3.1.2 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.1.2　椭圆的简单几何性质
第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用
问题引入
我们研究过直线与圆的位置关系，
直线与圆的位置关系有几种？
研究问题的方法是什么？
椭圆也是一种二次曲线，
直线与椭圆的位置关系有几种？
能不能利用研究直线与圆位置关系的方法研究直线与椭圆位置关系？
新知探索
直线与椭圆的位置关系
通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，对解的个数进行讨论．
通常消去方程组中的一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程．
(1)Δ＞0 直线与椭圆相交 有两个不同的公共点；
(2)Δ＝0 直线与椭圆相切 有且只有一个公共点；
(3)Δ＜0 直线与椭圆相离 无公共点．
新知探索
弦长问题
通常将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x(或y)的一元二次方程，
然后利用根与系数的关系求弦长，从而绕过求直线与椭圆的交点坐标．
若直线y＝kx＋b与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则|AB|＝|x1－x2|＝ ·，
或|AB|＝·|y1－y2|＝ · .
新知探索
点与椭圆位置关系的判断方法
新知探索
椭圆的中点弦问题
(1)方程组法
联立直线方程与椭圆方程，
消去其中一个未知量后得到一个一元二次方程，
利用根与系数的关系(韦达定理)及中点坐标公式求解．
y
A
B
O
x
新知探索
椭圆的中点弦问题
(2)点差法
设直线与椭圆＋＝1(m>0，n>0，m≠n)的交点(弦的端点)
坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点(x0，y0)，
将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，
得到kAB＝＝－·＝－·．
y
A
B
O
x
典例精析
题型一：直线与椭圆的位置关系
例1　已知直线y＝x＋m和椭圆4x2＋y2＝1.当直线与椭圆有公共点时，
求实数m的取值范围.
解　由方程组，
消去y，整理得5x2＋2mx＋m2－1＝0.
Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2.
由Δ≥0，得20－16m2≥0，解得－≤m≤.
例2 若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，求m的取值范围．
典例精析
题型一：直线与椭圆的位置关系
解　方法一：由，消去y，
得(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.
∵直线与椭圆总有公共点，
∴Δ＝100k2－20(m＋5k2)(1－m)≥0.
又∵m＞0，∴m≥1－5k2.
而1－5k2的最大值为1，则m≥1.
又m＜5，则1≤m＜5.
方法二：∵直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)，
∴若直线与椭圆总有公共点，
则点(0，1)不在椭圆外部．
∴＋≤1，又∵m＞0，∴m≥1.
又椭圆焦点在x轴上，∴m＜5.
∴1≤m＜5.
典例精析
题型一：直线与椭圆的位置关系
例3　已知直线l：x＋y＝6，P为椭圆＋＝1上一点，求P到l的最大距离．
y
O
x
解　设直线x＋y＝m与椭圆相切，
由，消去y，
得5x2－8mx＋4m2－20＝0.
令Δ＝(－8m)2－4×5×(4m2－20)＝0，
得m＝5或m＝－5.
∴所求最大距离即为直线x＋y＝－5与直线l间的距离，
∴最大距离为＝.
例4　已知A(6，0)，B(0，6)，C为椭圆＋＝1上一点，求△ABC面积的最小值．
典例精析
题型一：直线与椭圆的位置关系
解　由题意知直线AB的方程为x＋y＝6，
设直线x＋y＝m与椭圆相切，
联立方程，消去y，
得5x2－8mx＋4m2－20＝0.
由Δ＝0，得m＝5或－5.
∴C到直线AB的最小距离为.
∴S△ABC的最小值为×|AB|＝3.
典例精析
题型二：弦长问题
例5　(1)已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．
解　设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
且椭圆方程中a2＝4，b2＝1，c2＝3，
所以右焦点的坐标为(，0)．
所以直线l的方程为y＝x－.
将上式代入＋y2＝1，
整理可得5x2－8x＋8＝0，
则Δ＝(－8)2－4×5×8＝32＞0，
故x1＋x2＝，x1x2＝.
所以|AB|＝|x1－x2|
＝×
= .
跟踪练习
典例精析
题型二：弦长问题
(2)已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
解　设直线与椭圆交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则x1，x2是方程5x2＋2mx＋m2－1＝0的两根．
由Δ＞0，得4m2－20(m2－1)＞0，解得m2＜.
由韦达定理，得x1＋x2＝－，x1·x2＝.
∴弦长＝ ·
＝
＝≤，
当且仅当m＝0时取等号，
此时直线方程为y＝x.
例6　已知一直线与椭圆4x2＋9y2＝36相交于A，B两点，弦AB的中点坐标为M(1，1)，求直线AB的方程．
跟踪练习
典例精析
题型三：中点弦问题
解　方法一：设通过点M(1，1)的
直线AB的方程为y＝k(x－1)＋1，
代入椭圆方程，整理得
(9k2＋4)x2＋18k(1－k)x＋9(1－k)2－36＝0.
则Δ＝32k2＋8k＋12＝32＋＞0.
设A，B的横坐标分别为x1，x2，
则＝＝1，解得k＝－.
故AB的方程为y＝－(x－1)＋1，
即4x＋9y－13＝0.
方法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
两式相减得
4(x2－x1)(x2＋x1)＋9(y2－y1)(y2＋y1)＝0.
∵M为AB中点，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2.
∴4(x2－x1)＋9(y2－y1)＝0.
例6　已知一直线与椭圆4x2＋9y2＝36相交于A，B两点，弦AB的中点坐标为M(1，1)，求直线AB的方程．
跟踪练习
典例精析
题型三：中点弦问题
∴＝－，即kAB＝－.
由点斜式得AB的方程为 y－1＝－(x－1)，
即4x＋9y－13＝0.
跟踪练习
1．直线l：kx－y－k＝0与椭圆＋＝1的位置关系是(　　)
A．相交　 B．相离
C．相切 D．不确定
解　∵kx－y－k＝0，∴y＝k(x－1)，
即直线过定点(1，0)，
而(1，0)点在＋＝1的内部，
故直线l与椭圆＋＝1相交．
A
跟踪练习
2．若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是(　　)
A. B.－
C.± D.±
C
解　把y＝kx＋2代入＋＝1，
得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，
因为直线与椭圆相切，
所以Δ＝(12k)2－4(3k2＋2)×6＝0，解得k＝±.
跟踪练习
3.已知椭圆+y2=1，求过点P(, )且被 P 平分的弦所在的直线方程．
解 法一：设所求直线的斜率为k，则直线方程为y-=k(x-)．
代入椭圆方程，并整理得(1+2k2)x2-(2k2-2k)x+k2-k-=0
由韦达定理得x1+x2=．
∵P 是弦中点，∴x1＋x2 ＝ 1．故得k=- ．
所以所求直线方程为 2x＋4y－ 3＝0．
跟踪练习
解 法二：设过P(, )的直线与椭圆交于A(x1, y1)、B(x2, y2) ，
则由题意得，
两式相减得
即＝－，即直线的斜率为－．
所求直线方程为2x＋4y－ 3＝0 ．
3.已知椭圆+y2=1，求过点P(, )且被 P 平分的弦所在的直线方程．
4.已知椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点．
若AB＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．
跟踪练习
解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
代入椭圆方程并作差得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
＝－1，＝kOC＝，代入上式可得b＝a.
由|AB|＝|x2－x1|＝|x2－x1|＝2，
其中x1，x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根，
故|x2－x1|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4.
将b＝a代入得a＝，所以b＝.所以椭圆方程是＋＝1.
课堂小结
本
课
结
束