模块学习评价
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2013·江西高考)若sin ＝，则cos α＝( )
A．－ B．－
C. D.
【解析】 cos α＝1－2sin2＝1－2×2＝1－＝.
【答案】 C
2．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 a＋b＝(3，k＋2)，∵a＋b与a共线，
∴k＋2－3k＝0，得k＝1.
∴a·b＝(1,1)·(2,2)＝4.
【答案】 D
3．sin(x＋27°)cos(18°－x)＋sin(18°－x)cos(x＋27°)＝( )
A. B．－
C．－ D.
【解析】 原式＝sin[(x＋27°)＋(18°－x)]＝sin 45°＝.
【答案】 D
4．下列各向量中，与a＝(3,2)垂直的是( )
A．(3，－2) B．(2,3)
C．(－4,6) D．(－3,2)
【解析】 因为(3,2)·(－4,6)＝3×(－4)＋2×6＝0，
所以选C.
【答案】 C
5．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于( )
A．－ B.
C. D.
【解析】 2a＋b＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，
a－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，
(2a＋b)·(a－b)＝9，
|2a＋b|＝3，|a－b|＝3.
设所求两向量夹角为α，则cos α＝＝，
∴α＝.
【答案】 C
6．若α是第四象限的角，则π－α是( )
A．第一象限的角 B．第二象限的角
C．第三象限的角 D．第四象限的角
【解析】 ∵2kπ＋<α<2kπ＋2π(k∈Z)，
∴－2kπ－>－α>－2kπ－2π(k∈Z)．
∴－2kπ－>π－α>－2kπ－π(k∈Z)．故应选C.
【答案】 C
7．在△ABC中，若sin Acos B<0，则此三角形必是( )
A．锐角三角形 B．任意三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
【解析】 ∵sin Acos B<0，A、B为△ABC内角，
∴sin A>0，cos B<0.
因此【答案】 D
8．若实数x满足log2x＝3＋2cos θ，则|x－2|＋|x－33|等于( )
A．35－2x B．31
C．2x－35 D．2x－35或35－2x
【解析】 ∵－2≤2cos θ≤2，
∴1≤3＋2cos θ≤5，
即1≤log2x≤5，
∴2≤x≤32
∴|x－2|＋|x－33|＝x－2＋33－x＝31.
【答案】 B
9．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】 ∵＋＋＝0.
∴M为△ABC的重心．
连接AM并延长交BC于D，则D为BC的中点．
∴＝.
又＝(＋)，
∴＝(＋)，即＋＝3，比较得m＝3.
【答案】 B
10．(2013·山东高考)函数y＝xcos x＋sin x的图象大致为( )
【解析】 当x＝时，y＝1＞0，排除C.
当x＝－时，y＝－1，排除B；或利用y＝xcos x＋sin x为奇函数，图象关于原点对称，排除B.
当x＝π时，y＝－π＜0，排除A.故选D.
【答案】 D
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上)
11．若tan α＝3，则的值等于________．
【解析】 ＝＝2tan α＝2×3＝6.
【答案】 6
12．(2012·江西高考)设单位向量m＝(x，y)，b＝(2，－1)．若m⊥b，则|x＋2y|＝________.
【解析】 设单位向量m＝(x，y)，则x2＋y2＝1，若m⊥b，则m·b＝0，即2x－y＝0，解得x2＝，所以|x|＝，|x＋2y|＝5|x|＝.
【答案】
13．要得到函数y＝3cos(2x－)的图像，可以将函数y＝3sin(2x－)的图像沿x轴向____平移____个单位．
【解析】 y＝3sin(2x－)y＝3sin 2x＝3cos(2x－)．
【答案】 左
14．已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，若A、B、C三点共线，则实数k＝________.
【解析】 ＝(4－k，－7)，＝(6，k－5)，
∵A，B，C三点共线，∴∥，
∴(4－k)(k－5)－(－7)×6＝0，
即k＝－2或11.
【答案】 －2或11
图1
15．如右图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy＝60°，平面上任一点P在斜坐标系中的斜坐标是这样定义的：若＝xe1＋ye2(其中e1，e2分别为与x轴，y轴方向相同的单位向量)，则P点的斜坐标为(x，y)．若P点的斜坐标为(3，－4)，则点P到原点O的距离|PO|＝________.
【解析】 由点的斜坐标的定义可知＝3e1－4e2，
∵2＝9e－24e1·e2＋16e
＝9|e1|2－24|e1||e2|×cos 60°＋16|e2|2
＝9－24×＋16＝13.
