2023年中考数学探究性试题复习6 分式的混合运算
一、综合题
1．（2022八下·盐湖期末）【阅读材料】若分式A与分式B的差等于它们的积，即，则称分式B是分式A的“关联分式”．
例如与，
解：，
，
是的“关联分式”．
（1）【解决问题】已知分式，则 ，的“关联分式”（填“是”或“不是”）．
（2）和谐小组成员在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：
解：设的“关联分式”为B，
则，
，
．
请你仿照和谐小组成员的方法求分式的“关联分式”．
（3）【拓展延伸】观察（1）（2）的结果，寻找规律直接写出分式的“关联分式”： ．
2．（2023八下·宜宾月考）“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，例如：.
（1）计算；
（2）求等式中x的值.
3．（2023八下·威远月考）阅读下列材料，解决问题：
定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如，这样的分式就是假分式.假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）.
例如：；
又如：
.
（1）分式是 （填“真分式”或“假分式”）﹔
（2）将假分式化为带分式；
（3）如果分式的值为整数，求所有符合条件的整数的值.
4．（2023八上·扶沟期末）材料一：小学时，我们学习了把假分数改写成带分数的问题.其实就是把假分数写成一个整数和一个真分数的和.例如：.
类似的，我们也可以将下面这类分式写成一个整数与一个新分式的和.
例如：.
.
材料二：为了研究字母a和分式的变化关系，李磊制作了表格，并得到如下数据：
a … 0 1 2 3 4 …
… 无意义 1 …
请根据上述材料完成下列问题：
（1）把分式写成一个整数和一个新分式的和的形式： ； ；
（2）当时.随着a的增大，分式的值 （填“增大”或“减小”）；
（3）当时，随着a的增大，分式的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由.
5．（2023八上·淮滨期末）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式：；
立方差公式：.
根据材料和已学知识解决下列问题
（1）因式分解：；
（2）先化简，再求值：，其中.
6．（2022八上·中山期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“关联分式”．
（1）已知分式，试说明是的“关联分式”；
（2）小聪在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：
设的“关联分式”为，则，
∴，∴．
请你仿照小聪的方法求分式的“关联分式”．
（3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”： ．
②若是的“关联分式”，则的值为 ．
7．（2022八上·张店期中）【阅读学习】阅读下面的解题过程：
已知：，求的值．
解：由知，所以，即，
所以，
故的值为．
（1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：
已知，求的值．
（2）【拓展延伸】
已知，，，求的值．
8．（2022八上·丰城期中）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：
该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
（1）请你说明这个等式的正确性；
（2）若，，，你能很快求出的值；
（3）已知实数x，y，z，a满足，，，且．求代数式的值．
9．（2022八上·昌平期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）；
①②③④
（2）请将“和谐分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程；
（3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
10．（2022八上·柯城开学考）在分式中，对于只含一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，这样的分式就是真分式.我们知道，假分数可以化为带分数，类似地，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式），例如：
＝＝1+，＝＝＝x﹣1+.
参考上面的方法解决下列问题：
（1）将分式化为带分式；
（2）求分式的最大值；（其中n为正整数）
（3）已知分式的值是整数，求t的整数值.
11．（2022九上·西安开学考）阅读材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ， ．
（2）类比应用：已知一元二次方程的两个根分别为、，求的值．
（3）思维拓展：已知实数、满足，，且，求的值．
12．（2022八下·沭阳期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如： .我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.如 ， 这样的分式就是假分式；再如： ， 这样的分式就是真分式.类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）.如： ；
解决下列问题：
（1）分式 是 分式（填“真”或“假”）；
（2） 将假分式化为带分式；
（3）如果 为整数，分式 的值为整数，求所有符合条件的 的值.
13．（2022七下·柯桥期末）我们规定：分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式 ， 是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式 ， 是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， = =1＋ ， = = + = 2＋ ．
（1）将假分式 化为一个整式与一个真分式的和；
（2）将假分式 化成一个整式与一个真分式的和的形式为： = a＋m＋ ，求m、n的值； 并直接写出当整数a为何值时，分式 为正整数；
（3）自然数A是 的整数部分，则A的数字和为 ．（把组成一个数的各个数位上的数字相加，所得的和，就叫做这个数的数字和．例如：126的数字和就是1+2+6=9）
14．（2022八下·重庆市期中）根据题意引入一些尚待确定的系数来表示，通过变形与比较，建立起含待定字母系数的方程（组），并求出相应字母系数的值，从而使问题得到解决的方法，我们称之为待定系数法.
