2.5.1 第1课时 直线与圆的位置关系 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
2.5.1　第1课时　直线与圆的位置关系
第二章 直线和圆的方程
学习目标
学习目标
1．理解直线与圆的三种位置关系．
(重点)
2．会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系．(重点)
3．能解决直线与圆位置关系的综合问题．(难点)
核心素养
1．通过直线与圆的位置关系的学习，培养直观想象逻辑推理的数学核心素养．
2．通过解决直线与圆位置关系的综合问题，培养数学运算的核心素养．
问题引入
直线与圆的位置关系
早晨的日出非常美丽，如果我们把海平面看成一条直线，而把太阳抽象成一个运动着的圆，观察太阳缓缓升起的这样一个过程．你能想象到什么几何知识呢？没错，日出升起的过程可以体现直线与圆的三种特殊位置关系．你发现了吗？
新知探索
直线与圆的相离
要判断直线与圆的位置关系，从几何角度看，圆心P到直线的距离d与半径r的关系，
P
x
y
Q
O
d
r
圆的标准方程为：(x－a)2＋(y-b)2＝r2.
直线方程为Ax＋By＋C＝0，则圆心到直线的距离为 .
如果d>r则直线与圆相离.
新知探索
直线与圆的相切
要判断直线与圆的位置关系，从几何角度看，圆心P到直线的距离d与半径r的关系，
P
x
y
Q
O
d
r
圆的标准方程为：(x－a)2＋(y-b)2＝r2.
直线方程为Ax＋By＋C＝0，则圆心到直线的距离为 .
如果d=r则直线与圆相切.
新知探索
直线与圆的相交
要判断直线与圆的位置关系，从几何角度看，圆心P到直线的距离d与半径r的关系，
P
x
y
Q
O
d
r
圆的标准方程为：(x－a)2＋(y-b)2＝r2.
直线方程为Ax＋By＋C＝0，则圆心到直线的距离为 .
如果d新知探索
代数法判断直线与圆的位置关系
圆的标准方程为：(x－a)2＋(y-b)2＝r2，
直线方程为Ax＋By＋C＝0，联立直线与圆的方程：
得到一元二次方程，由判别式确定直线与圆的位置关系.
新知探索
代数法判断直线与圆的位置关系
得到一元二次方程，由判别式 确定直线与圆的位置关系.
如果

Δ>0,对应的一元二次方程有两不等实根，直线与圆相交
如果
如果
Δ=0,对应的一元二次方程有两相等实根，直线与圆相切
Δ<0,对应的一元二次方程无解，直线与圆相离
小试身手
[答案]　(1)√　(2)√
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(　　)
(2)若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆一定相切． (　　)
小试身手
2.直线x＋y＝1与圆x2＋y2－2ay＝0(a＞0)没有公共点，则a的取值范围是 ．
由题意得圆心(0，a)到直线x＋y－1＝0的距离大于半径a，即
解得 ，又a＞0，∴
典例精析
题型一：直线与圆的位置关系判定
例1.已知直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝2，当b为何值时，圆与直线有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？
(1)当－2＜b＜2时，Δ＞0，直线与圆有两个公共点．
(2)当b＝2或b＝－2时，Δ＝0，直线与圆只有一个公共点．
(3)当b＜－2或b＞2时，Δ＜0方程组没有实数解，直线与圆没有公共点．
解：法一：据题意知
得
判别式
典例精析
题型一：直线与圆的位置关系判定
例1.已知直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝2，当b为何值时，圆与直线有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？
当d＝r，|b|＝2，即b＝2或b＝－2时，圆与直线相切，直线与圆只有一个公共点．
当d＞r，|b|＞2，即b＜－2或b＞2时，圆与直线相离，圆与直线无公共点．
解：法二：圆的半径 ，圆心O(0,0)到直线y＝x＋b的距离为 ．
当d＜r，即－2＜b＜2时，圆与直线相交，有两个公共点．
规律方法
直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
题型一：直线与圆的位置关系的判断
典例精析
题型二：直线系与圆的位置关系
解：∵直线l:x+my+3m=0可化为
x+m（y+3）m=0，
∴直线恒过定点（0，-3）.
∴点（0，-3）在圆内.
而直线l恒过定点（0，-3）,
所以,直线与圆相交.
例2 .若直线l:x+my+3m=0,圆C：(x+1)2＋(y+2)2＝16,判断直线与圆的位置关系.
(0+1)2＋(-3+2)2＝2<16.
规律方法
直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
题型二：直线系与圆的位置关系
典例精析
例3 .过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程．
题型三：直线与圆的相切
解：因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1，
所以点A在圆外．
(1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k，
则切线方程为y＋3＝k(x－4)．
因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径，
半径为1，
所以 ，即
所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得
所以切线方程为y＋3＝ (x－4)，
即15x＋8y－36＝0.
(2)若直线斜率不存在，
圆心C(3,1)到直线x＝4的距离为1，
这时直线与圆相切，所以另一条切线方程是x＝4.
综上，所求切线方程为
15x＋8y－36＝0或x＝4.
规律方法
题型三：直线与圆相切
(2)点在圆外时
几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．
代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．
过一点的圆的切线方程的求法
(1)点在圆上时，求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为 ，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程x＝x0或y＝y0．
典例精析
例4.已知点 均在圆C上.(1)求圆C的方程;
(2)若直线3x-y+1=0与圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.
题型四：弦长问题
∴圆C的方程为(x-1)2+(y+2)2=9.
解：(1)∵点
均在圆C上,
∴圆心C的横坐标为1,设圆C的方程为(x-1)2+(y-b)2=r2,
则 解得
(2)圆C的圆心坐标为(1,-2),半径为3,
圆心到直线3x-y+1=0的距离为
∴直线3x-y+1=0被圆C截得的弦AB的长为
规律方法
弦长问题
直线与圆相交时弦长的两种求法
1．几何法：直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有 ，则
2．代数法：将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是
，则
(直线l的斜率k存在且不为0)．
跟踪练习
1.直线x＋y＝1与圆x2＋y2－2ay＝0(a＞0)没有公共点，则a的取值范围是___________．
解：由题意得圆心(0，a)到直线x＋y－1＝0的距离大于半径a，即
解得
又a＞0，∴
因此，a的取值范围是
跟踪练习
2.对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是(　　)
A.相离 B.相切
C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心
解:直线y=kx+1恒过定点(0,1),由定点(0,1)在圆x2+y2=2内,知直线y=kx+1与圆x2+y2=2一定相交.又直线y=kx+1不过圆心(0,0),
则位置关系是相交但直线不过圆心,故选C.
C
跟踪练习
3.直线y=x-1上的点与圆x2+y2+4x-2y+4=0上的点的距离的最小值为(　　)
A. B. C. D.1
解：圆x2+y2+4x-2y+4=0的圆心为(-2,1),半径为1,圆心到直线y=x-1的距离为
所以 直线y=x-1上的点与圆x2+y2+4x-2y+4=0上的点的距离的最小值为 .
C
跟踪练习
4.已知直线l:mx+y-3=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4交于A,B两点,过A,B分别做l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=4,则|CD|=　　　　　.
解：圆(x-1)2+(y-2)2=4,圆心(1,2),半径r=2,
∵|AB|=4,∴直线l:mx+y-3=0过圆心(1,2),
∴m+2-3=0,∴m=1,
∴直线l:x+y-3=0,倾斜角为135°,
∵过A,B分别做l的垂线与x轴交于C,D两点,
课堂小结
本
课
结
束