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初中数学同步训练必刷题（人教版八年级下册 20.2 数据的波动程度）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2023八下·杭州期中）计算数据 1，2，3，4，5的方差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023八下·嵊州期中）甲、乙两班分别有名选手参加体操比赛，两班参赛选手身高的方差分别是，，则下列说法正确的是
A．甲班选手的身高比乙班选手的整齐
B．乙班选手的身高比甲班选手的整齐
C．甲、乙两班选手的身高一样整齐
D．无法确定哪班选手的身高整齐
3．（2023八下·瑞安期中）下表记录了四名运动员几次选拔赛的成绩，现要选一名成绩好且发挥稳定的运动员参加市运动会100米短跑项目，应选择（ ）
甲 乙 丙 丁
平均数（秒） 12.2 12.1 12.2 12.1
方差 6.3 5.2 5.8 6.1
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（2023八下·杭州期中）已知一组数据的方差为S2＝［(x1－10)2＋(x2－10)2＋…＋(x5－10)2］，则（ ）
A．这组数据有10个 B．这组数据的平均数是5
C．方差是一个非负数 D．每个数据加3，方差的值增加3
5．（2022八下·范县期末）若x1，x2，x3， ，xn的平均数为8，方差为2，则关于x1＋2，x2＋2，x3＋2，……，xn＋2，下列结论正确的是（ ）
A．平均数为8，方差为2 B．平均数为8，方差为4
C．平均数为10，方差为2 D．平均数为10，方差为4
6．（2022八下·涿州期末）在方差的计算公式中，数字10和20表示的意义分别是（ ）
A．数据得个数和平均数 B．数据的方差和平均数
C．数个数和方差 D．以上都不对
7．（2022八下·门头沟期末）下表记录了甲、乙、丙、丁四名滑雪选手次测试成绩的平均数与方差：
甲 乙 丙 丁
平均数（分）
方差
要选择一名成绩较高且状态稳定的选手参加滑雪比赛，那么应该选择的选手是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．（2022八下·斗门期末）甲组数据为4、5、6、7；乙组数据为3、5、6、8，下列说法正确的是（ ）
A．甲更稳定 B．乙更稳定 C．方差一样 D．无法比较
9．（2022八下·临汾期末）有一组数据：3，a，4，6，7，它们的平均数是5，那么这组数据的方差是（ ）
A．2 B．5 C．3 D．4
10．（2022八下·高平期末）为了考察甲、乙两块地中小麦的长势，分别从中随机抽出10株麦苗，测得麦苗高如图所示，若和分别表示甲、乙两块地麦苗高数据的方差，则（ ）
A．＝ B．＜ C．＞ D．不确定
二、填空题（每空3分，共30分）
11．（2023八下·鄞州期中）已知一组数据是-1，0，-1，2，则这组数据的方差是
12．（2022八下·巴彦期末）某校要从甲、乙两名同学中选取一名成绩稳定的同学去参加数学竞赛，已知五次模拟测试中统计所得的信息为＝115，S甲2＝12，＝115，S乙2＝36，则应选择 参加竞赛．
13．（2023八下·镇海期中）已知甲、乙两组数据的折线图如图，设甲、乙两组数据的方差分别为、，则 填“”、“”或“”
14．（2022八下·西城期末）射击运动员小东10次射击的成绩（单位：环）：7.5，8，7.5，8.5，9，7，7，10，8.5，8．这10次成绩的平均数是8.1，方差是0.79，如果小东再射击一次，成绩为10环，则小东这11次成绩的方差 0.79．（填“大于”、“等于”或“小于”）
15．（2023八下·海曙期中）已知一组数据的方差计算如下：，则这组数据的和是 ．
16．（2023八下·萧山期中） 小明用计算一组数据的方差，那么 .
17．（2023八下·宁海期中）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数单位：千克及方差，如表所示.今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是 填“甲”或“乙”或“丙”或“丁”
甲 乙 丙 丁
24 24 23 20
2.1 1.9 2 1.9
18．（2023八下·杭州月考）一组数据从小到大的顺序排列为1，1，3，，4，6，若这组数据的中位数为3，则这组数据的方差是 ．
19．（2022八下·新兴期末）某中学八年级人数相等的甲、乙两个班参加同一次数学测验，两班平均分和方差分别为分，分，，，则成绩较为整齐的是 班．（填“甲”或“乙”）
20．（2022八下·孝义期末）如图是甲、乙两名同学的8次射击训练成绩的折线统计图，他们的平均成绩相同，若要从这两位同学中选一名成绩较为稳定的同学参加学校运动会的射击项目，则应选 ．
三、解答题（共6题，共60分）
21．（2023八下·杭州期中）某校八（1）班甲、乙两名男生在5次引体向上测试中有效次数记录如下：
甲：8，8，7，8，9；
乙：5，9，7，10，9．
甲、乙两人引体向上的平均数、众数、中位数、方差如下表所示：
平均数 众数 中位数 方差
甲 8 a 8 0.4
乙 8 9 9 b
（1）表中 ， ；
（2）如果乙同学再做一次引体向上，有效次数为8，那么乙同学6次引体向上的成绩与前5次相比，平均数 ，中位数 ，方差 ．（填“变大”“变小”或“不变”）
22．（2023八下·金东月考） 某校八年级学生开展跳绳比赛活动，每班派名学生参加，按团体总分多少排列名次，统计发现成绩最好的甲班和乙班总分相等，下表是甲班和乙班学生的比赛数据单位：个
选手 1号 2号 3号 4号 5号 总计
甲班 100 98 105 94 103 500
乙班 99 100 95 109 97 500
此时有学生建议，可以通过考察数据中的其他信息作为参考，请解答下列问题：
（1）求两班比赛数据中的中位数，以及方差；
（2）请根据以上数据，说明应该定哪一个班为冠军？为什么？
23．（2023八下·青秀期中）某校组织八，九年级各500名学生举行“学习二十大，筑梦向未来”知识竞赛，现分别在八，九年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（单位：分）进行统计、整理如下：
【收集数据】
八年级：74，76，79，81，84，86，87，90，90，93.
