(β－)]
＝cos(α＋β)cos(β－)＋sin(α＋β)sin(β－)
＝×(－)＋(－)×＝－.
10．如图3－2－2，点P是单位圆上的一个动点，它从初始
图3－2－2
位置P0开始沿单位圆按逆时针方向运动角α(0＜α＜)到达点P1，然后继续沿单位圆逆时针方向运动角到达点P2，若点P2的横坐标为－，求cos α的值．
【解】 由题意，结合三角函数的定义可知cos(α＋)＝－，又α∈(0，)，∴sin(α＋)＝，
∴cos α＝cos[(α＋)－]
＝cos(α＋)cos＋sin(α＋)sin
＝－×＋×＝.
11．(2012·广东高考)已知函数f(x)＝Acos(＋)，x∈R，且f()＝.
(1)求A的值；
(2)设α，β∈[0，]，f(4α＋π)＝－，f(4β－π)＝，求cos(α＋β)的值．
【解】 (1)由f()＝得Acos(＋)＝，
即A·cos ＝，∴A＝2.
(2)由(1)知f(x)＝2cos(＋)．
由
得解得
∵α，β∈[0，]，∴cos α＝＝，
sin β＝＝.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.
(教师用书独具)
已知a＝(，－1)，b＝(sin x，cos x)，x∈R，f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的表达式；
(2)求函数f(x)的周期、值域、单调区间．
【解】 (1)f(x)＝a·b＝(，－1)·(sin x，cos x)
＝sin x－cos x＝2(sin x－cos x)
＝2(sin xcos －cos xsin )＝2sin(x－)．
(2)T＝＝2π，值域[－2,2]．
由2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z.
得单调增区间为[2kπ－，2kπ＋π]，k∈Z；
由2kπ＋≤x－≤2kπ＋π，k∈Z，
得单调减区间为[2kπ＋π，2kπ＋π]，k∈Z.
已知向量a＝(sin θ，－2)与b＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，)．
(1)求sin θ和cos θ的值；
(2)若5cos(θ－φ)＝3cos φ，0＜φ＜，求角φ的值．
【解】 (1)∵a⊥b，∴a·b＝sin θ－2cos θ＝0，
即sin θ＝2cos θ.
又∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1，
则cos2θ＝，sin2θ＝.
又∵θ∈(0，)，∴sin θ＝，cos θ＝.
(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ)
＝cos φ＋2sin φ＝3cos φ，
∴cos φ＝sin φ，tan φ＝1.
又0<φ<，故φ＝.
2．3 两角和与差的正切函数
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)理解Tα±β公式的推导方法；
(2)会利用T(α±β)公式求值、化简，证明简单的恒等式．
2．过程与方法
经过公式的推导和运用过程，认识整个公式体系的推理和形成过程．从这一过程中，领会其中体现出来的数学基本思想，掌握研究数学的基本方法，从而提高基本的数学修养．
3．情感、态度与价值观
通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识的发展过程，体会一般与特殊的关系与转化，培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力．
●重点难点
重点：两角和与差的正切公式的推导和应用．
难点：两角和与差的正切公式的变形应用．
(教师用书独具)
●教学建议
到本小节为止，学完了两角和与差的正弦、余弦和正切公式，应通过框图的形式对公式之间的内在关系加以说明，对公式之间的异同进行分析和对比，并要求学生注意：
(1)角及函数的排列顺序．特别是弄准余弦、正切的和(差)角公式．
(2)牢记公式并能熟练地掌握公式的“正用”、“逆用”和“变形应用”．
(3)向学生指出两角和或差的三角函数公式是诱导公式的推广，诱导公式是它的特例．当α，β中有一角为90°的整数倍时，利用诱导公式简便．
(4)灵活运用和(差)角公式，有时需要将式子中的两个角的和或差看成整体来运用公式．例如，化简cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β时，不要将cos(α＋β)，sin(α＋β)展开，而应将角α＋β看成一个角，把整个式子直接运用公式化为cos[(α＋β)－β]＝cos α.
●教学流程
创设问题情境：由两角和与差的正、余弦公式，你能推导出tan(α±β)吗？?引导学生得出两角和与差的正切函数，并通过变形加以理解、记忆．?通过例1及变式训练，使学生掌握给角求值问题的解题思路．?通过例2及互动探究，使学生掌握给值求值问题的求法．?通过例3及变式训练，使学生掌握给值求角问题的求解步骤和方法．?归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.
课标解读
1.能利用两角和(或差)的正、余弦公式导出两角和(或差)的正切公式．(重点)
2.掌握公式Tα±β及其变形式，并能利用这些公式解决化简、求值、证明等问题．(难点)
两角和与差的正切函数公式
【问题导思】
1．利用两角和的正、余弦公式，能把tan(α＋β)用tan α，tan β表示吗？
【提示】 能，tan(α＋β)＝＝
＝.
2．能用tan α，tan β表示tan(α－β)吗？
【提示】 能．
3．公式中α，β为任意实数吗？
【提示】 不是，α，β，α＋β≠kπ＋，k∈Z.
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正切
T(α＋β)
tan(α＋β)＝
α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 且tan α·tan β≠1
两角差的正切
T(α－β)
tan(α－β)＝
α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z) 且tan α·tan β≠－1
给角求值
求下列各式的值：
(1)；
(2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.
【思路探究】 (1)观察式子及系数的特点，凑出和差公式的形式．其中第(2)题是两角和的正切公式的变形应用，在已知角15°、30°的条件下，只能向45°转化．
【自主解答】 (1)法一 tan 75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝＝＝2＋.
∴＝＝＝－＝－.
法二 ＝
＝tan(45°＋75°)＝tan 120°
＝－tan 60°
＝－.
(2)公式tan(α＋β)＝，可变形为
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，
∴tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°
＝tan 45°(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°·tan 30°
＝tan 45°＝1.
1．若化简的式子里出现了“tan α±tan β”及“tan αtan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．
2．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：
(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．
已知α＋β＝45°，求(1＋tan α)(1＋tan β)的值．
【解】 ∵α＋β＝45°，∴tan(α＋β)＝tan 45°＝1.
又∵tan(α＋β)＝，
∴tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，
即tan α＋tan β＝1－tan αtan β.
∴原式＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝1＋(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝2.
给值求值
已知tan(＋α)＝，tan(β－)＝2，求
(1)tan(α＋β－)；
(2)tan(α＋β)．
【思路探究】 已知角与所求角间的关系为α＋β－＝(α＋)＋(β－)，α＋β＝(α＋β－)＋，用Tα±β求解．
【自主解答】 (1)∵α＋β－＝(＋α)＋(β－)，
∴tan(α＋β－)＝tan[(＋α)＋(β－)]
＝
＝＝
＝－.
(2)∵α＋β＝(α＋β－)＋，
∴tan(α＋β)＝tan[(α＋β－)＋]
＝＝
＝2－3.
三角函数的条件求值问题，首先应从所求角和已知角的关系入手，分析寻找已知角与待求角的关系，然后再根据角的关系选择恰当的公式．21cnjy.com
本例条件不变，求tan(α－β＋)．
【解】 tan(α－β＋)＝tan[(＋α)－(β－)]
＝
＝＝－.
给值求角
已知tan α＝，sin β＝，且α，β为锐角，求α＋2β的值．
【思路探究】
由sin β求tan β→求α＋2β的范围→求tan(α＋β)→求tan(α＋2β)→求α＋2β的值
【自主解答】 ∵tan α＝＜1且α为锐角，∴0＜α＜.
又∵sin β＝＜＝且β为锐角，
∴0＜β＜，∴0＜α＋2β＜. ①
由sin β＝，β为锐角，得cos β＝，
∴tan β＝.
∴tan(α＋β)＝＝＝.
∴tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝
＝＝1. ②
由①②可得α＋2β＝.
1．本题中，隐含着角α，β的范围，需通过tan α和sin β缩小其范围，这是本题的一个难点．
2．已知三角函数值求角问题，通常分两步：(1)先求角的某个三角函数值(由题中已知名称和范围确定)；(2)根据角的范围确定角．必要时，可利用值缩小角的范围．
已知tan α、tan β是方程x2＋3 x＋4＝0的两根，－<α<，－<β<，求α＋β的值．
【解】 ∵tan α＋tan β＝－3 <0，tan αtan β＝4>0，
∴tan α<0，tan β<0.
∵－<α<，－<β<，
∴－<α<0，－<β<0.∴－π<α＋β<0.
∵tan(α＋β)＝＝＝.
∴α＋β＝－.
对角的范围讨论不准确而致误
已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(－π，0)，求2α－β的值．
【错解】 错解1 因为α＝(α－β)＋β，tan(α－β)＝，tan β＝－，α，β∈(－π，0)，
所以tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝＝＝.
又因为2α－β＝α＋(α－β)，
所以tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]
＝＝＝1.
而α，β∈(－π，0)，则2α－β∈(－2π，π)，所以2α－β＝或－或－.
错解2 因为α＝(α－β)＋β，tan(α－β)＝，tan β＝－，α，β∈(－π，0)，
所以tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝＝＝.
又因为2α－β＝α＋(α－β)，
所以tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝＝＝1.
