2022—2023学年下学期高一年级
（数学）学科大练习（四）
考试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 化简（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】运用向量加法、减法运算求解即可.
【详解】
故选：C.
2. 已知，是两个不共线的向量，，，且，则实数t的值为（ ）
A. B. C. 6 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用共线向量定理及平面向量基本定理求解作答.
【详解】，是两个不共线的向量，，，而，
则存在实数，使得，即，
因此，解得，
所以实数t的值为.
故选：A
3. 如图，在平行四边形ABCD中，下列计算结果错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量运算的几何意义，结合条件逐项分析即得.
【详解】因为四边形为平行四边形，
对A，，正确；
对B，，错误；
对C，，正确；
对D，，正确.
故选：B.
4. 如图，在梯形ABCD中，，BC＝2AD，DE＝EC，设，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取BC中点F，先征得四边形为平行四边形，再结合平面向量基本运算求解即可.
【详解】取BC中点F，连接AF，如图所示，
又因为，，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以
.
故选：D.
5. 已知，，与的夹角为60°，则（ ）
A. B. 7 C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】运用平面向量数量积、模的运算公式求解即可.
【详解】因为，
所以.
故选：A
6. 已知向量，满足，，且向量，的夹角为，若与垂直，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据 与垂直得到（ ）·=0，再利用向量数量积的运算法则化简即得解.
【详解】根据 与垂直得到（ ）·=0，
所以.
故答案为D
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.
7. 在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，点E在边CD上，且，则（ ）
A. 1 B. 2 C. －1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，运用向量数量积坐标公式计算即可.
【详解】以A为原点，分别以AB、AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，，
设，则，，
因为，
所以，解得，
所以，
所以，，
所以.
故选：C.
8. 如图，在△ABC中，点O在边BC上，且OC＝2OB．过点O的直线分别交射线AB、射线AC于不同的两点M、N，若，，则2m＋n＝（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. －2
【答案】C
【解析】
【分析】运用向量线性运算及三点共线结论即可求得结果.
【详解】连接AO，如图所示，
因为，
所以，
又因为，，
所以，
又因为、、三点共线，
所以，
所以.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列命题中正确的有（ ）
A. 平行向量就是共线向量
B. 相反向量就是方向相反的向量
C. 与同向，且，则
D. 两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件
【答案】AD
【解析】
【分析】利用共线向量的定义可判断A选项；利用相反向量的定义可判断B选项；根据两个向量不能比较大小可判断C选项；利用向量相等的定义结合充分条件、必要条件的定义可判断D选项.
【详解】对于A选项，平行向量就是共线向量，A对；
对于B选项，相反向量就是方向相反且长度相等的向量，B错；
对于C选项，任何两个向量都不能比较大小，C错；
对于D选项，“两个向量平行”“这两个向量相等”，
另一方面，“两个向量平行”“这两个向量相等”，
所以，两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，D对.
故选：AD.
10. 对于任意的平面向量，，，下列说法错误的是（ ）
A. 若且，则 B.
C. 若，且，则 D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】取可判断A选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断B选项；利用平面向量垂直的数量积表示可判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项.
【详解】对于A选项，若，且，则、不一定共线，A错；
对于B选项，由平面向量数量积的运算性质可得，B对；
对于C选项，若，且，则，所以，或，C错；
对于D选项，设，，则表示与共线的向量，
表示与共线的向量，所以，与不一定相等，D错.
故选：ACD.
11. 中，为上一点且满足，若为上一点，且满足，、为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】先证明结论：若、、三点共线，点为直线外一点，且，则，分析可得，利用基本不等式可判断各选项的正误.
【详解】先证明结论：若、、三点共线，点为直线外一点，且，则.
证明：因、、三点共线，可设，即，
所以，，所以，.
、为正实数，，即，故，
，且、、三点共线，，
∴当且仅当，时取等号，
，当且仅当，时取等号.
故选：BD.
12. 直角三角形OAB中，，OA＝3，OB＝2，M为OB的中点，，且P为AM与BN的交点，设，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】运用平面向量基底表示向量，再结合平面向量数量积、模、夹角公式计算即可.
【详解】如图所示，
因为，M为OB的中点，
所以，，，
又因为，，，
所以，
对于A项，，故A项正确；
对于B项，因为，
所以，故B项正确；
对于C项，因为，
，
所以，故C项正确；
对于D项，，故D项错误.
故选：ABC.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．
13. 若，，，则与的夹角大小为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据数量积的定义结合已知计算即可.
【详解】解：因为，
所以，
又因，
所以与的夹角为.
故答案为：.