九年级：76，81，81，82，82，82，84，85，90，92.
【整理数据】
年级
八年级 3 4 3
九年级 1 a 2
【分析数据】
年级 平均数 中位数 众数 方差
八年级 b 85 90
九年级 c 82
【应用数据】
（1）根据以上信息，可以求出：a= ，b= ，c= ；
（2）在计算这两组数据的方差时用的公式是，其中在计算八年级这组数据的方差时，公式中的n= ；
（3）根据以上数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）.
24．（2022八下·微山期末）某学校组织七、八年级全体学生举行了安全知识竞赛活动，为了解竞赛成绩情况，为两个年级各随机抽取10名学生的成绩（满分为100分）进行了分析，并依据分析结果绘制了如下表所示的不完整统计表：
七年级：90，95，95，80，85，90，80，90，85，100；
八年级：85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 89 m 90 39
八年级 n 90 p q
根据以上信息解答下面问题：
（1）填空：m＝ ，p＝ ；
（2）求q的值；
（3）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？说明理由．
25．（2022八下·内江期末）2021年12月9日，神舟十三号乘组三位航天员首次在中国空间站进行太空授课，传播载人航天知识．某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行科普知识竞赛（百分制），测试成绩整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x<85；B.85≤x<90；C.90≤x<95；D.95≤x≤100）
其中，七年级10名学生的成绩是：96，80，96，83，100，96，99，100，89，81．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．
七，八年级抽取的学生竞赛成绩统计表如下：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 92 93 b 58
八年级 92 c 97 38.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次比赛中 年级成绩更稳定；
（2）直接写出上述a、b、c的值：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（3）该校八年级共1000人参加了此次科普知识竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀（x≥90）的八年级学生人数是多少？
26．（2022八下·乐昌期末）某市射击队甲、乙两名队员在相同的条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示：
（1）请将表格补充完整：（参考公式：方差）
平均数 方差 中位数
甲 7 ① 7
乙 ② 5.4 ③
（2）请从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析：①从平均数和方差相结合看， 的成绩好些；②从平均数和中位数相结合看， 的成绩好些；
（3）若其他队选手最好成绩在9环左右，现要选一人参赛，你认为选谁参加，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：这组数据的平均数为：（1+2+3+4+5）÷5=15÷5=3，
这组数据的方程为：[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3）2]÷5=2.
故答案为：B.
【分析】先根据算术平均数的计算方法算出这组数据的平均数，进而根据方差就是这组数据的各个数据与这组数据的平均数差的平方和的平均数计算即可.
2．【答案】A
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵1.5＜2.5，
∴甲班选手的身高比乙班选手的整齐.
故答案为：A
【分析】比较两位选手方差的大小，方差越小，数据的波动越小，据此可得答案.
3．【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵甲和丙的平均数较大，
∴从甲和丙中选择一人参加竞赛，
∵丙的方差较小，
∴选择丙参加比赛，
故答案为：C.
【分析】平均数相同时，只需比较方差的大小，根据方差越小成绩越稳定可求解.
4．【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵ 一组数据的方差为S2＝［(x1－10)2＋(x2－10)2＋…＋(x5－10)2］ ，
∴这组数据有5个，故选项A错误，不符合题意；
这组数据的平均数是10，故选项B错误，不符合题意；
方差是一个非负数，说法正确，故选项C正确，符合题意；
当每个数据加3，其平均数也增加3，所以每个数据与平均数差不会变化，故方差也就不会改变，
∴选项D错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】方差反应的是一组数据的波动大小的量，方差等于一组数据中每一个数据与其平均数差的平方和的平均数，据此即可一一判断得出答案.