而tan α＝>0，tan β＝－<0，α，β∈(－π，0)，
则α∈(－π，－)，β∈(－，0)，那么2α－β∈(－2π，－)，
所以2α－β＝－或－.
【错因分析】 以上解答过程中，错解1没有对角的取值范围进一步精确化，而错解2对角的取值范围的考虑不全面，均存在一定的问题，造成解答错误．www-2-1-cnjy-com
【防范措施】 在给值求角问题的求解过程中，要善于根据题设中角的取值范围对给出的三角函数值(式)进行分析，利用三角函数值(式)的特征对角的取值范围进一步加以精确化．
【正解】 因为α＝(α－β)＋β，tan(α－β)＝，tan β＝－，α，β∈(－π，0)，
所以tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝＝＝.
又因为2α－β＝α＋(α－β)，
所以tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]
＝＝＝1.
而tan α＝>0，tan β＝－<0，α，β∈(－π，0)，
则α∈(－π，－)，β∈(－，0)，那么α－β∈(－π，0)，
而tan(α－β)＝>0，
则有α－β∈(－π，－)，
结合α∈(－π，－)，
则有2α－β∈(－2π，－π)，所以2α－β＝－.
1．本节课学习了两角和与差的正切函数，明确了它的产生过程以及公式成立的条件．
2．掌握了tan(α±β)公式的正用、逆用、变形灵活运用，以及角的拼凑．
3．掌握了正弦、余弦、正切公式综合应用的技巧和方法，能处理一些简单的综合问题．
1．若α、β∈(0，)且tan α＝，tan β＝，则tan(α＋β)＝( )
A．－1 B．1
C. D．－
【解析】 tan(α＋β)＝＝＝1.
【答案】 B
2．已知tan α＝，tan(α－β)＝－，那么tan(2α－β)的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
【解析】 ∵tan α＝，tan(α－β)＝－，
∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]
＝
＝＝.
【答案】 D
3．若锐角α，β满足(1＋tan α)·(1＋tan β)＝4，则α＋β＝________.
【解析】 由(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，可得＝，
即tan(α＋β)＝，
又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
【答案】
4．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，求的值．
【解】 原式＝
＝
＝
＝＝.
由条件知，sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝. ①
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝. ②
∴①×6－②×9，得＝5，即原式＝5.
一、选择题
1．已知α∈(－，0)，sin α＝－，则tan(α＋)＝( )
A．－7 B．－ C. D．7
【解析】 ∵α∈(－，0)，sin α＝－，
∴cos α＝，∴tan α＝＝－，
∴tan(α＋)＝＝＝－.
【答案】 B
2．tan 20°tan 50°＋tan 20°tan 60°－tan 60°tan 50°等于( )21*cnjy*com
A．1 B．－1 C. D．－
【解析】 原式＝tan 20°(tan 50°＋tan 60°)－tan 60°tan 50°＝tan 20°tan 110°(1－tan 50°tan 60°)－tan 60°tan 50°
＝tan 20°(－tan 70°)(1－tan 50°tan 60°)－tan 50°tan 60°
＝－(1－tan 50°tan 60°)－tan 50°tan 60°
＝－1.
【答案】 B
3．(1＋tan 17°)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)(1＋tan 28°)的值是( )
A．2 B．4 C．8 D．16
【解析】 (1＋tan 17°)(1＋tan 28°)
＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28°，①
又∵tan 45°＝tan(17°＋28°)
＝，
∴①式＝1＋(1－tan 17°tan 28°)＋tan 17°tan 28°＝2.
同理(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝2.
∴原式＝4.故选B.
【答案】 B
4．在△ABC中，tan A＝，tan B＝－2，则角C的值为( )
A. B. C. D.
【解析】 C＝π－(A＋B)，
∴tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)
＝－＝－＝1，
∴C＝，故选B.
【答案】 B
5．设tan θ和tan(－θ)是方程x2＋px＋q＝0的两个根，则p、q之间的关系是( )
A．p＋q＋1＝0 B．p－q＋1＝0
C．p＋q－1＝0 D．p－q－1＝0
【解析】 ∵tan θ＋tan(－θ)＝－p，
tan θ·tan(－θ)＝q，
＝θ＋(－θ)，
∴tan＝tan[θ＋(－θ)]＝＝1，
∴p－q＋1＝0.
【答案】 B
二、填空题
6．已知α为第三象限的角，cos 2α＝－，则tan(＋2α)＝________.
【解析】 ∵α为第三象限的角，则2kπ＋π≤α≤2kπ＋，∴4kπ＋2π≤2α≤4kπ＋3π(k∈Z)．又cos 2α＝－，∴sin 2α＝，tan 2α＝－，∴tan(＋2α)＝＝－.
【答案】 －
7．已知α、β、γ都是锐角，且tan α＝，tan β＝，tan γ＝，则α＋β＋γ＝________.
【解析】 ∵tan(α＋β)＝
＝＝，tan(α＋β＋γ)＝
＝＝1，
由于tan α＝＜.且α为锐角，
∴0＜α＜，同理0＜β＜，0＜γ＜
∴0＜α＋β＋γ＜，∴α＋β＋γ＝.
【答案】
8．若a，b是非零实数，且＝tan ，则＝________.
【解析】 ∵
＝＝tan ＝tan(＋)
＝，
∴＝tan ＝.
【答案】
三、解答题
9．已知tan α，tan β是方程mx2＋(2m－3)x＋(m－2)＝0的两根，求tan(α＋β)的最小值．
【解】 由题设知，tan α＋tan β＝－，tan α·tan β＝.
∴tan(α＋β)＝＝＝－m，
又Δ＝(2m－3)2－4m(m－2)≥0，
∴4m2－12m＋9－4m2＋8m≥0，∴－4m＋9≥0，即m≤，
∴－m≥－，∴－m≥－＝－，即tan(α＋β)≥－.
因此tan(α＋β)的最小值为－.
10．在△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝且tan A＋tan B＋1＝tan Atan B，判断△ABC的形状．
【解】 由tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)
＝＝＝－，
而0°由tan C＝tan[π－(A＋B)]＝＝＝，
而0°11．已知tan α＝－，cos β＝，α，β∈(0，π)．
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求函数f(x)＝sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．
【解】 (1)由cos β＝，β∈(0，π)得sin β＝，tan β＝2.
于是tan(α＋β)＝
＝＝1.
(2)因为tan α＝－，α∈(0，π)，
所以sin α＝，cos α＝－.
f(x)＝(sin x·cos α－cos x·sin α)＋cos x·cos β－sin x·sin β
＝(－·sin x－·cos x)＋cos x－sin x
＝－sin x－cos x＋cos x－sin x
＝－sin x，
所以f(x)的最大值为.
(教师用书独具)
是否存在锐角α和β，使得(1)α＋2β＝.
(2)tantan β＝2－同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．
【解】 由(1)得＋β＝，∴tan(＋β)＝tan，
即＝.
把条件(2)代入上式，得tan＋tan β＝×(1－2＋)＝3－ (3)
由(2)(3)知tantan β是一元二次方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个实数根．
解这个方程，得或.
∵α是锐角，
∴0＜＜，
∴tan≠1，故tan＝2－，tan β＝1.
∵0＜β＜，由tan β＝1，得β＝，
代入(1)，得α＝.
∴存在锐角α，β使两个条件同时成立．
已知锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝.
(1)求证：tan A＝2tan B；
(2)设AB＝3，求AB边上的高．
【解】 (1)已知sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝，
解得
两式相除可得tan A＝2tan B，得证；
(2)∵△ABC是锐角三角形，
∴＜A＋B＜π，
由sin(A＋B)＝可求得cos(A＋B)
＝－
＝－，
∴tan(A＋B)＝＝－，
即＝－(*)
将(1)tan A＝2tan B代入(*)式整理可得
2tan2B－4tan B－1＝0，解得tan B＝，舍去负值，
所以tan B＝
则tan A＝2tan B＝2＋，
设AB边上的高为CD，
则AB＝AD＋DB＝＋＝
由AB＝3，可得CD＝2＋，
所以AB边上的高等于2＋.
§3二倍角的三角函数
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能推导半角公式，并要求了解它们之间的内在联系．【版权所有：21教育】
2．过程与方法
通过运用公式进行简单的恒等变形．进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用．
3．情感、态度与价值观
通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识的发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理问题的能力．
●重点难点
重点：掌握倍角公式与半角公式的推导，并能灵活应用．
难点：各种公式的变形应用．
(教师用书独具)
●教学建议
二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α是2α的二倍，α是α的二倍，3α是α的二倍，α是α的二倍等，所有这些都可以应用二倍角公式．要使学生在熟练地应用二倍角公式，必须使他们熟悉多种形式的两个角的倍数关系，配合足够数量的习题进行巩固．
通常在要用到倍角公式来对半角的函数进行变换时，学生往往产生困难，例如sin ＝2sin cos ，cos ＝cos2－sin2等．在倒过来的变换中，学生感到更困难．例如：
sin 3αcos 3α＝sin 6α；
4sin cos ＝2(2sin cos )＝2sin ；
＝tan 80°；
cos22α－sin22α＝cos 4α.
