3.2.2 第2课时 双曲线的标准方程及性质的应用 课件（共16张PPT）

(共16张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.2.2　双曲线的简单几何性质
第2课时　双曲线的标准方程及性质的应用
新知探索
直线与双曲线的位置关系
通过解直线方程与双曲线方程组成的方程组，对解的个数进行讨论．
通常消去方程组中的一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程．
(1)Δ＞0 直线与双曲线相交 有两个不同的公共点；
(2)Δ＝0 直线与双曲线相切 有且只有一个公共点；
(3)Δ＜0 直线与双曲线相离 无公共点．
新知探索
弦长问题
通常将直线方程与双曲线方程联立，得到关于x(或y)的一元二次方程，
然后利用根与系数的关系求弦长，从而绕过求直线与双曲线的交点坐标．
若直线y＝kx＋b与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则|AB|＝|x1－x2|＝ ·，
或|AB|＝·|y1－y2|＝ · .
新知探索
双曲线的中点弦问题
(1)方程组法
联立直线方程与双曲线方程，
消去其中一个未知量后得到一个一元二次方程，
利用根与系数的关系(韦达定理)及中点坐标公式求解．
新知探索
双曲线的中点弦问题
(2)点差法
设直线与双曲线-＝1(mn>0)的交点(弦的端点)
坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点(x0，y0)，
将这两点代入双曲线的方程并对所得两式作差，
得到kAB＝＝·＝·．
典例精析
题型一：由位置关系求参数的值
例1　直线y＝kx＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点，当k为何值时，
A，B在双曲线的同一支上？当k为何值时，A，B分别在双曲线的两支上？
解　把y＝kx＋1代入3x2－y2＝1，
整理得(3－k2)x2－2kx－2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
要使直线与双曲线有两个交点，
则需满足：k≠±，且Δ＝24－4k2>0.
由Δ>0，解得－所以当－一元二次方程有两解，直线与双曲线有两个交点．
若A，B在双曲线的同一支上，
需x1x2＝>0，
解得k<－或k>；
若A，B分别在双曲线的两支上，
需x1x2＝<0，
解得－典例精析
题型二：确定直线条数
例2　已知双曲线C：x2－＝1，过点P(1，1)作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有(　　)
A．1条　　　　 B．2条 C．3条 D．4条
解 设直线l：y－1＝k(x－1)，代入曲线C，
得4x2－k2(x－1)2－2k(x－1)－1＝4.
整理得(4－k2)x2＋(2k2－2k)x－(k2－2k＋5)＝0.
令Δ＝(2k2－2k)2＋4(4－k2)(k2－2k＋5)＝0，
即8k＝20，得k＝.
又显然x＝1也符合题意，
又过P(1，1)可作两条与渐近线平行的直线，
所以符合题意的直线共有4条．
D
典例精析
题型三：交点及弦长问题
例3　求直线y＝x＋1被双曲线x2－＝1截得的弦长．
解 由得4x2－(x＋1)2－4＝0.
即3x2－2x－5＝0.①
设方程①的解为x1，x2，
∴x1＋x2＝，x1x2＝－.
∴d＝|x1－x2|＝
＝×＝.

例4 直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点．当a为何值时，
以AB为直径的圆经过坐标原点O？
解　由
得(3－a2)x2－2ax－2＝0.
由题意可得3－a2≠0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
由题意知，OA⊥OB，则＝0，
典例精析
题型三：交点及弦长问题
即x1x2＋y1y2＝0，
∴x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0.
即(1＋a2) x1x2 ＋a(x1＋x2)＋1＝0，
∴(1＋a2)·＋a·＋1＝0，
解得a＝±1.
典例精析
题型四：中点弦问题
例5　已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)
A.－＝1　　　　B. －＝1 C. －＝1 D. －＝1
解　设方程为－＝1(a>0，b>0)，
由题意知c＝3，a2＋b2＝9，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有两式作差，
B
得＝·＝＝，
又AB的斜率为＝1，所以＝1，
所以将4b2＝5a2代入a2＋b2＝9，
得a2＝4，b2＝5.
所以双曲线的标准方程是－＝1.
例6 已知双曲线x2－＝1，问过点A(1，1)能否作直线l，使l与双曲线交于P，Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
解　设符合题意的直线l存在，
并设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则作差可得
(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)．
∵A(1，1)为PQ的中点，
∴x1+x2=2,y1+y2=2
典例精析
题型四：中点弦问题
∴x1－x2＝(y1－y2)．
若x1≠x2，则直线l的斜率k＝2.
∴符合条件的直线l存在，其方程为2x－y－1＝0.但由方程组得2x2－4x＋3＝0.
根据Δ＝－8＜0，说明所求直线不存在．
跟踪练习
1.等轴双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a>0)没有公共点，则a的取值范围是
A.a＝1 B.01 D.a≥1
√
解　等轴双曲线x2－y2＝a2的渐近线方程为y＝±x，
若直线y＝ax(a>0)与等轴双曲线x2－y2＝a2没有公共点，
则a≥1.
跟踪练习
2.若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的左支交于不同的两点，则k的取值范围为__________.
若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的
左支交于不同的两点，
则方程①有两个不等的负根.
跟踪练习
解　设直线l的方程为y＝2x＋m，
设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由根与系数的关系，
由Δ＝24m2－240，
所以m的值为±，
故所求l的方程为y＝2x±.
课堂小结
本
课
结
束