2023年中考数学探究性试题复习8 一元一次方程
一、填空题
1．（2023七上·玉林期末）一般情况下＋＝不成立，但有数可以使得它成立.例如a＝b＝0.我们称使得＋＝ 成立的一对数a、b为“相伴数对”，记为（a，b）.若（a，2）为“相伴数对”，则a的值为 .
2．（2023七上·益阳期末）对于任意四个有理数可以组成两个有理数对与.我们规定： .例如： .当满足等式时，的值为 .
3．（2023七上·通川期末）在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程．方程与方程 填“是”或“不是”同解方程；若关于的两个方程与是同解方程， ；若关于的两个方程与是同解方程， ．
二、综合题
4．（2022七上·赵县期末）定义：若a+b=2，则称a与b是关于2的平衡数．
（1）3与 是关于2的平衡数，7-x与 是关于2的平衡数． (填一个含x的代数式)
（2）若a=x2-4x-1，b=x2-2(x2-2x-1)+1，判断a与b是否是关于2的平衡数，并说明理由．
（3）若c=kx+1，d=x-3，且c与d是关于2的平衡数，若x为正整数，求非负整数k的值．
5．（2023七下·义乌开学考）给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，依此类推，第n个数记为（n为正整数），如下面这列数2，4，6，8，10中，，，，，.规定运算.即从这列数的第一个数开始依次加到第n个数，如在上面的一列数中，.
（1）已知一列数1，，3，，5，，7，，9，，则 ， .
（2）已知这列数1，，3，，5，，7，，9，，…，按照规律可以无限写下去，则 ， .
（3）在（2）的条件下否存在正整数n使等式成立？如果有，写出n的值，如果没有，说明理由.
6．（2023七上·武义期末）已知一列，数，，，…，具有以下规律：，.
例：若，则，，
，，
，…
请认真阅读上面的运算推理过程，完成下面问题.
（1）若，求下列两个问题.
① ， .
②在数轴上点A所表示的数为，点B所表示的数为，求线段AB的长.
（2）已知，求的值.
7．（2023七上·长兴期末）阅读材料：
我们定义：如果两个实数的和等于这两个实数的积，那么这两个实数就叫做“和积等数对”，即：如果，那么a与b就叫做“和积等数对”，记为.
例如：，，，
则称数对，，是“和积等数对”.
根据上述材料，解决下列问题：
（1）下列数对中，“和积等数对”是 填序号；
①； ②； ③.
（2）如果是“和积等数对”，请求出x的值；
（3）如果是“和积等数对”，那么m= （用含的代数式表示）.
8．（2023七上·宁海期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴时，我们发现有许多重要的规律：若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离，线段AB的中点表示的数为．
【知识应用】
如图，在数轴上，点A表示的数为5，点B表示的数为3，点C表示的数为－2，点P从点C出发，以每秒2个单位沿数轴向右匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0），根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：
①A，C两点之间的距离 ，线段BC的中点表示的数为 ．
②用含t的代数式表示：t秒后点P表示的数为 ．
（2）若点M为PA的中点，当t为何值时，．
（3）【拓展提升】
在数轴上，点D表示的数为9，点E表示的数为6，点F表示的数为－4，点G从点D，点H从点E同时出发，分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度沿数轴的负方向运动，且当它们各自到达点F时停止运动，设运动时间为t秒，线段GH的中点为点K，当t为何值时，．
9．（2023七下·开福开学考）定义：对于一个有理数x，我们把[x]称作x的“牛牛”数；“牛牛”数的作用：
若x＞0，则[x]＝x﹣2；若x＜0，则[x]＝x+2，规定[0]＝0
例：[1]＝1﹣2＝﹣1，[﹣2]＝﹣2+2＝0．
（1）求[]，[﹣1]的值；
（2）已知有理数a＞0，b＜0，且满足[a]＝[b]，试求代数式（b﹣a）3﹣4a+4b的值．
（3）解方程：[2x]+[x+1]＝1．
10．（2023七上·义乌期末）已知为不相等的实数，且均不为，现定义有序实数对的“真诚值”为：，如数对的“真诚值”为：，数对的“真诚值”为：.
（1）根据上述的定义填空： ， ；
（2）数对的“真诚值”，求的值.
11．（2022七上·平谷期末）如果两个方程的解相差k，且k为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“k—后移方程”．
例如：方程的解是，方程的解是
所以：方程是方程的“2—后移方程”．
（1）判断方程是否为方程的k—后移方程 （填“是”或“否”）；
（2）若关于x的方程是关于 x 的方程的“2—后移方程”，求n的值
（3）当时，如果方程是方程的“3—后移方程”求代数式的值．
12．（2023七上·通川期末）阅读下面的材料：我们知道，在数轴上，表示有理数对应的点到原点的距离，同样的道理，表示有理数对应的点到有理数2对应的点的距离，例如，，表示数轴上有理数5对应的点到有理数2对应的点的距离是3．
请根据上面的材料解答下列问题：
（1）请用上面的方法计算数轴上有理数-9对应的点到有理数3对应的点的距离；
（2）填空：表示与理数对应的点与有理数 对应的点的距离；如果，那么有理数的值是 ；
（3）填空：如果，那么有理数的值是 ．
（4）是否存在有理数，使等式的结果等于4？如果存在，请直接写出的值；如果不存在，请说明原因．
13．（2023七上·拱墅期末）数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）来表示.例如：f（x）＝x2+x﹣1，当x＝a时.多项式的值用f（a）来表示，即f（a）＝a2+a﹣1.当x＝3时，f（3）＝32+3﹣1＝11.
