3.2.1 第2课时 双曲线及其标准方程的应用 课件（共23张PPT）
文档属性
| 名称 | 3.2.1 第2课时 双曲线及其标准方程的应用 课件（共23张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-05-23 16:49:24 | ||
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文档简介
(共23张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.2.1 双曲线及其标准方程
第2课时 双曲线及其标准方程的应用
文字语言 平面内与两个定点F1，F2的距离的__________等于非零
常数(小于|F1F2|)的点的轨迹.
符号语言 ||PF1|－|PF2||＝常数(常数＜|F1F2|)
焦点 定点__________
焦距 ________的距离
差的绝对值
F1，F2
两焦点间
复习回顾
复习回顾
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ___________________ ___________________
焦点 ________________ ________________
a，b，c的关系 c2＝_______
(－c，0)，(c，0)
(0，－c)，(0，c)
a2＋b2
典例精析
题型一：双曲线定义的应用
例1 如图，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．
(1)若双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，求点P到另一个焦点的距离；
(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
解 双曲线的标准方程为－＝1，
故a＝3，b＝4，c＝5.
(1)由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||＝2a＝6，
又双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，
假设点P到另一个焦点的距离等于x，
则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.
故点P到另一个焦点的距离为10或22.
典例精析
题型一：双曲线定义的应用
例1 如图，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．
(1)若双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，求点P到另一个焦点的距离；
(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
(2)将||PF1|-|PF2|| ＝2a＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos ∠F1PF2＝＝0，
∴∠F1PF2＝90°，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.
典例精析
题型一：双曲线定义的应用
例2 △ABC中，A(－5,0)，B(5,0)，点C在双曲线－＝1上，则＝( )
A． B．± C．－ D．±
解 在△ABC中，由正弦定理得＝＝.
又∵|BC|－|AC|＝±8，∴＝±＝±.
D
典例精析
题型二：与双曲线有关的轨迹问题
例3 已知两圆C1:(x+4)2+y2=2,C2:(x-4)2+y2=2,动圆M与圆C1外切,与圆C2内切,则动圆圆心M的轨迹方程为 .
解 设动圆圆心M(x,y),半径为r,
因为圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,
所以|MC1|=r+,|MC2|=r-,|MC1|-|MC2|=2<8.
由双曲线的定义知点M的轨迹
是以C1,C2为焦点的双曲线的右支,且a=,c=4,
故动圆圆心M的轨迹方程为=1(x≥).
=1(x≥)
典例精析
题型二：与双曲线有关的轨迹问题
例4 如图，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三内角A，B，C满足2sinA＋sinC＝2sinB，
建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
解 以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，
建立平面直角坐标系如图所示，则A(－2，0)，B(2，0)．
∵2sinA＋sinC＝2sinB，由正弦定理，
∴2|CB|＋|AB|＝2|CA|，
从而有|CA|－|CB|＝|AB|＝2<|AB|.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．
∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6，
则顶点C的轨迹方程为－＝1(x>)．
例5 如图，设 A，B 两点的坐标分别为(-5，0)，(5，0)，直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的斜率之积是，试求点M 的轨迹方程，并由点 M 的轨迹方程判断轨迹的形状，
解 设点M 的坐标为(x，y)，
因为点A的坐标为(- 5，0)， 所以直线 AM 的斜率kAM=.
同理，直线 BM 的斜率kBM=.
由已知，有×=,
化简，得点M 的轨迹方程为=1(x≠±5).
所以点M 的轨迹是除去(-5，0)，(5，0)两点的双曲线.
典例精析
题型二：与双曲线有关的轨迹问题
典例精析
题型二：与双曲线有关的轨迹问题
例6 点P是双曲线-y2=1上一动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,求点M的轨迹方程.
解 设M(x,y),
再设P(x0,y0)为双曲线-y2=1上任意一点,
则∴
∵P为双曲线上任意一点,
∴-4y2=1,即x2-4y2=1.
∴点M的轨迹方程为x2-4y2=1.
