2023年中考数学探究性试题复习7 二次根式
一、综合题
1．（2023八下·淮北期中）观察下列各式．
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）第4个等式：
（2）请你按照上面三个等式反映的规律，猜想第n个等式，并给出证明．
【答案】（1）
（2）解：猜想：
证明如下：
∵左边=
右边=
∴左边=右边，
∴猜想成立
【知识点】二次根式的化简求值；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）利用三个等式反映的规律解答即可；
（2）利用前面等式的规律写出等式，利用二次根式的性质写出证明即可
2．（2023七下·武昌期中）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，
即：；
例如：比较与2的大小.
∵ 又∵ 则
∴，
∴.
请根据上述方法解答以下问题：
（1）的整数部分是 ，的小数部分是 ；
（2）比较与的大小.
（3）已知，试用“比差法”比较与的大小.
【答案】（1）5；
（2）解：，
∴；
（3）解：
∵，
∴，
∴.
【知识点】无理数的大小比较；无理数的估值；分母有理化
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴的整数部分是5；
∴，
∴，
∴的整数部分是1，则的小数部分是，
故答案为：5；；
【分析】（1）根据估算无理数大小的方法可得5<<6，然后求出7-的范围，据此解答；
（2）作差可得2--(-3)=5-=-，据此进行比较；
（3）作差并利用分母有理化化简可得= ，然后进行比较.
3．（2023八下·大冶期中）先阅读，再解答.由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：
（1）的有理化因式是 ；
（2）化去式子分母中的根号： ， ；
（3）比较与的大小，并说明理由.
【答案】（1）
（2）；
（3）解：，理由如下：，
，
∵，
∴，
所以.
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴的有理化因式是；
故答案为：；
（2），；
故答案为：，；
【分析】（1）根据平方差公式可得(-1)(-1)=2-1=1，据此可得-1的有理化因式；
（2）给的分子、分母同时乘以即可，给的分子、分母同时乘以(3+)，然后化简即可；
（3）作差可得=，，然后进行比较.
4．（2023八下·晋安期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知，求的值，他是这样解答的：
∵，
∴，
∴，，
∴.
∴.
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
（1） ；
（2）化简：；
（3）若，求的值.
【答案】（1）
（2）解：原式=
；
（3）解：，
，
，即.
.
.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：.
【分析】（1）给分子、分母同时乘以()，然后利用平方差公式对分母进行计算即可；
（2）原式可变形为 ，据此计算；
（3） 根据分母有理化可得a-2=，则(a-2)2=a4-4a+4=5，a2-4a=1，将待求式变形为a2(a2-4a)-4a+3，然后代入进行计算.
5．（2023八下·龙江月考）在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题：
已知，求的值．他们是这样解答的：
∵
∴
∴即
∴
∴．
请你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题：
（1） ．
（2）化简；
【答案】（1）
（2）解：
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：．
【分析】（1）利用平方差公式计算求解即可；
（2）利用二次根式的加减法则，平方差公式计算求解即可。
6．（2023八下·仙居期中）阅读材料：像，，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．”
聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：
因为
所以
所以，所以
所以，所以，所以
请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：
（1）的有理化因式是 ， ；
的有理化因式是 ， ；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；；或；
（2）解：，
∴
∴原式=
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】解：（1）∵，
∴的有理化因式是；
；
∵，
∴的有理化因式是；
∵，
∴的有理化因式是；
；
故答案为：，，或，
【分析】（1）利用平方差公式：（a≥0，b≥0），据此可得到、的有理化因式，然后将 ，进行化简即可.
（2）利用分母有理化将等式转化为a-3的值，然后将代数式转化为-2（a-3）2+21，然后整体代入求值.
7．（2023·舟山模拟）观察下列各式：①，②；③，…
（1）请观察规律，并写出第④个等式： ；
（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律： ；
（3）请证明（2）中的结论.