（1）已知f（x）＝x2﹣2x+3，求f（1）的值.
（2）已知f（x）＝mx2﹣2x﹣m，当f（﹣3）＝m﹣1时，求m的值.
（3）已知f（x）＝kx2﹣ax﹣bk（a.b为常数），对于任意有理数k，总有f（﹣2）＝﹣2，求a，b的值.
14．（2022七上·凤凰月考）阅读理解：在解形如这类含有绝对值的方程时，
解法一：我们可以运用整体思想来解.移项得，，
，，或.
解法二：运用分类讨论的思想，根据绝对值的意义分和两种情况讨论：
①当时，原方程可化为，解得，符合；
②当时，原方程可化为，解得，符合.
原方程的解为或.
解题回顾：本解法中2为的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了和两部分，所以分和两种情况讨论.
问题：结合上面阅读材料，解下列方程：
（1）解方程：
（2）解方程：
15．（2022七上·凤凰月考）定义：若整数k的值使关于x的方程的解为整数，则称k为此方程的“友好系数”.
（1）判断当时是否为方程的“友好系数”，写出判断过程；
（2）方程“友好系数”的个数是有限个数，还是无穷多？如果是有限个数，求出此方程的所有“友好系数”；如果是无穷多，说明理由.
16．（2022七上·浉河月考）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”.例如：方程和为“美好方程”.
（1）方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由；
（2）若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；
（3）若关于x方程与是“美好方程”，求n的值.
17．（2022七上·荣县月考）数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号来表示，例如，并把x等于某数时多项式的值用f（某数）来表示，例如时多项式的值记为.
（1）若，①求的值；②若，求x的值
（2）若，，试探究的最小值，并指出此时x的取值范围.
18．（2022七上·大竹期末）探究题：阅读下列材料，规定一种运，例如，再如，按照这种运算的规定，请解答下列问题：
（1） .（只填结果）；
（2）若，求x的值.（写出解题过程）
19．（2022·义乌期中）东东在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序数：x1，x2，x3，称为数列x1，x2，x3，计算|x1|，，，将这三个数的最小值称为数列x1，x2，x3的最佳值．例如对于数列2， 1，3，因为，=，=，所以数列2， 1，3的最佳值为．
东东进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳值．如数列 1，2，3的最佳值为；数列3， 1，2的最佳值为1；…，经过研究，东东发现，对于“2， 1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，最佳值的最小值为．根据以上材料，回答下列问题：
（1）数列 5， 4，3的最佳值为
（2）将“ 5， 4，3”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的最佳值的最小值为 ，取得最佳值最小值的数列为 （写出一个即可）；
（3）将2，-8，a（a>1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的最佳值的最小值为1，求a的值．
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】定义新运算；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题中的新定义得：＋＝，
去分母得：15a+20=6a+12，
解得：a=-.
故答案为：-.
【分析】根据定义的新运算可得＋＝，求解可得a的值.
2．【答案】9
【知识点】定义新运算；解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意可知：
所以
所以
所以
所以
故答案为9.
【分析】根据定义的新运算可得(-7，2x-1)★(-2，x)=(2x-1)×(-2)-(-7)x=29，求解即可.
3．【答案】是；1；-7
【知识点】一元一次方程的解；利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）解2x-1=3得x=2，解x+5=3x+1得x=2，
∴ 这两个方程是同解方程，
故答案为：是；
（2）解2x=4得x=2，
∵方程2x=4与关于x的方程mx=m+1是同解方程，
∴x=2是关于x的方程mx=m+1的解，
∴2m=m+1，
解得m=1；
故答案为：1；
（3）解关于x的方程2x=a+1得，解关于x的方程3x-a=-2得，
∵关于x的方程2x=a+1得与3x-a=-2是同解方程，
∴，解得a=-7，
故答案为：-7.
【分析】（1）根据解一元一次方程的一般步骤分别解出两个方程的解，进而根据同解方程的定义进行判定即可；
（2）根据解一元一次方程的步骤求出第一个方程的解，根据两个方程是同解方程，将x的值代入第二个方程可得关于字母m的方程，求解即可得出m的值；
（3）根据解一元一次方程的一般步骤分别解出两个关于x的方程的解，根据两个方程是同解方程可得关于字母a的方程，求解即可得出a的值.