∴||2＝13，即||＝.
故点P到原点O的距离|PO|＝.
【答案】
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)(1)已知|a|＝4，|b|＝3，且(a＋2b)·(a－3b)＝0，求a·b；
(2)已知a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2.如果a＋kb与5a＋b互相垂直，求实数k的值．
【解】 (1)∵(a＋2b)·(a－3b)
＝a2－a·b－6b2
＝|a|2－a·b－6|b|2
＝16－a·b－54＝0，
∴a·b＝－38.
(2)由题意a·b＝|a|·|b|·cos 120°
＝4×2×(－)＝－4.
∵(a＋kb)⊥(5a＋b)，
∴(a＋kb)·(5a＋b)＝0，
即5a2＋(5k＋1)a·b＋kb2＝0，
∴5|a|2＋(5k＋1)·(－4)＋k·|b|2＝0.
∴5×16－(20k＋4)＋4k＝0，∴k＝.
17．(本小题满分12分)已知平面直角坐标系内的Rt△ABC，∠A＝90°，A(－2，－1)，C(2,5)，向量上的单位向量a＝(，－)，P在CB上，且＝λ.
(1)求点B坐标；
(2)当AP分别为三角形的中线、高线时，求λ的值及对应中点、垂足的坐标．
【解】 (1)设B(x，y)，＝(x－2，y－5)．
又＝λa，
∴(x－2，y－5)＝λ(，－)．故x＝2＋λ，y＝5－λ，
∴B(2＋λ，5－λ)．
＝(4＋λ，6－λ)，＝(4,6)．
由·＝(4＋λ，6－λ)·(4,6)＝0，得λ＝13.
故点B(7，－7)．
(2)若P是BC的中点，则＝，
∴λ＝，此时，点P的坐标为(，)，即(，－1)．
若AP是BC边的高，则⊥.
∴(＋)·＝0，
即·＋λ·＝0.
又＝(5，－12)，
代入上式有(4,6)·(5，－12)＋λ(5，－12)·(5，－12)＝0.
解之，得λ＝.
设此时点P(m，n)．
∵＝λ，即＝，
∴(m－2，n－5)＝(5，－12)．
∴
即
∴P(，)．
图2
18．(本小题满分12分)如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
【解】 在直角三角形OBC中，OB＝cos α，BC＝sin α，
在直角三角形OAD中，＝tan 60°＝，
所以OA＝DA＝sin α，
AB＝OB－OA＝cos α－sin α.
设矩形ABCD的面积为S，则
S＝AB·BC＝(cos α－sin α)sin α
＝sin αcos α－sin2α
＝sin 2α－(1－cos 2α)
＝sin 2α＋cos 2α－
＝(sin 2α＋cos 2α)－
＝sin(2α＋)－.
因为0<α<，
所以当2α＋＝，
即α＝时，S最大＝－＝.
因此，当α＝时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为.
19．(本小题满分13分)(2012·湖南高考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0<φ<)的部分图像如图所示．
图3
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数g(x)＝f(x－)－f(x＋)的单调递增区间．
【解】 (1)由题设图像知，周期T＝2(－)＝π，
所以ω＝＝2.
因为点(，0)在函数图像上，所以Asin(2×＋φ)＝0，
即sin(＋φ)＝0.
又因为0<φ<，
所以<＋φ<.
从而＋φ＝π，即φ＝.
又点(0,1)在函数图像上，所以Asin ＝1，解得A＝2.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x＋)．
(2)g(x)＝2sin[2(x－)＋]－2sin[2(x＋)＋]
＝2sin 2x－2sin(2x＋)＝2sin 2x－2(sin 2x＋cos 2x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin(2x－)．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数g(x)的单调递增区间是[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
20．(本小题满分12分)(2013·湖南高考)已知函数f(x)＝cos x·cos.
(1)求f的值；
(2)求使f(x)<成立的x的取值集合．
【解】 (1)f＝cos·cos
＝－cos·cos
＝－2＝－.
(2)f(x)＝cos xcos
＝cos x·
＝cos2 x＋sin xcos x
＝(1＋cos 2x)＋sin 2x
＝cos＋.
f(x)<等价于cos＋<，
即cos<0.
