3.1.1椭圆及其标准方程-高中数学人教A版选择性必修第一册同步课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
3.1.1 椭圆及其标准方程
第三章 圆锥曲线的方程
问题引入
椭圆是圆锥曲线的一种，
具有丰富的几何性质，
在科研生产和人类生活中
具有广泛的应用，
我们要利用这些特征建立椭圆的方程，
从而为研究椭圆的几何性质奠定基础.
新知探索
椭圆的定义
如果把细绳的两端分别固定在图板的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
F2
F1
新知探索
椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和
等于常数（大于｜F1F2｜）的点的轨迹
叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，
焦距的一半称为半焦距．
新知探索
椭圆的定义
动点M到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是 ，则动点M的轨迹为（ ）
A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.无轨迹
A
10
8
7
F1
M
F2
B
F1
F2
D
新知探索
椭圆的标准方程
x
O
y
M
F1
F2
①建系：以两定点所在直线为x轴，
线段F1F2中垂线为y轴，
建立平面直角坐标系Oxy
②设点：设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐标分别是( c,0)、(c,0) .
③坐标化：
新知探索
椭圆的标准方程
④化简：
两边平方得
两边同除以
得
新知探索
椭圆的标准方程
你能在图中找出
表示a，c， ，
的线段吗？
椭圆的标准方程：
O
y
F1
F2
M
P
x
新知探索
椭圆的标准方程
x
y
F1
F2
P
O
以F1F2所在直线为y轴，以线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系.
焦点在x轴上得到的等式
焦点在y轴上得到的等式
新知探索
椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 _________________ _________________
图形
焦点坐标 ____________________ ____________________
a，b，c的关系 __________
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
b2＝a2－c2
典例精析
题型一：求椭圆的标准方程
例1 根据下列条件,求椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0);
(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0);
解 (1)因为椭圆的焦点在x轴上,
所以设它的标准方程为=1(a>b>0).
因为2a==10,所以a=5.
又c=4,所以b2=a2-c2=25-16=9.
故所求椭圆的标准方程为=1.
(2) 设它的标准方程为=1(a>b>0).
又椭圆经过点(0,2)和(1,0),
所以解得
故所求椭圆的标准方程为+x2=1.
典例精析
题型一：求椭圆的标准方程
例1 根据下列条件,求椭圆的标准方程:
(3)经过点A(,-2)和点B(-2,1).
(3)(方法1)①当焦点在x轴上时,
设椭圆的标准方程为=1(a>b>0).
依题意有解得
故所求椭圆的标准方程为=1.
②当焦点在y轴上时,
设椭圆的标准方程为=1(a>b>0).
依题意有解得
因为不满足a>b>0,所以无解.
综上可知,所求椭圆的标准方程为=1.
典例精析
题型一：求椭圆的标准方程
例1 根据下列条件,求椭圆的标准方程:
(3)经过点A(,-2)和点B(-2,1).
(方法2)设所求椭圆的方程为
mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),
依题意有解得
故所求椭圆的标准方程为=1.
典例精析
题型二：椭圆的定义及其应用
例2　已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.
解　由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝3，
从而|F1F2|＝2c＝6，
在△PF1F2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|. ①
由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4，
即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|. ②
由①②得|PF1|·|PF2|＝4.
所以＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝.
例3 如图,已知经过椭圆=1的右焦点F2的直线AB垂直于x轴,交椭圆于A,B两点,
F1是椭圆的左焦点.
(1)求△AF1B的周长.
(2)如果AB不垂直于x轴,△AF1B的周长有变化吗 为什么
典例精析
题型二：椭圆的定义及其应用
解 (1)由题意知A,B在椭圆=1上,
故有|AF1|+|AF2|=2a=10,|BF1|+|BF2|=2a=10,|AF2|+|BF2|=|AB|,
∴△AF1B的周长=|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|
=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=10+10=20,
∴△AF1B的周长为20.
(2)如果AB不垂直于x轴,△AF1B的周长仍为20不变.
理由:|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|
=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a,和AB与x轴是否垂直无关.
典例精析
题型三：与椭圆有关的轨迹问题
例4 已知B,C是两个定点,|BC|=8,且△ABC的周长等于18.
求这个三角形的顶点A的轨迹方程.
解 以过B,C两点的直线为x轴,
线段BC的垂直平分线为y轴,
建立平面直角坐标系xOy,如图所示.
由|BC|=8可知点B(-4,0),C(4,0).
由|AB|+|AC|+|BC|=18,
得|AB|+|AC|=10>8=|BC|,
因此,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,
这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a=10,焦距2c=8,但点A不在x轴上.
由a=5,c=4,
得b2=a2-c2=25-16=9.
所以点A的轨迹方程为=1(y≠0).
典例精析
题型三：与椭圆有关的轨迹问题
例5 已知x轴上一定点A(1,0),Q为椭圆+y2=1上任一点,求线段AQ中点M的轨迹方程.
解 设中点M的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x0,y0).
利用中点坐标公式,得
∵点Q(x0,y0)在椭圆+y2=1上,∴=1.
将x0=2x-1,y0=2y代入上式,得+(2y)2=1.
故所求AQ的中点M的轨迹方程是(x-)2+4y2=1.
例6 如图所示，已知动圆P过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程.
解　设动圆P和定圆B内切于点M，
动圆圆心P到两定点A(－3,0)和B(3,0)的
距离之和恰好等于定圆半径，
即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|，
所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆，
其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，
其轨迹方程为＋＝1.
典例精析
题型三：与椭圆有关的轨迹问题
典例精析
题型三：与椭圆有关的轨迹问题
例7 如图所示，圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，求点M的轨迹方程．
解　由垂直平分线的性质可知|MQ|＝|MA|，
∴|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|，
∴|CM|＋|MA|＝5.
∴点M的轨迹为椭圆，其中2a＝5，
焦点为C(－1,0)，A(1,0)，
∴a＝，c＝1 ，∴b2＝a2－c2＝－1＝.
∴所求点M的轨迹方程为＋＝1.
跟踪练习
1.椭圆 ＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为
A.5 B.6 C.7 D.8
√
解　设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，|PF1|＝2，
结合椭圆定义|PF2|＋|PF1|＝10，可得|PF2|＝8.
跟踪练习
2.若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是
A.(0，＋∞) B.(0,2)
C.(1，＋∞) D.(0,1)
√
跟踪练习
3.椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆标准方程为__________.
解　如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，
又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.
跟踪练习
4.求以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点,且经过点M(2,)的椭圆的标准方程.
课堂小结
本
课
结
束