3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
3.3.2　抛物线的简单几何性质
第1课时　抛物线的简单几何性质
第三章 圆锥曲线的方程
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
复习回顾
问题引入
与利用方程研究椭圆以及双曲线的几何性质类似，我们也用方程研究抛物线的几何性质.
y2＝2px(p>0)
新知探索
抛物线的简单几何性质
1.范围
当x>0，抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴正方向相同，抛物线向右上方和右下方无线延伸．
范围 抛物线上的点M(x,y)，x≥0，y∈R．
新知探索
抛物线的简单几何性质
2.对称性
抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)，以-y代y，方程不变.
所以抛物线关于x轴对称．把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
新知探索
抛物线的简单几何性质
3.顶点 抛物线和对称轴的交点叫做抛物线的顶点．
抛物线的顶点就是原点．
新知探索
抛物线的简单几何性质
4.离心率
抛物线上的点M与焦点F的距离和点M到准线的距离 d的比，
叫做抛物线的离心率，用e表示．
由抛物线的定义可知，e=1．
新知探索
抛物线的简单几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴
焦点坐标
准线方程
顶点坐标 O(0,0)
离心率 e＝1
通径长 2p
新知探索
抛物线的简单几何性质
典例精析
题型一：求抛物线方程
例1　已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，－2)，求抛物线方程．
解　(1)当抛物线的焦点在x轴上时，设其方程为y2＝mx.
将M(1，－2)代入，得m＝4，∴y2＝4x.
(2)当抛物线的焦点在y轴上时，设其方程为x2＝ny.
将M(1，－2)代入，得n＝－，∴x2＝－y.
故所求的抛物线方程为y2＝4x或x2＝－y.
典例精析
题型二：抛物线几何性质的应用
例2　(1)等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是 ( )
A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2
解　因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，
所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，
从而直线OA与x轴的夹角为45°.
不妨设A，B两点的坐标分别为(2p，2p)和(2p，－2p).
所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2.
B
(2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，|AB|＝ ，求抛物线方程.
典例精析
题型二：抛物线几何性质的应用
解　由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上.
故可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0).
设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点A(x1，y1)，B(x2，y2).
∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，
∴点A与B关于x轴对称，∴|y1|＝|y2|且|y1|＋|y2|＝2，
∴|y1|＝|y2|＝，代入圆x2＋y2＝4，
得x2＋3＝4，∴x＝±1，∴A(±1，)或A(±1，－)，代入抛物线方程，
得a＝±3. ∴所求抛物线方程是y2＝3x或y2＝－3x.
例3 已知抛物线y2=8x.
(1)求出该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、自变量x的范围;
(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,其中|OA|=|OB|.
若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.
典例精析
题型二：抛物线几何性质的应用
解 (1)抛物线y2=8x的性质分别为
顶点(0,0),焦点(2,0),准线x=-2,
对称轴x轴,范围[0,+∞).
(2)由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,设垂足为点M.
因为焦点F是△OAB的重心,所以|OF|=|OM|.
因为F(2,0),所以|OM|=|OF|=3,所以M(3,0).
故设A(3,m)(m>0),
代入y2=8x得m2=24,
所以m=2或m=-2(舍去).
所以A(3,2),B(3,-2),|OA|=|OB|=,
所以△OAB的周长为2+4.
例4 设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,
则直线l的斜率的取值范围是(　　)
A. B.[-2,2] C.[-1,1] D.[-4,4]
解 由题知Q(-2,0),若直线l的斜率不存在,显然不合题意.
故直线l的斜率存在,设为k,则l的方程为y=k(x+2).
由消去y,得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,
当k=0时显然符合题意;当k≠0时,需Δ≥0,
即16(k2-2)2-4k2·4k2≥0,解之得-1≤k<0或0故直线l斜率的取值范围是[-1,1].
典例精析
题型三：直线与抛物线的位置关系
C
典例精析
题型三：直线与抛物线的位置关系
例5 已知抛物线y2=2x,过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A,B两点,试求弦AB的中点的轨迹方程.
解 (方法1)设A(x1,y1),B(x2,y2),
弦AB的中点为M(x,y),则y1+y2=2y.
当直线AB的斜率存在时,kAB=.
易知
①-②,得(y1+y2)(y1-y2)=2(x1-x2),
所以2y·=2,即2y·=2,
即=x-.
当直线AB的斜率不存在,即AB⊥x轴时,
AB的中点坐标为(2,0),适合上式.
故所求轨迹方程为=x-.
(方法2)当直线AB的斜率存在时,
设直线AB的方程为y-1=k(x-2)(k≠0).
由y2-y+1-2k=0.
因为
所以k∈(-∞,0)∪(0,+∞).
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为P(x,y),
则y1+y2=,y1y2=.
典例精析
题型三：直线与抛物线的位置关系
例5 已知抛物线y2=2x,过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A,B两点,试求弦AB的中点的轨迹方程.
所以x1+x2=)=[(y1+y2)2-2y1y2]
=.
则x=,y=,
消去k,得=x-.
当直线AB的斜率不存在,即AB⊥x轴时,
AB的中点的坐标为(2,0),适合上式.
故所求轨迹方程为=x-.
跟踪练习
1.已知点P(6,y)在抛物线y2=2px(p>0)上,若点P到抛物线焦点F的距离等于8,
则焦点F到抛物线准线的距离等于(　　)
A.2 B.1 C.4 D.8
C
解 抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-,
因为P(6,y)为抛物线上的点,
所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离,
所以6+=8,所以p=4,
所以焦点F到抛物线准线的距离等于4.
跟踪练习
2.过点(-1,0)且与抛物线y2=x有且仅有一个公共点的直线有(　　)
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
解 点(-1,0)在抛物线y2=x的外部,
故过点(-1,0)且与其有且仅有一个公共点的直线有三条,
其中两条为切线,一条为x轴.
C
跟踪练习
3.过点(1,0)作斜率为-2的直线,与抛物线y2=8x交于A,B两点,则弦AB的长为(　　)
A.2 B.2 C.2 D.2
解 设A(x1,y1),B(x2,y2).
由题意知AB的方程为y=-2(x-1),即y=-2x+2.
由得x2-4x+1=0,满足Δ>0,
∴x1+x2=4,x1x2=1.
∴|AB|=
==2.
B
跟踪练习
4.直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为_____.
48
所以|AP|＝10，|BQ|＝2或|BQ|＝10，|AP|＝2，所以|PQ|＝8，
所以梯形APQB的面积S＝×8＝48.
跟踪练习
5.已知抛物线y2=6x,过点P(4,1)引抛物线的一条弦P1P2,使它恰好被点P平分,
求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.
解 设直线上任意一点坐标为(x,y),
弦两端点P1(x1,y1),P2(x2,y2).
∵P1,P2在抛物线上,∴=6x1,=6x2.
两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=6(x1-x2).
∵y1+y2=2,∴k==3.
∴直线的方程为y-1=3(x-4),即3x-y-11=0.
联立y2=6x与3x-y-11=0,
消去x,得y2-2y-22=0,
∴y1+y2=2,y1y2=-22,
∴|P1P2|=
.
课堂小结
本
课
结
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