5．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：样本x1+2，x2+2，x3+2，…xn+2，对于样本x1，x2，x3，…xn来说，
每个数据均在原来的基础上增加了2，根据平均数、方差的变化规律得：
平均数较前增加2，而方差不变，即：平均数为8+2=10，方差为2，
故答案为：C．
【分析】先求出平均数较前增加2，而方差不变，再求解即可。
6．【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：根据方差计算公式可得：10表示的意义是数据的个数，20表示的意义是平均数，
故答案为：A．
【分析】 方差的计算公式中n表示样本容量，表示平均数，据此解答即可.
7．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由表格中平均数可知：成绩好的选手是乙、丙，由表格中乙、丙的方差可知：成绩好且发挥稳定的选手是乙，
应该选择的选手是：乙，
故答案为：B．
【分析】利用平均数的性质及方差的性质：方差越大，数据波动越大求解即可。
8．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】∵，，
，
，
，
，
甲更稳定，
故答案为：A．
【分析】利用平均数和方差的定义及计算方法求解即可。
9．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵数组的平均数为5，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据平均数的计算方法可得a的值，然后利用方差的计算公式进行计算.
10．【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由图可知，甲的麦苗高的数据波动小，所以甲的方差小，
，
故答案为：B.
【分析】方差用来衡量一批数据的波动大小，在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定，方差越小，说明数据的波动越小，越稳定，据此判断.
11．【答案】
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵一组数据是-1，0，-1，2，
∴平均数为，
∴方差=[(-1-0)2+(0-0)2+(-1-0)2+(2-0)2]=.
故答案为：.
【分析】首先求出平均数的值，然后结合方差的计算公式进行计算.
12．【答案】甲
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵＝＝115，S甲2＝12＜S乙2＝36，
∴甲、乙的平均成绩相同，但甲的成绩比乙的成绩稳定，
∴应该选择甲同学参加竞赛，
故答案为：甲．
【分析】先求出甲、乙的平均成绩相同，但甲的成绩比乙的成绩稳定，再求解即可。
13．【答案】＞
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】解：从折线统计图看出：乙组数据的波动较小，故乙的方差较小，即 ＞.
故答案为：＞.
【分析】根据数据的波动越大，方差越大，结合图形即可判断得出答案.
14．【答案】大于
【知识点】方差
【解析】【解答】解：小东这11次成绩的的平均成绩为（8.1×10＋10）÷11＝≈8.27，
小东这11次成绩的的方差S2＝×[2×（7.5 8.27）2＋2×（8 8.27）2＋2×（8.5 8.27）2＋2×（7 8.27）2＋2×（10 8.27）2＋（9 8.27）2]≈1.02，
即1.02＞0.79，
∴小东这11次成绩的方差大于0.79，
故答案为：大于．
【分析】利用方差的性质：方差越大，数据波动越大求解即可。
15．【答案】21
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由方差公式知，这组数据供有7个，且这组数据的平均数为3，
∴ 这组数据的和为7×3=21.
故答案为：21.
【分析】由方差公式可知这组数据供有7个，且这组数据的平均数为3，再根据平均数的概念即可求解.
16．【答案】20
【知识点】方差
【解析】【解答】解：，
这组数据的平均数是，
，
故答案为：20.
【分析】根据方差的计算公式可得这组数据的平均数为2，结合平均数的计算方法可得x1+x2+x3+……+x10的值.
17．【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：因为甲组、乙组的平均数比丙组、丁组大，
而乙组的方差比甲组的小，
所以乙组的产量比较稳定，
所以乙组的产量既高又稳定.
故答案为：乙.
【分析】平均数越大，方差越小，产量越稳定，据此判断.
18．【答案】3
【知识点】中位数；方差
【解析】【解答】∵ 一组数据从小到大的顺序排列为1，1，3，，4，6，若这组数据的中位数为3，
∴x=3，
，
∴.
故答案为：3
【分析】利用这组数据从小到大排列，且这组数据的中位数为3，可得到x的值，再利用平均数公式求出这组数据的平均数，再利用方差公式求出这组数据的方差.
19．【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】∵
∴甲班更整齐，
故答案为：甲．
【分析】方差越小，成绩越整齐稳定。
20．【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由图象可得，乙的波动比甲小，即乙的方差小于甲，
所以乙的成绩比甲稳定，
所以若要从这两位同学中选一名成绩较为稳定的同学参加学校运动会的射击项目，则应选乙.
故答案为：乙.
【分析】由图象可得：乙的波动比甲小，即乙的方差小于甲，然后根据方差越小，成绩越稳定进行解答.
21．【答案】（1）8；
（2）不变；变小；变小
【知识点】中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：（1）甲同学5次引体向上测试中有效次数记录中出现次数最多的数据是8，故甲同学引体向上测试中的众数为8；
乙同学引体向上测试中的方差为：[(5-8)2+(9-8)2+(7-8)2+(10-8)2+(9-8)2]=；
故答案为：8，；
（2）原平均数是8，增加一次是8，因此6次的平均数还是8，不变；
六次成绩排序为5，7，8，9，9，10，中位数是（8+9）÷2=8. 5，比原来变小；
方差是：[(5-8)2+(9-8)2+(7-8)2+(10-8)2+(9-8)2+(8-8)2]=，比原来变小了，
故答案为：不变，变小，变小.