于是2kπ＋<2x－<2kπ＋，k∈Z.解得kπ＋故使f(x)<成立的x的取值集合为
{x|kπ＋21．(本小题满分13分)(2012·北京高考)已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求f(x)的单调递增区间．
【解】 (1)由sin x≠0得x≠kx(k∈Z)，
故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．
因为f(x)＝
＝2cos x(sin x－cos x)
＝sin 2x－cos 2x－1
＝sin(2x－)－1，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)函数y＝sin x的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kx＋，x≠kx(k∈Z)．
所以f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ)和(kπ，kπ＋](k∈Z)．
课件69张PPT。三角函数的图像与性质 y＝Asin(ωx＋φ)的图像及性质的应用 平面向量概念及坐标运算 平面向量的数量积 同角三角函数关系式及和(差) 角公式 二倍角公式 课件36张PPT。任意角的三角函数的定义及三角函数线 诱导公式 三角函数的图像及变换 三角函数的性质 数形结合的思想 课件40张PPT。平面向量的线性运算 平面向量的数量积 向量的坐标运算 平面向量的应用 数形结合思想在向量问题中的应用 课件30张PPT。三角函数式的化简 三角函数式的求值 三角函数与平面向量的综合应用 转化与化归的思想 综合检测(一)
第一章 三角函数
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)＝sin(－)，x∈R的最小正周期为( )
A. B．π
C．2π D．4π
【解析】 T＝＝＝4π.
【答案】 D
2．化简sin(9π－α)＋cos(－－α)＝( )
A．2sin α B．2cos α
C．sin α＋cos α D．0
【解析】 sin(9π－α)＋cos(－－α)＝sin(π－α)＋cos(＋α)＝sin α－sin α＝0.
【答案】 D
3．函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)图像的相邻的两支截直线y＝所得线段长为，则f()的值是( )
A．0 B．1
C．－1 D.
【解析】 由题意知截得线段长为一周期，∴T＝，
∴ω＝＝4，
∴f()＝tan (4×)＝0.
【答案】 A
4．已知角α的终边上一点的坐标为(sin ，cos )，则角α的最小正值为
( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵sin >0，cos <0，
∴点(sin ，cos )在第四象限．
又∵tan α＝＝－，
∴α的最小正值为2π－π＝π.
【答案】 D
5．要得到函数y＝sin(4x－)的图像，只需把函数y＝sin 4x的图像( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
【解析】 由于y＝sin(4x－)＝sin[4(x－)]，所以只需把y＝sin 4x的图像向右平移个单位长度，故选D.
【答案】 D
6．设函数f(x)＝sin(2x＋)，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的图像关于直线x＝对称
B．f(x)的图像关于点(，0)对称
C．把f(x)的图像向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图像
D．f(x)的最小正周期为π，且在[0，]上为增函数
【解析】 f()＝sin(2×＋)＝sin π＝0，故A错；
f()＝sin(2×＋)＝sin(＋)＝cos ＝≠0，故B错；把f(x)的图像向左平移个单位长度，得到y＝cos 2x的图像，故C正确．
【答案】 C
7．(2012·福建高考)函数f(x)＝sin(x－)的图像的一条对称轴是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝－ D．x＝－
【解析】 法一 ∵正弦函数图像的对称轴过图像的最高点或最低点，
故令x－＝kπ＋，k∈Z，∴x＝kπ＋，k∈Z.
取k＝－1，则x＝－.
法二 x＝时，y＝sin(－)＝0，不合题意，排除A；x＝时，y＝sin(－)＝，不合题意，排除B；x＝－时，y＝sin(－－)＝－1，符合题意，C项正确；而x＝－时，y＝sin(－－)＝－，不合题意，故D项也不正确．
【答案】 C
8．(2013·西安高一检测)下列函数中，以π为周期且在区间(0，)上为增函数的函数是( )
A．y＝sin B．y＝sin x
C．y＝－tan x D．y＝－cos 2x
【解析】 C、D中周期为π，A、B不满足T＝π.
又y＝－tan x在(0，)为减函数，C错．
y＝－cos 2x在(0，)为增函数．
∴y＝－cos 2x满足条件．
【答案】 D
9．已知函数y＝sin 在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
【解析】 T＝6，则≤t，如图：
∴t≥，∴tmin＝8.
故选C.
【答案】 C
10．(2012·天津高考)将函数f(x)＝sin ωx(其中ω>0)的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点(，0)，则ω的最小值是( )
A. B．1
C. D．2
【解析】 根据题意平移后函数的解析式为y＝sin ω(x－)，将(，0)代入得sin ＝0，则ω＝2k，k∈Z，且ω>0，故ω的最小值为2.
