2.3.3 点到直线的距离公式 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
2.3.3 点到直线的距离公式
第二章 直线和圆的方程
问题引入
点到直线的距离
问题1: 在铁路MN附近P地有一个仓库，要修建一条公路使之连接起来，问如何设计才能使公路最短？
仓库
铁路
N
M
P
问题引入
点到直线的距离
问题2：已知点 和直线 怎样求点P 到直线l的距离呢
.
建模
Q
新知探索
点到直线的距离公式
如图，点P到直线l的距离，是指从点P 到直线 的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.
.
Q
新知探索
点到直线的距离公式
设
因此l的斜率是
.
Q
PQ的斜率是
所以PQ的直线方程是
即
解方程组
解得
新知探索
点到直线的距离公式
.
Q
因此，
新知探索
点到直线的距离公式
因此，点 到直线 的距离为：
新知探索
整体代换求点到直线的距离公式
点 到直线 的距离，
能否概述简化运算的过程
设点 由两点间距离公式得，
解方程组
得
得两式求平方和：
新知探索
向量法求点到直线的距离公式
向量是解决距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线的距离呢
在直线l上任取一点 M，设 是直线 PQ 的单位方向向量
由
新知探索
两种方法的对比
比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算.
典例精析
题型一：点到直线距离公式得应用
例1.已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0)，求△ABC的面积.
解：设AB边上的高为h，
AB的方程为
化为一般式
x
y
O
A
B
C
h
规律方法
应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．
(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．
(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
点到直线距离公式得应用
典例精析
例2. 已知直线l经过点M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,
求直线l的方程.
解:(方法一)当过点M(-1,2)的直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,
恰好A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,
题型二：点到直线距离与斜率存在性
故x=-1满足题意;
当过点M(-1,2)的直线l的斜率存在时,
设l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,
由A(2,3)与B(-4,5)两点到直线l的距离相等,得
即x+3y-5=0.
综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.
解得
此时l的方程为
典例精析
例2. 已知直线l经过点M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,
求直线l的方程.
解:方法二)由题意得l∥AB或l过AB的中点.
当l∥AB时,设直线AB的斜率为kAB,
题型二：点到直线距离与斜率存在性
即x+3y-5=0.
综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.
直线l的斜率为
方程为
规律方法
在根据距离确定直线方程时,易忽略直线斜率不存在的情况,避免这种错误的方法是当用点斜式或斜截式表示直线方程时,应首先考虑斜率不存在的情况是否符合题设条件,然后再求解.
题型二：点到直线距离与斜率存在性
典例精析
解析：由点到直线得距离公式可知，
题型三：点到直线距离求参数
例3.已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于(　　)
A. B. C. D.
化简得
解得
所以选C.
答案：C
规律方法
点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．
(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成 或
跟踪练习
1.直线3x-4y-27=0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是　　　　　.
解析:由题意知过点P作直线3x-4y-27=0的垂线,
设垂足为M,则|MP|最小,
直线MP的方程为
解方程组
解得
∴所求点的坐标为(5,-3).
答案： (5,-3)
跟踪练习
2.若点(4，a)到直线4x－3y＝0的距离不大于3，则a的取值范围是______.
解析:由题意知
得
故a的取值范围为
答案:
跟踪练习
3.已知x，y满足5x＋12y－60＝0，求x2＋y2的最小值．
即O点到动点（x,y）的距离的平方，
要使距离最小，必须原点到直线的距离最小.
解:
又原点(0，0)到直线5x＋12y－60＝0的距离为
因此x2＋y2的最小值为
跟踪练习
4.用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.
O
A(a,0)
C(-a,0)
B(0,b)
x
y
E
F
P
证明:建立如图直角坐标系,设P (x,0),
x∈(-a,+a),且a>0，
则AB的直线方程为：bx+ay-ab=0
CB的直线方程为：bx-ay+ab=0
A到BC的距离
因为|PE|+|PF|=h，
所以原命题得证.
课堂小结
谢
指
导
谢