4．【答案】（1）-1；x-5
（2）解：a与b是关于2的平衡数，
理由：∵a=x2-4x-1， b=x2-2 (x2- 2x-1) +1，
∴a+b
= (x2-4x-1)+[x2-2(x2-2x-1)+1]
=x2-4x-1+x2-2(x2-2x-1) +1
=x2-4x- 1+x2- 2x2+4x+2+1
=2，
∴a与b是关于2的平衡数：
（3）解：∵c=kx+1， d=x-3，且c与d是关于2的平衡数，
∴c+d=2，
∴kx+1+x- 3=2，
∴(k+1)x=4，
∵x为正整数，
∴当x=1时，k+1=4，得k=3，
当x=2时，k+1=2，得k=1，
当x=4时，k+1=1，得k=0，
∴非负整数k的值为0或1或3．
【知识点】定义新运算；合并同类项法则及应用；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】(1) ∵2-3= - 1，
∴3与-1是关于2的平衡数，
∵2- (7-x)=2- 7+x=x- 5，
∴7-x与x-5是关于2的平衡数，
故答案为：-1，x-5；
【分析】（1）根据平衡数的定义，可以计算出3的平衡数和7-x的平衡数；
（2）将a和b相加，化简，看最后的结果是否为2即可；
（3）根据c＝kx+1，d＝x-3，且c与d是关于2的平衡数，可以得到k和x的关系，然后利用分类讨论的方法，可以得到当x为正整数时，非负整数k的值。
5．【答案】（1）3；-5
（2）-2022；-1011
（3）解：在（2）的条件下存在正整数n使等式成立，
当n为奇数时，，解得，，
当n为偶数时，，解得，.
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；探索数与式的规律；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）；
；
（2）；
；
【分析】（1）由数列可得a3=3，然后求和即可得到sum(a1：a10)；
（2）观察可得a2022=-2022，则sum(a1：a2018)=1+(-2)+3+(-4)+……+2021+(-2022)，据此计算；
（3）分n为奇数、偶数，表示出sum(a1：an)，然后结合|sum(a1：an)|=2022进行计算即可.
6．【答案】（1）解：①-2；-6；②②，
∴，
即线段AB的长4；
（2）解：由题意，，，
∵，
∴，
当即时，
，解得；
当时，
，等式不成立，即不存在；
当时，，解得，
综上，或.
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；两点间的距离；定义新运算
【解析】【解答】（1）解：①∵，
∴，
，
，
，
，
，
故答案为：-2，-6；
【分析】（1）①根据定义的新运算进行计算；
②a9=a2×4+1=a4=-6，然后根据两点间距离公式进行计算；
（2）由题意得a9=a2×4+1=a4=3a0，a13=a2×6+1=a6=3a0，则原方程可化为|3a0-3|+|3a0+2|=8，然后分a0<、≤a0<1、a0≥1进行计算.
7．【答案】（1）②
（2）解：由题意得：，
解得；
（3）
【知识点】定义新运算；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）①，，
，
不是“和积等数对”；
②，，
，
是“和积等数对”；
③，，
，
不是“和积等数对”；
故答案为：②；
（3）由题意得：，
解得，
故答案为：.
【分析】（1）直接根据“和积等数对”的概念进行判断；
（2）由题意可得x+4=4x，求解即可；
（3）由题意得m+n=mn，然后表示出m即可.
8．【答案】（1）7；；-2+2t
（2）解：M：
∵
∴ 即
∴
解得 t=2 或 t=1，
所以 点M为PA的中点 ，当 t=2 或 t=1， ；
（3）解：①当0≤t≤5时，运动t秒后，点G表示的数为9 t，点H表示的数为6 2t，
K点表示
∵HK=3
∴ ，
解得
②当5≤t≤13时，运动t秒后，点G表示的数为9 t，点H表示的数为 4，
M点表示
∵HK=3
∴ ，
解得
综上所述，当t=3或t=7时，HK=3．
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；解含绝对值符号的一元一次方程；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）①∵ 点A表示的数为5，点B表示的数为3，点C表示的数为－2，
∴A，C两点之间的距离为：；
线段BC的中点表示的数为 ：；
故答案为：7，；
② t秒后点P表示的数为 -2+2t；
故答案为：-2+2t；
【分析】（1）①根据题干中给出的数轴上任意两点间的距离计算方法及线段中点的计算方法分别列式计算即可；② 根据点P的运动方向和运动速度，结合点C表示的数即可得到结果；
（2）根据线段中点公式可得点M表示为，根据两点间的距离公式列出方程，求解即可；
（3）分两种情况：①当0≤t≤5时，运动t秒后，点G表示的数为9 t，点H表示的数为6 2t，则点K表示的数为，根据HK＝3列出方程，求出t值；②当5≤t≤13时，运动t秒后，点G表示的数为9 t，点H表示的数为 4，则点K表示的数为，根据HK＝3列出方程，求出t值即可得到结果．
9．【答案】（1）解：[]＝﹣2＝﹣，
[﹣1]＝﹣1+2＝1；
（2）解：a＞0，b＜0，[a]＝[b]，即a﹣2＝b+2，解得：a﹣b＝4，则b-a=-4，
故（b﹣a）3﹣4a+4b
＝（b﹣a）3-4（a﹣b）
＝（﹣4）3﹣16
＝﹣80；
（3）解：当x≥0时，方程为：2x﹣2+x+1﹣2＝1，
解得：x＝，
当﹣1≤x＜0时，方程为：2x+2+x+1﹣2＝1，
解得：x＝0（舍弃），
当x＜﹣1时，方程为：2x+2+x+1+2＝1，
解得：x＝﹣．
故方程的解为：x＝．
【知识点】代数式求值；定义新运算；有理数混合运算法则（含乘方）；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据题干给出的例子，模仿计算即可得出答案；
（2）根据题干给出的“牛牛”数的定义结合[a]＝[b]可得方程a﹣2＝b+2，变形得a﹣b＝4，则b-a=-4，进而将待求式子变形为（b﹣a）3-4（a﹣b）整体代入即可算出答案；
（3）分当x≥0时，当﹣1≤x＜0时，当x＜﹣1时三种情况，分别根据“牛牛”数的定义化简方程，求解并检验即可得出答案.
