2.4.1圆的标准方程 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
2.4.1　圆的标准方程
第二章 直线和圆的方程
学习目标
学习目标
1．会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．(重点)
2．能根据所给条件求圆的标准方程．(重点)
3．掌握点与圆的位置关系．(重点)
4．圆的标准方程的求解．(难点)
核心素养
1．通过圆的标准方程及其特征的学习，培养数学抽象的核心素养．
2．借助圆的标准方程的求解与应用，提升数学运算的核心素养．
问题引入
圆的标准方程
我们的祖先很早就发明了建桥技术，现存最早的拱桥是由著名工匠李春设计建造于1 400多年前、横跨在我国河北赵县的河上的赵州桥．赵州桥又名安济桥，全长50多米，拱圆净跨37米多，是一座单孔坦拱式桥梁．赵州桥外形秀丽，结构合理，富有民族风格．虽然历经千年风霜及车压人行，但赵州桥至今仍可通行车辆，被公认为是世界上最古老的一座拱桥．由桥拱的一部分能求出拱桥所在圆的方程吗？
新知探索
圆的标准方程
1．圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆，其中定点是圆心，定长是圆的半径．确定一个圆的条件：(1)圆心；(2)半径.
2 ．圆的标准方程
一般地,如果平面直角坐标系中☉C的圆心为C(a,b),半径为r(r>0),设M(x,y)为平面直角坐标系中任意一点,则点M在☉C上的充要条件是|CM|=r,即 ,两边平方,得 ,
通常称为圆的标准方程.
新知探索
点与圆的位置关系
3．设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：
位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内
d与r的关系 d>r d=r d新知探索
点与圆的位置关系
思考：若点 在圆C： 上，需要满足 ，那么P在圆C内和圆C外又满足怎样的关系？
若点 在圆C： 外，需要满足 .
若点 在圆C： 内，需要满足 .
小试身手
[答案]　(1)√　(2)×　(3) ×
(1)正确．确定圆的几何要素就是圆心和半径．
(2)错误．当m＝0时，不表示圆．
(3)错误．圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心为(－2，－3)，半径为3．
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)圆心位置和圆的半径确定，圆就唯一确定． (　　)
(2)方程 一定表示圆． (　　)
(3)圆 的圆心坐标是(2,3)，半径是9． (　　)
典例精析
题型一：直接法求圆的标准方程
例1.根据下列条件，求圆的标准方程．
(1)圆心在点C(－2,1)，且过点A(2，－2)；
(2)已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上．
从而所求圆的方程是
(x-2)2＋(y+3)2＝13.
解：(1)所求圆的半径
又因为圆心为(－2,1)，所以所求圆的方程为
(x＋2)2＋(y-1)2＝25.
(2)设此直径两端点分别为(a,0)，(0，b)，
由于圆心坐标为(2，－3)，所以a＝4，b＝－6，
所以圆的半径
规律方法
确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.
题型一：直接法求圆的标准方程
典例精析
解：设点C为圆心，
∵点C在直线：x－2y－3＝0上，
∴可设点C的坐标为(2a＋3，a)．
又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|.
题型二：待定系数法求圆的方程
例2 .求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程．
解得
∴圆心坐标为C(－1，－2)，半径 .
故所求圆的标准方程为(x+1)2＋(y+2)2＝10.
规律方法
1．待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
设方程 →列方程组(由已知条件，建立关于a、b、r的方程组)→解方程组(解方程组，求出a、b、r)→得方程(将a、b、r代入所设方程，得所求圆的标准方程)．
2．充分利用圆的几何性质，可使问题计算简单．
题型二：待定系数法求圆的方程
典例精析
例3 .若P(x，y)为圆C：(x+1)2＋y2＝ 上任意一点，请求出P(x，y)到原点的距离的最大值和最小值．
解：原点到圆心C(－1,0)的距离d＝1，圆的半径为 ，故圆上的点到坐标原点的最大距离为 ，最小距离为 .
题型三：与圆有关的最值问题
典例精析
例4 .若P(x，y)为圆C：(x-2)2＋y2＝3上任意一点，求
的最大值和最小值．
题型三：与圆有关的最值问题
解：原方程表示以点(2,0)为圆心，以 为半径的圆，设 ，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，
此时
，解得
故 的最大值为 ，最小值为 ．
规律方法
题型三：与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型
1.形如 形式的最值问题，可转化为过点（x,y）和(a，b)的动直线斜率的最值问题.
(2)形如l＝ax＋by(b≠0)形式的最值问题，可转化为动直线 截距的最值问题.
(3)形如 形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点
(a，b)的距离的平方的最值问题.
跟踪练习
解析：选D．
将O(－3，4)，r＝5代入圆的标准方程可得．
1.圆心是O(－3，4)，半径长为5的圆的方程为(　　)
A．(x-3)2＋(y+4)2＝5 B．(x-3)2＋(y+4)2＝25
C．(x+3)2＋(y-4)2＝5 D．(x+3)2＋(y-4)2＝25
跟踪练习
2.圆心在直线x＝2上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为______________________．
解析:由题意知圆心坐标为(2，－3)，半径为
∴所以圆C的方程为
跟踪练习
解析:圆(x-1)2＋(y-1)2＝1的圆心为(1，1)，圆心到直线x－y＝2的距离为
3.圆(x-1)2＋(y-1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是(　　)
A．2 B． C． D．
圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，
∴最大距离为
跟踪练习
4.平面直角坐标系中有A(0，1)，B(2，1)，C(3，4)，D(－1，2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？
解：设过A(0，1)，B(2，1)，C(3，4)的圆的方程为(x-a)2＋(y-b)2＝r2．
将A，B，C三点的坐标分别代入得
∴所求圆的方程为(x-1)2＋(y-3)2＝5.
解得：
将D(－1，2)的坐标代入上式圆的方程左边，
(-1-1)2＋(2-3)2＝5
即D点坐标适合此圆的方程．
故A，B，C，D四点在同一圆上．
课堂小结
本
课
结
束