2.5.1 第2课时 直线与圆的方程的实际应用 课件（共21张PPT）

(共21张PPT)
2.5.1 第2课时 直线与圆的方程的实际应用
第二章 直线和圆的方程
学习目标
学习目标
1.理解并掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用.
2.会用“数形结合”的数学思想解决问题.
核心素养
1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．(逻辑推理)
2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．(数学建模)
直线与圆的方程的实际应用方法
仔细读题(审题)→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案.
新知探索
直线与圆的方程的实际应用方法
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，如点、直线，将平面几何问题转化为代数问题.
第二步：通过代数运算，解决代数问题.
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.
用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
新知探索
直线与圆的方程的实际应用方法
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，如点、直线，将平面几何问题转化为代数问题.
第二步：通过代数运算，解决代数问题.
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.
用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
新知探索
小试身手
1.一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，则该半圆的方程是( )
A.x2＋y2＝25
B.x2＋y2＝25(y≥0)
C.(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)
D.随建立直角坐标系的变化而变化
答案： D
典例精析
题型一：直线与圆的方程的应用
例1.一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
解：以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图所示)，
其中取10 km为单位长度，
则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，
港口所对应的点的坐标为(0,4)，
轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，
典例精析
题型一：直线与圆的方程的应用
例1.一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
则轮船航线所在直线l的方程为
即4x＋7y－28＝0，
圆心(0,0)到l：4x＋7y－28＝0的距离
因为
所以直线与圆相离.
故轮船不会受到台风的影响.
规律方法
题型一：直线与圆的方程的应用
解决直线与圆的实际应用题的步骤
(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知.
(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素.
(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知.
(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去.
典例精析
题型二：坐标法的应用
例2.如图所示，AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，且AB⊥CD，E为垂足.利用坐标法证明E是CD的中点.
证明:如图所示，以O为坐标原点，以直径AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
设圆O的半径为r，|OE|＝m，则圆O的方程为x2＋y2＝r2，
设C(m，b1)，D(m，b2).
则
即b1，b2是关于b的方程m2＋b2＝r2的根，
解方程得
即(m，0).故E是CD的中点.
则CD的中点坐标为
不妨设
规律方法
题型二：坐标法
(1)坐标法建立直角坐标系应坚持的原则
①若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴.
②充分利用图形的对称性.
③让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称.
④关键点的坐标易于求得.
(2)通过建立坐标系，将几何问题转化为代数问题，通过代数运算，求得结果.所以本例充分体现了数学建模和数学运算的数学核心素养.
典例精析
题型三：直线与圆的综合实际应用
例3.某圆拱桥的水面跨度是20 m，拱高为4 m.现有一船宽9 m，在水面以上部分高3 m，通行无阻.近日水位暴涨了1.5 m，为此，必须加重船载，降低船身，当船身至少降低____ m时，船才能安全通过桥洞.(结果精确到0.01 m)
解：以水位未涨前的水面AB的中点为原点，
建立平面直角坐标系，如图所示，
设圆拱所在圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2，
∵圆经过点B(10,0)，C(0,4)，
解得:
典例精析
题型三：直线与圆的综合实际应用
例3.某圆拱桥的水面跨度是20 m，拱高为4 m.现有一船宽9 m，在水面以上部分高3 m，通行无阻.近日水位暴涨了1.5 m，为此，必须加重船载，降低船身，当船身至少降低____ m时，船才能安全通过桥洞.(结果精确到0.01 m)
∴圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)，令x＝4.5，得y≈3.28，
故当水位暴涨1.5 m后，船身至少应降低1.5－(3.28－3)＝1.22 (m)，
船才能安全通过桥洞.
规律方法
实际应用的解题方法
在实际问题中，遇到有关直线和圆的问题，通常建立直角坐标系，利用坐标法解决．建立适当的直角坐标系应遵循三点：
(1)若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴；
(2)常选特殊点作为直角坐标系的原点；
(3)尽量使已知点位于坐标轴上．建立适当的直角坐标系，会简化运算过程．要想学会建立适当的直角坐标系，必须靠平时经验的积累．
跟踪练习
解析：从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，
即
1.设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离是_________．
答案：-2
跟踪练习
2.如图，圆弧形拱桥的跨度AB＝12 m，拱高CD＝4 m，则拱桥的直径为________ m.
解析:设圆心为O，半径为r，则由勾股定理得，|OB|2＝|OD|2＋|BD|2，
所以拱桥的直径为13 m.
即
解得
答案：13
跟踪练习
3.一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为（ ）
A.2.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2.0米
解析:以半圆所在直径为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
易知半圆所在的圆的方程为x2＋y2＝3.62(y≥0)，
由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高，
此时x＝0.8或x＝－0.8，代入x2＋y2＝3.62，
得y≈3.5(负值舍去).
答案：B
所以选B.
跟踪练习
4.如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan ∠BCO＝ .
求新桥BC的长.
解:如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.由条件知，A(0,60)，C(170,0)，
直线BC的斜率
跟踪练习
4.如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan ∠BCO＝ .
求新桥BC的长.
又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率
设点B的坐标为(a，b)，
则
解得a＝80，b＝120.
因此新桥BC的长为150 m.
课堂小结
谢
指
导
谢