【分析】（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，据此可得a的值；根据方差就是这组数据的各个数据与这组数据的平均数差的平方和的平均数计算即可得出b的值；
（2）加入一次成绩8后，计算出6个数据的平均数、中位数及方差即可做出判断.
22．【答案】（1）解：把甲班的成绩从小到大排列为：94，98，100，103，105，则甲班的中位数为100，
把乙班的成绩从小到大排列为：95，97，99，100，109，则乙班的中位数为；
甲班的平均数是：分，
乙班的平均数是：分，
；
（2）解：从方差看，甲班成绩稳定，甲为冠军.
【知识点】中位数；方差
【解析】【分析】（1）将甲班、乙班的成绩从小到大排列，找出最中间的数据可得各自的中位数，利用平均数的计算方法求出平均数，然后利用方差的计算公式进行计算；
（2）方差越小，成绩越稳定，据此判断.
23．【答案】（1）7；84；82
（2）10
（3）解：此次竞赛中八年级的成绩更好，
理由：虽然九年级的方差比八年级的小，成绩较为稳定，但八年级的平均数、中位数和众数都高于九年级，
所以此次竞赛中八年级的成绩更好（答案不唯一）.
【知识点】方差；分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解：（1）∵九年级竞赛成绩在段有7人，
∴；
九年级成绩从小到大排序后，位于第5和第6的数据为82和82，
∴九年级的中位数；
八年级的竞赛平均成绩为，
故答案为：7，84，82；
（2）∵九年级是随机抽取10名学生的竞赛成绩，
∴方差公式中的，
故答案为：10；
【分析】（1）由收集的数据可得九年级竞赛成绩在80≤x<90段有7人，据此可得a的值，将九年级成绩从小到大排序，求出中间两个数据的平均数即为中位数c的值，根据平均数的计算方法可得b的值；
（2）根据方差的计算公式进行解答；
（3）根据平均数、中位数、众数、方差的大小进行分析判断.
24．【答案】（1）90|90
（2）解：八年级的平均数n＝×（85×2+95×2+90×4+80+100）＝90，方差为q＝×[2×（85﹣90）2+2×（95﹣90）2+4×（90﹣90）2+（80﹣90）2+（100﹣90）2]＝30；
（3）解：从平均分来看八年级高；通过方差来看，八年级的方差小，说明八年级的成绩稳定，所以八年级比较好．
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解：（1）把七年级的成绩从小到大排列为80，80，85，85，90，90，90，95，95，100，∴中位数m＝＝90，八年级成绩中90最多有4个，所以众数p＝90，
故答案为：90，90；
【分析】（1）利用平均数和众数的定义及计算方法求解即可；
（2）利用方差的计算方法求解即可；
（3）根据方差的性质求解即可。
25．【答案】（1）八
（2）40；96；93
（3）解：根据题意得：
1000×（1-20%-10%）=700（人），
答：估计参加此次知识竞赛活动成绩优秀（x≥90）的八年级学生人数是700人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：（1）∵七年级和八年级成绩的平均数相同，且七年级成绩的方差为58，八年级成绩的方差为38.4，
38.4＜58，
∴八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差，
∴八年级成绩更平衡，更稳定；
故答案为：八；
（2）∵八年级学生成绩落在C组人数所占百分比为3÷10×100%=30%，
∴a%=1-（20%+10%+30%）=40%，即a=40；
将七年级成绩出现最多的是96，
所以其众数b=96，
八年级A、B组人数共有10×（10%+20%）=3（人），
∴八年级成绩的第5、6个数据分别为92、94，
所以八年级成绩的中位数c= =93，
故答案为：40、96、93；
【分析】（1）方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，据此解答即可；
（2）先求出八年级学生成绩落在C组人数所占百分比，再根据扇形图中各部分百分比之和等于1即可求出a值；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数 叫做这组数据的中位数，据此求出b、c的值；
（3）先求出样本中八年级成绩优秀人数所占百分比，再乘以1000即可得解.
26．【答案】（1）1.2；7；7.5
（2）甲；乙
（3）解：选乙，理由如下：
综合看，甲发挥更稳定，但射击精准度差；乙发挥虽然不稳定，但击中高靶环次数更多，成绩逐步上升，提高潜力大，更具有培养价值，所以应选乙．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】（1）①甲的方差为：，
②乙的平均数为：，
③乙的中位数为：，
故答案为：①1.2；②7；③7.5；
（2）①甲乙平均数相同，而甲的方差要小，所以甲的成绩更加稳定，从而得出甲的成绩好一些；②甲乙平均数相同，而乙的中位数较大，即乙的成绩的中间量较大，所以得出乙的成绩好一些；
故答案为：①甲；②乙；
【分析】（1）根据方差公式、平均数公式、中位数公式分别求出.
