2.3.2 两点间的距离公式 课件（共20张PPT）
文档属性
| 名称 | 2.3.2 两点间的距离公式 课件（共20张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 666.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-05-23 17:08:39 | ||
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文档简介
(共20张PPT)
2.3.2 两点间的距离公式
第二章 直线和圆的方程
学习目标
学习目标
1.掌握两点间距离公式并会应用.
2.用坐标法证明简单的平面几何问题.
核心素养
1.掌握平面上两点间的距离公式.(数学抽象)
2.会运用坐标法证明简单的平面几何问题.(数学建模)
问题引入
在一条笔直的公路同侧有两个村庄A和B,现在计划在公路上某处建一个公交站点C,以方便两村人民的出行.如何选址能使站点到两个村的距离之和最小
新知探索
两点间距离特殊情况
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何求P1 、P2的距离| P1 P2 |呢
P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
P2(x2,y2)
x
y
O
(1) x1≠x2, y1=y2
(2) x1 = x2, y1 ≠ y2
新知探索
两点间距离公式
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何求P1 、P2的距离| P1 P2 |呢
(3) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2
特别地,原点O与任一点P(x,y)的距离：
Q
(x2,y1)
y
x
O
P1
P2
(x1,y1)
(x2,y2)
新知探索
向量法求两点间距离公式
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何求P1 、P2的距离| P1 P2 |呢
y
x
o
P1
P2
(x1,y1)
(x2,y2)
小试身手
[答案] (1)× (2)× (3)×
1.点P1(0，a)，点P2(b，0)之间的距离为a－b.( )
2.当A，B两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用.( )
3.点P1(x1，y1)，点P2(x2，y2)，当直线平行于坐标轴时|P1P2|＝|x1－x2|.( )
典例精析
题型一：两点间距离
例1.如图，已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状.
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，
∴△ABC是等腰直角三角形.
解：法一
典例精析
题型一：两点间距离
例1.如图，已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状.
解：法二
∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
∴|AC|＝|AB|，
∴△ABC是等腰直角三角形.
规律方法
求两点间距离的方法
计算两点间距离的方法
(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解.
典例精析
题型二：坐标法解决平面几何问题
例2.在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2).
证明:设BC边所在直线为x轴，以D为原点，建立平面直角坐标系，如图所示，
设A(b，c)，C(a，0)，则B(－a，0).
因为|AB|2＝(a＋b)2＋c2，
|AC|2＝(a－b)2＋c2，
|AD|2＝b2＋c2，
|DC|2＝a2，
所以|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，
所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2).
典例精析
题型三：坐标法的应用
例3 .在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则
＝________.
解析：以C为原点，AC，BC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，
设A(4a，0)，B(0,4b)，则D(2a，2b)，P(a，b)，
所以|PA|2＝9a2＋b2，|PB|2＝a2＋9b2，|PC|2＝a2＋b2，
于是|PA|2＋|PB|2＝10(a2＋b2)＝10|PC|2，
答案：10
规律方法
题型二：坐标法解几何问题
利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：
(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；
(2)用坐标表示有关的量；
(3)将几何关系转化为坐标运算；
(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系.
跟踪练习
1.直线2x－5y－10＝0与坐标轴所围成的三角形面积是____.
解析： 令x＝0，则y＝－2；令y＝0，则x＝5.
答案：5
跟踪练习
2.已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为________.
解析：由两点间距离公式得
(－2－a)2＋(－1－3)2＝52，
所以(a＋2)2＝32，
所以a＋2＝±3，即a＝1或a＝－5.
答案： 1或－5
跟踪练习
3.已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程.
解：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－1)，
解方程组
得
即
解得
由
∴直线l的方程为
跟踪练习
4.已知正三角形ABC的边长为a,在平面ABC上求一点P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求此最小值.
解:以BC所在直线为x轴,以线段BC的中点为原点,建立直角坐标系,如图所示.
C
y
x
O
B
∵正三角形ABC的边长为a,
设P(x,y),由两点间的距离公式,得
跟踪练习
4.已知正三角形ABC的边长为a,在平面ABC上求一点P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求此最小值.