例7 由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行
护航任务，对商船进行护航.某日，甲舰在乙舰正东方向6 km处，丙舰在乙舰北偏西30°
方向，相距4 km处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若甲舰赶赴
救援，行进的方向角应是多少？
典例精析
题型三：双曲线方程的应用
解 设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.如图所示，
以直线AB为x 轴，线段AB的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，
则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2). ∵|PB|＝|PC|，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
又易知kBC＝－，线段BC的中点D(－4，)，
∴直线PD的方程为y－＝(x＋4)， ①
又|PB|－|PA|＝4＜6＝|AB|，
∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且a＝2，c＝3，
∴双曲线方程为－＝1(x≥2)， ②
联立①②，得P点坐标为(8,5)，
∴kPA＝＝，
因此甲舰行进的方向角为北偏东30°.
例8 某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP
运到P处(如图)，|AP|＝100 m，|BP|＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工．
解 如图，以AB所在的直线为x轴，
AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
设M是分界线上的点，则|MA|＋|AP|＝|MB|＋|BP|，
即|MA|－|MB|＝|BP|－|AP|＝150－100＝50(m)，
这说明分界线是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a＝25.
典例精析
题型三：双曲线方程的应用
在△APB中，|AB|2＝|AP|2＋|BP|2－2|AP|·|BP|·cos 60°＝17 500，
从而c2＝()2＝4 375，b2＝3 750，
故所求分界线的方程为－＝1(x≥25)．
即在运土时，将此分界线左侧的土沿道路AP运到P处，
右侧的土沿道路BP运到P处最省工．
跟踪练习
1．已知M(－2,0)，N(2,0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是 ( )
A．双曲线 B．双曲线左支
C．一条射线 D．双曲线右支
解 因为|PM|－|PN|＝4＝|MN|，所以动点P的轨迹是一条射线．
C
跟踪练习
2.已知双曲线=1的左、右焦点分别是F1,F2,若双曲线上一点P使得∠F1PF2=90°,求△F1PF2的面积.
解 在双曲线的方程中,a=3,b=4,则c=5.
设|PF1|=m,|PF2|=n(m>0,n>0).
由双曲线的定义可知,|m-n|=2a=6,
两边平方,得m2+n2-2mn=36.
又∵∠F1PF2=90°,
∴由勾股定理,得m2+n2=|F1F2|2=(2c)2=100.
∴mn=32,∴mn=16.
跟踪练习
3.设双曲线与椭圆=1有共同的焦点,且与椭圆的一个公共点的纵坐标为4,
求双曲线的标准方程.
解 由椭圆方程得焦点坐标为(0,±3),椭圆与双曲线的一个公共点为(,4).
设所求的双曲线方程为=1(a>0,b>0),
则解得
故所求双曲线的标准方程为=1.
4.如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解 圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1.
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，
∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|.
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，
且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝.
故动圆圆心M的轨迹方程为－＝1(x≤).
跟踪练习
跟踪练习
5.已知点M(－3，0)，N(3，0)，B(1，0)，动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为( )
A．x2－＝1(x>1) B．x2－＝1(x>0)
C．x2－＝1(x>0) D．x2－＝1(x>1)
解 设过点P的两切线分别与圆切于S，T，
则|PM|－|PN|＝(|PS|＋|SM|)－(|PT|＋|TN|)
＝|SM|－|TN|＝|BM|－|BN|＝4－2＝2a，
所以曲线为双曲线的右支且不能与x轴相交，
a＝1，c＝3，所以b2＝8，
故P点的轨迹方程为x2－＝1(x>1)．
A
跟踪练习
6. 一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示△PEF,已知tan∠PEF=,tan∠PFE=-2,试建立适当直角坐标系,求出分别以E,F为左、右焦点且过点P的双曲线方程.
解 以E,F所在直线为x轴,EF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.
设以E,F为焦点且过点P的双曲线方程为=1,
焦点为E(-c,0),F(c,0).
由tan∠PEF=, tan∠EFP=-2,
设∠PFx=α, 则tan α=tan(π-∠EFP)=2,
得直线PE和直线PF的方程分别为y=(x+c)和y=2(x-c).
联立两方程,解得x=c, y=c,
即P点坐标为.
∵在△EFP中,|EF|=2c,EF上的高为点P的纵坐标,
∴S△EFP=c2=12,∴c=3,即P点坐标为(5,4).
