3.3.1抛物线及其标准方程 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
3.3.1　抛物线及其标准方程
第三章 圆锥曲线的方程
问题引入
通过前面的学习，我们已经掌握了两种圆锥曲线形式，即椭圆和双曲线.除此之外，抛物线也是
圆锥曲线，而且也是在生活中
常见的曲线形式.
新知探索
抛物线的定义
观察抛物线的画法，给出抛物线的定义.
新知探索
抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条直线l (l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
l
F
M
H
新知探索
抛物线的标准方程
①设|KF|= p(p>0)则F(，0)，l：x = -
②设点M的坐标为(x，y)
③由定义可知，
④化简得y2 = 2px(p＞0).
l
F
K
M
H
O
x
y
新知探索
抛物线的标准方程
方程y2=2px(p>0)叫做抛物线的标准方程.
它表示的抛物线焦点在x轴的正半轴上,
焦点坐标是(，0),它的准线方程是x=-.
l
F
K
M
H
O
x
y
新知探索
抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
____________ _______ ________
______________ _______ ________
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
新知探索
抛物线的标准方程
____________ _______ ________
______________ _______ ________
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
典例精析
题型一：求抛物线的标准方程
例1 求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点M(－6,6)；
(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．
解　(1)由于点M(－6,6)在第二象限，
∴过M的抛物线开口向左或开口向上．
若抛物线开口向左，焦点在x轴上，
设其方程为y2＝－2px(p>0)，
将点M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)，
∴p＝3.∴抛物线的方程为y2＝－6x.
若抛物线开口向上，焦点在y轴上，
设其方程为x2＝2py(p>0)，
将点M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，
∴p＝3，∴抛物线的方程为x2＝6y.
综上所述，
抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y.
解 (2)①∵直线l与x轴的交点为(2,0)，
∴抛物线的焦点是F(2,0)，
∴＝2，∴p＝4，
∴抛物线的标准方程是y2＝8x.
②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，
即抛物线的焦点是F(0，－3)，
典例精析
题型一：求抛物线的标准方程
例1 求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点M(－6,6)；
(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．
∴＝3，∴p＝6，
∴抛物线的标准方程是x2＝－12y.
综上所述，
所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y.
典例精析
题型二：抛物线定义的应用
例2 (1)设抛物线C：y2＝4x上一点P到y轴的距离为4，则点P到抛物线C的焦点的
距离是(　　)
A．4　　　　　 B．5 C．6 D．7
(2)若位于y轴右侧的动点M到F(,0)的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程．
解 (1)抛物线C的准线方程为x＝－1，
设抛物线C的焦点为F，
由抛物线的定义知，
|PF|＝d(d为点P到抛物线C的准线的距离)，
又d＝4＋1＝5，所以|PF|＝5.
由已知，动点M到F的距离与它到直线
l：x＝－的距离相等．
∴M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线
(不包含原点)，
其方程y2＝2x(x≠0)．
例3 已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线
准线的距离之和的最小值.
解　由抛物线的定义可知，
抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离.
由图可知，点P，点(0,2)和抛物线的焦点F(,0)
三点共线时距离之和最小，
所以最小距离d＝＝.
典例精析
题型二：抛物线定义的应用
典例精析
题型二：抛物线定义的应用
变式练习1.若将本例中的点(0,2)改为点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值.
解　将x＝3代入y2＝2x，得y＝±.
所以点A在抛物线内部.
设点P为其上一点，点P到准线(设为l)x＝－的距离为d，
则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.
即|PA|＋|PF|的最小值是.
由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值是.
典例精析
题型二：抛物线定义的应用
解　如图，作PQ垂直于准线l于点Q，
|PA1|＋|PQ|＝|PA1|＋|PF|≥|A1F|min.
|A1F|的最小值为点F到直线l1 的距离d＝＝1.
即所求最小值为1.
变式练习2.若将本例(2)中的点(0,2)换为直线l1：3x－4y＋＝0，求点P到直线l1的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值.
典例精析
题型三：多面体的表面展开图
例4 某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，
跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，
该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，
且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，
船体吃水线就要上升0.04米．若不考虑水下深度，
问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？
解 以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，
竖直直线为y轴，建立直角坐标系．
因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A(10，－2)．
设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p>0)，
则102＝－2p×(－2)，所以p＝25，
所以抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－x2.
若货船沿正中央航行，船宽16米，
而当x＝8时，y＝－×82＝－1.28，
即船体在x＝±8之间通过点B(8，－1.28)，
此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)．
而船体高为5米，所以无法通行．
又因为5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，
150×7＝1 050(吨)，
所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，
而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．
跟踪练习
1．过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为(　　)
A．圆 B．椭圆
C．直线 D．抛物线
解 由题意可知，动圆的圆心到点A的距离与到直线y轴的距离相等，
满足抛物线的定义，故轨迹为抛物线.
D
跟踪练习
2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________．
解 由抛物线的方程得＝2，
再根据抛物线的定义，
可知所求距离为4＋2＝6.
6
跟踪练习
3．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．
解 建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线的方程为x2＝－2py，
则点(2，－2)在抛物线上，
代入可得p＝1，所以x2＝－2y.
当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2米．
2
跟踪练习
4.已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是____.
2
解　如图所示，
动点P到l2：x＝－1的距离可转化为到点F的距离，
由图可知，距离和的最小值，
即F(1,0)到直线l1的距离d＝＝2.
跟踪练习
5.设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点.
(1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1,1)，求|PA|＋d的最小值；
解　依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
由抛物线的定义，知|PF|＝d，
于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值.
如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为＝.
(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值.
解　把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±2，
因为2>2，所以点B在抛物线内部.
自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图).
由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，
则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4.
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
跟踪练习
课堂小结
本
课
结
束