例：k为何值时，多项式有一个因式是
解：设它的另一个因式为（a，b为常数），
则
比较两边的系数，得，解得
（1）已知多项式有一个因式是，求m的值；
（2）已知，其中A，B为常数，求的值.
答案解析部分
1．【答案】（1）是
（2）解：设的关联分式是N，则：
∴
∴
∴；
（3）
【知识点】分式的加减法；分式的混合运算；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵，
，
∴ 是的“关联分式”．
故答案为：是；
（3）由（1）（2）知：的关联分式为：．
故答案为：．
【分析】（1）首先对分式进行通分，然后根据“关联分式”的概念进行判断；
（2）设的关联分式是N，则-N=·N，则，化简即可得到N；
（3）由（1）（2）知：的关联分式为，然后化简即可.
2．【答案】（1）解：由题意可得，
＝（a+b） -（a-b）
＝
＝
＝ ；
（2）解：∵
∴2× -1× ＝1，
去分母，得：2+1＝x-1，
移项及合并同类项，得：x＝4，
检验：当x＝4时，x-1≠0，
∴x＝4是原分式方程的解，
即x的值为4.
【知识点】分式的混合运算；解分式方程；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据定义的新运算可得原式＝(a+b) -(a-b) ，然后化简即可；
（2）根据定义的新运算可得原式=2×-1×＝1，求出x的值，然后进行检验即可.
3．【答案】（1）假分式
（2）解：
（3）解：
，
∵分式 的值为整数，
∴ 可取 ，
∴所有符合条件的整数 的值.-2，-1，0，1
【知识点】分式的值；分式的加减法
【解析】【解答】解：（1）解：分式 是假分式；
故答案为：假分式
【分析】（1）根据 “假分式” 的定义进行判断即可；
（2）仿照例题，利用分式的基本性质和分式的加减法则将假分式化为带分式 ；
（3）先将分式化为带分式，然后找出符合条件的整数x即可.
4．【答案】（1）；
（2）减小
（3）解：2，理由如下：
∵，
随着的增大，的值越来越小，
∴随着a的增大，分式的值无限趋近于2.
【知识点】分式的值；分式的约分
【解析】【解答】解：（1）；；
故答案为：；；
（2）当时，，
当时，，
当时，，……
∵
∴当a增大时，的值越来越小.
故答案为：减小；
【分析】（1），，化简即可；
（2）分别求出a=2、3、4时分式的值，然后进行比较即可解答；
（3），随着a的增大，的值越来越小，据此解答.
5．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
=
.
当时，原式.
【知识点】实数范围内分解因式；分式的化简求值
【解析】【分析】（1）原式可变形为a3-23，然后利用立方差公式进行分解；
（2）对分式的分子、分母进行分解，然后将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，接下来将x的值代入计算即可.