（2）①平均数相同，方程越小越稳定.②平均数相同，中位数较大，成绩好.
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初中数学同步训练必刷题（人教版八年级下册 20.2 数据的波动程度）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2023八下·杭州期中）计算数据 1，2，3，4，5的方差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：这组数据的平均数为：（1+2+3+4+5）÷5=15÷5=3，
这组数据的方程为：[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3）2]÷5=2.
故答案为：B.
【分析】先根据算术平均数的计算方法算出这组数据的平均数，进而根据方差就是这组数据的各个数据与这组数据的平均数差的平方和的平均数计算即可.
2．（2023八下·嵊州期中）甲、乙两班分别有名选手参加体操比赛，两班参赛选手身高的方差分别是，，则下列说法正确的是
A．甲班选手的身高比乙班选手的整齐
B．乙班选手的身高比甲班选手的整齐
C．甲、乙两班选手的身高一样整齐
D．无法确定哪班选手的身高整齐
【答案】A
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵1.5＜2.5，
∴甲班选手的身高比乙班选手的整齐.
故答案为：A
【分析】比较两位选手方差的大小，方差越小，数据的波动越小，据此可得答案.
3．（2023八下·瑞安期中）下表记录了四名运动员几次选拔赛的成绩，现要选一名成绩好且发挥稳定的运动员参加市运动会100米短跑项目，应选择（ ）
甲 乙 丙 丁
平均数（秒） 12.2 12.1 12.2 12.1
方差 6.3 5.2 5.8 6.1
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵甲和丙的平均数较大，
∴从甲和丙中选择一人参加竞赛，
∵丙的方差较小，
∴选择丙参加比赛，
故答案为：C.
【分析】平均数相同时，只需比较方差的大小，根据方差越小成绩越稳定可求解.
4．（2023八下·杭州期中）已知一组数据的方差为S2＝［(x1－10)2＋(x2－10)2＋…＋(x5－10)2］，则（ ）
A．这组数据有10个 B．这组数据的平均数是5
C．方差是一个非负数 D．每个数据加3，方差的值增加3
【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵ 一组数据的方差为S2＝［(x1－10)2＋(x2－10)2＋…＋(x5－10)2］ ，
∴这组数据有5个，故选项A错误，不符合题意；
这组数据的平均数是10，故选项B错误，不符合题意；
方差是一个非负数，说法正确，故选项C正确，符合题意；
当每个数据加3，其平均数也增加3，所以每个数据与平均数差不会变化，故方差也就不会改变，
∴选项D错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】方差反应的是一组数据的波动大小的量，方差等于一组数据中每一个数据与其平均数差的平方和的平均数，据此即可一一判断得出答案.
5．（2022八下·范县期末）若x1，x2，x3， ，xn的平均数为8，方差为2，则关于x1＋2，x2＋2，x3＋2，……，xn＋2，下列结论正确的是（ ）
A．平均数为8，方差为2 B．平均数为8，方差为4
C．平均数为10，方差为2 D．平均数为10，方差为4
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：样本x1+2，x2+2，x3+2，…xn+2，对于样本x1，x2，x3，…xn来说，
每个数据均在原来的基础上增加了2，根据平均数、方差的变化规律得：
平均数较前增加2，而方差不变，即：平均数为8+2=10，方差为2，
故答案为：C．
【分析】先求出平均数较前增加2，而方差不变，再求解即可。
6．（2022八下·涿州期末）在方差的计算公式中，数字10和20表示的意义分别是（ ）
A．数据得个数和平均数 B．数据的方差和平均数
C．数个数和方差 D．以上都不对
【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：根据方差计算公式可得：10表示的意义是数据的个数，20表示的意义是平均数，
故答案为：A．
【分析】 方差的计算公式中n表示样本容量，表示平均数，据此解答即可.
7．（2022八下·门头沟期末）下表记录了甲、乙、丙、丁四名滑雪选手次测试成绩的平均数与方差：
甲 乙 丙 丁
平均数（分）
方差
要选择一名成绩较高且状态稳定的选手参加滑雪比赛，那么应该选择的选手是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由表格中平均数可知：成绩好的选手是乙、丙，由表格中乙、丙的方差可知：成绩好且发挥稳定的选手是乙，
应该选择的选手是：乙，
故答案为：B．
【分析】利用平均数的性质及方差的性质：方差越大，数据波动越大求解即可。
8．（2022八下·斗门期末）甲组数据为4、5、6、7；乙组数据为3、5、6、8，下列说法正确的是（ ）
A．甲更稳定 B．乙更稳定 C．方差一样 D．无法比较
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】∵，，
，
，
，
，
甲更稳定，
故答案为：A．
【分析】利用平均数和方差的定义及计算方法求解即可。
9．（2022八下·临汾期末）有一组数据：3，a，4，6，7，它们的平均数是5，那么这组数据的方差是（ ）
A．2 B．5 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵数组的平均数为5，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据平均数的计算方法可得a的值，然后利用方差的计算公式进行计算.