由两点间的距离公式|PE|==4,|PF|==2,
∴a=.又b2=c2-a2=4,
故所求双曲线的方程为=1.
课堂小结
本
课
结
束
第三章 圆锥曲线的方程
3.2.1 双曲线及其标准方程
第2课时 双曲线及其标准方程的应用
文字语言 平面内与两个定点F1，F2的距离的__________等于非零
常数(小于|F1F2|)的点的轨迹.
符号语言 ||PF1|－|PF2||＝常数(常数＜|F1F2|)
焦点 定点__________
焦距 ________的距离
差的绝对值
F1，F2
两焦点间
复习回顾
复习回顾
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ___________________ ___________________
焦点 ________________ ________________
a，b，c的关系 c2＝_______
(－c，0)，(c，0)
(0，－c)，(0，c)
a2＋b2
典例精析
题型一：双曲线定义的应用
例1 如图，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．
(1)若双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，求点P到另一个焦点的距离；
(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
解 双曲线的标准方程为－＝1，
故a＝3，b＝4，c＝5.
(1)由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||＝2a＝6，
又双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，
假设点P到另一个焦点的距离等于x，
则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.
故点P到另一个焦点的距离为10或22.
典例精析
题型一：双曲线定义的应用
例1 如图，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．
(1)若双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，求点P到另一个焦点的距离；
(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
(2)将||PF1|-|PF2|| ＝2a＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos ∠F1PF2＝＝0，
∴∠F1PF2＝90°，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.
典例精析
题型一：双曲线定义的应用
例2 △ABC中，A(－5,0)，B(5,0)，点C在双曲线－＝1上，则＝( )
A． B．± C．－ D．±
解 在△ABC中，由正弦定理得＝＝.
又∵|BC|－|AC|＝±8，∴＝±＝±.
D
典例精析
题型二：与双曲线有关的轨迹问题
例3 已知两圆C1:(x+4)2+y2=2,C2:(x-4)2+y2=2,动圆M与圆C1外切,与圆C2内切,则动圆圆心M的轨迹方程为 .
解 设动圆圆心M(x,y),半径为r,
因为圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,
所以|MC1|=r+,|MC2|=r-,|MC1|-|MC2|=2<8.
由双曲线的定义知点M的轨迹
是以C1,C2为焦点的双曲线的右支,且a=,c=4,
故动圆圆心M的轨迹方程为=1(x≥).
=1(x≥)
典例精析
题型二：与双曲线有关的轨迹问题
例4 如图，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三内角A，B，C满足2sinA＋sinC＝2sinB，
建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
解 以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，
建立平面直角坐标系如图所示，则A(－2，0)，B(2，0)．
∵2sinA＋sinC＝2sinB，由正弦定理，
∴2|CB|＋|AB|＝2|CA|，
从而有|CA|－|CB|＝|AB|＝2<|AB|.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．
∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6，
则顶点C的轨迹方程为－＝1(x>)．
例5 如图，设 A，B 两点的坐标分别为(-5，0)，(5，0)，直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的斜率之积是，试求点M 的轨迹方程，并由点 M 的轨迹方程判断轨迹的形状，
解 设点M 的坐标为(x，y)，
因为点A的坐标为(- 5，0)， 所以直线 AM 的斜率kAM=.
同理，直线 BM 的斜率kBM=.
由已知，有×=,
化简，得点M 的轨迹方程为=1(x≠±5).
所以点M 的轨迹是除去(-5，0)，(5，0)两点的双曲线.
典例精析
题型二：与双曲线有关的轨迹问题
典例精析
题型二：与双曲线有关的轨迹问题
例6 点P是双曲线-y2=1上一动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,求点M的轨迹方程.
解 设M(x,y),
再设P(x0,y0)为双曲线-y2=1上任意一点,
则∴
∵P为双曲线上任意一点,
∴-4y2=1,即x2-4y2=1.
∴点M的轨迹方程为x2-4y2=1.