【答案】 D
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上)
11．已知圆的半径是6 cm，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形的面积是________cm2.
【解析】 15°＝，∴扇形的面积为S＝r2·α＝×62×＝.
【答案】
12．sin(－120°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝________.
【解析】 原式＝－sin(180°－60°)·cos(3·360°＋210°)＋cos(－1 080°＋60°)·sin(－3×360°＋30°)
＝－sin 60°cos(180°＋30°)＋cos 60°·sin 30°
＝－×(－)＋×＝1.
【答案】 1
13．(2013·江苏高考)函数y＝3sin(2x＋)的最小正周期为________．
【解析】 函数y＝3sin(2x＋)的最小正周期T＝＝π.
【答案】 π
图1
14．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图像如图所示，则ω＝________.
【解析】 由图像可知，
T＝4×(－)＝，
∴ω＝＝.
【答案】
15．关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下命题：
①对于任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；②不存在φ，使f(x)既是奇函数又是偶函数；③存在φ，使f(x)是奇函数；④对任意的φ，f(x)都不是偶函数．
其中假命题的序号是________．
【解析】 当φ＝2kπ，k∈Z时，f(x)＝sin x是奇函数；
当φ＝(2k＋1)π，k∈Z时，f(x)＝－sin x仍是奇函数；
当φ＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)＝cos x或φ＝2kπ－，k∈Z时，f(x)＝－cos x都是偶函数．
所以①和④是错误的，③是正确的．
又因为φ无论取何值都不能使f(x)恒为零，故②正确．所以填①④.
【答案】 ①④
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)已知角x的终边过点P(1，)．
(1)求：sin(π－x)－sin(＋x)的值；
(2)写出角x的集合S.
【解】 ∵x的终边过点P(1，)，
∴r＝|OP|＝＝2.
∴sin x＝，cos x＝.
(1)原式＝sin x－cos x＝.
(2)由sin x＝，cos x＝.
若x∈[0,2π]，则x＝，
由终边相同角定义，∴S＝{x|x＝2kπ＋，k∈Z}.
17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋(A＞0，ω＞0)图像上的一个最高点的坐标为(，2)，则此点到相邻最低点间的曲线与直线y＝交于点(π，)，若φ∈(－，)．
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)求函数的对称中心．
【解】 (1)由题意得A＝2－＝.
由＝－＝，
∴周期为T＝π.
∴ω＝＝＝2，
此时解析式为y＝sin(2x＋φ)＋.
以点(，2)为“五点法”作图的第二关键点，则有
2×＋φ＝，
∴φ＝，
∴y＝sin(2x＋)＋.
(2)由2x＋＝kπ(k∈Z)得x＝－(k∈Z)．
∴函数的对称中心为(－，)(k∈Z)．
18．(本小题满分12分)(2012·陕西高考)函数f(x)＝Asin(ωx－)＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α∈(0，)，f()＝2，求α的值．
【解】 (1)∵函数f(x)的最大值为3，∴A＋1＝3，即A＝2.
∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，
∴最小正周期T＝π，∴ω＝2，
∴函数f(x)的解析式为y＝2sin(2x－)＋1.
(2)∵f()＝2sin(α－)＋1＝2，
∴sin(α－)＝.
∵0<α<，∴－<α－<，
∴α－＝，∴α＝.
19．(本小题满分13分)已知y＝a－bcos 3x(b>0)的最大值为，最小值为－.
(1)求函数y＝－4asin(3bx)的周期、最值，并求取得最值时的x的值；
(2)判断(1)问中函数的奇偶性．
【解】 (1)∵y＝a－bcos 3x，b>0，
∴解得
∴函数y＝－4asin(3bx)＝－2sin 3x，
∴此函数的周期T＝.
当x＝＋(k∈Z)时，函数取得最小值－2；
当x＝－(k∈Z)时，函数取得最大值2.
(2)∵函数解析式为y＝－2sin 3x，x∈R，
∴－2sin(－3x)＝2sin 3x，即f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
20．(本小题满分13分)函数f1(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的一段图像过点(0,1)，如图所示．
图2
(1)求函数f1(x)的表达式；
(2)将函数y＝f1(x)的图像向右平移个单位，得函数y＝f2(x)的图像，求y＝f2(x)的最大值，并求出此时自变量x的集合，并写出该函数的增区间．
【解】 (1)由题意知T＝π＝，∴ω＝2.