【答案】（1）
（2）
（3）解：
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据前面三个式子的规律，可得到第④个等式.
（2）根据前面四个式子的规律，可得到第n（n≥1）个等式.
（3）利用二次根式的性质，进行证明即可.
8．（2023八下·青秀月考）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知，求的值.他是这样解答的：
∵，
∴.
∴.
∴.
∴.
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
（1）＝ ；
（2）化简；
（3）若，求的值.
【答案】（1）
（2）解：原式＝=.
（3）解：，
，
，即，
，
=
=
=a2-4a+4
=1+4
=5
【知识点】分母有理化；二次根式的加减法；完全平方式
【解析】【解答】解：（1）解：＝，
故答案为：
【分析】（1）利用分母有理化将a的值化简，可求出a2-4a的值，再将代数式转化为2（a2-4a）+1，然后整体代入求值.
（2）利用分母有理化，先化简，再合并即可.
（3）由可得到a2-4a的值，再将代数式转化为a（a2-4a）-4a+4，然后整体代入可求出结果.
9．（2023八下·鹿城月考）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中、、、均为整数），则有，.这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得： ， ；
（2）若，且、、均为正整数，求的值；
（3）化简下列各式：
①
②
③.
【答案】（1）；2mn
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵a、m、n均为正整数，
∴ ， 或 ， ，
当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
即a的值为12或28；
（3）解：①
②
③设 ，
则
，
∴ .
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：（1）设 （其中a、b、m、n均为整数），
则有 ， ；
故答案为： ，2mn；
【分析】（1）根据题意例子给出的方法可直接求出答案；
（2）根据（1）的结论得2mn=6，即mn=3，结合m、n、a都是整数及有理数的乘法法则克的m=1、n=3或m=3、n=1，进而再根据（1）的结论得a=m2+3n2，代入计算即可；
（3）①根据前面的经验得，进而根据二次根式的性质化简即可；
②根据前面的经验得，进而根据二次根式的性质化简即可；
③设，将该式两边同时平方得，而，进而化简得，最后直接开平方，并结合二次根式的非负性即可得出答案.
10．（2023八下·鄱阳月考）阅读下面解题过程．
例：化简．
解：
请回答下列问题．
（1）归纳：请直接写出下列各式的结果：
①＝ ；
②＝ ．
（2）应用：化简
（3）拓展： ．（用含n的式子表示，n为正整数）
【答案】（1）；
（2）解：
=
=；
（3）
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）①，
②；
故答案为：①；②
（3）解：
．
故答案为：
【分析】（1）①分子分母同乘即可求解；②分子分母同乘即可求解；
（2）先分母有理化进行化简，再进行二次根式的加减即可；
（3）先分母有理化进行化简，再进行二次根式的加减即可.
11．（2022八上·赵县期末）设a5是一个两位数，其中a是十位上的数字(1≤a≤9)．例如，当a=4时，a5表示的两位数是45．
（1）尝试：
①当a=1时，152=225=1×2×100+25 ；
②当a=2时，252=625=2×3×100+25；
③当a=3时，352= 1225= ；
．．．．．．
（2）归纳：与100a(a+1)+ 25有怎样的大小关系？试说明理由．
（3）运用：若与100a的差为2525，求a的值．
【答案】（1）3×4×100+ 25
（2）解：= 100a(a+1)+ 25，
理由如下：
= (10a+ 5)(10a + 5)= 100a2 + 100a+ 25 = 100a(a+1)+ 25
（3）解：由题知， - 100a = 2525，
即100a2+ 100a+ 25- 100a = 2525，
解得a=5或-5 (舍去)，
∴a的值为5．
【知识点】因式分解﹣公式法；二次根式的化简求值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：(1) ∵①当a=1时，152= 225=1×2×100+ 25；
②当a=2时，252 =625=2×3×100+25 ；
③当a=3时，352 =1225= 3×4×100+ 25，
故答案为： 3×4×100+ 25；
【分析】（1）根据数字变化规律进行分析。
（2） = (10a+ 5)(10a + 5)= 100a2 + 100a+ 25 = 100a(a+1)+ 25 。
（3）结合（2），列方程求解。
12．（2023八上·宁波期末）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，
如：
（1）【类比归纳】
请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方．
（2）【变式探究】
若且a，m，n均为正整数，求a值.