10．（2022八下·高平期末）为了考察甲、乙两块地中小麦的长势，分别从中随机抽出10株麦苗，测得麦苗高如图所示，若和分别表示甲、乙两块地麦苗高数据的方差，则（ ）
A．＝ B．＜ C．＞ D．不确定
【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由图可知，甲的麦苗高的数据波动小，所以甲的方差小，
，
故答案为：B.
【分析】方差用来衡量一批数据的波动大小，在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定，方差越小，说明数据的波动越小，越稳定，据此判断.
二、填空题（每空3分，共30分）
11．（2023八下·鄞州期中）已知一组数据是-1，0，-1，2，则这组数据的方差是
【答案】
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵一组数据是-1，0，-1，2，
∴平均数为，
∴方差=[(-1-0)2+(0-0)2+(-1-0)2+(2-0)2]=.
故答案为：.
【分析】首先求出平均数的值，然后结合方差的计算公式进行计算.
12．（2022八下·巴彦期末）某校要从甲、乙两名同学中选取一名成绩稳定的同学去参加数学竞赛，已知五次模拟测试中统计所得的信息为＝115，S甲2＝12，＝115，S乙2＝36，则应选择 参加竞赛．
【答案】甲
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵＝＝115，S甲2＝12＜S乙2＝36，
∴甲、乙的平均成绩相同，但甲的成绩比乙的成绩稳定，
∴应该选择甲同学参加竞赛，
故答案为：甲．
【分析】先求出甲、乙的平均成绩相同，但甲的成绩比乙的成绩稳定，再求解即可。
13．（2023八下·镇海期中）已知甲、乙两组数据的折线图如图，设甲、乙两组数据的方差分别为、，则 填“”、“”或“”
【答案】＞
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】解：从折线统计图看出：乙组数据的波动较小，故乙的方差较小，即 ＞.
故答案为：＞.
【分析】根据数据的波动越大，方差越大，结合图形即可判断得出答案.
14．（2022八下·西城期末）射击运动员小东10次射击的成绩（单位：环）：7.5，8，7.5，8.5，9，7，7，10，8.5，8．这10次成绩的平均数是8.1，方差是0.79，如果小东再射击一次，成绩为10环，则小东这11次成绩的方差 0.79．（填“大于”、“等于”或“小于”）
【答案】大于
【知识点】方差
【解析】【解答】解：小东这11次成绩的的平均成绩为（8.1×10＋10）÷11＝≈8.27，
小东这11次成绩的的方差S2＝×[2×（7.5 8.27）2＋2×（8 8.27）2＋2×（8.5 8.27）2＋2×（7 8.27）2＋2×（10 8.27）2＋（9 8.27）2]≈1.02，
即1.02＞0.79，
∴小东这11次成绩的方差大于0.79，
故答案为：大于．
【分析】利用方差的性质：方差越大，数据波动越大求解即可。
15．（2023八下·海曙期中）已知一组数据的方差计算如下：，则这组数据的和是 ．
【答案】21
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由方差公式知，这组数据供有7个，且这组数据的平均数为3，
∴ 这组数据的和为7×3=21.
故答案为：21.
【分析】由方差公式可知这组数据供有7个，且这组数据的平均数为3，再根据平均数的概念即可求解.
16．（2023八下·萧山期中） 小明用计算一组数据的方差，那么 .
【答案】20
【知识点】方差
【解析】【解答】解：，
这组数据的平均数是，
，
故答案为：20.
【分析】根据方差的计算公式可得这组数据的平均数为2，结合平均数的计算方法可得x1+x2+x3+……+x10的值.
17．（2023八下·宁海期中）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数单位：千克及方差，如表所示.今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是 填“甲”或“乙”或“丙”或“丁”
甲 乙 丙 丁
24 24 23 20
2.1 1.9 2 1.9
【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：因为甲组、乙组的平均数比丙组、丁组大，
而乙组的方差比甲组的小，
所以乙组的产量比较稳定，
所以乙组的产量既高又稳定.
故答案为：乙.
【分析】平均数越大，方差越小，产量越稳定，据此判断.
18．（2023八下·杭州月考）一组数据从小到大的顺序排列为1，1，3，，4，6，若这组数据的中位数为3，则这组数据的方差是 ．
【答案】3
【知识点】中位数；方差
【解析】【解答】∵ 一组数据从小到大的顺序排列为1，1，3，，4，6，若这组数据的中位数为3，
∴x=3，
，
∴.
故答案为：3
【分析】利用这组数据从小到大排列，且这组数据的中位数为3，可得到x的值，再利用平均数公式求出这组数据的平均数，再利用方差公式求出这组数据的方差.
