2.1.1倾斜角与斜率 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
2.1.1　倾斜角与斜率
第二章 直线和圆的方程
问题引入
点是构成直线的基本元素．在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，那么，如何用坐标表示直线呢？.
1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.(数学抽象)
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.(数学抽象)
3.掌握倾斜角和斜率之间的关系.(逻辑推理)
4.掌握过两点的直线斜率的计算公式.(数学运算)
核心素养
新知探索
直线的倾斜角
1.倾斜角的定义
(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴 与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
2.直线的倾斜角α的取值范围为 .
正向
0°≤α<180°
思考　任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？
答案　由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，
如平行的直线其倾斜角是相同的.
新知探索
直线的斜率
1.直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ .
正切值
tan α
新知探索
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0
斜率与倾斜角的对应关系
新知探索
过两点的直线的斜率公式
过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝
小试身手
1.任一直线都有倾斜角，都存在斜率.(　　)
2.任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.(　　)
3.若直线的倾斜角为α，则0°≤α≤180°.(　　)
4.经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线.(　　)
×
×
×
×
题型一：直线倾斜角
例1　(1)已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是（ ）
A.0°≤α<90° B.90°≤α<180°
C.90°<α<180° D.0°<α<180°
解析　直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，
又直线l经过第二、四象限，
所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.
典例精析
题型一：直线倾斜角
(2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为
A.α＋45° B.α－135°
C.135°－α D.α－45°
解析　通过图象可知：
当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.
典例精析
√
√
规律总结
求直线倾斜角的范围
直线倾斜角的概念和范围
(1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.
(2)注意倾斜角的范围.
题型一：直线倾斜角
跟踪训练1　(1)已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为__________.
解析　有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，
即直线l的倾斜角为60°.
②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.
你是否想到是两种情况呢？
变式训练
题型一：直线倾斜角
(2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________.
解析　设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，
所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°.
变式训练
题型二:直线的斜率
例2　经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.
(1)求经过两点A(2,3)，B(4,5)的直线的斜率，并确定直线的倾斜角α；
解 (1)存在.直线AB的斜率
即tan α＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.
典例精析
(2)求经过两点A(a，2)，B(3,6)的直线的斜率.
题型二:直线的斜率
例2　经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.
(1)求经过两点A(2,3)，B(4,5)的直线的斜率，并确定直线的倾斜角α；
解 (2)求经过两点A(a，2)，B(3,6)的直线的斜率.
当a＝3时，斜率不存在；
当a≠3时，直线的斜率
典例精析
(2)求经过两点A(a，2)，B(3,6)的直线的斜率.
规律总结
求直线的斜率方法
求直线的斜率
(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的.
(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关.
变式训练
求直线的斜率
变式训练2　(1)若直线的倾斜角为135°，则直线的斜率为_____.
(2)过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为_____.
解析　(1)由斜率公式k=tan 135°＝-1
(2)由斜率公式，
得m＝1.
题型三：直线的倾斜角和斜率的应用
例3　已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.
(1)求直线l的斜率k的取值范围
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.
解　(1)如图，由题意可知kPA＝
kPB＝
要使l与线段AB有公共点，
则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞).
典例精析
题型三：直线的倾斜角和斜率的应用
例3　已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.
(1)求直线l的斜率k的取值范围
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.
解 (2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，
又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，
∴α的取值范围是45°≤α≤135°.
典例精析
规律总结
直线的倾斜角和斜率的应用总结
倾斜角和斜率的应用
(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系.
(2)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解.
变式训练
题型三：直线的倾斜角和斜率的应用
变式训练3　已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2).
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围.
变式训练
题型三：直线的倾斜角和斜率的应用
变式训练3　已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2).
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围.
解 (2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，
所以直线AD的斜率的变化范围是
跟踪练习
√
1.(多选)下列说法正确的是（ ）
A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°
B.若k是直线的斜率，则k∈R
C.任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D.任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
√
√
跟踪练习
√
2.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是（ ）
A.(4,2)与(－4,1) B.(0,3)与(3,0)
C.(3，－1)与(2，－1) D.(－2,2)与(－2,5)
解析　D项，因为x1＝x2＝－2，
所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在.
跟踪练习
3.若经过A(m，3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于（ ）
A.2 B.1 C.－1 D.－2
解析　由题意知，tan 45°＝
得m＝2.
√
跟踪练习
解析　设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC，
∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kBC，
4.若A(2,3)，B(3,2)，C 三点共线，则实数m的值为_____.
课堂小结
本
课
结
束