【答案】（1）解：；
（2）解：∵m+n=a，mn=21，
又∵ a，m，n均为正整数 ，
∴m=1，n=21或m=3，n=7或n=1，m=21或n=3，m=7，
∴a=22或10.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）由于7=2+5，且10=2×5，从而仿照题干给出的阅读材料解题即可；
（2）根据（1）发现的规律可得m+n=a，mn=21，进而结合a，m，n均为正整数 ，求解即可.
13．（2023八上·港南期末）材料：如何将双重二次根式，，化简呢？如能找到两个数，，使得，即，且使，即，那么，双重二次根式得以化简.
例如化简：，
因为且，
，
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式.
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）填空：= ，= ；
（2）化简：；
（3）计算：+.
【答案】（1）±；±
（2）解：；
（3）解：
，
同理可得.
【知识点】因式分解的应用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】（1）解：，
，
故答案为：，；
【分析】（1）仿照阅读材料，把被开方数变形成完全平方式，即可得答案；
（2）把变形成仿照阅读材料的方法可得答案；
（3）将变形成，变形成，再把被开方数变形成完全平方式，即可算得答案．
14．（2023八上·泉州期末）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2.设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn.这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法.请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ .
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + ＝（ + ）2；
（3）化简
【答案】（1）m2+3n2；2mn
（2）21；4；1；2
（3）解：
＝-
＝-
＝-
＝-
＝++-
＝
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解： （1）∵，＝m2+2mn+3n2
∴a＝m2+3n2，b＝2mn
故答案为：m2+3n2，2mn；
（2）设a+b＝
则＝m2+2mn+5n2
∴a＝m2+5n2，b＝2mn
若令m＝1，n＝2，则a＝21，b＝4
故答案为：21，4，1，2；
【分析】（1）将等号右边展开，比较即可得到答案；
（2）取一组m、n的值，结合（1）算出a、b的值即可；
（3）根据（1）提供的方法分别将各个二次根式的被开方数变形，进而根据“”进行化简，接着利用分母有理数化简，最后合并同类项即可.
15．（2022八上·大田期中）我们知道，，，…如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式.如与互为有理化因式.利用这种方法，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化，例如：，.
（1）分母有理化的结果是 ；
（2）分母有理化的结果是 ；
（3）分母有理化的结果是 ；
（4）利用以上知识计算：.
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）解：，
同理得：，.
∴原式
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：.
故答案为： ；
（2）.
故答案为： ；
（3）.
故答案为： ；
【分析】（1）分子、分母同乘以分母的有理化因式“”即可得出答案；
（2）分子、分母同乘以分母的有理化因式“”即可得出答案；
（3）分子、分母同乘以分母的有理化因式“”即可得出答案；
（4）将各个加数分别分母有理化，然后再逆用乘法分配律提取公因式“”，进而将括号内的二次根式分别合并即可得出答案.
16．（2022八上·泗县期中）小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律.
下面是小丽的探究过程，请补充完整：
（1）具体运算，发现规律，
特例：
特例：
特例：
特例： 填写一个符合上述运算特征的例子；
（2）观察、归纳，得出猜想.
如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为： ；
（3）证明你的猜想；
（4）应用运算规律化简： .
【答案】（1）；
（2）；
（3）解：等式左边右边，
故猜想成立
（4）
【知识点】二次根式的应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：由题意得：，
故答案为：；
（2）解：特例
特例
特例
用含的式子表示为：，
故答案为：；
（4）解：
.