将y＝Asin 2x的图像向左平移，得y＝Asin(2x＋φ)的图像，于是φ＝2×＝.
将(0,1)代入y＝Asin(2x＋)，得A＝2.
故f1(x)＝2sin(2x＋)．
(2)依题意，f2(x)＝2sin[2(x－)＋]
＝－2cos(2x＋)，
∴y＝f2(x)的最大值为2.
当2x＋＝2kπ＋π(k∈Z)，
即x＝kπ＋(k∈Z)时，ymax＝2，
x的集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
∵y＝cos x的减区间为x∈[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z，
∴f2(x)＝－2cos (2x＋)的增区间为{x|2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z}，解得{x|kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z}，
∴f2(x)＝－2cos(2x＋)的增区间为x∈[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
图3
21．(本小题满分13分)已知定义在区间[－π，]上的函数y＝f(x)的图像关于直线x＝－对称，当x∈[－，]时，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－<φ<)，其图像如图所示．
(1)求函数y＝f(x)在[－π，]上的表达式；
(2)求方程f(x)＝的解．
【解】 (1)由图像可知，A＝1，＝－＝，
∴T＝2π.
∴ω＝＝＝1.
∵f(x)＝sin(x＋φ)过点(，0)，
∴＋φ＝π.
∴φ＝.
∴f(x)＝sin(x＋)，x∈[－，]．
∵当－π≤x<－时，－≤－x－≤，
又∵函数y＝f(x)在区间[－π，]上的图像关于直线x＝－对称，
∴f(x)＝f(－x－)＝sin[(－x－)＋]＝sin(－x)＝－sin x，x∈[－π，－]．
∴f(x)＝
(2)当－≤x≤时，≤x＋≤π.
由f(x)＝sin(x＋)＝，得x＋＝或x＋＝，
∴x＝－或x＝.
当－π≤x<－时，由f(x)＝－sin x＝，即sin x＝－得x＝－或x＝－.
∴方程f(x)＝的解为x＝－或或－或－.
综合检测(二)
第二章 平面向量
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
【解析】 ∵a⊥c，∴a·c＝0.又∵a∥b，∴可设b＝λa，则c·(a＋2b)＝c·(1＋2λ)a＝0.
【答案】 D
2．已知向量a＝(1,0)与向量b＝(－1，)，则向量a与b的夹角是( )
A. B.
C. D.
【解析】 cos〈a，b〉＝＝＝－.
∴〈a，b〉＝.
【答案】 C
3．已知a＝(1,2)，b＝(x,1)，μ＝a＋b，υ＝a－b，且μ∥υ，则x的值为( )
A. B．－
C. D．－
【解析】 ∵μ＝(1＋x,3)，υ＝(1－x,1)，μ∥υ.
∴(1＋x)×1－3×(1－x)＝0，∴x＝.
【答案】 A
4．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是( )
A．[0，] B．[，π]
C．[，] D．[，π]
【解析】 Δ＝|a|2－4a·b＝|a|2－4|a||b|cos〈a，b〉＝4|b|2－8|b|2·cos〈a，b〉≥0.
∴cos〈a，b〉≤，〈a，b〉∈[0，π]．
∴≤〈a，b〉≤π.
【答案】 B
5．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角是( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵a·(b－a)＝a·b－a2＝2，∴|a||b|cos θ－|a|2＝2，
∴1×6×cos θ－1＝2，∴cos θ＝，又0≤θ≤π，∴θ＝，故选C.
【答案】 C
6．已知＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上一点P使·有最小值，则P点的坐标是( )
A．(－3,0) B．(3,0)
C．(2,0) D．(4,0)
【解析】 设P(x,0)，∴＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，∴·＝(x－2)(x－4)＋2
＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
当x＝3时，·取最小值，此时P(3,0)．
【答案】 B
7．若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|b|，则函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)是( )
A．一次函数且是奇函数
B．一次函数但不是奇函数
C．二次函数且是偶函数
D．二次函数但不是偶函数
【解析】 ∵a⊥b，∴a·b＝0，
∴f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)＝x2(a·b)＋(|b|2－|a|2)x－a·b＝(|b|2－|a|2)x，又|a|≠|b|，∴f(x)是一次函数且为奇函数，故选A.