例7 由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行
护航任务，对商船进行护航.某日，甲舰在乙舰正东方向6 km处，丙舰在乙舰北偏西30°
方向，相距4 km处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若甲舰赶赴
救援，行进的方向角应是多少？
典例精析
题型三：双曲线方程的应用
解 设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.如图所示，
以直线AB为x 轴，线段AB的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，
则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2). ∵|PB|＝|PC|，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
又易知kBC＝－，线段BC的中点D(－4，)，
∴直线PD的方程为y－＝(x＋4)， ①
又|PB|－|PA|＝4＜6＝|AB|，
∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且a＝2，c＝3，
∴双曲线方程为－＝1(x≥2)， ②
联立①②，得P点坐标为(8,5)，
∴kPA＝＝，
因此甲舰行进的方向角为北偏东30°.
例8 某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP
运到P处(如图)，|AP|＝100 m，|BP|＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工．
解 如图，以AB所在的直线为x轴，
AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
设M是分界线上的点，则|MA|＋|AP|＝|MB|＋|BP|，
即|MA|－|MB|＝|BP|－|AP|＝150－100＝50(m)，
这说明分界线是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a＝25.
典例精析
题型三：双曲线方程的应用
在△APB中，|AB|2＝|AP|2＋|BP|2－2|AP|·|BP|·cos 60°＝17 500，
从而c2＝()2＝4 375，b2＝3 750，
故所求分界线的方程为－＝1(x≥25)．
即在运土时，将此分界线左侧的土沿道路AP运到P处，
右侧的土沿道路BP运到P处最省工．
跟踪练习
1．已知M(－2,0)，N(2,0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是 ( )
A．双曲线 B．双曲线左支
C．一条射线 D．双曲线右支
解 因为|PM|－|PN|＝4＝|MN|，所以动点P的轨迹是一条射线．
C
跟踪练习
2.已知双曲线=1的左、右焦点分别是F1,F2,若双曲线上一点P使得∠F1PF2=90°,求△F1PF2的面积.
解 在双曲线的方程中,a=3,b=4,则c=5.
设|PF1|=m,|PF2|=n(m>0,n>0).
由双曲线的定义可知,|m-n|=2a=6,
两边平方,得m2+n2-2mn=36.
又∵∠F1PF2=90°,
∴由勾股定理,得m2+n2=|F1F2|2=(2c)2=100.
∴mn=32,∴mn=16.
跟踪练习
3.设双曲线与椭圆=1有共同的焦点,且与椭圆的一个公共点的纵坐标为4,
求双曲线的标准方程.
解 由椭圆方程得焦点坐标为(0,±3),椭圆与双曲线的一个公共点为(,4).
设所求的双曲线方程为=1(a>0,b>0),
则解得
故所求双曲线的标准方程为=1.
4.如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解 圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1.
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，
∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|.
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，
且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝.
故动圆圆心M的轨迹方程为－＝1(x≤).
跟踪练习
跟踪练习
5.已知点M(－3，0)，N(3，0)，B(1，0)，动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为( )
A．x2－＝1(x>1) B．x2－＝1(x>0)
C．x2－＝1(x>0) D．x2－＝1(x>1)
解 设过点P的两切线分别与圆切于S，T，
则|PM|－|PN|＝(|PS|＋|SM|)－(|PT|＋|TN|)
＝|SM|－|TN|＝|BM|－|BN|＝4－2＝2a，
所以曲线为双曲线的右支且不能与x轴相交，
a＝1，c＝3，所以b2＝8，
故P点的轨迹方程为x2－＝1(x>1)．
A
跟踪练习
6. 一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示△PEF,已知tan∠PEF=,tan∠PFE=-2,试建立适当直角坐标系,求出分别以E,F为左、右焦点且过点P的双曲线方程.
解 以E,F所在直线为x轴,EF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.
设以E,F为焦点且过点P的双曲线方程为=1,
焦点为E(-c,0),F(c,0).
由tan∠PEF=, tan∠EFP=-2,
设∠PFx=α, 则tan α=tan(π-∠EFP)=2,
得直线PE和直线PF的方程分别为y=(x+c)和y=2(x-c).
联立两方程,解得x=c, y=c,
即P点坐标为.
∵在△EFP中,|EF|=2c,EF上的高为点P的纵坐标,
∴S△EFP=c2=12,∴c=3,即P点坐标为(5,4).
由两点间的距离公式|PE|==4,|PF|==2,
∴a=.又b2=c2-a2=4,
故所求双曲线的方程为=1.
课堂小结
本
课
结
束