故答案为：.
【分析】根据题干中的定义及计算方法求解即可。
17．（2022九上·清水月考）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 a+b=2，ab= -3 ，求．我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令 x=a+b ， y = ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
（1）计算：；
（2）m 是正整数， a =，b =且．求 m．
（3）已知，求的值．
【答案】（1）解：原式
，
（2）解：∵a =，b =，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴2，
∵m 是正整数，
∴m=2．
（3）解：由得出，
∴，
∵，
∵，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据阅读材料的方法先进行分母有理化，再提取公因数，继而两两相消，进一步计算即可；
（2）先求出a+b=2（2m+1），ab=1，再将所求代数式化简为（a+b）2-2ab=98，然后代入计算即可；
（3）先利用 计算得出 ，再对利用完全平方公式将 进行变形求解即可.
18．（2022八上·淇滨月考）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + ＝（ + ）2；
（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值？
【答案】（1）m2+3n2；2mn
（2）7；4；2；1（答案不唯一）
（3）解：a＝m2+3n2，2mn＝6，
∵a、m、n均为正整数，
∴m＝3，n＝1或m＝1，n＝3，
当m＝3，n＝1时，a＝9+3＝12，
当m＝1，n＝3时，a＝1+3×9＝28，
∴a的值为12或28．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）（m+n）2＝m2+3n2+2mn，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn．
故答案为m2+3n2，2mn；
（2）m＝2，n＝1，则a＝7，b＝4，
∴7+4＝（2+）2．
故答案为7，4，2，1（答案不唯一）；
【分析】（1）利用完全平方公式将等式右边展开，比较系数即可求解；
（2）令m＝2，n＝1，求出a、b的值，即可得解；
（3）将等式右边展开，可得a＝m2+3n2，2mn＝6，先求出整数m、n的值，再求出整数a即可.
1 / 12023年中考数学探究性试题复习7 二次根式
一、综合题
1．（2023八下·淮北期中）观察下列各式．
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）第4个等式：
（2）请你按照上面三个等式反映的规律，猜想第n个等式，并给出证明．
2．（2023七下·武昌期中）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，
即：；
例如：比较与2的大小.
∵ 又∵ 则
∴，
∴.
请根据上述方法解答以下问题：
（1）的整数部分是 ，的小数部分是 ；
（2）比较与的大小.
（3）已知，试用“比差法”比较与的大小.
3．（2023八下·大冶期中）先阅读，再解答.由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：
（1）的有理化因式是 ；
（2）化去式子分母中的根号： ， ；
（3）比较与的大小，并说明理由.
4．（2023八下·晋安期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知，求的值，他是这样解答的：
∵，
∴，
∴，，
∴.
∴.
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
（1） ；
（2）化简：；
（3）若，求的值.
5．（2023八下·龙江月考）在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题：
已知，求的值．他们是这样解答的：
∵
∴
∴即
∴
∴．
请你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题：
（1） ．
（2）化简；
6．（2023八下·仙居期中）阅读材料：像，，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．”
聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：
因为
所以
所以，所以
所以，所以，所以
请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：
（1）的有理化因式是 ， ；
的有理化因式是 ， ；
（2）若，求的值．
7．（2023·舟山模拟）观察下列各式：①，②；③，…
（1）请观察规律，并写出第④个等式： ；
（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律： ；
（3）请证明（2）中的结论.
8．（2023八下·青秀月考）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知，求的值.他是这样解答的：
∵，
∴.
∴.
∴.
∴.
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
（1）＝ ；
（2）化简；
（3）若，求的值.
9．（2023八下·鹿城月考）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中、、、均为整数），则有，.这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得： ， ；
（2）若，且、、均为正整数，求的值；
（3）化简下列各式：
①
②
③.