教学时，应注意这方面的训练．
●教学流程
创设问题情境，引出问题：你能利用S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)推导出sin 2α，cos 2α，tan 2α的公式吗？?引导学生观察分析S(α＋β)，C(α＋β)，T(α＋β)的结构特征，采取从一般到特殊的推理方法发现并证明二倍角公式．?通过引导学生回答所提问题，从细节上加强二倍角公式的结构特征、成立条件、适用范围等性质的理解．?通过例1及其变式训练，使学生掌握利用二倍角公式进行化简求值的方法．?通过例2及变式训练，使学生掌握用半角公式进行化简、求值的方法．?通过例3及其变式训练，使学生掌握“倍”的变换，在三角函数恒等变形中的灵活运用，提高学生综合运用公式解题的能力．?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.
课标解读
1.掌握倍角公式与半角公式及公式的推导方法．(重点)
2.能利用倍角公式与半角公式进行三角函数的求值、化简、证明．(重点)
3.能利用倍角公式与半角公式解决一些简单的实际问题．(难点)
倍角公式
【问题导思】
在公式C(α＋β)，S(α＋β)，T(α＋β)中，若α＝β公式还成立吗？
【提示】 成立．
1．sin 2α＝2sin_αcos_α(S2α)；
2．cos 2α＝cos2α－sin2α＝1－2sin2α
＝2cos2α－1(C2α)；
3．tan 2α＝(T2α).
半角公式
【问题导思】
二倍角公式cos 2α＝2cos2α－1中的α换作可得什么样的结论？cos 等于多少？
【提示】 cos α＝2cos2－1得cos ＝±.
1．sin＝± ；
2．cos＝± ；
3．tan＝± ＝＝.
利用二倍角公式化简或求值
求下列各式的值．
(1)cos275°－sin275°；(2)cos cos π；
(3)－cos2；(4)－＋cos215°.
【思路探究】 将已知式子变形、处理，然后逆用二倍角公式求解．
【自主解答】 (1)cos275°－sin275°＝cos(2×75°)＝cos 150°＝－.
(2)cos cos π＝cos sin ＝sin ＝.
(3)－cos2＝－(2cos2－1)
＝－cos
＝－×
＝－.
(4)－＋cos215°＝(2cos215°－1)
＝cos 30°＝×
＝.
利用二倍角公式求值时，需要对所给式子分析其特点，从角的关系出发或从函数名的关系出发，将所给式子变形，然后灵活运用二倍角公式求解．www.21-cn-jy.com
求下列各式的值：
(1)；
(2)tan －；
(3)cos cos πcos π.
【解】 (1)＝tan 30°＝.
(2)tan －＝tan －
＝－＝＝
＝－×2×2＝－2.
(3)cos cos πcos π
＝
＝＝
＝＝
＝＝－.
利用半角公式化简或求值
化简：(－tan )(1＋tan α·tan )．
【思路探究】 题目中有角，也有角α，利用正切的半角公式的有理表达式可以把的三角函数转化为α的三角函数，然后将角α的正切转化为α的正、余弦函数，化简即可．2·1·c·n·j·y
【自主解答】 (－tan )(1＋tan α·tan )
＝(－)(1＋·)
＝()(＋)
＝·＝.
三角函数式化简的原则与技巧：
(1)原则形式简单三角函数名称尽量少次数尽量低最好不含分母能求值的尽量求值
(2)技巧：“切化弦”、“升幂或降幂”、“1”的代换．
若π<α<2π，化简 .
【解】 ∵π<α<2π，
∴π<<π，
∴cos α>0，cos <0，
∴
＝
＝
＝
＝
＝
＝－cos .
综合应用
已知函数f(x)＝sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x，x∈R.求：
(1)函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量x的集合；
(2)函数f(x)的单调递增区间．
【思路探究】
化简函数式y＝Asin(ωx＋φ)＋b形式
单调性,结果
【自主解答】 (1)f(x)＝＋sin 2x＋
＝2＋sin 2x＋cos 2x＝2＋sin(2x＋)，
∴当2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)时f(x)取得最大值2＋.
此时自变量x的集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
(2)f(x)＝2＋sin(2x＋)，
由题意得2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
因此函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
1．解答本题的关键是正确将f(x)化为sin(2x＋)＋2的形式，这其中运用了降幂公式．
2．运用二倍角公式将较为复杂的三角函数式化为形如y＝Asin(ωx＋φ)的简单三角函数式，是高考及各地模拟试题的常见题型，通常作为第一问，为研究函数的性质，并解决相关问题奠定基础．2-1-c-n-j-y
(2013·山东高考)设函数f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)，且y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.
(1)求ω的值；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
【解】 (1)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx
＝－·－sin 2ωx
＝cos 2ωx－sin 2ωx
＝－sin.
因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，
又ω＞0，所以＝4×.
因此ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝－sin.
当π≤x≤时，≤2x－≤.
所以－≤sin≤1.
因此－1≤f(x)≤.
故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－1.
未根据角的范围分类讨论致误
化简－(θ∈(0，π))．
【错解】 原式＝－
＝－
＝sin ＋cos －(sin －cos )
＝2cos .
【错因分析】 利用＝|a|＝去根号时，对a的符号未加讨论而出错或sin θ－cos θ、sin θ＋cos θ的符号判断出错．【来源：21cnj*y.co*m】
【防范措施】 化简根式问题，主要目的是把被开方数化成完全平方形式，从而进行开方，开方时要注意＝|a|＝所以一定要先判断a的正负．
【正解】 原式＝ －
＝－
＝|sin ＋cos |－|sin －cos |.
∵θ∈(0，π)，
∴∈(0，)．
(1)当∈(0，]时，cos ≥sin ，
此时原式＝sin ＋cos －cos ＋sin ＝2sin .
(2)当∈(，)时，cos 此时原式＝sin ＋cos －sin ＋cos ＝2cos .
(1)求三角函数最值问题，除了利用三角函数的有界性外，配方法、换元法、函数单调性法都是常用方法，但应用时要注意三角函数的取值范围．
(2)函数最值和实际应用题是高考的热点，题型一般是选择题、填空题，但中档难度的解答题也不容忽视，高考题均出现了三角函数应用题．
1．初步掌握了sin 2α、cos 2α、tan 2α的正用、逆用、变形应用．
2．初步掌握了半角公式的变形应用，学会了利用升降幂公式处理简单的问题．
3．初步掌握了利用和、差、倍、半角公式研究三角函数性质化简三角函数式、证明三角恒等式的方法，进一步深刻体会转化化归思想的应用.
1．(2013·课标全国卷Ⅱ)已知sin 2α＝，则cos2＝
( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵sin 2α＝，∴cos2＝＝＝＝.
【答案】 A
2．函数f(x)＝sin xcos x的最小值是( )
A．－1 B．－
C. D．1
【解析】 ∵f(x)＝sin xcos x＝sin 2x，
∴当x＝kπ－，k∈Z时，f(x)min＝－.
【答案】 B
3．(2013·江西高考)函数y＝sin 2x＋2sin2x的最小正周期T为________．
【解析】 由于y＝sin 2x＋2sin2x＝sin 2x＋(1－cos 2x)＝sin 2x－cos 2x＋＝2sin＋，∴T＝＝π.
【答案】 π
4．若tan(α＋)＝3＋2，求的值．
【解】 由tan(α＋)＝＝3＋2，
∴tan α＝，
∴＝＝tan α＝.
一、选择题
1．－＋cos215°的值等于( )
A. B.
C. D．1
【解析】 原式＝－＋×
＝－＋＋cos 30°
＝×＝.
【答案】 C
2．(2012·山东高考)若θ∈[，]，sin 2θ＝，则sin θ＝( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵θ∈[，]，∴2θ∈[，π]．
∴cos 2θ＝－＝－，
∴sin θ＝＝.
【答案】 D
3．(2013·浙江高考)函数f(x)＝sin xcos x＋cos 2x的最小正周期和振幅分别是( )
A．π，1 B．π，2
C．2π，1 D．2π，2
【解析】 f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin，所以最小正周期为T＝＝π，振幅A＝1.
【答案】 A
4.－等于( )
A．－2cos 5° B．2cos 5°
C．－2sin 5° D．2sin 5°
【解析】 原式＝－
＝(cos 50°－sin 50°)
＝2(cos 50°－sin 50°)
＝2sin(45°－50°)
＝2sin(－5°)
＝－2sin 5°.
【答案】 C
5．设sin α＝(＜α＜π)，tan(π－β)＝，则tan(α－2β)＝( )
A．－ B．－
C. D.
【解析】 ∵sin α＝，α∈(，π)，
∴cos α＝－，∴tan α＝－.
又∵tan(π－β)＝，∴tan β＝－，
∴tan 2β＝＝－.
∴tan(α－2β)＝
＝＝.
【答案】 D
二、填空题
6．已知sin θ＋cos θ＝，且≤θ≤，则cos 2θ的值是________．
【解析】 由条件可得sin 2θ＝－，
又π≤2θ≤，
所以cos 2θ＝－.
