2.3.1 两条直线的交点坐标 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
2.3.1 两条直线的交点坐标
第二章 直线和圆的方程
学习目标
课程标准
1．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．
2．会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系.
学科素养
通过求两条直线的交点坐标，增强数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
新知探索
两直线的交点坐标
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)；l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的位置关系.如果这两条直线相交，则交点一定同时在这两条直线上，交点坐标就是，这两个方程联立所得的方程组的唯一解．
新知探索
两直线的交点坐标
求直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)；l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的交点坐标．联立方程：
则点 为两条直线的交点坐标.
解得：
新知探索
两直线的位置关系
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1和l2公共点个数 一个 无数个 零个
直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行
方程组解的个数与两直线位置关系
新知探索
直线系
具有某种共同属性的一类直线的集合，我们称之为直线系，这一属性可通过直线系方程体现出来，它们的变化存在于参数之中，常见的直线系有：
(1)过已知点P(x0，y0)的直线系y－y0＝k(x－x0)(k为参数)．
(2)斜率为k的平行直线系方程y＝kx＋b(b为参数)．
(3)与已知直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ为参数)．
(4)与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0(λ为参数)．
(5)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：l1：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数)．(但不包含直线A2x＋B2y＋C2＝0)
典例精析
题型一：两直线的交点问题
例1.分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点．
(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；
(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.
解：(1)方程组
得 ．
因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)．
(2)方程组
有无数组解，这表明直线l1和l2重合．
典例精析
题型一：两直线的交点问题
例1.分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点．
(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；
(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.
解：(3)方程组
方程组无解.
因此直线l1∥l2．
题型方法
方程组的解与直线位置关系
求两条直线的交点坐标时，把两个方程联立，解方程组解出x,y,即求得交点坐标（x,y）.
如果方程组有唯一解，说明两直线相交；
方程组无解，说明两直线没有公共点即两直线平行；
方程组有无数个解，说明两直线重合.
典例精析
题型二：　过两直线交点的直线系方程
例2. 求经过两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
解：方法一　(直接法)解方程组：
得P(0,2)．
因为直线l3的斜率为 ，所以直线l的斜率为 .
所以直线l的方程为y＝ x＋2，
即4x＋3y－6＝0.
典例精析
题型二：　过两直线交点的直线系方程
例2. 求经过两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
解：方法二　(待定系数法)解方程组：
得P(0,2)．
因为直线l过直线l1与l2的交点P(0,2)．
所以4×0＋3×2＋m＝0，解得m＝－6.
所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
题型方法
方程组的解与直线位置关系
1．涉及两直线交点的问题，通常是先求交点坐标，再进一步解决问题．
2．如果利用平行直线系或垂直直线系求直线方程时，就一定要注意系数及符号的变化规律．
典例精析
题型三：与直线有关的对称问题
例3. 求直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：x－y＋2＝0对称的直线l2的方程．
解：方法一，解方程组：
得直线l1与直线l的交点
在直线l1上取一点B(2,0)，设点B关于直线l的对称点为C(x，y)，
得 ．
即C(－2,4)．
又直线l2过 和C(－2,4)两点，
故由两点式得直线l2的方程为:x＋2y－6＝0.
典例精析
题型三：与直线有关的对称问题
例3. 求直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：x－y＋2＝0对称的直线l2的方程．
解：方法二，设M(x0，y0)是直线l1上任意一点，它关于直线l的对称点为N(x，y)，则线段MN的中点坐标为
得 ．
因为M(x0，y0)在直线l1上，所以2x0＋y0－4＝0，即2(y－2)＋(x＋2)－4＝0，所以直线l2的方程为x＋2y－6＝0.
直线MN的斜率为
由题意
方法规律
直线的对称
（2） 直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
（1） 点关于直线的对称是设对称点坐标，它们中点在已知直线上，斜率与已知直线的斜率互为负倒数.
跟踪练习
1.直线x－2y＋3＝0与2x－y＋3＝0的交点坐标为(　　)
A．(－1,1)　　 B．(1，－1) C．(1,1)　　 D．(－1，－1)
解析:　
∴选A.
得
答案：A
跟踪练习
2.直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是(　　)
A．x＋2y－1＝0　　 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0　　 D．x＋2y－3＝0
解析:由题意得直线x－2y＋1＝0与直线x＝1的交点坐标为(1,1)．
又直线x－2y＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x＝1的对称点为(3,0)，
所以由直线方程的两点式，得
　
∴选D.
即x＋2y－3＝0.
答案：D
跟踪练习
3.不论a为何实数，直线l：(a＋2)x－(a＋1)y＝2－a恒过一定点，则此定点的坐标为________.
解析:直线可化为a(x－y＋1)＋2x－y－2＝0，
由
∴定点坐标为(3,4).
得
答案： (3,4)
跟踪练习
4.试求直线l1：x－y－2＝0关于直线l2：3x－y＋3＝0对称的直线l的方程．
解：
　设所求直线l上一点P(x，y)，则在直线l1上必存在一点Q(x0，y0)与点P关于直线l2对称．
由题设知PQ与直线l2垂直，且线段PQ的中点M
在直线l2上．
得
跟踪练习
4.试求直线l1：x－y－2＝0关于直线l2：3x－y＋3＝0对称的直线l的方程．
整理得7x＋y＋22＝0.
所以所求直线方程为7x＋y＋22＝0.
解：
　代入直线l1：x－y－2＝0，得
课堂小结
谢
指
导
谢