10．（2023八下·鄱阳月考）阅读下面解题过程．
例：化简．
解：
请回答下列问题．
（1）归纳：请直接写出下列各式的结果：
①＝ ；
②＝ ．
（2）应用：化简
（3）拓展： ．（用含n的式子表示，n为正整数）
11．（2022八上·赵县期末）设a5是一个两位数，其中a是十位上的数字(1≤a≤9)．例如，当a=4时，a5表示的两位数是45．
（1）尝试：
①当a=1时，152=225=1×2×100+25 ；
②当a=2时，252=625=2×3×100+25；
③当a=3时，352= 1225= ；
．．．．．．
（2）归纳：与100a(a+1)+ 25有怎样的大小关系？试说明理由．
（3）运用：若与100a的差为2525，求a的值．
12．（2023八上·宁波期末）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，
如：
（1）【类比归纳】
请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方．
（2）【变式探究】
若且a，m，n均为正整数，求a值.
13．（2023八上·港南期末）材料：如何将双重二次根式，，化简呢？如能找到两个数，，使得，即，且使，即，那么，双重二次根式得以化简.
例如化简：，
因为且，
，
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式.
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）填空：= ，= ；
（2）化简：；
（3）计算：+.
14．（2023八上·泉州期末）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2.设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn.这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法.请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ .
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + ＝（ + ）2；
（3）化简
15．（2022八上·大田期中）我们知道，，，…如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式.如与互为有理化因式.利用这种方法，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化，例如：，.
（1）分母有理化的结果是 ；
（2）分母有理化的结果是 ；
（3）分母有理化的结果是 ；
（4）利用以上知识计算：.
16．（2022八上·泗县期中）小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律.
下面是小丽的探究过程，请补充完整：
（1）具体运算，发现规律，
特例：
特例：
特例：
特例： 填写一个符合上述运算特征的例子；
（2）观察、归纳，得出猜想.
如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为： ；
（3）证明你的猜想；
（4）应用运算规律化简： .
17．（2022九上·清水月考）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 a+b=2，ab= -3 ，求．我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令 x=a+b ， y = ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
（1）计算：；
（2）m 是正整数， a =，b =且．求 m．
（3）已知，求的值．
18．（2022八上·淇滨月考）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + ＝（ + ）2；
（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值？
答案解析部分
1．【答案】（1）
（2）解：猜想：
证明如下：
∵左边=
右边=
∴左边=右边，
∴猜想成立
【知识点】二次根式的化简求值；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）利用三个等式反映的规律解答即可；
（2）利用前面等式的规律写出等式，利用二次根式的性质写出证明即可
2．【答案】（1）5；
（2）解：，
∴；
（3）解：
∵，
∴，
∴.
【知识点】无理数的大小比较；无理数的估值；分母有理化
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴的整数部分是5；
∴，
∴，
∴的整数部分是1，则的小数部分是，
故答案为：5；；
【分析】（1）根据估算无理数大小的方法可得5<<6，然后求出7-的范围，据此解答；
（2）作差可得2--(-3)=5-=-，据此进行比较；
（3）作差并利用分母有理化化简可得= ，然后进行比较.
3．【答案】（1）
（2）；
（3）解：，理由如下：，
，
∵，
∴，
所以.
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴的有理化因式是；
故答案为：；
（2），；
故答案为：，；
【分析】（1）根据平方差公式可得(-1)(-1)=2-1=1，据此可得-1的有理化因式；
（2）给的分子、分母同时乘以即可，给的分子、分母同时乘以(3+)，然后化简即可；
（3）作差可得=，，然后进行比较.
4．【答案】（1）
（2）解：原式=
；
（3）解：，
，
，即.
.
.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：.
【分析】（1）给分子、分母同时乘以()，然后利用平方差公式对分母进行计算即可；
（2）原式可变形为 ，据此计算；
（3） 根据分母有理化可得a-2=，则(a-2)2=a4-4a+4=5，a2-4a=1，将待求式变形为a2(a2-4a)-4a+3，然后代入进行计算.
