2.3.4 两条平行直线间的距离 课件（共21张PPT）

(共21张PPT)
2.3.4 两条平行直线间的距离
第二章 直线和圆的方程
学习目标
两条平行直线间距离
1.掌握平面上两点间的距离公式.(数学抽象)
2.掌握点到直线的距离公式.(数学抽象)
3.会求两条平行直线间的距离.(数学运算)
4.会运用坐标法证明简单的平面几何问题.(数学建模)
新知探索
两条平行直线间距离
两条平行直线间的距离
1.概念:夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离.
2.求法:两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离.
新知探索
两条平行直线间距离
已知两条直线的方程：
分析：两条平行直线间的距离即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离.
求这两条平行直线间的距离.
解：在直线 上任取一点 ，点 到
直线 的距离就是这两条平行直线间的距离，即
新知探索
两条平行直线间距离
因为点 在直线 上，所以 ，即 ，因此
结论：两条平行直线 与 间的距离为
典例精析
题型一：两平行直线的距离
例1. 已知两条平行直线 ， ，
求 与 间的距离.
解：直线 的方程可以化为 ，
因为 ，
于是
所以 与 间的距离为
典例精析
解：当l1、l2的斜率不存在，即l1：x＝0，l2：x＝5时，满足条件．
此时l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0.
综上所述，所求直线l1，l2的方程为
l1：x＝0，l2：x＝5或l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0.
题型一：两平行直线的距离
例2.直线 过点A(0,1)， 过点B(5,0)，如果 ∥ ，且 与 的距离为5，求直线 与 的方程．
当l1、l2的斜率存在时，设l1：y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，
l2：y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，由两条平行直线间的距离公式得
解得
题型方法
求两平行直线线距离求法
(1)把直线方程化为直线的一般式方程;
(2)两条直线方程中x,y的系数必须分别相等；
(3)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离,也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离.
典例精析
题型二：利用两平行直线距离求参数
例3. 已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是(　　)
A．4 　 B． C． D.
即m=4.
所以对应直线方程为6x+4y+1=0.
又直线3x+2y-3=0可化为6x+4y-6=0,
解析:由题意,直线3x+2y-3=0和直线6x+my+1=0平行,则
所以两平行线之间的距离为
故选D.
答案：D
典例精析
题型二：利用两平行直线距离求参数
例4. 若两条平行线 :x-y+1=0与 :3x+ay-c=0(c>0)之间的距离为 则 等于（ ）
A．-2 　 B．-6 C．2 D. 0
解析：直线l1:x-y+1=0与l2:3x+ay-c=0(c>0)平行,故有a=-3,
平行线l1:3x-3y+3=0与l2:3x-3y-c=0(c>0)之间的距离为
解得c=3或c=-9(舍),
则
故选A.
答案：A
方法规律
利用两平行直线距离求参数
反思感悟求两条平行直线间的距离的两种思路
1.利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.由于这种求法与点的选择无关,因此,选点时,常选取一个特殊点,如直线与坐标轴的交点等,以便于运算.
2.利用两条平行直线间的距离公式求解.
典例精析
（2）当d取最大值时，两直线与AB垂直．
题型三：平行线距离的综合应用
例5.两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.（1）你能求出d的取值范围吗？
（2）当d取最大值时，请求出两条直线的方程．
解：（1）如图，显然有0y
B
O
x
A
故所求的d的变化范围为
典例精析
题型三：平行线距离的综合应用
例5.两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.（1）你能求出d的取值范围吗？
（2）当d取最大值时，请求出两条直线的方程．
（2）当d取最大值时，两直线与AB垂直．
y
B
O
x
A
∴所求直线的斜率为－3.
故所求的直线方程分别为
y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
规律方法
求两平行线上动点距离的方法
1.利用两点间距离公式求解．
2.如果是求最短距离用公式法： .
3.求距离的最值要注意几何意义使用．
跟踪练习
1.若直线l1:x+my+6=0与l2:(m-2)x+3y+2m=0互相平行,则m的值为　　　　　,它们之间的距离为　　　　　.
解析：由m(m-2)-3=0,解得m=3或-1.
经过验证,m=3时两条直线重合,舍去.
∴m=-1.
∴它们之间的距离为
直线l1:x+my+6=0与l2:(m-2)x+3y+2m=0分别化为x-y+6=0，
答案：
跟踪练习
2.求与直线 l：5x－12y＋6＝0 平行且到 l 的距离为 2 的直线方程．
解：方法一：设所求直线的方程为 5x－12y＋C＝0，
故所求直线的方程为 5x－12y＋32＝0 或 5x－12y－20＝0.
在直线5x－12y＋6＝0上取一点
则点 P0 到直线5x－12y＋C＝0的距离为
或
跟踪练习
2.求与直线 l：5x－12y＋6＝0 平行且到 l 的距离为 2 的直线方程．
故所求直线的方程为 5x－12y＋32＝0 或 5x－12y－20＝0.
解得 C＝32，或 C＝－20，
故所求直线的方程为 5x－12y＋32＝0 或 5x－12y－20＝0.
解：方法二：设所求直线的方程为 5x－12y＋C＝0，
由两平行直线间的距离公式得
或
跟踪练习
3.求过点M(-2,1),且与A(-1,2),B(3,0)距离相等的直线方程
解:由题意可得kAB= ,线段AB的中点为C(1,1),满足条件的直线经过线段AB的中点或与直线AB平行.
当直线过线段AB的中点时,由于M与C点的纵坐标相同,所以直线MC的方程为y=1;
当直线与AB平行时,其斜率为
综上,所求直线的方程为y=1或x+2y=0.
由点斜式可得所求直线方程为
跟踪练习
解：由直线l1，l2的方程知l1∥l2.又由题意知，直线l与l1，l2均平行(否则d1＝0或d2＝0，不符合题意)．
设直线l：3x－2y＋m＝0(m≠－1且m≠－13)，由两平行线间的距离公式，得
4.已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直线l的方程.
又d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1|＝2|m＋13|，
解得m＝－25或m＝－9.
故所求直线l的方程为3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝0.
课堂小结
谢
指
导
谢