【答案】 A
8．已知非零向量与满足(＋)·＝0且·＝，则△ABC为( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰非等边三角形
D．三边均不相等的三角形
【解析】 和分别是与，同向的两个单位向量．
∴＋是∠BAC角平分线上的一个向量，由(＋)·＝0知该向量与边BC垂直，∴△ABC是等腰三角形．由＝知∠BAC＝60°.∴△ABC是等边三角形．
【答案】 A
9．(2013·湖北高考)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为( )
A. B.
C．－ D．－
【解析】 由已知得＝(2,1)，＝(5,5)，因此在方向上的投影为＝＝.
【答案】 A
10．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝( )
A．2 B．4
C．5 D．10
【解析】 ∵＝－，
∴||2＝2－2·＋2.
∵＝－，∴||2＝2－2·＋2.
∴||2＋||2＝(2＋2)－2·(＋)＋22＝2－2·2＋22.
又2＝162，＝2，代入上式整理得||2＋||2＝10||2，故所求值为10.
【答案】 D
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上)
11．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5 ，则|b|等于________．
【解析】 ∵|a＋b|＝5 ，∴(a＋b)2＝50，即a2＋b2＋2a·b＝50，
又|a|＝，a·b＝10，
∴5＋|b|2＋2×10＝50.
解得|b|＝5.
【答案】 5
12．已知a＝(3,1)，b＝(sin α，cos α)，且a∥b.则＝________.
【解析】 ∵a∥b，∴3cos α＝sin α，
∴tan α＝3.
＝＝＝.
【答案】
13．(2013·课标全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.
【解析】 如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，
∴＝(1,2)，＝(－2,2)，
∴·＝1×(－2)＋2×2＝2.
【答案】 2
14．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________．
【解析】 由题意a·b＝0，即有(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0
∴ke＋(1－2k)e1·e2－2e＝0.
又∵|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝，
∴k－2＋(1－2k)·cos ＝0，
∴k－2＝，∴k＝.
【答案】
15．(2012·安徽高考)设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.
【解析】 a＋c＝(1,2m)＋(2，m)＝(3,3m)．
∵(a＋c)⊥b，
∴(a＋c)·b＝(3,3m)·(m＋1,1)＝6m＋3＝0，
∵m＝－，
∴a＝(1，－1)，|a|＝＝.
【答案】
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)(2013·江苏高考)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.
(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；
(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．
【解】 (1)证明 由题意得|a－b|2＝2，
即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.
又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，
所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.
(2)因为a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，
所以
由此得，cos α＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.
又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝，而α＞β，所以α＝，β＝.
17．(本小题满分12分)平面内三点A、B、C在一条直线上，＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，且⊥，求实数m、n的值．
【解】 ＝－＝(7，－1－m)，
＝－＝(5－n，－2)．
∵A、B、C三点共线，∴∥，
∴－14＋(m＋1)(5－n)＝0. ①
又⊥.
∴－2n＋m＝0. ②
由①②解得m＝6，n＝3或m＝3，n＝.
18．(本小题满分12分)已知a，b是两个非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取最小值时．
(1)求t的值；
(2)求证：b⊥(a＋tb)．
【解】 (1)(a＋tb)2＝|a|2＋|tb|2＋2a·tb，
|a＋tb|最小，即|a|2＋|tb|2＋2a·tb最小，
即t2|b|2＋|a|2＋2t|a||b|cos 〈a，b〉最小．
故当t＝－时，|a＋tb|最小．
(2)证明：b·(a＋tb)＝a·b＋t|b|2＝|a||b|cos 〈a，b〉－|b|2＝|a||b|cos 〈a，b〉－|a||b|cos〈a，b〉＝0，故b⊥(a＋tb)．
19．(本小题满分13分)△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3＋4＋5＝0.
(1)求数量积·，·，·；
(2)求△ABC的面积．
【解】 (1)∵3＋4＋5＝0，
∴3＋4＝0－5，
即(3＋4)2＝(0－5)2.
可得92＋24·＋162＝252.
又∵|OA|＝|OB|＝|OC|＝1，
∴2＝2＝2＝1，
∴·＝0.
同理·＝－，
·＝－.
(2)S△ABC＝S△OAB＋S△OBC＋S△OAC＝||·||sin ∠AOB＋||·||sin ∠BOC＋||·||sin ∠AOC.
又|OA|＝|OB|＝|OC|＝1.
∴S△ABC＝(sin ∠AOB＋sin ∠BOC＋sin ∠AOC)．
由(1)·＝||·||·cos ∠AOB＝cos ∠AOB＝0得sin ∠AOB＝1.