5．【答案】（1）
（2）解：
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：．
【分析】（1）利用平方差公式计算求解即可；
（2）利用二次根式的加减法则，平方差公式计算求解即可。
6．【答案】（1）；；或；
（2）解：，
∴
∴原式=
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】解：（1）∵，
∴的有理化因式是；
；
∵，
∴的有理化因式是；
∵，
∴的有理化因式是；
；
故答案为：，，或，
【分析】（1）利用平方差公式：（a≥0，b≥0），据此可得到、的有理化因式，然后将 ，进行化简即可.
（2）利用分母有理化将等式转化为a-3的值，然后将代数式转化为-2（a-3）2+21，然后整体代入求值.
7．【答案】（1）
（2）
（3）解：
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据前面三个式子的规律，可得到第④个等式.
（2）根据前面四个式子的规律，可得到第n（n≥1）个等式.
（3）利用二次根式的性质，进行证明即可.
8．【答案】（1）
（2）解：原式＝=.
（3）解：，
，
，即，
，
=
=
=a2-4a+4
=1+4
=5
【知识点】分母有理化；二次根式的加减法；完全平方式
【解析】【解答】解：（1）解：＝，
故答案为：
【分析】（1）利用分母有理化将a的值化简，可求出a2-4a的值，再将代数式转化为2（a2-4a）+1，然后整体代入求值.
（2）利用分母有理化，先化简，再合并即可.
（3）由可得到a2-4a的值，再将代数式转化为a（a2-4a）-4a+4，然后整体代入可求出结果.
9．【答案】（1）；2mn
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵a、m、n均为正整数，
∴ ， 或 ， ，
当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
即a的值为12或28；
（3）解：①
②
③设 ，
则
，
∴ .
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：（1）设 （其中a、b、m、n均为整数），
则有 ， ；
故答案为： ，2mn；
【分析】（1）根据题意例子给出的方法可直接求出答案；
（2）根据（1）的结论得2mn=6，即mn=3，结合m、n、a都是整数及有理数的乘法法则克的m=1、n=3或m=3、n=1，进而再根据（1）的结论得a=m2+3n2，代入计算即可；
（3）①根据前面的经验得，进而根据二次根式的性质化简即可；
②根据前面的经验得，进而根据二次根式的性质化简即可；
③设，将该式两边同时平方得，而，进而化简得，最后直接开平方，并结合二次根式的非负性即可得出答案.
10．【答案】（1）；
（2）解：
=
=；
（3）
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）①，
②；
故答案为：①；②
（3）解：
．
故答案为：
【分析】（1）①分子分母同乘即可求解；②分子分母同乘即可求解；
（2）先分母有理化进行化简，再进行二次根式的加减即可；
（3）先分母有理化进行化简，再进行二次根式的加减即可.
11．【答案】（1）3×4×100+ 25
（2）解：= 100a(a+1)+ 25，
理由如下：
= (10a+ 5)(10a + 5)= 100a2 + 100a+ 25 = 100a(a+1)+ 25
（3）解：由题知， - 100a = 2525，
即100a2+ 100a+ 25- 100a = 2525，
解得a=5或-5 (舍去)，
∴a的值为5．
【知识点】因式分解﹣公式法；二次根式的化简求值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：(1) ∵①当a=1时，152= 225=1×2×100+ 25；
②当a=2时，252 =625=2×3×100+25 ；
③当a=3时，352 =1225= 3×4×100+ 25，
故答案为： 3×4×100+ 25；
【分析】（1）根据数字变化规律进行分析。
（2） = (10a+ 5)(10a + 5)= 100a2 + 100a+ 25 = 100a(a+1)+ 25 。
（3）结合（2），列方程求解。
12．【答案】（1）解：；
（2）解：∵m+n=a，mn=21，
又∵ a，m，n均为正整数 ，
∴m=1，n=21或m=3，n=7或n=1，m=21或n=3，m=7，
∴a=22或10.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）由于7=2+5，且10=2×5，从而仿照题干给出的阅读材料解题即可；
（2）根据（1）发现的规律可得m+n=a，mn=21，进而结合a，m，n均为正整数 ，求解即可.