【答案】 －
7．函数f(x)＝sin(2x－)－2·sin2x的最小正周期是________．
【解析】 f(x)＝sin(2x－)－2sin2x
＝sin 2x－cos 2x－2×
＝sin 2x＋cos 2x－
＝sin(2x＋)－，
故该函数的最小周期为＝π.
【答案】 π
8．若cos 2θ＝，则sin4θ＋cos4θ的值是________．
【解析】 sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝1－(1－cos22θ)＝1－[1－()2]＝.
【答案】
三、解答题
9．已知tan 2θ＝－2，<2θ<π，求的值．
【解】 原式＝＝，
∵tan 2θ＝＝－2，
∴tan2θ－tan θ－＝0，
解得tan θ＝或tan θ＝－.
又∵<2θ<π，∴<θ<，
∴tan θ＝－舍去，取tan θ＝.
故原式＝＝－3＋2.
10．(1)若cos(－x)＝－，(2)已知α∈(－，)，且sin 2α＝sin(α－)，求α.
【解】 (1)
＝
＝
＝sin 2x＝sin 2xtan(－x)
＝cos(－2x)tan(－x)
＝[2cos2(－x)－1]tan(－x)，
∵∴－<－x<－π.
又∵cos(－x)＝－，
∴sin(－x)＝，tan(－x)＝－.
∴原式＝(2×－1)×(－)＝－.
(2)原方程可化为
1－2cos2(α＋)＝－cos(α＋)，
解得cos(α＋)＝1或cos(α＋)＝－.
又∵α∈(－，)，∴α＋＝0或.
∴α＝－或α＝.
11．(2013·北京高考)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．
【解】 (1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x
＝cos 2xsin 2x＋cos 4x
＝(sin 4x＋cos 4x)
＝sin，
所以f(x)的最小正周期为，最大值为.
(2)因为f(α)＝，所以sin＝1.
因为α∈，
所以4α＋∈.
所以4α＋＝，故α＝.
(教师用书独具)
已知函数f(x)＝cos(＋x)·cos(－x)，g(x)＝sin 2x－.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合．
【自主解答】 (1)f(x)＝(cos x－sin x)·
(cos x＋sin x)
＝cos2x－sin2x
＝－
＝cos 2x－，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos 2x－sin 2x
＝cos(2x＋)，
当2x＋＝2kπ(k∈Z)时，h(x)有最大值.
此时x的取值集合为{x|x＝kπ－，k∈Z}．
求函数y＝sin4x＋2sin xcos x－cos4x的最小正周期和最小值．并写出该函数在[0，π]上的单调递增区间．
【解】 y＝sin4x＋2sin xcos x－cos4x
＝(sin2x＋cos2x)·(sin2x－cos2x)＋2sin xcos x
＝sin 2x－cos 2x
＝2(sin 2x－cos 2x)
＝2sin(2x－)
函数的最小正周期T＝＝π.最小值为－2.
当2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z.
即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z时，函数单调递增，故函数在[0，π]上的单调递增区间是[0，]和[π，π].
三角函数式的化简
三角函数式的化简，主要有以下几类：①对三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；②对三角的分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或较简式子；③对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式．在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”、“单角化复角”、“复角化复角”等具体手段．以实现三角函数式的化简．21世纪教育网版权所有
化简＋.
【思路点拨】 要化简分式，就要对分子、分母进行升幂变形、分解因式，然后约分化简．
【规范解答】 原式
＝＋
＝＋
＝－－＝－
＝－.
化简sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－
cos 2αcos 2β.
【解】 法一：(从“角”入手，倍角化单角)
原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－(2cos2α－1)·(2cos2β－1)
＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－(4cos2α·cos2β－2cos2α－2cos2β＋1)
＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－
＝sin2α·sin2β＋cos2α(1－cos2β)＋cos2β－
＝sin2α·sin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－
＝sin2β(sin2α＋cos2α)＋cos2β－
＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.
法二：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)
原式＝·＋·－cos 2α·cos 2β
＝(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－cos 2α·cos 2β
＝＋＝.
三角函数式的求值
三角函数式的求值主要有两种类型：一是给角求值；二是给值求值．
1．给角求值：这类题目的解法相对简单，主要是利用所学的诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等，化非特殊角为特殊角，在转化过程中要注意上述公式的正用及逆用．
2．给值求值：这类题目的解法较上类题目灵活、多变，主要解答方法是利用三角恒等变形中的拆角变形及同角三角函数的基本关系式，和、差、倍、半角公式的综合应用．由于此类题目在解答过程中涉及的数学方法及数学思想相对较多，因此也是平时乃至高考考查的一个热点．
求值：.
【思路点拨】 切化弦，然后通分，利用和差公式，约去非特殊角，得到结果．
【规范解答】 原式＝
＝
＝
＝＝2.
计算：sin 50°(1＋tan 10°)的值．
【解】 法一：原式＝sin 50°(1＋)
＝sin 50°·
＝sin 50°·
＝sin 50°·
＝cos 40°·＝＝1.
法二：原式＝sin 50°(1＋tan 60°tan 10°)
＝sin 50°·
＝cos 50°(tan 60°－tan 10°)
＝cos 50°()
＝
＝＝＝1.
三角函数与平面向量的综合应用
三角函数与平面向量相结合是近几年来的高考的亮点，它常常包括向量与三角函数化简、求值与证明的结合，向量与三角函数的图像与性质的结合等几个方面．此类题目所涉及向量的知识往往比较基础，所涉及的三角函数往往是讨论三角函数的图像与性质，以及三角函数的化简、求值．21·世纪*教育网
设a＝(1＋cos α，sin α)，b＝(1－cos β，sin β)，c＝(1,0)，α∈(0，π)，β∈(π，2π)，a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，且θ1－θ2＝，求sin 的值． 21*cnjy*com
【思路点拨】 利用向量的夹角公式得三角函数式，然后利用三角知识得出角之间的关系．
【规范解答】 由题意知|a|＝＝2cos ，
|b|＝＝2sin ，|c|＝1，
又∵a·c＝1＋cos α＝2cos2，b·c＝1－cos β＝2sin2，
∴cos θ1＝＝cos ，cos θ2＝＝sin .
∵∈(0，)，∴θ1＝.
又∵β∈(π，2π)，∴∈(，π)，
即0<－<.
由cos θ2＝sin ＝cos(－)，得θ2＝－，
由θ1－θ2＝，得－(－)＝，
∴＝－，＝－.
∴sin ＝sin(－)＝－.
已知向量a＝(sin x，cos x)，b＝(sin x，sin x)，c＝(－1,0)．
(1)若x＝，求向量a、c的夹角；
(2)若x∈[－，]，求函数f(x)＝a·b的最值．
【解】 (1)∵x＝，
∴|a|＝ ＝1，|c|＝1，
a·c＝－sin＝－，
设a，c的夹角为θ，
∵cos θ＝＝＝－，
∴θ＝，∴向量a、c的夹角为.
(2)f(x)＝a·b＝(sin x，cos x)·(sin x，sin x)
＝sin2x＋sin xcos x＝＋sin 2x
＝sin 2x－cos 2x＋＝sin(2x－)＋.
∵x∈[－，]，∴－π≤2x－≤.
∴当x＝时，f(x)max＝1；
当x＝－时，f(x)min＝.
转化与化归的思想
三角式的恒等变换是解三角函数问题的方法基础，所谓三角式的恒等变换，就是运用有关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式．转化与化归的思想是三角恒等变换应用最广泛的，也是最基本的数学思想，它贯穿于三角恒等变换的始终，要认真体会理解，在解题过程中学会灵活应用．
已知向量a＝(2sin x，cos x)，b＝(cos x，2cos x)，定义函数f(x)＝a·b－1.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的单调递减区间．
(3)画出函数g(x)＝f(x)，x∈[－，]的图像，由图像研究并写出g(x)的对称轴和对称中心．
【思路点拨】 本题主要考查平面向量数量积的坐标运算、三角公式及三角函数图像及性质，化简函数式为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，然后求解．
【规范解答】 f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1
＝sin 2x＋cos 2x＝2sin(2x＋)．
(1)T＝＝π.
(2)2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋?kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调递减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．
(3)
x
－
－
－
2x＋
－π
－
0
π
y
0
－2
0
2
0
从图像可以看出，此函数有一个对称中心(－，0)，无对称轴．
点评 对于(3)若不画出其图像很难判断其对称轴与对称中心，要重视图像在解题中的作用．
已知sin(α－)＝，cos(－β)＝－，且α－和－β分别为第二、第三象限角，
求tan的值．
【解】 ∵sin(α－)＝，且α－为第二象限角，
∴cos(α－)＝－＝－.
又cos(－β)＝－，且－β为第三象限角，
∴sin(－β)＝－＝－.
∴tan(α－)＝－，tan(－β)＝，
∴tan＝tan[α－)－(－β)]
＝
＝＝－.
综合检测(三)
第三章 三角恒等变形
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°等于( )
A．0 B. C. D．1
【解析】 sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°
＝sin(15°＋75°)＝sin 90°＝1.
【答案】 D
2．在锐角△ABC中，设x＝sin A·sin B，y＝cos A·cos B，则x、y的大小关系为( )
A．x≤y B．x＞y
C．x＜y D．x≥y
【解析】 y－x＝cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，
∵C为锐角，∴－cos C＜0，
∴y－x＜0，即x＞y.