10．【答案】（1）32；9
（2）解：当时，，解得，；
当时，，则，
∴，
∵，
∴；
综上所述，当时，或.
【知识点】有理数的乘方法则；有理数混合运算法则（含乘方）；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】（1）解：，，
故答案为：32；9；
【分析】（1）根据题干提供的解题方法列出算式，进而根据含乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算即可；
（2）分a＞2与a＜2两种情况，根据题干提供的信息分别列出方程，求解再检验即可得出答案.
11．【答案】（1）是
（2）解：解方程，得，
解方程，得，
∵关于x的方程是关于x的方程的“2—后移方程”，
∴，
∴；
（3）解：解方程，得，
解方程，得，
∵方程是方程的“3—后移方程”，
∴，
∴，
把代入，
∴原式
．
【知识点】解一元一次方程；定义新运算
【解析】【解答】（1）解：解方程，得，
解方程，得，
∵，
∴方程是方程的1—后移方程；
【分析】（1）先求出方程的解，再根据“k—后移方程”的定义求解即可；
（2）先求出方程的解，再根据“2—后移方程”的定义可得，再求出即可；
（3）先求出方程的解，再根据“3—后移方程”的定义可得，求出，再将其代入计算即可。
12．【答案】（1）解：数轴上有理数-9对应的点到有理数3对应的点的距离为 ；
（2）1；4或-2
（3）0或7
（4）解：不存在，因为此等式表示数轴上有理数 所在点到有理数1和6所在点的距离之和，距离之和最小为5，因此不存在满足题意的有理数 ．
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：（2） 表示与理数 对应的点与有理数1对应的点的距离；
，
，
解得 或-2．
故答案为：1，4或-2；
（3）当 时，
依题意有 ，
解得 ；
当 时，
依题意有 ，
方程无解；
当 时，
依题意有 ，
解得 ．
故答案为：0或7；
【分析】（1）根据题干给出的例子计算即可；
（2）根据题干给出的例子即可得出第一空的答案；根据绝对值的性质化简可得两个关于未知数a的方程，分别求解即可；
（3）分类讨论：①当a＜1时，②当1≤a≤6时，③当a＞6时，分别根据绝对值的性质化简，再解字母a的方程即可得出答案；
（4）只有当数轴上表示数字a的点在表示数字1与6的点之间时，即当1≤a≤6时，有理数a所在点到有理数1和6所在点的距离之和最小为5，据此判断即可得出答案.
13．【答案】（1）解：当x＝1时，f（1）＝1﹣2+3＝2；
（2）解：当x＝﹣3时，f（﹣3）＝mx2﹣2x﹣m＝9m+6﹣m＝m﹣1，
∴m＝﹣1；
（3）解：当x＝﹣2时，f（﹣2）＝kx2﹣ax﹣bk＝4k+2a﹣bk＝﹣2，
∴（4﹣b）k+2a＝﹣2，
∵k为任意有理数，
∴4﹣b＝0，2a＝﹣2，
∴a＝﹣1，b＝4.
【知识点】代数式求值；多项式的项和次数；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【分析】（1）把x=1代入x2-2x+3，按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序算出答案；
（2）把x=-3代入mx2-2x-m得mx2﹣2x﹣m＝9m+6﹣m，再结合x=-3时mx2-2x-m=m-1，可列出方程，求解可得m的值；
（3）把x=-2代入kx2﹣ax﹣bk得kx2﹣ax﹣bk＝4k+2a﹣bk ，结合x=-2时， kx2﹣ax﹣bk＝-2 ，建立方程得 （4﹣b）k+2a＝﹣2， 由“ k为任意有理数时”该式子的值都是-2，从而可得关于k的项的系数为0，据此求出a、b的值.
14．【答案】（1）解：移项得，
合并得，
两边同时除以得，
所以，
所以或；
（2）解：当时，原方程可化为，解得，符合；
当时，原方程可化为，解得，符合；
当时，原方程可化为，解得，不符合.
所以原方程的解为或.