6．【答案】（1）解：∵，
，
∴是的关联分式．
（2）解：设的关联分式是N，则：，
∴，
∴，
∴．
（3）；
【知识点】分式的混合运算；定义新运算
【解析】【解答】解：（3）①根据解析（2）可知，的关联分式为：
；
故答案为：；
②∵是的“关联分式”，
∴，
由①得，
由②得：，
即，
把代入得：，
解得：．
故答案为：．
【分析】（1）根据“关联分式”的定义求解即可；
（2）参照 “关联分式” 的计算方法求解即可；
（3）①根据“关联分式”的定义求解即可；
②根据“关联分式”的定义可得，再求出即可。
7．【答案】（1）解：由知，
所以，
即，
所以
所以
故：的值为．
（2）解：因为，，，
所以，
所以，
所以，
故，的值为．
【知识点】分式的加减法；定义新运算
【解析】【分析】（1）利用“倒数法”取已知等式的倒数，整理得出，将所求分式取倒数，利用配方法和整体法代入的方法求出式子的值，最后取倒数即可得解；
（2）将已知三个等式的左右两边相加得出，将所求的分式取倒数计算出结果，利用（1）中的方法即可得出结论。
8．【答案】（1）解：等式右边左边，得证
（2）解：当，，时，
（3）解：，
，
，，，
，，，
原式．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的加减法；配方法的应用
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式计算求解即可；
（2）根据 ，，， 利用完全平方公式计算求解即可；
（3）先求出 ， 再计算求解即可。
9．【答案】（1）②③
（2）解：
（3）解：
，
∵为整数，
∴，
∴当时，是整数，
又∵．
∴时，原式的值是整数．
【知识点】分式的化简求值；定义新运算
【解析】【解答】（1）解：①，不是“和谐分式”，
②，是“和谐分式”，
③，是“和谐分式”，
④，不是“和谐分式”，
故答案为：②③；
【分析】（1）根据“和谐分式”的定义逐项判断即可；
（2）参照题干中的计算方法可得答案；
（3）先利用分式的混合运算化简，再计算即可。
10．【答案】（1）解：原式＝＝1+；
（2）解：原式＝＝9﹣，
∵n为正整数，
∴当n＝9时，分式有最大值，最大值为9+49＝58；
（3）解：原式＝＝2﹣，
∵分式的值为整数，
∴t+2＝±1，
∴t＝﹣1或﹣3.
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】（1）原式可变形为，化简即可；
（2）同理可将原式化为＝9-，然后根据n为正整数可得当n＝9时，分式有最大值，据此求解；
（3）原式可化为＝2-，根据分式的值为整数可得t+2＝±1，求解可得t的值.
11．【答案】（1）；
（2）解：一元二次方程的两个根分别为、，
，，
，
（3）解：实数、满足，，且，
，，
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：（1）一元二次方程的两个根为，，
，，
故答案为：，；
【分析】（1） 根据，直接求解即可；
（2）由根与系数的关系可得 ，， 从而得出 ，
由于，然后直接代入即可求值；
（3） 由于实数、满足，，且，可得，，将原式变形为，再代入计算即可.
12．【答案】（1）真
（2）解： = = ；
（3）解： ，
∵ 为整数，分式 的值为整数，
∴x+1=1，5，-1，-5，
∴x=0，4，-2，-6.
【知识点】因式分解的应用；分式的值；分式的加减法
【解析】【解答】解：（1）分式 是真分式.
故答案为：真；
【分析】（1）直接根据真分式、假分式的概念进行判断即可；
（2）原分式可变形为，化简即可；
（3）将原分式化为带分式可得 ，结合题意可得x+1=1，5，-1，-5，求解可得x的值.
13．【答案】（1）解：
（2）解：∵ ，
∴m-1=-4，-m+n=6
解之：m=-3，n=3；
=4或2
（3）80
【知识点】分式的定义；分式的值；分式的加减法
【解析】【解答】解：（2）∵m=-3，n=3
∴
∵是正整数，且a为整数，
∴a-1=3或a-1=1
解之：a=4或2.
（3）∵109×（109+2）=1018+2×109
∴1018+2022=109×（109+2）-2×109+2022
∴
∵2×109-2020=2（109+2）-4-2022=2（109+2）-2026
∴
∴A=999999998
∴9×8+8=80.
故答案为：80.
【分析】（1）观察分母x+1，因此将分子4x-5转化为4x+4-9，即可求解.
（2）将等式的右边通分计算，再根据分子中对应项的系数相等，可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值；再根据是正整数，且a为整数，可得到a-1=3或a-1=1，然后解方程求出a的值.
（3）将分子转化为109×（109+2）-2×109+2022，可将原式转化为，再将其分子转化为2（109+2）-2026，可将原式化为，由此可得到自然数A的值，然后将自然数A各数位上的数字相加，列式计算可求出结果.
14．【答案】（1）解：设多项式的另一个因式为，
则
比较两边的系数，得，解得
（2）解：∵，
∴，解得：
∴.
【知识点】多项式乘多项式；分式的加减法；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）设多项式的另一个因式为，仿照阅读材料中的方法列出等式，比较两边系数列出方程组，从而求出m值；
（2）将已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，比较分子列出方程组，求出方程组的解即得A、B的值，再代入计算即可.
