3.1.2 第1课时 椭圆的几何性质 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
3.1.2　椭圆的简单几何性质
第1课时　椭圆的几何性质
第三章 圆锥曲线的方程
问题引入
与利用直线的方程、圆的方程研究
它们的几何性质一样，
我们利用椭圆的标准方程
研究椭圆的几何性质，
包括椭圆的范围、形状、大小、
对称性和特殊点等.
新知探索
椭圆的简单几何性质
1. 对称性
对于椭圆=1(a>b>0)标准方程，把 x 换成-x，或把 y 换成- y，
或把 x、y 同时换成- x、 - y，方程都不变，
所以椭圆=1(a>b>0)是以 x 轴、y轴为对称轴的轴对称图形，
且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心．
新知探索
椭圆的简单几何性质
2. 范围
椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，
所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b．
新知探索
椭圆的简单几何性质
3. 顶点
①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点．
②椭圆=1(a>b>0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，
坐标分别为A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）．
③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b．
a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
新知探索
椭圆的简单几何性质
4.离心率
① 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用 e 表示，记作e==．
② 因为 a＞c＞0，所以 e 的取值范围是 0＜e＜1．e 越接近1，则 c 就越接近 a，从而b=越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近0，
从而 b 越接近于 a，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当 a = b 时，c = 0，
这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为 x2 + y2 = a2．
新知探索
椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程
范围 ____________________ ____________________
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点 ______________________ ______________________ ______________________
______________________
轴长 短轴长＝ ，长轴长＝____
焦点
焦距 |F1F2|＝
对称性 对称轴： 　对称中心：_____
离心率 e＝ ∈_____
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
2b
2a
x轴、y轴
原点
(0,1)
典例精析
题型一：由方程研究椭圆的几何性质
例1　求椭圆x2＋4y2＝16的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
解　由已知，方程可化为＋＝1.
∴a＝4，b＝2，c＝2.
∴长轴长为2a＝8，短轴长为2b＝4，
离心率e＝＝，
焦点坐标为F1(－2，0)，F2(2，0)，
四个顶点坐标分别为A1(－4，0)，A2(4，0)，B1(0，－2)，B2(0，2)．
例2　设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标.
典例精析
题型一：由方程研究椭圆的几何性质
解　椭圆方程可化为＋＝1.
(1)当0＜m＜4时，a＝2，b＝，c＝，
∴e＝＝＝，
∴m＝3，∴b＝，c＝1，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4,2，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，
顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－)，B2(0，).
(2)当m>4时，a＝，b＝2，c＝，
∴e＝＝＝，
∴m＝，∴a＝，c＝，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别是, 4，焦点坐标为F1(0, )，F2(0, )，
顶点坐标为A1(0, )，A2(0, )，B1(－2，0)，B2(2，).
例2　设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标.
典例精析
题型一：由方程研究椭圆的几何性质
典例精析
题型二：由几何性质求方程
例3　根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程．
(1)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6；
(2)与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率e＝；
(3)以直线3x＋4y－12＝0与两坐标轴的交点为一个顶点和一个焦点．
解　(1)依题意有b＝c＝6，
∴a2＝b2＋c2＝72.
∴所求的椭圆方程为＋＝1.
(2)∵c＝＝，
∴所求椭圆的焦点为(－，0)，(，0)．
设所求椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵e＝，c＝，∴a＝5，b2＝a2－c2＝20.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
典例精析
题型二：由几何性质求方程
例3　根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程．
(3)以直线3x＋4y－12＝0与两坐标轴的交点为一个顶点和一个焦点．
(3)直线3x＋4y－12＝0与两坐标轴的交点分别为(0，3)，(4，0)．
①若以(4，0)为一个焦点，则c＝4，b＝3，a＝5.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
②若以(0，3)为一个焦点，则c＝3，b＝4，a＝5.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
综上，所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.

典例精析
题型三：求椭圆的离心率
例4　(1)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为_____.
解　方法一　由题意可设|PF2|＝m，
结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，
故离心率e＝＝＝＝＝.
方法二　由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，
将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，
所以|PF2|＝.
又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，
故2c＝·
变形可得(a2－c2)＝2ac，
等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，
解得e＝或e＝－(舍去).
典例精析
题型三：求椭圆的离心率
(2)已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P是以F1F2为直径的圆与该椭圆的一个交点，且∠PF1F2＝2∠PF2F1，则这个椭圆的离心率是________．
解　由题意知△PF1F2为直角三角形，
且∠F1PF2＝90°，∠PF1F2＝60°，|F1F2|＝2c，
则|PF1|＝c，|PF2|＝c，由椭圆的定义知，
|PF1|＋|PF2|＝2a，即c＋c＝2a，
得离心率e＝＝－1.
－1
典例精析
题型三：求椭圆的离心率
(3)若椭圆＋＝1(a>b>0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2分别为椭圆的左、右焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围为________．
解 方法一：设点M的坐标是(x0，y0)，则|x0|∵F1(－c，0)，F2(c，0)，
∴＝(－c－x0，－y0)，＝(c－x0，－y0)．
∵∠F1MF2＝90°，∴·＝0，∴x02＋y02＝c2.
又y02＝b2－x02，∴x02＋y02＝b2＋x02∈[b2，a2)，
即c2∈[b2，a2)，∴c2≥b2＝a2－c2，∴≥，∴e≥或e≤－，
又0典例精析
题型三：求椭圆的离心率
(3)若椭圆＋＝1(a>b>0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2分别为椭圆的左、右焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围为________．
方法二：设点M的坐标是(x0，y0)，则|x0|由,消去y0，得x02＝.
∵0≤x02由①得c2≥b2，即c2≥a2－c2，
∴a2≤2c2，∴e2＝≥.
又0由②得c2－b2综上所述，
椭圆的离心率e的取值范围是[,1).
典例精析
题型三：求椭圆的离心率
(3)若椭圆＋＝1(a>b>0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2分别为椭圆的左、右焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围为________．
方法三：设椭圆与y轴的一个交点为P，连接PF1，PF2.
∵椭圆上存在一点M，使∠F1MF2＝90°，
∴∠F1PF2≥90°，则c≥b，
∴c2≥b2＝a2－c2，∴≥，∴e≥或e≤－，
又0跟踪练习
则a＝6，∴b2＝a2－c2＝27，
√
跟踪练习
2.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为
√
解　不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点.
依题意可知，△BF1F2是正三角形.
∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，
|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，
跟踪练习
跟踪练习
跟踪练习
4.如图所示，圆柱形玻璃杯中的水液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
解 椭圆的短轴长为圆柱的直径，椭圆的长轴、圆柱底面的直径和母线三者组成一个直角三角形，且长轴与母线的夹角为30°，b＝r，a＝＝2r，
所以c＝＝r，e＝＝.
D
课堂小结
本
课
结
束