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【分析】（1）利用题干解法一中的整体思想，首先移项，把含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，再合并同类项，接着将未知数项的系数化为1，进而根据绝对值的性质去掉绝对值符号得出两个一元一次方程，求解即可；
（2）利用题干解法二中的零点思想，分类讨论：①当x≤-1时，②当-1＜x≤2时，③当x＞2时，分别根据绝对值的性质化简，再求解即可.
15．【答案】（1）解：当时，原方程化为：，
整理得：，
解得：，
即当时，方程的解为整数.
根据新定义可得：是方程的“友好系数”；
（2）解：方程“友好系数”个数是有限的，理由如下，
，
去分母得：，
整理得：，
方程的解为：，
当，，，时，满足方程的解x为整数，
此时k的值为：1，0，，，2，-1，，，
经检验，取上述k的值，均不为0，
其中k为整数才称为“友好系数”，所以k的值为：1，0，2，-1.
所以方程“友好系数”的个数是有限个，
分别为1，0，2，-1.
【知识点】定义新运算；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）将k=1代入方程，然后按解含分数系数的一元一次方程的步骤解出方程的解，进而根据 “友好系数” 的定义判断即可；
（2）将k看成字母系数，按解含分数系数的一元一次方程的步骤解出关于未知数x的方程的解，进而根据“友好系数” 的定义该方程的解为整数，且k也是整数，即可判断得出答案.
16．【答案】（1）解：是，理由如下：
由解得；
由解得：.
方程与方程是“美好方程”.
（2）解：由解得；
由解得.
方程与方程是“美好方程”
，
解得.
（3）解：由解得；
由解得；
∵关于x方程与是“美好方程”
∴，
解得.
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤分别解出两个方程，进而根据两方程的解的和是否等于1即可判断得出结论；
（2）根据解一元一次方程的步骤分别解出两个关于未知数x的方程，根据“美好方程”的定义列出关于字母m的方程，求解即可得出m的值；
（3）根据解一元一次方程的步骤分别解出两个关于未知数x的方程，根据“美好方程”的定义列出关于字母n的方程，求解即可得出n的值.
17．【答案】（1）解：①∵，
∴；
②∵，
∴，
解得：，
即值为5；
（2）解：∵，，
∴，
当时，，
当时，，
当时，，
即最小值为5，此时x的取值范围为：.
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；定义新运算；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【分析】（1）①将x=-1代入函数解析式，可求出对应f（-1）的值；②利用 ，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
（2）将 ，代入可得到，；分情况讨论：当x＜-3时；当-3≤x≤2时；当x＞2时，分别利用绝对值的性质进行化简，可得到最小值及x的取值范围.
18．【答案】（1）7
（2）解：
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；定义新运算；解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】（1）解：
故答案为：7；
【分析】（1）根据定义的新运算法则列出算式，进而根据有理数的加减乘除混合运算的运算顺序算出答案；
（2）根据定义的新运算法则列出方程，然后根据解方程的步骤：先去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可.
19．【答案】（1）2
（2）0.5；3， 4， 5或 4，3， 5
（3）解：当，则或 4，不合题意；
当 则或10，符合题意；
当 则或3，符合题意；
综上所述：a的值为6或10或9或3．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；解含绝对值符号的一元一次方程；有理数的加法；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）因为，
所以数列 5， 4，3的最佳值为2．
故答案为：2；
（2）对于数列 5， 4，3，因为，所以数列 5， 4，3，的最佳值为2；
对于数列 5，3， 4，因为，所以数列 5，3， 4的最佳值为1；
对于数列3， 5， 4，因为所以数列3， 5， 4的最佳值为1；
对于数列3， 4， 5，因为所以数列3， 4， 5的最佳值为0.5；
对于数列 4， 5，3，因为所以数列 4， 5，3的最佳值为2；
对于数列 4，3， 5，因为所以数列 4，3， 5的最佳值为0.5；
∴数列的最佳值的最小值为0.5，
数列可以为：3， 4， 5或 4，3， 5，
故答案为：3， 4， 5或 4，3， 5；
【分析】（1）分别求出|x1|、、的值， 进而可得最佳值；
（2）根据最佳值的概念分别求出数列 5、 4、3；-5、3、 4；3、-5、-4；3，-4，-5；-4、-5、3；-4、3、-5的最佳值，据此解答；
（3）分、 、 ，求出a的值，然后结合a>1进行取舍.
1 / 12023年中考数学探究性试题复习8 一元一次方程
一、填空题
1．（2023七上·玉林期末）一般情况下＋＝不成立，但有数可以使得它成立.例如a＝b＝0.我们称使得＋＝ 成立的一对数a、b为“相伴数对”，记为（a，b）.若（a，2）为“相伴数对”，则a的值为 .
【答案】
【知识点】定义新运算；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题中的新定义得：＋＝，
去分母得：15a+20=6a+12，
解得：a=-.
故答案为：-.
【分析】根据定义的新运算可得＋＝，求解可得a的值.
2．（2023七上·益阳期末）对于任意四个有理数可以组成两个有理数对与.我们规定： .例如： .当满足等式时，的值为 .