19．（2022八下·新兴期末）某中学八年级人数相等的甲、乙两个班参加同一次数学测验，两班平均分和方差分别为分，分，，，则成绩较为整齐的是 班．（填“甲”或“乙”）
【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】∵
∴甲班更整齐，
故答案为：甲．
【分析】方差越小，成绩越整齐稳定。
20．（2022八下·孝义期末）如图是甲、乙两名同学的8次射击训练成绩的折线统计图，他们的平均成绩相同，若要从这两位同学中选一名成绩较为稳定的同学参加学校运动会的射击项目，则应选 ．
【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由图象可得，乙的波动比甲小，即乙的方差小于甲，
所以乙的成绩比甲稳定，
所以若要从这两位同学中选一名成绩较为稳定的同学参加学校运动会的射击项目，则应选乙.
故答案为：乙.
【分析】由图象可得：乙的波动比甲小，即乙的方差小于甲，然后根据方差越小，成绩越稳定进行解答.
三、解答题（共6题，共60分）
21．（2023八下·杭州期中）某校八（1）班甲、乙两名男生在5次引体向上测试中有效次数记录如下：
甲：8，8，7，8，9；
乙：5，9，7，10，9．
甲、乙两人引体向上的平均数、众数、中位数、方差如下表所示：
平均数 众数 中位数 方差
甲 8 a 8 0.4
乙 8 9 9 b
（1）表中 ， ；
（2）如果乙同学再做一次引体向上，有效次数为8，那么乙同学6次引体向上的成绩与前5次相比，平均数 ，中位数 ，方差 ．（填“变大”“变小”或“不变”）
【答案】（1）8；
（2）不变；变小；变小
【知识点】中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：（1）甲同学5次引体向上测试中有效次数记录中出现次数最多的数据是8，故甲同学引体向上测试中的众数为8；
乙同学引体向上测试中的方差为：[(5-8)2+(9-8)2+(7-8)2+(10-8)2+(9-8)2]=；
故答案为：8，；
（2）原平均数是8，增加一次是8，因此6次的平均数还是8，不变；
六次成绩排序为5，7，8，9，9，10，中位数是（8+9）÷2=8. 5，比原来变小；
方差是：[(5-8)2+(9-8)2+(7-8)2+(10-8)2+(9-8)2+(8-8)2]=，比原来变小了，
故答案为：不变，变小，变小.
【分析】（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，据此可得a的值；根据方差就是这组数据的各个数据与这组数据的平均数差的平方和的平均数计算即可得出b的值；
（2）加入一次成绩8后，计算出6个数据的平均数、中位数及方差即可做出判断.
22．（2023八下·金东月考） 某校八年级学生开展跳绳比赛活动，每班派名学生参加，按团体总分多少排列名次，统计发现成绩最好的甲班和乙班总分相等，下表是甲班和乙班学生的比赛数据单位：个
选手 1号 2号 3号 4号 5号 总计
甲班 100 98 105 94 103 500
乙班 99 100 95 109 97 500
此时有学生建议，可以通过考察数据中的其他信息作为参考，请解答下列问题：
（1）求两班比赛数据中的中位数，以及方差；
（2）请根据以上数据，说明应该定哪一个班为冠军？为什么？
【答案】（1）解：把甲班的成绩从小到大排列为：94，98，100，103，105，则甲班的中位数为100，
把乙班的成绩从小到大排列为：95，97，99，100，109，则乙班的中位数为；
甲班的平均数是：分，
乙班的平均数是：分，
；
（2）解：从方差看，甲班成绩稳定，甲为冠军.
【知识点】中位数；方差
【解析】【分析】（1）将甲班、乙班的成绩从小到大排列，找出最中间的数据可得各自的中位数，利用平均数的计算方法求出平均数，然后利用方差的计算公式进行计算；
（2）方差越小，成绩越稳定，据此判断.
23．（2023八下·青秀期中）某校组织八，九年级各500名学生举行“学习二十大，筑梦向未来”知识竞赛，现分别在八，九年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（单位：分）进行统计、整理如下：
【收集数据】
八年级：74，76，79，81，84，86，87，90，90，93.
九年级：76，81，81，82，82，82，84，85，90，92.
【整理数据】
年级
八年级 3 4 3
九年级 1 a 2
【分析数据】
年级 平均数 中位数 众数 方差
八年级 b 85 90
九年级 c 82
【应用数据】
（1）根据以上信息，可以求出：a= ，b= ，c= ；
（2）在计算这两组数据的方差时用的公式是，其中在计算八年级这组数据的方差时，公式中的n= ；
（3）根据以上数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）.
【答案】（1）7；84；82
（2）10
（3）解：此次竞赛中八年级的成绩更好，
理由：虽然九年级的方差比八年级的小，成绩较为稳定，但八年级的平均数、中位数和众数都高于九年级，
所以此次竞赛中八年级的成绩更好（答案不唯一）.
【知识点】方差；分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解：（1）∵九年级竞赛成绩在段有7人，
∴；
九年级成绩从小到大排序后，位于第5和第6的数据为82和82，
∴九年级的中位数；
八年级的竞赛平均成绩为，
故答案为：7，84，82；
（2）∵九年级是随机抽取10名学生的竞赛成绩，
∴方差公式中的，
故答案为：10；
【分析】（1）由收集的数据可得九年级竞赛成绩在80≤x<90段有7人，据此可得a的值，将九年级成绩从小到大排序，求出中间两个数据的平均数即为中位数c的值，根据平均数的计算方法可得b的值；
（2）根据方差的计算公式进行解答；
（3）根据平均数、中位数、众数、方差的大小进行分析判断.