1 / 12023年中考数学探究性试题复习6 分式的混合运算
一、综合题
1．（2022八下·盐湖期末）【阅读材料】若分式A与分式B的差等于它们的积，即，则称分式B是分式A的“关联分式”．
例如与，
解：，
，
是的“关联分式”．
（1）【解决问题】已知分式，则 ，的“关联分式”（填“是”或“不是”）．
（2）和谐小组成员在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：
解：设的“关联分式”为B，
则，
，
．
请你仿照和谐小组成员的方法求分式的“关联分式”．
（3）【拓展延伸】观察（1）（2）的结果，寻找规律直接写出分式的“关联分式”： ．
【答案】（1）是
（2）解：设的关联分式是N，则：
∴
∴
∴；
（3）
【知识点】分式的加减法；分式的混合运算；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵，
，
∴ 是的“关联分式”．
故答案为：是；
（3）由（1）（2）知：的关联分式为：．
故答案为：．
【分析】（1）首先对分式进行通分，然后根据“关联分式”的概念进行判断；
（2）设的关联分式是N，则-N=·N，则，化简即可得到N；
（3）由（1）（2）知：的关联分式为，然后化简即可.
2．（2023八下·宜宾月考）“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，例如：.
（1）计算；
（2）求等式中x的值.
【答案】（1）解：由题意可得，
＝（a+b） -（a-b）
＝
＝
＝ ；
（2）解：∵
∴2× -1× ＝1，
去分母，得：2+1＝x-1，
移项及合并同类项，得：x＝4，
检验：当x＝4时，x-1≠0，
∴x＝4是原分式方程的解，
即x的值为4.
【知识点】分式的混合运算；解分式方程；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据定义的新运算可得原式＝(a+b) -(a-b) ，然后化简即可；
（2）根据定义的新运算可得原式=2×-1×＝1，求出x的值，然后进行检验即可.
3．（2023八下·威远月考）阅读下列材料，解决问题：
定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如，这样的分式就是假分式.假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）.
例如：；
又如：
.
（1）分式是 （填“真分式”或“假分式”）﹔
（2）将假分式化为带分式；
（3）如果分式的值为整数，求所有符合条件的整数的值.
【答案】（1）假分式
（2）解：
（3）解：
，
∵分式 的值为整数，
∴ 可取 ，
∴所有符合条件的整数 的值.-2，-1，0，1
【知识点】分式的值；分式的加减法
【解析】【解答】解：（1）解：分式 是假分式；
故答案为：假分式
【分析】（1）根据 “假分式” 的定义进行判断即可；
（2）仿照例题，利用分式的基本性质和分式的加减法则将假分式化为带分式 ；
（3）先将分式化为带分式，然后找出符合条件的整数x即可.
4．（2023八上·扶沟期末）材料一：小学时，我们学习了把假分数改写成带分数的问题.其实就是把假分数写成一个整数和一个真分数的和.例如：.
类似的，我们也可以将下面这类分式写成一个整数与一个新分式的和.
例如：.
.
材料二：为了研究字母a和分式的变化关系，李磊制作了表格，并得到如下数据：
a … 0 1 2 3 4 …
… 无意义 1 …
请根据上述材料完成下列问题：
（1）把分式写成一个整数和一个新分式的和的形式： ； ；
（2）当时.随着a的增大，分式的值 （填“增大”或“减小”）；
（3）当时，随着a的增大，分式的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由.
【答案】（1）；
（2）减小
（3）解：2，理由如下：
∵，
随着的增大，的值越来越小，
∴随着a的增大，分式的值无限趋近于2.
【知识点】分式的值；分式的约分
【解析】【解答】解：（1）；；
故答案为：；；
（2）当时，，
当时，，
当时，，……
∵
∴当a增大时，的值越来越小.
故答案为：减小；
【分析】（1），，化简即可；
（2）分别求出a=2、3、4时分式的值，然后进行比较即可解答；
（3），随着a的增大，的值越来越小，据此解答.
5．（2023八上·淮滨期末）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式：；
立方差公式：.
根据材料和已学知识解决下列问题
（1）因式分解：；
（2）先化简，再求值：，其中.