【答案】9
【知识点】定义新运算；解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意可知：
所以
所以
所以
所以
故答案为9.
【分析】根据定义的新运算可得(-7，2x-1)★(-2，x)=(2x-1)×(-2)-(-7)x=29，求解即可.
3．（2023七上·通川期末）在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程．方程与方程 填“是”或“不是”同解方程；若关于的两个方程与是同解方程， ；若关于的两个方程与是同解方程， ．
【答案】是；1；-7
【知识点】一元一次方程的解；利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）解2x-1=3得x=2，解x+5=3x+1得x=2，
∴ 这两个方程是同解方程，
故答案为：是；
（2）解2x=4得x=2，
∵方程2x=4与关于x的方程mx=m+1是同解方程，
∴x=2是关于x的方程mx=m+1的解，
∴2m=m+1，
解得m=1；
故答案为：1；
（3）解关于x的方程2x=a+1得，解关于x的方程3x-a=-2得，
∵关于x的方程2x=a+1得与3x-a=-2是同解方程，
∴，解得a=-7，
故答案为：-7.
【分析】（1）根据解一元一次方程的一般步骤分别解出两个方程的解，进而根据同解方程的定义进行判定即可；
（2）根据解一元一次方程的步骤求出第一个方程的解，根据两个方程是同解方程，将x的值代入第二个方程可得关于字母m的方程，求解即可得出m的值；
（3）根据解一元一次方程的一般步骤分别解出两个关于x的方程的解，根据两个方程是同解方程可得关于字母a的方程，求解即可得出a的值.
二、综合题
4．（2022七上·赵县期末）定义：若a+b=2，则称a与b是关于2的平衡数．
（1）3与 是关于2的平衡数，7-x与 是关于2的平衡数． (填一个含x的代数式)
（2）若a=x2-4x-1，b=x2-2(x2-2x-1)+1，判断a与b是否是关于2的平衡数，并说明理由．
（3）若c=kx+1，d=x-3，且c与d是关于2的平衡数，若x为正整数，求非负整数k的值．
【答案】（1）-1；x-5
（2）解：a与b是关于2的平衡数，
理由：∵a=x2-4x-1， b=x2-2 (x2- 2x-1) +1，
∴a+b
= (x2-4x-1)+[x2-2(x2-2x-1)+1]
=x2-4x-1+x2-2(x2-2x-1) +1
=x2-4x- 1+x2- 2x2+4x+2+1
=2，
∴a与b是关于2的平衡数：
（3）解：∵c=kx+1， d=x-3，且c与d是关于2的平衡数，
∴c+d=2，
∴kx+1+x- 3=2，
∴(k+1)x=4，
∵x为正整数，
∴当x=1时，k+1=4，得k=3，
当x=2时，k+1=2，得k=1，
当x=4时，k+1=1，得k=0，
∴非负整数k的值为0或1或3．
【知识点】定义新运算；合并同类项法则及应用；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】(1) ∵2-3= - 1，
∴3与-1是关于2的平衡数，
∵2- (7-x)=2- 7+x=x- 5，
∴7-x与x-5是关于2的平衡数，
故答案为：-1，x-5；
【分析】（1）根据平衡数的定义，可以计算出3的平衡数和7-x的平衡数；
（2）将a和b相加，化简，看最后的结果是否为2即可；
（3）根据c＝kx+1，d＝x-3，且c与d是关于2的平衡数，可以得到k和x的关系，然后利用分类讨论的方法，可以得到当x为正整数时，非负整数k的值。
5．（2023七下·义乌开学考）给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，依此类推，第n个数记为（n为正整数），如下面这列数2，4，6，8，10中，，，，，.规定运算.即从这列数的第一个数开始依次加到第n个数，如在上面的一列数中，.
（1）已知一列数1，，3，，5，，7，，9，，则 ， .
（2）已知这列数1，，3，，5，，7，，9，，…，按照规律可以无限写下去，则 ， .
（3）在（2）的条件下否存在正整数n使等式成立？如果有，写出n的值，如果没有，说明理由.
【答案】（1）3；-5
（2）-2022；-1011
（3）解：在（2）的条件下存在正整数n使等式成立，
当n为奇数时，，解得，，
当n为偶数时，，解得，.
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；探索数与式的规律；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）；
；
（2）；
；
【分析】（1）由数列可得a3=3，然后求和即可得到sum(a1：a10)；
（2）观察可得a2022=-2022，则sum(a1：a2018)=1+(-2)+3+(-4)+……+2021+(-2022)，据此计算；
（3）分n为奇数、偶数，表示出sum(a1：an)，然后结合|sum(a1：an)|=2022进行计算即可.
6．（2023七上·武义期末）已知一列，数，，，…，具有以下规律：，.
例：若，则，，
，，
，…
请认真阅读上面的运算推理过程，完成下面问题.
（1）若，求下列两个问题.
① ， .
②在数轴上点A所表示的数为，点B所表示的数为，求线段AB的长.
（2）已知，求的值.