·＝||·||·cos ∠BOC＝cos ∠BOC＝－，
∴sin ∠BOC＝，
同理sin ∠AOC＝.
∴S△ABC＝.
20．(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
【解】 (1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线长分别为4，2.
(2)由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．
由(－t)·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－.
图1
21．(本小题满分13分)如图1，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2 .若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
【解】 法一：作CD∥OB交直线OA于点D，作CE∥OA交直线OB于点E，则＝＋，
由已知∠OCD＝∠COE＝120°－30°＝90°，在Rt△OCD中，OD＝＝4，
CD＝OCtan 30°＝2，
∴OE＝CD＝2.
又∵||＝||＝1，∴＝4，＝2 ，即＝＋＝4＋2，从而λ＋μ＝6，
法二：由图可知∠BOC＝120°－30°＝90°，即⊥，
又∵＝λ＋μ
∴
∴
解得，∴λ＋μ＝6.
综合检测(三)
第三章 三角恒等变形
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°等于( )
A．0 B.
C. D．1
【解析】 sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°
＝sin(15°＋75°)＝sin 90°＝1.
【答案】 D
2．在锐角△ABC中，设x＝sin A·sin B，y＝cos A·cos B，则x、y的大小关系为( )
A．x≤y B．x＞y
C．x＜y D．x≥y
【解析】 y－x＝cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，
∵C为锐角，∴－cos C＜0，
∴y－x＜0，即x＞y.
【答案】 B
3．若sin α＋cos α＝tan α(0<α<)，则α的取值范围是( )
A．(0，) B．(，)
C．(，) D．(，)
【解析】 因为sin α＋cos α＝sin(α＋)，当0<α<时，此式的取值范围是(1，]，而tan α在(0，)上小于1，故可排除A，B；在(，)上sin α＋cos α与tan α不可能相等，所以D不正确，故选C.
【答案】 C
4．在△ABC中，若sin C＝2cos Asin B，则此三角形必是( )
A．等腰三角形 B．正三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【解析】 sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)，
∴sin Acos B＋cos Asin B＝2cos Asin B.
∴sin(A－B)＝0，∴A＝B，
∴△ABC为等腰三角形．
【答案】 A
5．(2012·陕西高考)设向量a＝(1，cos θ)与b＝(－1，2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( )
A. B.
C．0 D．－1
【解析】 a＝(1，cos θ)，b＝(－1,2cos θ)．
∵a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos2θ＝0，
∴cos2θ＝，∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝1－1＝0.
【答案】 C
6．当0A．2 B．2
C．4 D．4
【解析】 f(x)＝＝＝cot x＋4tan x≥2＝4.当且仅当cot x＝4tan x，即tan x＝时取得等号．故选C.
【答案】 C
7．(2013·江西高考)若sin ＝，则cos α＝( )
A．－ B．－
C. D.
【解析】 cos α＝1－2sin2＝1－2×2＝1－＝.
【答案】 C
8．(2013·重庆高考)4cos 50°－tan 40°＝( )
A. B.
C. D．2－1
【解析】 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－
＝＝
＝
＝＝
＝
＝＝·＝.
【答案】 C
9．已知f(x)＝sin2(x＋)，若a＝f(lg 5)，b＝f(lg )，则( )
A．a＋b＝0 B．a－b＝0
C．a＋b＝1 D．a－b＝1
【解析】 由题意知f(x)＝sin2(x＋)＝＝，
令g(x)＝sin 2x，则g(x)为奇函数，且f(x)＝g(x)＋，a＝f(lg 5)＝g(lg 5)＋，b＝f(lg )＝g(lg )＋，则a＋b＝g(lg 5)＋g(lg )＋1＝g(lg 5)＋g(－lg 5)＋1＝1，故a＋b＝1.
【答案】 C
10．对于函数f(x)＝2sin xcos x，下列选项中正确的是( )
A．f(x)在(，)上是递增的
B．f(x)的图像关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π
D．f(x)的最大值为2
【解析】 f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x，
∴f(x)为奇函数，f(x)图像关于原点对称．
【答案】 B
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上)
11．(2012·江西高考)若＝，则tan 2α＝________.
【解析】 由＝，等式左边分子、分母同除cos α得，＝，解得tan α＝－3，则tan 2α＝＝.
【答案】
12．知α，β∈(0，)，＝，且3sin β＝sin(2α＋β)，则α＋β＝________.