【答案】 B
3．若sin α＋cos α＝tan α(0<α<)，则α的取值范围是( )
A．(0，) B．(，)
C．(，) D．(，)
【解析】 因为sin α＋cos α＝sin(α＋)，当0<α<时，此式的取值范围是(1，]，而tan α在(0，)上小于1，故可排除A，B；在(，)上sin α＋cos α与tan α不可能相等，所以D不正确，故选C.
【答案】 C
4．在△ABC中，若sin C＝2cos Asin B，则此三角形必是( )
A．等腰三角形 B．正三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【解析】 sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)，
∴sin Acos B＋cos Asin B＝2cos Asin B.
∴sin(A－B)＝0，∴A＝B，
∴△ABC为等腰三角形．
【答案】 A
5．(2012·陕西高考)设向量a＝(1，cos θ)与b＝(－1，2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( )
A. B. C．0 D．－1
【解析】 a＝(1，cos θ)，b＝(－1,2cos θ)．
∵a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos2θ＝0，
∴cos2θ＝，∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝1－1＝0.
【答案】 C
6．当0A．2 B．2 C．4 D．4
【解析】 f(x)＝＝＝cot x＋4tan x≥2＝4.当且仅当cot x＝4tan x，即tan x＝时取得等号．故选C.21教育网
【答案】 C
7．(2013·江西高考)若sin ＝，则cos α＝( )
A．－ B．－
C. D.
【解析】 cos α＝1－2sin2＝1－2×2＝1－＝.
【答案】 C
8．(2013·重庆高考)4cos 50°－tan 40°＝( )
A. B.
C. D．2－1
【解析】 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－
＝＝
＝
＝＝
＝
＝＝·＝.
【答案】 C
9．已知f(x)＝sin2(x＋)，若a＝f(lg 5)，b＝f(lg )，则( )
A．a＋b＝0 B．a－b＝0
C．a＋b＝1 D．a－b＝1
【解析】 由题意知f(x)＝sin2(x＋)＝＝，
令g(x)＝sin 2x，则g(x)为奇函数，且f(x)＝g(x)＋，a＝f(lg 5)＝g(lg 5)＋，b＝f(lg )＝g(lg )＋，则a＋b＝g(lg 5)＋g(lg )＋1＝g(lg 5)＋g(－lg 5)＋1＝1，故a＋b＝1.
【答案】 C
10．对于函数f(x)＝2sin xcos x，下列选项中正确的是( )
A．f(x)在(，)上是递增的
B．f(x)的图像关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π
D．f(x)的最大值为2
【解析】 f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x，
∴f(x)为奇函数，f(x)图像关于原点对称．
【答案】 B
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上)
11．(2012·江西高考)若＝，则tan 2α＝________.
【解析】 由＝，等式左边分子、分母同除cos α得，＝，解得tan α＝－3，则tan 2α＝＝.
【答案】
12．知α，β∈(0，)，＝，且3sin β＝sin(2α＋β)，则α＋β＝________.
【解析】 由＝，得tan α＝.由3sin β＝sin(2α＋β)，得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，化简得tan(α＋β)＝2tan α＝1.由于α，β∈(0，)，故α＋β∈(0，)，所以α＋β＝.
【答案】
13．若θ是第二象限角，cos －sin ＝，则角所在的象限是________．
【解析】 ∵＝
＝|sin －cos |＝cos －sin ，
∴sin ∵θ是第二象限角，
∴＋2kπ<θ<π＋2kπ，k∈Z.
则＋kπ<<＋kπ.k∈Z.
由上可得π＋2kπ<<π＋2kπ，k∈Z.所以是第三象限角．
【答案】 第三象限角
14．函数f(x)＝sin2(2x－)的最小正周期是________．
【解析】 f(x)＝
＝＝，
∴最小正周期T＝＝.
【答案】
15．(2012·江苏高考)设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为________．
【解析】 ∵α为锐角且cos(α＋)＝，
∴sin(α＋)＝.
∴sin(2α＋)＝sin[2(α＋)－]
＝sin 2(α＋)cos －cos 2(α＋)sin
＝sin(α＋)cos(α＋)－[2cos2(α＋)－1]
＝××－[2×()2－1]＝－＝.
【答案】
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)(2013·辽宁高考)设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．
【解】 (1)由|a|2＝(sin x)2＋sin2 x＝4sin2x，
|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，
及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.
又x∈，从而sin x＝，
所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x
＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，
当x＝∈时，sin取最大值1.
所以f(x)的最大值为.
17．(本小题满分12分)若2sin(＋α)＝sin θ＋cos θ，2sin2β＝sin 2θ，求证：sin 2α＋cos 2β＝0.
【证明】 由2sin(＋α)＝sin θ＋cos θ得cos α＋sin α＝sin θ＋cos θ，两边平方得
2(1＋sin 2α)＝1＋sin 2θ，即
sin 2α＝(sin 2θ－1)，①
由2sin2β＝sin 2θ得，1－cos 2β＝sin 2θ.②
将②代入①得
sin 2α＝[(1－cos 2β)－1]得
sin 2α＝－cos 2β，
即sin 2α＋cos 2β＝0.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ω＞0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
【解】 (1)f(x)＝4cos ωx·sin
＝2sin ωx·cos ωx＋2cos2ωx
＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋＝2sin＋.
因为f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，
从而有＝π，故ω＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x＋)＋.
若0≤x≤，则≤2x＋≤.
当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；
当＜2x＋≤，即＜x≤时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
19．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋)＋sin(ωx－)－2cos2，x∈R(其中ω>0)．
(1)求函数f(x)的值域；
(2)若对任意的a∈R，函数y＝f(x)，x∈(a，a＋π]的图像与直线y＝－1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值(不必证明)，并求函数y＝f(x)，x∈R的单调增区间．21教育名师原创作品
【解】 (1)f(x)＝sin(ωx＋)＋sin(ωx－)－2cos2＝2sin ωxcos －cos ωx－1
＝2sin(ωx－)－1，
∵x∈R，∴f(x)的值域为[－3,1]．
(2)由题意得函数f(x)的周期为π.
∴＝π，∴ω＝2，
∴f(x)＝2sin(2x－)－1.
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z.
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴函数f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
图1
20．(本小题满分13分)如图1，以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为(－，)．
(1)求的值；
(2)若·＝0，求sin(α＋β)．
【解】 (1)由三角函数定义得cos α＝－，sin α＝，
则原式＝＝
＝2cos2α＝2×(－)2＝.
(2)∵·＝0，∴α－β＝.
∴β＝α－.
∴sin β＝sin(α－)＝－cos α＝，
cos β＝cos(α－)＝sin α＝.
∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×＋(－)×＝.
21．(本小题满分13分)(2012·湖北高考)设函数f(x)＝sin2ωx＋2sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图像关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(，1)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若y＝f(x)的图像经过点(，0)，求函数f(x)的值域．
【解】 (1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin ωx·cos ωx＋λ＝－cos 2ωx＋sin 2ωx＋λ＝2sin(2ωx－)＋λ，
由直线x＝π是y＝f(x)图像的一条对称轴，可得sin(2ωπ－)＝±1，
所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z)．
又ω∈(，1)，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.
所以函数f(x)的最小正周期是.
(2)由y＝f(x)的图像过点(，0)，得f()＝0，
即λ＝－2sin(×－)＝－2sin ＝－，即λ＝－.
故f(x)＝2sin(x－)－，函数f(x)的值域为[－2－，2－]．
必修4
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第一章 三角函数
【命题趋势】 1.三角函数的概念和基本公式是函数部分重要的概念和基础知识，是每年高考必考的内容，考查的内容是任意角的三角函数和基本公式的灵活运用，主要题型是选择题和填空题，试题难度属中低档题．
2．三角函数的图像与性质主要考查三角函数的概念、周期性、单调性、有界性及图像的平移伸缩变换等，在高考中的难度仍以容易题、中档题为主，题目的难度保持稳定并略显下降趋势，估计这种情况会继续保持下去；函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质在高考中出现的频率比较高，主要考查难化成形如y＝Asin(ωx＋φ)函数的图像及性质，仍以容易题、中档题为主.
三角函数的图像与性质
(教材第28页A组第3题)
求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x的集合，并分别写出最大值、最小值：
(1)y＝－4sin x；(2)y＝1－sin x.
(2013·天津高考)函数f(x)＝sin(2x－)在区间[0，]上的最小值为( )
A．－1 B．－
C. D．0
【命题意图】 本题考查三角函数单调性及三角函数求值等基础知识．
【解析】 ∵x∈[0，]，∴－≤2x－≤，∴当2x－＝－时，f(x)＝sin(2x－)有最小值－.
【答案】 B
(2012·课标全国卷)已知ω>0，函数f(x)＝sin(ωx＋)在(，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )
A．[，] B．[，]
C．(0，] D．(0,2]
【解析】 法一 因为当ω＝1时，函数f(x)＝sin(ωx＋)＝sin(x＋)在(，π)上是单调递减的，故排除B，C项；当ω＝2时，函数f(x)＝sin(ωx＋)＝sin(2x＋)在(，π)上不是单调递减的，故排除D项．
法二 由由题意知(ω＋，πω＋)?[，]，
∴∴≤ω≤，故选A.
