3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
3.2.2　双曲线的简单几何性质
第1课时　双曲线的简单几何性质
第三章 圆锥曲线的方程
问题引入
类比研究椭圆几何性质的方法，我们来研究双曲线的几何性质.
O
x
y
=1(a>0,b>0)
新知探索
双曲线的简单几何性质
1．范围
观察平面直角坐标系中的双曲线，它有怎样的范围？能利用它的方程给出证明吗？
a
-a
O
x
F1
F2
y
双曲线上点 (x, y)都满足，
所以，即 x2≥a2，所以 |x|≥a (a＞0)．
双曲线在不等式x≥a与x≤－a所表示的区域内．
新知探索
双曲线的简单几何性质
2．对称性
以-x 代 x，方程不变，所以双曲线关于y轴对称．
以-y 代 y，方程不变，所以双曲线关于x轴对称．
以-x代x，以-y代y，方程不变，
所以双曲线关于原点对称．
双曲线关于y轴、x轴、原点都是对称的．
坐标轴是双曲线的对称轴．
原点是双曲线的对称中心．
双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．
O
x
y
=1(a>0,b>0)
新知探索
双曲线的简单几何性质
3．顶点
令y＝0，得x＝±a，
双曲线和x轴有两个交点A1(－a, 0)、A2(a, 0) ，
叫做双曲线的顶点．
令x＝0，得y2＝－b2，
这个方程没有实数根，则双曲线和y轴无交点.
特殊点B1(0,－b)、B2(0, b).
线段A1A2 叫做双曲线的实轴．
线段B1B2叫做双曲线的虚轴.
实轴的长等于2a．虚轴的长等于2b．
a叫做双曲线的实半轴长．b叫做双曲线的虚半轴长．
y
O
x
A1
A2
B2
B1
新知探索
双曲线的简单几何性质
y
O
x
A1
A2
B2
B1
经过A2、A1作y轴的平行线 x＝±a，
经过B2、B1作x 轴的平行线y＝±b，
四条直线围成一个矩形 ．
y=±x(=0)叫做双曲线的渐近线.
a＝b时，实轴和虚轴等长，
这样的双曲线叫做等轴双曲线.
这时双曲线方程为x2－y2＝a2，
渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角．
4．渐近线
新知探索
双曲线的简单几何性质
5．离心率
双曲线的焦距与实轴长的比e=，叫做双曲线的离心率．
因为 c ＞a＞0，所以e＞1．
又
因此e越大，也越大，
即渐近线y=±x斜率的绝对值也越大.
双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔.
由此可知，双曲线的离心率越大，它的张口就越阔．
y
O
x
新知探索
双曲线的简单几何性质
标准方程
图形
性质 范围 _____________ ______________
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 ________ ________
离心率 e＝ ，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c间的关系 c2＝ (c>a>0，c>b>0)
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
a2＋b2
典例精析
题型一：由双曲线方程研究其几何性质
例1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.
解　将9y2－4x2＝－36化为标准方程为－＝1，
所以a＝3，b＝2，c＝.
因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，
焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率e＝＝，
渐近线方程为y＝±x＝±x.
典例精析
题型二：由双曲线的几何性质求标准方程
例2 根据以下条件,求双曲线的标准方程.
(1)过点P(3,-),离心率为;
解 (1)若双曲线的焦点在x轴上,
设其方程为=1(a>0,b>0),
∵e=,∴=2,即a2=b2. ①
又双曲线过P(3,-),∴=1, ②
由①②得a2=b2=4,
故双曲线方程为=1.
若双曲线的焦点在y轴上,
设其方程为=1(a>0,b>0),
同理有a2=b2, ③
=1, ④
由③④得a2=b2=-4(舍去).
综上,双曲线的标准方程为=1.
典例精析
题型二：由双曲线的几何性质求标准方程
例2 根据以下条件,求双曲线的标准方程.
(2)与椭圆=1有公共焦点,且离心率e=;
解 (2)由椭圆方程=1,
知半焦距为,
∴焦点是F1(-,0),F2(,0).
因此双曲线的焦点为(-,0),(,0).
设双曲线方程为=1(a>0,b>0),
由已知条件,有
解得
∴所求双曲线的标准方程为-y2=1.
例2 根据以下条件,求双曲线的标准方程.
(3)与双曲线=1有共同渐近线,且过点(-3,2).
典例精析
题型二：由双曲线的几何性质求标准方程
解 (3)设所求双曲线方程为=λ(λ≠0),
将点(-3,2)代入得λ=,
∴双曲线方程为,
即双曲线的标准方程为=1.