24．（2022八下·微山期末）某学校组织七、八年级全体学生举行了安全知识竞赛活动，为了解竞赛成绩情况，为两个年级各随机抽取10名学生的成绩（满分为100分）进行了分析，并依据分析结果绘制了如下表所示的不完整统计表：
七年级：90，95，95，80，85，90，80，90，85，100；
八年级：85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 89 m 90 39
八年级 n 90 p q
根据以上信息解答下面问题：
（1）填空：m＝ ，p＝ ；
（2）求q的值；
（3）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？说明理由．
【答案】（1）90|90
（2）解：八年级的平均数n＝×（85×2+95×2+90×4+80+100）＝90，方差为q＝×[2×（85﹣90）2+2×（95﹣90）2+4×（90﹣90）2+（80﹣90）2+（100﹣90）2]＝30；
（3）解：从平均分来看八年级高；通过方差来看，八年级的方差小，说明八年级的成绩稳定，所以八年级比较好．
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解：（1）把七年级的成绩从小到大排列为80，80，85，85，90，90，90，95，95，100，∴中位数m＝＝90，八年级成绩中90最多有4个，所以众数p＝90，
故答案为：90，90；
【分析】（1）利用平均数和众数的定义及计算方法求解即可；
（2）利用方差的计算方法求解即可；
（3）根据方差的性质求解即可。
25．（2022八下·内江期末）2021年12月9日，神舟十三号乘组三位航天员首次在中国空间站进行太空授课，传播载人航天知识．某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行科普知识竞赛（百分制），测试成绩整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x<85；B.85≤x<90；C.90≤x<95；D.95≤x≤100）
其中，七年级10名学生的成绩是：96，80，96，83，100，96，99，100，89，81．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．
七，八年级抽取的学生竞赛成绩统计表如下：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 92 93 b 58
八年级 92 c 97 38.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次比赛中 年级成绩更稳定；
（2）直接写出上述a、b、c的值：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（3）该校八年级共1000人参加了此次科普知识竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀（x≥90）的八年级学生人数是多少？
【答案】（1）八
（2）40；96；93
（3）解：根据题意得：
1000×（1-20%-10%）=700（人），
答：估计参加此次知识竞赛活动成绩优秀（x≥90）的八年级学生人数是700人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：（1）∵七年级和八年级成绩的平均数相同，且七年级成绩的方差为58，八年级成绩的方差为38.4，
38.4＜58，
∴八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差，
∴八年级成绩更平衡，更稳定；
故答案为：八；
（2）∵八年级学生成绩落在C组人数所占百分比为3÷10×100%=30%，
∴a%=1-（20%+10%+30%）=40%，即a=40；
将七年级成绩出现最多的是96，
所以其众数b=96，
八年级A、B组人数共有10×（10%+20%）=3（人），
∴八年级成绩的第5、6个数据分别为92、94，
所以八年级成绩的中位数c= =93，
故答案为：40、96、93；
【分析】（1）方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，据此解答即可；
（2）先求出八年级学生成绩落在C组人数所占百分比，再根据扇形图中各部分百分比之和等于1即可求出a值；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数 叫做这组数据的中位数，据此求出b、c的值；
（3）先求出样本中八年级成绩优秀人数所占百分比，再乘以1000即可得解.
26．（2022八下·乐昌期末）某市射击队甲、乙两名队员在相同的条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示：
（1）请将表格补充完整：（参考公式：方差）
平均数 方差 中位数
甲 7 ① 7
乙 ② 5.4 ③
（2）请从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析：①从平均数和方差相结合看， 的成绩好些；②从平均数和中位数相结合看， 的成绩好些；
（3）若其他队选手最好成绩在9环左右，现要选一人参赛，你认为选谁参加，并说明理由．
【答案】（1）1.2；7；7.5
（2）甲；乙
（3）解：选乙，理由如下：
综合看，甲发挥更稳定，但射击精准度差；乙发挥虽然不稳定，但击中高靶环次数更多，成绩逐步上升，提高潜力大，更具有培养价值，所以应选乙．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】（1）①甲的方差为：，
②乙的平均数为：，
③乙的中位数为：，
故答案为：①1.2；②7；③7.5；
（2）①甲乙平均数相同，而甲的方差要小，所以甲的成绩更加稳定，从而得出甲的成绩好一些；②甲乙平均数相同，而乙的中位数较大，即乙的成绩的中间量较大，所以得出乙的成绩好一些；
故答案为：①甲；②乙；
【分析】（1）根据方差公式、平均数公式、中位数公式分别求出.
（2）①平均数相同，方程越小越稳定.②平均数相同，中位数较大，成绩好.
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