14. 已知，，向量在方向上的投影向量是（是与方向相同的单位向量），则______．
【答案】12
【解析】
【分析】运用平面向量的投影向量及数量积公式计算即可.
【详解】由题意知，在方向上的投影向量为，
所以，
所以.
故答案为：12.
15. 已知点O是△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则______．
【答案】5
【解析】
【分析】运用向量加法法则可得，再结合三角形外心性质、平面向量数量积定义及运算求解即可.
【详解】如图所示，
取AB的中点E，连接OE，
因为为△ABC的外心，则，
所以，
同理： ，
所以.
故答案为：5.
16. 设，均为单位向量，对任意的实数t有恒成立，则的最小值为______．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据已知条件求得的数量积，然后根据向量数量积的运算律，模长公式结合二次函数的性质即得.
【详解】设的夹角为，因为，
两边平方可得：，
即对任意的恒成立，
故可得：，即，
则，故，
因为，
对，当且仅当时取得最小值，
故的最小值为，
故答案为：.
三、解答题：本大题共4小题，每题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知是平面上两个不共线的向量且
（1）若方向相反，求的值；
（2）若三点共线，求的值.
【答案】（1）2；（2）或
【解析】
【分析】（1）由得，再由向量相等可得答案；
（2）由题意知，即，再由向量相等可得答案
【详解】（1）由题意知，，则存在，使得，即，
从而，得，或，又方向相反，则
（2）由题意知，，由三点共线得，，存，使得，即，从而，得或，所以或.
18. 如图，在菱形中，.
（1）若，求的值；
（2）若，求
【答案】（1）1 （2）9
【解析】
【分析】（1）利用向量的线性运算求，结合平面向量的基本定理求得，进而求得.
（2）先求得，然后利用转化法求得.
【小问1详解】
因为，
所以，
所以，
所以，
故.
【小问2详解】
，
，
为菱形，，
所以，
.
19. 已知，，.
（1）求 与 的夹角 ；
（2）求 与 的夹角的余弦值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）先由已知求出，再代入两个向量夹角的余弦公式求得夹角；
（2）先求出与，同样代入两个向量夹角的余弦公式求得夹角；
【小问1详解】
由已知，得，
因为，所以.
又，
所以cos，
因为，所以.
【小问2详解】
因为，所以，
因为，所以.
所以.
20. 如图，在直角三角形中，．点分别是线段上的点，满足．
（1）求的取值范围；
（2）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）由题意得，结合即可得解；
（2）由，求解即可.
【小问1详解】
在直角三角形中，．
∴，，
，
∵，∴．
【小问2详解】
令，得或（舍）.
∴存在实数，使得．2022—2023学年下学期高一年级
（数学）学科大练习（四）
考试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 化简（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，是两个不共线的向量，，，且，则实数t的值为（ ）
A. B. C. 6 D. 2
3. 如图，在平行四边形ABCD中，下列计算结果错误的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，在梯形ABCD中，，BC＝2AD，DE＝EC，设，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，，与的夹角为60°，则（ ）
A. B. 7 C. 3 D.
6. 已知向量，满足，，且向量，的夹角为，若与垂直，则实数的值为（ ）
A B. C. D.
7. 在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，点E在边CD上，且，则（ ）
A 1 B. 2 C. －1 D.
8. 如图，在△ABC中，点O在边BC上，且OC＝2OB．过点O的直线分别交射线AB、射线AC于不同的两点M、N，若，，则2m＋n＝（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. －2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列命题中正确的有（ ）
A. 平行向量就是共线向量
B. 相反向量就是方向相反的向量
C. 与同向，且，则
D. 两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件
10. 对于任意平面向量，，，下列说法错误的是（ ）
A 若且，则 B.
C. 若，且，则 D.
11. 中，为上一点且满足，若为上一点，且满足，、为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
12. 直角三角形OAB中，，OA＝3，OB＝2，M为OB的中点，，且P为AM与BN的交点，设，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．
13. 若，，，则与的夹角大小为______．
14. 已知，，向量在方向上的投影向量是（是与方向相同的单位向量），则______．
15. 已知点O是△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则______．
16. 设，均为单位向量，对任意的实数t有恒成立，则的最小值为______．
三、解答题：本大题共4小题，每题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知是平面上两个不共线的向量且
（1）若方向相反，求的值；
（2）若三点共线，求的值.
18. 如图，在菱形中，.
（1）若，求的值；
（2）若，求.
19. 已知，，.
（1）求 与 的夹角 ；
（2）求 与 的夹角的余弦值．
20. 如图，在直角三角形中，．点分别是线段上的点，满足．
（1）求的取值范围；
（2）是否存在实数，使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．