【答案】 A
y＝Asin(ωx＋φ)的图像及性质的应用
(教材第54页A组第1(1)题)
为了得到函数y＝cos(x－)的图像，只需将余弦函数图像上各点( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
1．(2013·课标全国卷Ⅱ)函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝________.
【命题意图】 本题考查三角函数图象的变换，推理论证能力以及综合解题的能力．
【解析】 y＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位得到y＝cos的图象，整理得y＝cos(2x－π＋φ)．
∵其图象与y＝sin(2x＋)的图象重合，
∴φ－π＝－＋2kπ，∴φ＝＋π－＋2kπ，
即φ＝＋2kπ.又∵－π≤φ＜π，∴φ＝.
【答案】
2．(2013·四川高考)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是
( )
A．2，－ B．2，－
C．4，－ D．4，
图1
【命题意图】 本题考查三角函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的图象与性质，考查读图和识图的能力、数据处理能力和运算求解能力．
【解析】 ∵T＝π－＝π，∴T＝π，
∴＝π(ω>0)，∴ω＝2.
由图象知当x＝π时，2×π＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，
即φ＝2kπ－(k∈Z)．
∵－<φ<，∴φ＝－.
【答案】 A
1．(2013·福建高考)将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，则φ的值可以是( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵P在f(x)的图象上，
∴f(0)＝sin θ＝.
∵θ∈，∴θ＝，
∴f(x)＝sin，
∴g(x)＝sin .
∵g(0)＝，
∴sin＝.
验证，φ＝π时，
sin＝sin＝sin＝成立．
【答案】 B
2．(2013·山东高考)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )
A. B.
C．0 D．－
【解析】 y＝sin(2x＋φ) y＝sin＝sin.
当φ＝时，y＝sin(2x＋π)＝－sin 2x，为奇函数；
当φ＝时，y＝sin＝cos 2x，为偶函数；
当φ＝0时，y＝sin，为非奇非偶函数；
当φ＝－时，y＝sin 2x，为奇函数．故选B.
【答案】 B
第二章 平面向量
【命题趋势】 1.向量的坐标运算和数量积属必考内容，一般考查：
(1)利用向量的数量积解决向量的平行、垂直问题(如：2013·陕西·文2)；(2)利用向量的夹角求值或求范围(如：2013·课标全国卷Ⅰ·理13)．
2．向量常与其他数学知识结合在一起考查，如和三角函数、数列、解析几何等知识结合(如：2013·江苏·15,2013·辽宁·理17,2013·陕西·理16)
平面向量概念及坐标运算
(教材第89页练习第1题)
已知a＝(3,4)，b＝(－1,1)，求a＋b与a－b的坐标．
1．(2013·辽宁高考)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为( )
A. B.
C. D.
【命题意图】 本题考查向量的坐标运算及单位向量的求解．
【解析】 ＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e＝＝(3，－4)＝.
【答案】 A
2．(2013·北京高考)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.
图2
【命题意图】 本题考查向量的坐标运算，数乘向量及向量加、减法的几何意义．
【解析】 以向量a的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)．由c＝λa＋ μb，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－，则＝4.
【答案】 4
1．(2013·陕西高考)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于( )
A．－ B.
C．－或 D．0
【解析】 由a∥b?m2＝1×2?m＝或m＝－.
【答案】 C
2．(2013·江苏高考)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
【解析】 由题意＝－＝－＝(－)＋＝－＋，于是λ1＝－，λ2＝，故λ1＋λ2＝.
【答案】
平面向量的数量积
(教材第98页A组第4题)
已知a＝(3,0)，b＝(k,5)，且a与b的夹角是135°，求k的值．
1．(2013·课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________.
【命题意图】 考查平面向量的数量积的运算以及数量积与向量垂直的转化关系．考查运算求解能力和对问题的转化意识．
【解析】 |a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°.
∵c＝ta＋(1－t)b，∴b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝t×1×1×＋(1－t)×1＝＋1－t＝1－.
∵b·c＝0，∴1－＝0，∴t＝2.
【答案】 2
2．(2013·江西高考)设e1，e2为单位向量， 且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e3，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________．
【命题意图】 本题考查向量a在b方向上的射影、向量的模与数量积运算．
【解析】 由于a＝e1＋3e2，b＝2e1，
所以|b|＝2，a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e＋6e1·e2＝2＋6×＝5，
所以a在b方向上的射影为|a|·cos?a，b?＝＝.
【答案】
3．(2013·山东高考)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
【命题意图】 本题考查向量的表示，向量的数量积运算等知识．考查学生的思维转换能力和运算求解能力．
【解析】 ∵⊥，∴·＝0.
又＝λ＋，＝－，
∴(λ＋)(－)＝0，
即(λ－1)·－λ2＋2＝0，
∴(λ－1)||||cos 120°－9λ＋4＝0.
∴(λ－1)×3×2×－9λ＋4＝0.解得λ＝.
【答案】
1．(2013·湖北高考)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为( )
A. B.
C．－ D．－
【解析】 由已知得＝(2,1)，＝(5,5)，因此在方向上的投影为＝＝.
【答案】 A
2．(2013·重庆高考)在OA为边，OB为对角线的矩形中，＝(－3,1)，＝(－2，k)，则实数k＝________.
【解析】 如图所示，由于＝(－3,1)，＝(－2，k)，所以＝－＝(1，k－1)．
在矩形中，由⊥得·＝0，所以(－3,1)·(1，k－1)＝0，即－3×1＋1×(k－1)＝0，解得k＝4.
【答案】 4
3．(2013·安徽高考)若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．
【解析】 由|a|＝|a＋2b|，两边平方，得|a|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，所以a·b＝－|b|2.又|a|＝3|b|，所以cos〈a，b〉＝＝＝－.
【答案】 －
第三章 三角恒等变换
【命题趋势】 预测今后高考仍将坚持对三角恒等变换在角的变换、角的范围方面进行考查，对于两角和差、二倍角公式将重点考查．高考试题对三角恒等变换的考查可能会加大对角的变换的考查，使问题更具综合性，备考需加强这方面的训练．同时要注意与平面向量相结合来考查三角恒等变换.
同角三角函数关系式及和(差) 角公式
(教材第119页例3)
已知tan α＝2，tan β＝－，其中0<α<，<β<π.
(1)求tan(α－β)；(2)求α＋β的值．
1．(2013·课标全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan(θ＋)＝，则sin θ＋cos θ＝________.
【命题意图】 考查同角三角函数关系式、三角恒等变换．考查逻辑思维能力和转化思想，解题能力和运算能力．
【解析】 ∵tan＝，∴＝，解得tan θ＝－.
∴(sin θ＋cos θ)2＝
＝＝＝.
∵θ为第二象限角，tan θ＝－，
∴2kπ＋＜θ＜2kπ＋π，
∴sin θ＋cos θ＜0，
∴sin θ＋cos θ＝－.
【答案】 －
2．(2013·广东高考)已知函数f(x)＝cos，x∈R.
(1)求f的值；
(2)若cos θ＝，θ∈，求f.
【命题意图】 本题考查求函数值、特殊角的三角函数值、同角三角函数的基本关系式、两角差的余弦公式等知识．
【解】 (1)因为f(x)＝cos，
所以f＝cos＝cos＝×＝1.
(2)因为θ∈，cos θ＝，
所以sin θ＝－
＝－＝－.
所以f＝cos
＝cos
＝×
＝cos θ＋sin θ＝－＝－.
1．(2013·湖北高考)将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是( )
A. B.
C. D.
【解析】 由于y＝cos x＋sin x＝2cos，向左平移m(m>0)个单位长度后得到函数y＝2cos的图象．由于该图象关于y轴对称，所以m－＝kπ(k∈Z，m>0)，于是m＝kπ＋(k∈Z，m>0)，故当k＝0时，m取得最小值.
【答案】 B
2．(2013·安徽高考)设函数f(x)＝sin x＋sin.
(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；
(2)不画图，说明函数y＝f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变化得到．
【解】 (1)因为f(x)＝sin x＋sin x＋cos x＝sin x＋cos x＝sin(x＋)，
所以当x＋＝2kπ－(k∈Z)，即x＝2kπ－(k∈Z)时，f(x)取得最小值－.
此时x的取值集合为.
(2)先将y＝sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变)，得y＝sin x的图象；再将y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位，得y＝f(x)的图象.
二倍角公式
(教材第125页练习2第1题)
已知cos α＝，<α<2π求sin ，cos ，tan .
1．(2013·浙江高考)已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α＝( )
A. B.
C．－ D．－
【命题意图】 考查同角三角函数间的基本关系式及正切的二倍角公式．考查了学生的推理论证能力和运算求解能力．
【解析】 把条件中的式子两边平方，得sin2α＋4sin αcos α＋4cos2α＝，即3cos2α＋4sin αcos α＝，所以＝，所以＝，即3tan2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－，所以tan 2α＝＝－.
【答案】 C
2．(2013·广东高考)已知函数f(x)＝cos，x∈R.