【答案】（1）解：①-2；-6；②②，
∴，
即线段AB的长4；
（2）解：由题意，，，
∵，
∴，
当即时，
，解得；
当时，
，等式不成立，即不存在；
当时，，解得，
综上，或.
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；两点间的距离；定义新运算
【解析】【解答】（1）解：①∵，
∴，
，
，
，
，
，
故答案为：-2，-6；
【分析】（1）①根据定义的新运算进行计算；
②a9=a2×4+1=a4=-6，然后根据两点间距离公式进行计算；
（2）由题意得a9=a2×4+1=a4=3a0，a13=a2×6+1=a6=3a0，则原方程可化为|3a0-3|+|3a0+2|=8，然后分a0<、≤a0<1、a0≥1进行计算.
7．（2023七上·长兴期末）阅读材料：
我们定义：如果两个实数的和等于这两个实数的积，那么这两个实数就叫做“和积等数对”，即：如果，那么a与b就叫做“和积等数对”，记为.
例如：，，，
则称数对，，是“和积等数对”.
根据上述材料，解决下列问题：
（1）下列数对中，“和积等数对”是 填序号；
①； ②； ③.
（2）如果是“和积等数对”，请求出x的值；
（3）如果是“和积等数对”，那么m= （用含的代数式表示）.
【答案】（1）②
（2）解：由题意得：，
解得；
（3）
【知识点】定义新运算；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）①，，
，
不是“和积等数对”；
②，，
，
是“和积等数对”；
③，，
，
不是“和积等数对”；
故答案为：②；
（3）由题意得：，
解得，
故答案为：.
【分析】（1）直接根据“和积等数对”的概念进行判断；
（2）由题意可得x+4=4x，求解即可；
（3）由题意得m+n=mn，然后表示出m即可.
8．（2023七上·宁海期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴时，我们发现有许多重要的规律：若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离，线段AB的中点表示的数为．
【知识应用】
如图，在数轴上，点A表示的数为5，点B表示的数为3，点C表示的数为－2，点P从点C出发，以每秒2个单位沿数轴向右匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0），根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：
①A，C两点之间的距离 ，线段BC的中点表示的数为 ．
②用含t的代数式表示：t秒后点P表示的数为 ．
（2）若点M为PA的中点，当t为何值时，．
（3）【拓展提升】
在数轴上，点D表示的数为9，点E表示的数为6，点F表示的数为－4，点G从点D，点H从点E同时出发，分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度沿数轴的负方向运动，且当它们各自到达点F时停止运动，设运动时间为t秒，线段GH的中点为点K，当t为何值时，．
【答案】（1）7；；-2+2t
（2）解：M：
∵
∴ 即
∴
解得 t=2 或 t=1，
所以 点M为PA的中点 ，当 t=2 或 t=1， ；
（3）解：①当0≤t≤5时，运动t秒后，点G表示的数为9 t，点H表示的数为6 2t，
K点表示
∵HK=3
∴ ，
解得
②当5≤t≤13时，运动t秒后，点G表示的数为9 t，点H表示的数为 4，
M点表示
∵HK=3
∴ ，
解得
综上所述，当t=3或t=7时，HK=3．
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；解含绝对值符号的一元一次方程；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）①∵ 点A表示的数为5，点B表示的数为3，点C表示的数为－2，
∴A，C两点之间的距离为：；
线段BC的中点表示的数为 ：；
故答案为：7，；
② t秒后点P表示的数为 -2+2t；
故答案为：-2+2t；
【分析】（1）①根据题干中给出的数轴上任意两点间的距离计算方法及线段中点的计算方法分别列式计算即可；② 根据点P的运动方向和运动速度，结合点C表示的数即可得到结果；
（2）根据线段中点公式可得点M表示为，根据两点间的距离公式列出方程，求解即可；
（3）分两种情况：①当0≤t≤5时，运动t秒后，点G表示的数为9 t，点H表示的数为6 2t，则点K表示的数为，根据HK＝3列出方程，求出t值；②当5≤t≤13时，运动t秒后，点G表示的数为9 t，点H表示的数为 4，则点K表示的数为，根据HK＝3列出方程，求出t值即可得到结果．
9．（2023七下·开福开学考）定义：对于一个有理数x，我们把[x]称作x的“牛牛”数；“牛牛”数的作用：
若x＞0，则[x]＝x﹣2；若x＜0，则[x]＝x+2，规定[0]＝0
例：[1]＝1﹣2＝﹣1，[﹣2]＝﹣2+2＝0．
（1）求[]，[﹣1]的值；
（2）已知有理数a＞0，b＜0，且满足[a]＝[b]，试求代数式（b﹣a）3﹣4a+4b的值．
（3）解方程：[2x]+[x+1]＝1．
【答案】（1）解：[]＝﹣2＝﹣，
[﹣1]＝﹣1+2＝1；
（2）解：a＞0，b＜0，[a]＝[b]，即a﹣2＝b+2，解得：a﹣b＝4，则b-a=-4，
故（b﹣a）3﹣4a+4b
＝（b﹣a）3-4（a﹣b）
＝（﹣4）3﹣16
＝﹣80；
（3）解：当x≥0时，方程为：2x﹣2+x+1﹣2＝1，
解得：x＝，
当﹣1≤x＜0时，方程为：2x+2+x+1﹣2＝1，
解得：x＝0（舍弃），
当x＜﹣1时，方程为：2x+2+x+1+2＝1，
解得：x＝﹣．
故方程的解为：x＝．
【知识点】代数式求值；定义新运算；有理数混合运算法则（含乘方）；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据题干给出的例子，模仿计算即可得出答案；
（2）根据题干给出的“牛牛”数的定义结合[a]＝[b]可得方程a﹣2＝b+2，变形得a﹣b＝4，则b-a=-4，进而将待求式子变形为（b﹣a）3-4（a﹣b）整体代入即可算出答案；
（3）分当x≥0时，当﹣1≤x＜0时，当x＜﹣1时三种情况，分别根据“牛牛”数的定义化简方程，求解并检验即可得出答案.