【解析】 由＝，得tan α＝.由3sin β＝sin(2α＋β)，得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，化简得tan(α＋β)＝2tan α＝1.由于α，β∈(0，)，故α＋β∈(0，)，所以α＋β＝.
【答案】
13．若θ是第二象限角，cos －sin ＝，则角所在的象限是________．
【解析】 ∵＝
＝|sin －cos |＝cos －sin ，
∴sin ∵θ是第二象限角，
∴＋2kπ<θ<π＋2kπ，k∈Z.
则＋kπ<<＋kπ.k∈Z.
由上可得π＋2kπ<<π＋2kπ，k∈Z.所以是第三象限角．
【答案】 第三象限角
14．函数f(x)＝sin2(2x－)的最小正周期是________．
【解析】 f(x)＝
＝＝，
∴最小正周期T＝＝.
【答案】
15．(2012·江苏高考)设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为________．
【解析】 ∵α为锐角且cos(α＋)＝，
∴sin(α＋)＝.
∴sin(2α＋)＝sin[2(α＋)－]
＝sin 2(α＋)cos －cos 2(α＋)sin
＝sin(α＋)cos(α＋)－[2cos2(α＋)－1]
＝××－[2×()2－1]＝－＝.
【答案】
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)(2013·辽宁高考)设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．
【解】 (1)由|a|2＝(sin x)2＋sin2 x＝4sin2x，
|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，
及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.
又x∈，从而sin x＝，
所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x
＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，
当x＝∈时，sin取最大值1.
所以f(x)的最大值为.
17．(本小题满分12分)若2sin(＋α)＝sin θ＋cos θ，2sin2β＝sin 2θ，求证：sin 2α＋cos 2β＝0.
【证明】 由2sin(＋α)＝sin θ＋cos θ得cos α＋sin α＝sin θ＋cos θ，两边平方得
2(1＋sin 2α)＝1＋sin 2θ，即
sin 2α＝(sin 2θ－1)， ①
由2sin2β＝sin 2θ得，1－cos 2β＝sin 2θ. ②
将②代入①得
sin 2α＝[(1－cos 2β)－1]得
sin 2α＝－cos 2β，
即sin 2α＋cos 2β＝0.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ω＞0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
【解】 (1)f(x)＝4cos ωx·sin
＝2sin ωx·cos ωx＋2cos2ωx
＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋＝2sin＋.
因为f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，
从而有＝π，故ω＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x＋)＋.
若0≤x≤，则≤2x＋≤.
当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；
当＜2x＋≤，即＜x≤时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
19．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋)＋sin(ωx－)－2cos2，x∈R(其中ω>0)．
(1)求函数f(x)的值域；
(2)若对任意的a∈R，函数y＝f(x)，x∈(a，a＋π]的图像与直线y＝－1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值(不必证明)，并求函数y＝f(x)，x∈R的单调增区间．
【解】 (1)f(x)＝sin(ωx＋)＋sin(ωx－)－2cos2＝2sin ωxcos －cos ωx－1
＝2sin(ωx－)－1，
∵x∈R，∴f(x)的值域为[－3,1]．
(2)由题意得函数f(x)的周期为π.
∴＝π，∴ω＝2，
∴f(x)＝2sin(2x－)－1.
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z.
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴函数f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
图1
20．(本小题满分13分)如图1，以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为(－，)．
(1)求的值；
(2)若·＝0，求sin(α＋β)．
【解】 (1)由三角函数定义得cos α＝－，sin α＝，
则原式＝＝
＝2cos2α＝2×(－)2＝.
(2)∵·＝0，∴α－β＝.
∴β＝α－.
∴sin β＝sin(α－)＝－cos α＝，
cos β＝cos(α－)＝sin α＝.
∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×＋(－)×＝.
21．(本小题满分13分)(2012·湖北高考)设函数f(x)＝sin2ωx＋2sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图像关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(，1)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若y＝f(x)的图像经过点(，0)，求函数f(x)的值域．
【解】 (1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin ωx·cos ωx＋λ＝－cos 2ωx＋sin 2ωx＋λ＝2sin(2ωx－)＋λ，
由直线x＝π是y＝f(x)图像的一条对称轴，可得sin(2ωπ－)＝±1，
所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z)．
又ω∈(，1)，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.
所以函数f(x)的最小正周期是.
(2)由y＝f(x)的图像过点(，0)，得f()＝0，
即λ＝－2sin(×－)＝－2sin ＝－，即λ＝－.
故f(x)＝2sin(x－)－，函数f(x)的值域为[－2－，2－]．