(1)求f的值；
(2)若cos θ＝，θ∈，求f.
【命题立意】 本题考查求函数值、特殊角的三角函数值、同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和的余弦公式及二倍角公式．考查函数与方程思想，转化与化归思想的应用和运算求解能力．
【解】 (1)因为f(x)＝cos，
所以f＝cos
＝cos＝cos
＝×＝1.
(2)因为θ∈，cos θ＝，
所以sin θ＝－＝－＝－，
cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×2－1＝－，
sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝－.
所以f＝cos
＝cos＝×
＝cos 2θ－sin 2θ＝－－＝.
3．(2013·陕西高考)已知向量a＝，b＝(sin x，cos 2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在上的最大值和最小值．
【命题意图】 本题考查平面向量数量积的运算、三角恒等变换以及三角函数的图象和最值．考查运算求解能力和知识的应用意识．
【解】 f(x)＝·(sin x，cos 2x)＝cos xsin x－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝cos sin 2x－sin·cos 2x＝sin.
(1)f(x)的最小正周期为T＝＝＝π，
即函数f(x)的最小正周期为π.
(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.
由正弦函数的图象，
当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1；
当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值－.
因此，f(x)在上的最大值是1，最小值是－.
1．(2013·四川高考)设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．
【解析】 ∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.
∵α∈，sin α≠0，
∴cos α＝－.
又∵α∈，∴α＝π，
∴tan 2α＝tan π＝tan＝tan ＝.
【答案】
2．(2013·湖南高考)已知函数f(x)＝sin＋cos，g(x)＝2sin2.
(1)若α是第一象限角，且f(α)＝， 求g(α)的值；
(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．
【解】 f(x)＝sin＋cos
＝sin x－cos x＋cos x＋sin x
＝sin x，
g(x)＝2sin2＝1－cos x
(1)由f(α)＝得sin α＝.
又α是第一象限角，
所以cos α>0.
从而g(α)＝1－cos α＝1－＝1－＝.
(2)f(x)≥g(x)等价于sin x≥1－cos x，
即sin x＋cos x≥1，于是sin≥，
从而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
即2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z.
故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为{x|2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
3．(2013·天津高考)已知函数f(x)＝－sin＋6sin xcos x－2cos2x＋1，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
【解】 (1)f(x)＝－sin 2x·cos－cos 2x·sin ＋3sin 2x－cos 2x＝2sin 2x－2cos 2x＝2sin.所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数，又f(0)＝－2，f＝2 ，f＝2，故函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为－2.
必修4
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(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2013·江西高考)若sin ＝，则cos α＝( )
A．－ B．－
C. D.
【解析】 cos α＝1－2sin2＝1－2×2＝1－＝.
【答案】 C
2．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 a＋b
一、选择题
1．下列等式中正确的是( )
A．sin2＋cos2＝
B．若α∈(0,2π)，则一定有tan α＝
C．sin ＝±
D．sin α＝tan α·cos α(α≠kπ＋，k∈Z)
【解析】 选项A中，sin2＋cos2＝1，所以A不正确；利用同角的三角函数基本关系时一定要注意其隐含条件，对于B中cos α≠0，也即α≠kπ＋(k∈Z)，因而B不正确；因为0<<，所以sin >0，所以C错．
【答案】 D
2．已知tan α＝－2，则sin2α＋cos2α的值是( )
A. B.
C. D.
【解析】 原式 ＝
＝＝，故选B.
【答案】 B
3．已知sin αcos α＝，且π<α<，则cos α－sin α的值为( )
A. B．－
C. D．－
【解析】 ∵(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，
又π<α<π，∴cos α∴cos α－sin α＝－，故选B.
【答案】 B
4．若sin θ＋sin2θ＝1，则cos2θ＋cos4θ等于( )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
【解析】 由sin θ＋sin2θ＝1，解sin θ＝1－sin2θ，即cos2θ＝sin θ，
所以cos2θ＋cos4θ＝sin θ＋sin2θ＝1.
【答案】 B
5．若sin θ＝，cos θ＝，则m的值为( )
A．0 B．8
C．0或8 D．3＜m＜9
【解析】 由平方关系得
()2＋()2＝1
∴m＝0或8，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．化简sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β的结果为________．
【解析】 原式＝sin2α＋sin2β(1－sin2α)＋cos2αcos2β
＝sin2α＋sin2βcos2α＋cos2αcos2β
＝sin2α＋cos2α(sin2β＋cos2β)＝1.
【答案】 1
7．(2013·大纲全国卷)已知α是第三象限角，sin α＝－，则cot α＝________.
【解析】 由且α是第三象限角，
可得cos α＝－，所以cot α＝＝2.
【答案】 2
8．在△ABC中，tan A＝，则sin A＝________.
【解析】 ∵tan A＝＝，且sin2A＋cos2A＝1，
∴sin A＝±.
又∵A为△ABC的内角，∴sin A＝.
【答案】
三、解答题
9．化简： ＋(0＜α＜)．
【解】 原式＝ ＋
＝|cos－sin|＋|cos＋sin|，
∵α∈(0，)，∴∈(0，)．
∴cos－sin＞0，sin＋cos＞0.
∴上式＝cos－sin＋cos＋sin＝2cos.
10．已知2cos2α＋3cos αsin α－3sin2α＝1，求：(1)tan α；(2).
【解】 (1)由原条件得＝1
?＝1
?4tan2α－3tan α－1＝0得tan α＝－或tan α＝1；
(2)原式＝
当tan α＝－时，原式＝；当tan α＝1时，原式＝.
11．已知θ∈(0,2π)，且sin θ，cos θ是方程x2－kx＋k＋1＝0的两个实根，求k和θ的值．21世纪教育网版权所有
【解】 由题意知
由①得1＋2sin θcos θ＝k2，
把②代入①得k2－2k－3＝0，
解得k＝3或k＝－1，
当k＝3时，sin θ·cos θ＝4不合题意，舍去．
当k＝－1时，
∴或
又θ∈(0,2π)，∴θ＝π或.
综上知k＝－1，θ＝π或.
一、选择题
1．化简sin(x＋y)sin(x－y)＋cos(x＋y)cos(x－y)的结果是( )
A．sin 2x B．cos 2y
C．－cos 2x D．－cos 2y
【解析】 原式＝cos[(x＋y)－(x－y)]＝cos 2y.故选B.
【答案】 B
2．对任意的锐角α，β，下列不等关系中一定成立的是( )
A．sin(α＋β)>sin α＋sin β
B．sin(α－β)>sin α－sin β
C．cos(α＋β)D．cos(α－β)【解析】 α，β为任意锐角，在(0，π)上余弦函数是减函数，显然cos α>0，cos β>0，cos(α＋β)【答案】 C
3．已知α和β都是锐角，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，则sin β的值是( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵α、β都是锐角，∴cos α＝ ＝，
sin(α＋β)＝ ＝.
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)·sin α
＝×－(－)×＝.
【答案】 C
4．已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，则cos(α－β)的值为( )
A. B.
C. D．－
【解析】 由sin α＋sin β＝ ①
cos α＋cos β＝ ②
①2＋②2，得2(sin αsin β＋cos αcos β)＝－1.
∴cos(α－β)＝－.
【答案】 D
5．函数y＝sin x＋cos x＋2，(x∈[0，])的最小值是( )
A．2－ B．2＋
C．3 D．1
【解析】 y＝(sin x＋cos x)＋2
＝sin(x＋)＋2.
∵x∈[0，]，∴x＋∈[，]．
当x＝0或x＝时，ymin＝×＋2＝3.
【答案】 C
二、填空题
6．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.
【解析】 由cos(α＋β)＝sin(α－β)，得cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，21·cn·jy·com
(cos α－sin α)(cos β＋sin β)＝0.
因为α，β均为锐角，所以cos β＋sin β>0，
所以cos α－sin α＝0，即tan α＝1.
【答案】 1
7．sin(65°－x)·cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)＝________.
【解析】 原式＝sin(65°－x)·sin[90°－(x－20°)]＋cos(65°－x)·cos(110°－x)＝cos[(65°－x)－(110°－x)]＝cos(65°－110°)＝cos 45°＝.www.21-cn-jy.com
【答案】
8．(2013·课标全国卷Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.21教育网
【解析】 y＝sin x－2cos x＝，
设＝cos α，＝sin α，
则y＝(sin xcos α－cos xsin α)＝sin(x－α)．
∵x∈R∴x－α∈R，∴ymax＝.
又∵x＝θ时，f(x)取得最大值，
∴f(θ)＝sin θ－2cos θ＝.
又sin2θ＋cos2θ＝1，
∴即cos θ＝－.
【答案】 －
三、解答题
9．已知α、β∈(，π)，sin(α＋β)＝－，sin(β－)＝，求cos(α＋)的值．
【解】 ∵α、β∈(，π)，∴α＋β∈(，2π)．
∴cos(α＋β)＝＝.
又β－∈(，)，∴cos(β－)＝－.
∴cos(α＋)＝cos[(α＋β)－(β－)]
＝cos(α＋β)cos(β－)＋sin(α＋β)sin(β－)
＝×(－)＋(－)×＝－.