典例精析
题型三：求双曲线的离心率
例3　(1)如果双曲线的渐近线方程是y＝±x，求离心率．
解　方法一：若双曲线焦点在x轴上，
设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)．
由题意知，又∵c2＝a2＋b2，
∴e2＝＝1＋＝1＋＝，∴e＝.
若双曲线的焦点在y轴上，
设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)．
由题意知，
e2＝＝1＋＝1＋＝，
∴e＝.
综上知e＝或e＝.
方法二：设具有渐近线y＝±x的双曲线方程为
－＝λ(λ≠0)，即－＝1.
若λ>0，焦点在x轴上，
a2＝16λ，b2＝9λ，c2＝a2＋b2＝25λ，
∴e2＝＝，∴e＝.
典例精析
题型三：求双曲线的离心率
例3　(1)如果双曲线的渐近线方程是y＝±x，求离心率．
若λ<0，焦点在y轴上，
a2＝－9λ，b2＝－16λ，
c2＝a2＋b2＝－25λ，
∴e2＝＝，∴e＝.
综上知e＝或e＝.
典例精析
题型三：求双曲线的离心率
解　直线l的方程为＝1，
即bx＋ay－ab＝0.
所以原点到l的距离d＝.
由题意，得＝c.
所以ab＝c2=(a2+b2)，
化为a2-4ab+b2=0.
(2)设双曲线＝1(b＞a＞0)的半焦距为c，直线l过点(a，0)，(0，b)，已知原点
到直线l的距离为c，求双曲线的离心率．
解之，得a＝b或a＝b(舍去)．
所以c＝＝2a.
所以离心率e＝2.
典例精析
题型三：求双曲线的离心率
解　在△PF1F2中，
由正弦定理可得，
所以e＝，
即|PF1|＝|PF2|，
则点P在双曲线的右支上，
且点P不在直线F1F2上．
(3)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)．
若双曲线上存在点P使，则该双曲线的离心率的取值范围是________．
由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，
则|PF2|－|PF2|＝2a，即|PF2|＝.
又由双曲线的性质知|PF2|>c－a，
则>c－a，即c2－2ac－a2<0，
所以e2－2e－1<0，
解得－＋1又e∈(1，＋∞)，所以e∈(1，＋1)．
典例精析
题型三：求双曲线的离心率
(4)设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成角为60°的直线A1B1和A2B2，满足|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是(　　)
A. (,2] B. [,2) C. (,+∞) D. [,+∞)
解　设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，
由|A1B1|＝|A2B2|及双曲线的对称性知
A1与A2，B1与B2关于x轴对称，如图．
∵满足条件的直线只有一对，
∴tan30°<≤tan60°，即<≤.∴<≤3.
又b2＝c2－a2，
∴<≤3，即∴跟踪练习
1.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m的值为(　　)
A.4 B.-4 C.- D.
解 由双曲线方程mx2+y2=1,知m<0,
则双曲线方程可化为y2-=1,
则a2=1,a=1,又虚轴长是实轴长的2倍,
∴b=2,∴-=b2=4,∴m=-.
C
跟踪练习
2.(多选)若双曲线C的一个焦点F(5,0),P是双曲线上一点,且渐近线方程为y=±x,
则下列结论正确的是 (　　)
A.C的方程为=1 B.C的离心率为
C.焦点到渐近线的距离为3 D.|PF|的最小值为2
解 双曲线C的一个焦点F(5,0),
且渐近线方程为y=±x,
可得c=5,焦点坐标在x轴上,
所以,因为c=5,所以b=4,a=3,
所以C的方程为=1,A正确;
离心率为e=,B不正确;
焦点到渐近线的距离为d==4,C不正确;
|PF|的最小值为c-a=2,D正确.
AD
√
跟踪练习
又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0,5)，半径r＝2，
跟踪练习
4.中心在原点,焦点在x轴上,且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是　　　　　.
解 令y=0,得x=-4,
∴等轴双曲线的一个焦点为(-4,0),
∴c=4,a2=b2=c2=×16=8,
故等轴双曲线的方程为x2-y2=8.
x2-y2=8
跟踪练习
√
跟踪练习
6.求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)焦点在x轴上,虚轴长为8,离心率为;
(2)过点(2,0),与双曲线=1离心率相等.
解 (1)设方程为=1(a>0,b>0),
由题意知2b=8,e=,
从而b=4,c=a,
代入c2=a2+b2,得a2=9,
故双曲线的标准方程为=1.
(2)由题意知,所求双曲线的焦点在x轴上,
故可设其方程为=λ(λ>0),
将点(2,0)的坐标代入方程得λ=,
故所求双曲线的标准方程为-y2=1.
课堂小结
本
课
结
束