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
=
.
当时，原式.
【知识点】实数范围内分解因式；分式的化简求值
【解析】【分析】（1）原式可变形为a3-23，然后利用立方差公式进行分解；
（2）对分式的分子、分母进行分解，然后将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，接下来将x的值代入计算即可.
6．（2022八上·中山期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“关联分式”．
（1）已知分式，试说明是的“关联分式”；
（2）小聪在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：
设的“关联分式”为，则，
∴，∴．
请你仿照小聪的方法求分式的“关联分式”．
（3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”： ．
②若是的“关联分式”，则的值为 ．
【答案】（1）解：∵，
，
∴是的关联分式．
（2）解：设的关联分式是N，则：，
∴，
∴，
∴．
（3）；
【知识点】分式的混合运算；定义新运算
【解析】【解答】解：（3）①根据解析（2）可知，的关联分式为：
；
故答案为：；
②∵是的“关联分式”，
∴，
由①得，
由②得：，
即，
把代入得：，
解得：．
故答案为：．
【分析】（1）根据“关联分式”的定义求解即可；
（2）参照 “关联分式” 的计算方法求解即可；
（3）①根据“关联分式”的定义求解即可；
②根据“关联分式”的定义可得，再求出即可。
7．（2022八上·张店期中）【阅读学习】阅读下面的解题过程：
已知：，求的值．
解：由知，所以，即，
所以，
故的值为．
（1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：
已知，求的值．
（2）【拓展延伸】
已知，，，求的值．
【答案】（1）解：由知，
所以，
即，
所以
所以
故：的值为．
（2）解：因为，，，
所以，
所以，
所以，
故，的值为．
【知识点】分式的加减法；定义新运算
【解析】【分析】（1）利用“倒数法”取已知等式的倒数，整理得出，将所求分式取倒数，利用配方法和整体法代入的方法求出式子的值，最后取倒数即可得解；
（2）将已知三个等式的左右两边相加得出，将所求的分式取倒数计算出结果，利用（1）中的方法即可得出结论。
8．（2022八上·丰城期中）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：
该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
（1）请你说明这个等式的正确性；
（2）若，，，你能很快求出的值；
（3）已知实数x，y，z，a满足，，，且．求代数式的值．
【答案】（1）解：等式右边左边，得证
（2）解：当，，时，
（3）解：，
，
，，，
，，，
原式．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的加减法；配方法的应用
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式计算求解即可；
（2）根据 ，，， 利用完全平方公式计算求解即可；
（3）先求出 ， 再计算求解即可。
9．（2022八上·昌平期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）；
①②③④
（2）请将“和谐分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程；
（3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
【答案】（1）②③
（2）解：
（3）解：
，
∵为整数，
∴，
∴当时，是整数，
又∵．
∴时，原式的值是整数．
【知识点】分式的化简求值；定义新运算
【解析】【解答】（1）解：①，不是“和谐分式”，
②，是“和谐分式”，
③，是“和谐分式”，
④，不是“和谐分式”，
故答案为：②③；
【分析】（1）根据“和谐分式”的定义逐项判断即可；
（2）参照题干中的计算方法可得答案；
（3）先利用分式的混合运算化简，再计算即可。
10．（2022八上·柯城开学考）在分式中，对于只含一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，这样的分式就是真分式.我们知道，假分数可以化为带分数，类似地，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式），例如：
＝＝1+，＝＝＝x﹣1+.
参考上面的方法解决下列问题：
（1）将分式化为带分式；
（2）求分式的最大值；（其中n为正整数）
（3）已知分式的值是整数，求t的整数值.
【答案】（1）解：原式＝＝1+；
（2）解：原式＝＝9﹣，
∵n为正整数，
∴当n＝9时，分式有最大值，最大值为9+49＝58；
（3）解：原式＝＝2﹣，
∵分式的值为整数，
∴t+2＝±1，
∴t＝﹣1或﹣3.
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】（1）原式可变形为，化简即可；
（2）同理可将原式化为＝9-，然后根据n为正整数可得当n＝9时，分式有最大值，据此求解；
（3）原式可化为＝2-，根据分式的值为整数可得t+2＝±1，求解可得t的值.