10．如图3－2－2，点P是单位圆上的一个动点，它从初始位置P0开始沿单位圆按逆时针方向运动角α(0＜α＜)到达点P1，然后继续沿单位圆逆时针方向运动角到达点P2，若点P2的横坐标为－，求cos α的值．
图3－2－2
【解】 由题意，结合三角函数的定义可知cos(α＋)＝－，又α∈(0，)，∴sin(α＋)＝，21cnjy.com
∴cos α＝cos[(α＋)－]
＝cos(α＋)cos＋sin(α＋)sin
＝－×＋×＝.
11．(2012·广东高考)已知函数f(x)＝Acos(＋)，x∈R，且f()＝.
(1)求A的值；
(2)设α，β∈[0，]，f(4α＋π)＝－，f(4β－π)＝，求cos(α＋β)的值．
【解】 (1)由f()＝得Acos(＋)＝，
即A·cos ＝，∴A＝2.
(2)由(1)知f(x)＝2cos(＋)．
由
得解得
∵α，β∈[0，]，∴cos α＝＝，
sin β＝＝.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.
一、选择题
1．已知α∈(－，0)，sin α＝－，则tan(α＋)＝( )
A．－7 B．－
C. D．7
【解析】 ∵α∈(－，0)，sin α＝－，
∴cos α＝，∴tan α＝＝－，
∴tan(α＋)＝＝＝－.
【答案】 B
2．tan 20°tan 50°＋tan 20°tan 60°－tan 60°tan 50°等于( )
A．1 B．－1
C. D．－
【解析】 原式＝tan 20°(tan 50°＋tan 60°)－tan 60°tan 50°＝tan 20°tan 110°(1－tan 50°tan 60°)－tan 60°tan 50°21教育网
＝tan 20°(－tan 70°)(1－tan 50°tan 60°)－tan 50°tan 60°21cnjy.com
＝－(1－tan 50°tan 60°)－tan 50°tan 60°
＝－1.
【答案】 B
3．(1＋tan 17°)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)(1＋tan 28°)的值是( )
A．2 B．4
C．8 D．16
【解析】 (1＋tan 17°)(1＋tan 28°)
＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28°， ①
又∵tan 45°＝tan(17°＋28°)
＝，
∴①式＝1＋(1－tan 17°tan 28°)＋tan 17°tan 28°＝2.
同理(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝2.
∴原式＝4.故选B.
【答案】 B
4．在△ABC中，tan A＝，tan B＝－2，则角C的值为( )
A. B.
C. D.
【解析】 C＝π－(A＋B)，
∴tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)
＝－＝－＝1，
∴C＝，故选B.
【答案】 B
5．设tan θ和tan(－θ)是方程x2＋px＋q＝0的两个根，则p、q之间的关系是( )
A．p＋q＋1＝0 B．p－q＋1＝0
C．p＋q－1＝0 D．p－q－1＝0
【解析】 ∵tan θ＋tan(－θ)＝－p，
tan θ·tan(－θ)＝q，
＝θ＋(－θ)，
∴tan＝tan[θ＋(－θ)]＝＝1，
∴p－q＋1＝0.
【答案】 B
二、填空题
6．已知α为第三象限的角，cos 2α＝－，则tan(＋2α)＝________.
【解析】 ∵α为第三象限的角，则2kπ＋π≤α≤2kπ＋，∴4kπ＋2π≤2α≤4kπ＋3π(k∈Z)．又cos 2α＝－，∴sin 2α＝，tan 2α＝－，∴tan(＋2α)＝＝－.21世纪教育网版权所有
【答案】 －
7．已知α、β、γ都是锐角，且tan α＝，tan β＝，tan γ＝，则α＋β＋γ＝________.21·cn·jy·com
【解析】 ∵tan(α＋β)＝
＝＝，tan(α＋β＋γ)＝
＝＝1，
由于tan α＝＜.且α为锐角，
∴0＜α＜，同理0＜β＜，0＜γ＜
∴0＜α＋β＋γ＜，∴α＋β＋γ＝.
【答案】
8．若a，b是非零实数，且＝tan ，则＝________.
【解析】 ∵
＝＝tan ＝tan(＋)
＝，
∴＝tan ＝.
【答案】
三、解答题
9．已知tan α，tan β是方程mx2＋(2m－3)x＋(m－2)＝0的两根，求tan(α＋β)的最小值．www.21-cn-jy.com
【解】 由题设知，tan α＋tan β＝－，tan α·tan β＝.
∴tan(α＋β)＝＝＝－m，
又Δ＝(2m－3)2－4m(m－2)≥0，
∴4m2－12m＋9－4m2＋8m≥0，∴－4m＋9≥0，即m≤，
∴－m≥－，∴－m≥－＝－，即tan(α＋β)≥－.
因此tan(α＋β)的最小值为－.
10．在△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝且tan A＋tan B＋1＝tan Atan B，判断△ABC的形状．2·1·c·n·j·y
【解】 由tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)
＝＝＝－，
而0°由tan C＝tan[π－(A＋B)]＝＝＝，
而0°11．已知tan α＝－，cos β＝，α，β∈(0，π)．
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求函数f(x)＝sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．
【解】 (1)由cos β＝，β∈(0，π)得sin β＝，tan β＝2.
于是tan(α＋β)＝
＝＝1.
(2)因为tan α＝－，α∈(0，π)，
所以sin α＝，cos α＝－.
f(x)＝(sin x·cos α－cos x·sin α)＋cos x·cos β－sin x·sin β
＝(－·sin x－·cos x)＋cos x－sin x
＝－sin x－cos x＋cos x－sin x
＝－sin x，
所以f(x)的最大值为.
一、选择题
1．－＋cos215°的值等于( )
A. B.
C. D．1
【解析】 原式＝－＋×
＝－＋＋cos 30°
＝×＝.
【答案】 C
2．(2012·山东高考)若θ∈[，]，sin 2θ＝，则sin θ＝( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵θ∈[，]，∴2θ∈[，π]．
∴cos 2θ＝－＝－，
∴sin θ＝＝.
【答案】 D
3．(2013·浙江高考)函数f(x)＝sin xcos x＋cos 2x的最小正周期和振幅分别是( )21世纪教育网版权所有
A．π，1 B．π，2
C．2π，1 D．2π，2
【解析】 f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin，所以最小正周期为T＝＝π，振幅A＝1.21教育网
【答案】 A
4.－等于( )
A．－2cos 5° B．2cos 5°
C．－2sin 5° D．2sin 5°
【解析】 原式＝－
＝(cos 50°－sin 50°)
＝2(cos 50°－sin 50°)
＝2sin(45°－50°)
＝2sin(－5°)
＝－2sin 5°.
【答案】 C
5．设sin α＝(＜α＜π)，tan(π－β)＝，则tan(α－2β)＝( )
A．－ B．－
C. D.
【解析】 ∵sin α＝，α∈(，π)，
∴cos α＝－，∴tan α＝－.
又∵tan(π－β)＝，∴tan β＝－，
∴tan 2β＝＝－.
∴tan(α－2β)＝
＝＝.
【答案】 D
二、填空题
6．已知sin θ＋cos θ＝，且≤θ≤，则cos 2θ的值是________．
【解析】 由条件可得sin 2θ＝－，
又π≤2θ≤，
所以cos 2θ＝－.
【答案】 －
7．函数f(x)＝sin(2x－)－2·sin2x的最小正周期是________．
【解析】 f(x)＝sin(2x－)－2sin2x
＝sin 2x－cos 2x－2×
＝sin 2x＋cos 2x－
＝sin(2x＋)－，
故该函数的最小周期为＝π.
【答案】 π
8．若cos 2θ＝，则sin4θ＋cos4θ的值是________．
【解析】 sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝1－(1－cos22θ)＝1－[1－()2]＝.21cnjy.com
【答案】
三、解答题
9．已知tan 2θ＝－2，<2θ<π，求的值．
【解】 原式＝＝，
∵tan 2θ＝＝－2，
∴tan2θ－tan θ－＝0，
解得tan θ＝或tan θ＝－.
又∵<2θ<π，∴<θ<，
∴tan θ＝－舍去，取tan θ＝.
故原式＝＝－3＋2.
10．(1)若cos(－x)＝－，(2)已知α∈(－，)，且sin 2α＝sin(α－)，求α.
【解】 (1)
＝
＝
＝sin 2x＝sin 2xtan(－x)
＝cos(－2x)tan(－x)
＝[2cos2(－x)－1]tan(－x)，
∵∴－<－x<－π.
又∵cos(－x)＝－，
∴sin(－x)＝，tan(－x)＝－.
∴原式＝(2×－1)×(－)＝－.
(2)原方程可化为
1－2cos2(α＋)＝－cos(α＋)，
解得cos(α＋)＝1或cos(α＋)＝－.
又∵α∈(－，)，∴α＋＝0或.
∴α＝－或α＝.
11．(2013·北京高考)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．
【解】 (1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x
＝cos 2xsin 2x＋cos 4x
＝(sin 4x＋cos 4x)
＝sin，
所以f(x)的最小正周期为，最大值为.
(2)因为f(α)＝，所以sin＝1.
因为α∈，
所以4α＋∈.
所以4α＋＝，故α＝.