解:当且仅当
等号成立
所以，所求最小值 ，此时点P的坐标为
C
y
x
O
B
课堂小结
谢
指
导
谢
2.3.2 两点间的距离公式
第二章 直线和圆的方程
学习目标
学习目标
1.掌握两点间距离公式并会应用.
2.用坐标法证明简单的平面几何问题.
核心素养
1.掌握平面上两点间的距离公式.(数学抽象)
2.会运用坐标法证明简单的平面几何问题.(数学建模)
问题引入
在一条笔直的公路同侧有两个村庄A和B,现在计划在公路上某处建一个公交站点C,以方便两村人民的出行.如何选址能使站点到两个村的距离之和最小
新知探索
两点间距离特殊情况
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何求P1 、P2的距离| P1 P2 |呢
P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
P2(x2,y2)
x
y
O
(1) x1≠x2, y1=y2
(2) x1 = x2, y1 ≠ y2
新知探索
两点间距离公式
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何求P1 、P2的距离| P1 P2 |呢
(3) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2
特别地,原点O与任一点P(x,y)的距离：
Q
(x2,y1)
y
x
O
P1
P2
(x1,y1)
(x2,y2)
新知探索
向量法求两点间距离公式
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何求P1 、P2的距离| P1 P2 |呢
y
x
o
P1
P2
(x1,y1)
(x2,y2)
小试身手
[答案] (1)× (2)× (3)×
1.点P1(0，a)，点P2(b，0)之间的距离为a－b.( )
2.当A，B两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用.( )
3.点P1(x1，y1)，点P2(x2，y2)，当直线平行于坐标轴时|P1P2|＝|x1－x2|.( )
典例精析
题型一：两点间距离
例1.如图，已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状.
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，
∴△ABC是等腰直角三角形.
解：法一
典例精析
题型一：两点间距离
例1.如图，已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状.
解：法二
∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
∴|AC|＝|AB|，
∴△ABC是等腰直角三角形.
规律方法
求两点间距离的方法
计算两点间距离的方法
(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解.
典例精析
题型二：坐标法解决平面几何问题
例2.在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2).
证明:设BC边所在直线为x轴，以D为原点，建立平面直角坐标系，如图所示，
设A(b，c)，C(a，0)，则B(－a，0).
因为|AB|2＝(a＋b)2＋c2，
|AC|2＝(a－b)2＋c2，
|AD|2＝b2＋c2，
|DC|2＝a2，
所以|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，
所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2).
典例精析
题型三：坐标法的应用
例3 .在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则
＝________.
解析：以C为原点，AC，BC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，
设A(4a，0)，B(0,4b)，则D(2a，2b)，P(a，b)，
所以|PA|2＝9a2＋b2，|PB|2＝a2＋9b2，|PC|2＝a2＋b2，
于是|PA|2＋|PB|2＝10(a2＋b2)＝10|PC|2，
答案：10
规律方法
题型二：坐标法解几何问题
利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：
(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；
(2)用坐标表示有关的量；
(3)将几何关系转化为坐标运算；
(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系.
跟踪练习
1.直线2x－5y－10＝0与坐标轴所围成的三角形面积是____.
解析： 令x＝0，则y＝－2；令y＝0，则x＝5.
答案：5
跟踪练习
2.已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为________.
解析：由两点间距离公式得
(－2－a)2＋(－1－3)2＝52，
所以(a＋2)2＝32，
所以a＋2＝±3，即a＝1或a＝－5.
答案： 1或－5
跟踪练习
3.已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程.
解：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－1)，
解方程组
得
即
解得
由
∴直线l的方程为
跟踪练习
4.已知正三角形ABC的边长为a,在平面ABC上求一点P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求此最小值.
解:以BC所在直线为x轴,以线段BC的中点为原点,建立直角坐标系,如图所示.
C
y
x
O
B
∵正三角形ABC的边长为a,
设P(x,y),由两点间的距离公式,得
跟踪练习
4.已知正三角形ABC的边长为a,在平面ABC上求一点P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求此最小值.
解:当且仅当
等号成立
所以，所求最小值 ，此时点P的坐标为
C
y
x
O
B
课堂小结
谢
指
导
谢