11．（2022九上·西安开学考）阅读材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ， ．
（2）类比应用：已知一元二次方程的两个根分别为、，求的值．
（3）思维拓展：已知实数、满足，，且，求的值．
【答案】（1）；
（2）解：一元二次方程的两个根分别为、，
，，
，
（3）解：实数、满足，，且，
，，
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：（1）一元二次方程的两个根为，，
，，
故答案为：，；
【分析】（1） 根据，直接求解即可；
（2）由根与系数的关系可得 ，， 从而得出 ，
由于，然后直接代入即可求值；
（3） 由于实数、满足，，且，可得，，将原式变形为，再代入计算即可.
12．（2022八下·沭阳期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如： .我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.如 ， 这样的分式就是假分式；再如： ， 这样的分式就是真分式.类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）.如： ；
解决下列问题：
（1）分式 是 分式（填“真”或“假”）；
（2） 将假分式化为带分式；
（3）如果 为整数，分式 的值为整数，求所有符合条件的 的值.
【答案】（1）真
（2）解： = = ；
（3）解： ，
∵ 为整数，分式 的值为整数，
∴x+1=1，5，-1，-5，
∴x=0，4，-2，-6.
【知识点】因式分解的应用；分式的值；分式的加减法
【解析】【解答】解：（1）分式 是真分式.
故答案为：真；
【分析】（1）直接根据真分式、假分式的概念进行判断即可；
（2）原分式可变形为，化简即可；
（3）将原分式化为带分式可得 ，结合题意可得x+1=1，5，-1，-5，求解可得x的值.
13．（2022七下·柯桥期末）我们规定：分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式 ， 是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式 ， 是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， = =1＋ ， = = + = 2＋ ．
（1）将假分式 化为一个整式与一个真分式的和；
（2）将假分式 化成一个整式与一个真分式的和的形式为： = a＋m＋ ，求m、n的值； 并直接写出当整数a为何值时，分式 为正整数；
（3）自然数A是 的整数部分，则A的数字和为 ．（把组成一个数的各个数位上的数字相加，所得的和，就叫做这个数的数字和．例如：126的数字和就是1+2+6=9）
【答案】（1）解：
（2）解：∵ ，
∴m-1=-4，-m+n=6
解之：m=-3，n=3；
=4或2
（3）80
【知识点】分式的定义；分式的值；分式的加减法
【解析】【解答】解：（2）∵m=-3，n=3
∴
∵是正整数，且a为整数，
∴a-1=3或a-1=1
解之：a=4或2.
（3）∵109×（109+2）=1018+2×109
∴1018+2022=109×（109+2）-2×109+2022
∴
∵2×109-2020=2（109+2）-4-2022=2（109+2）-2026
∴
∴A=999999998
∴9×8+8=80.
故答案为：80.
【分析】（1）观察分母x+1，因此将分子4x-5转化为4x+4-9，即可求解.
（2）将等式的右边通分计算，再根据分子中对应项的系数相等，可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值；再根据是正整数，且a为整数，可得到a-1=3或a-1=1，然后解方程求出a的值.
（3）将分子转化为109×（109+2）-2×109+2022，可将原式转化为，再将其分子转化为2（109+2）-2026，可将原式化为，由此可得到自然数A的值，然后将自然数A各数位上的数字相加，列式计算可求出结果.
14．（2022八下·重庆市期中）根据题意引入一些尚待确定的系数来表示，通过变形与比较，建立起含待定字母系数的方程（组），并求出相应字母系数的值，从而使问题得到解决的方法，我们称之为待定系数法.
例：k为何值时，多项式有一个因式是
解：设它的另一个因式为（a，b为常数），
则
比较两边的系数，得，解得
（1）已知多项式有一个因式是，求m的值；
（2）已知，其中A，B为常数，求的值.
【答案】（1）解：设多项式的另一个因式为，
则
比较两边的系数，得，解得
（2）解：∵，
∴，解得：
∴.
【知识点】多项式乘多项式；分式的加减法；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）设多项式的另一个因式为，仿照阅读材料中的方法列出等式，比较两边系数列出方程组，从而求出m值；
（2）将已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，比较分子列出方程组，求出方程组的解即得A、B的值，再代入计算即可.
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