13．【答案】（1）±；±
（2）解：；
（3）解：
，
同理可得.
【知识点】因式分解的应用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】（1）解：，
，
故答案为：，；
【分析】（1）仿照阅读材料，把被开方数变形成完全平方式，即可得答案；
（2）把变形成仿照阅读材料的方法可得答案；
（3）将变形成，变形成，再把被开方数变形成完全平方式，即可算得答案．
14．【答案】（1）m2+3n2；2mn
（2）21；4；1；2
（3）解：
＝-
＝-
＝-
＝-
＝++-
＝
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解： （1）∵，＝m2+2mn+3n2
∴a＝m2+3n2，b＝2mn
故答案为：m2+3n2，2mn；
（2）设a+b＝
则＝m2+2mn+5n2
∴a＝m2+5n2，b＝2mn
若令m＝1，n＝2，则a＝21，b＝4
故答案为：21，4，1，2；
【分析】（1）将等号右边展开，比较即可得到答案；
（2）取一组m、n的值，结合（1）算出a、b的值即可；
（3）根据（1）提供的方法分别将各个二次根式的被开方数变形，进而根据“”进行化简，接着利用分母有理数化简，最后合并同类项即可.
15．【答案】（1）
（2）
（3）
（4）解：，
同理得：，.
∴原式
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：.
故答案为： ；
（2）.
故答案为： ；
（3）.
故答案为： ；
【分析】（1）分子、分母同乘以分母的有理化因式“”即可得出答案；
（2）分子、分母同乘以分母的有理化因式“”即可得出答案；
（3）分子、分母同乘以分母的有理化因式“”即可得出答案；
（4）将各个加数分别分母有理化，然后再逆用乘法分配律提取公因式“”，进而将括号内的二次根式分别合并即可得出答案.
16．【答案】（1）；
（2）；
（3）解：等式左边右边，
故猜想成立
（4）
【知识点】二次根式的应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：由题意得：，
故答案为：；
（2）解：特例
特例
特例
用含的式子表示为：，
故答案为：；
（4）解：
.
故答案为：.
【分析】根据题干中的定义及计算方法求解即可。
17．【答案】（1）解：原式
，
（2）解：∵a =，b =，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴2，
∵m 是正整数，
∴m=2．
（3）解：由得出，
∴，
∵，
∵，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据阅读材料的方法先进行分母有理化，再提取公因数，继而两两相消，进一步计算即可；
（2）先求出a+b=2（2m+1），ab=1，再将所求代数式化简为（a+b）2-2ab=98，然后代入计算即可；
（3）先利用 计算得出 ，再对利用完全平方公式将 进行变形求解即可.
18．【答案】（1）m2+3n2；2mn
（2）7；4；2；1（答案不唯一）
（3）解：a＝m2+3n2，2mn＝6，
∵a、m、n均为正整数，
∴m＝3，n＝1或m＝1，n＝3，
当m＝3，n＝1时，a＝9+3＝12，
当m＝1，n＝3时，a＝1+3×9＝28，
∴a的值为12或28．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）（m+n）2＝m2+3n2+2mn，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn．
故答案为m2+3n2，2mn；
（2）m＝2，n＝1，则a＝7，b＝4，
∴7+4＝（2+）2．
故答案为7，4，2，1（答案不唯一）；
【分析】（1）利用完全平方公式将等式右边展开，比较系数即可求解；
（2）令m＝2，n＝1，求出a、b的值，即可得解；
（3）将等式右边展开，可得a＝m2+3n2，2mn＝6，先求出整数m、n的值，再求出整数a即可.
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