10．（2023七上·义乌期末）已知为不相等的实数，且均不为，现定义有序实数对的“真诚值”为：，如数对的“真诚值”为：，数对的“真诚值”为：.
（1）根据上述的定义填空： ， ；
（2）数对的“真诚值”，求的值.
【答案】（1）32；9
（2）解：当时，，解得，；
当时，，则，
∴，
∵，
∴；
综上所述，当时，或.
【知识点】有理数的乘方法则；有理数混合运算法则（含乘方）；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】（1）解：，，
故答案为：32；9；
【分析】（1）根据题干提供的解题方法列出算式，进而根据含乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算即可；
（2）分a＞2与a＜2两种情况，根据题干提供的信息分别列出方程，求解再检验即可得出答案.
11．（2022七上·平谷期末）如果两个方程的解相差k，且k为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“k—后移方程”．
例如：方程的解是，方程的解是
所以：方程是方程的“2—后移方程”．
（1）判断方程是否为方程的k—后移方程 （填“是”或“否”）；
（2）若关于x的方程是关于 x 的方程的“2—后移方程”，求n的值
（3）当时，如果方程是方程的“3—后移方程”求代数式的值．
【答案】（1）是
（2）解：解方程，得，
解方程，得，
∵关于x的方程是关于x的方程的“2—后移方程”，
∴，
∴；
（3）解：解方程，得，
解方程，得，
∵方程是方程的“3—后移方程”，
∴，
∴，
把代入，
∴原式
．
【知识点】解一元一次方程；定义新运算
【解析】【解答】（1）解：解方程，得，
解方程，得，
∵，
∴方程是方程的1—后移方程；
【分析】（1）先求出方程的解，再根据“k—后移方程”的定义求解即可；
（2）先求出方程的解，再根据“2—后移方程”的定义可得，再求出即可；
（3）先求出方程的解，再根据“3—后移方程”的定义可得，求出，再将其代入计算即可。
12．（2023七上·通川期末）阅读下面的材料：我们知道，在数轴上，表示有理数对应的点到原点的距离，同样的道理，表示有理数对应的点到有理数2对应的点的距离，例如，，表示数轴上有理数5对应的点到有理数2对应的点的距离是3．
请根据上面的材料解答下列问题：
（1）请用上面的方法计算数轴上有理数-9对应的点到有理数3对应的点的距离；
（2）填空：表示与理数对应的点与有理数 对应的点的距离；如果，那么有理数的值是 ；
（3）填空：如果，那么有理数的值是 ．
（4）是否存在有理数，使等式的结果等于4？如果存在，请直接写出的值；如果不存在，请说明原因．
【答案】（1）解：数轴上有理数-9对应的点到有理数3对应的点的距离为 ；
（2）1；4或-2
（3）0或7
（4）解：不存在，因为此等式表示数轴上有理数 所在点到有理数1和6所在点的距离之和，距离之和最小为5，因此不存在满足题意的有理数 ．
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：（2） 表示与理数 对应的点与有理数1对应的点的距离；
，
，
解得 或-2．
故答案为：1，4或-2；
（3）当 时，
依题意有 ，
解得 ；
当 时，
依题意有 ，
方程无解；
当 时，
依题意有 ，
解得 ．
故答案为：0或7；
【分析】（1）根据题干给出的例子计算即可；
（2）根据题干给出的例子即可得出第一空的答案；根据绝对值的性质化简可得两个关于未知数a的方程，分别求解即可；
（3）分类讨论：①当a＜1时，②当1≤a≤6时，③当a＞6时，分别根据绝对值的性质化简，再解字母a的方程即可得出答案；
（4）只有当数轴上表示数字a的点在表示数字1与6的点之间时，即当1≤a≤6时，有理数a所在点到有理数1和6所在点的距离之和最小为5，据此判断即可得出答案.
13．（2023七上·拱墅期末）数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）来表示.例如：f（x）＝x2+x﹣1，当x＝a时.多项式的值用f（a）来表示，即f（a）＝a2+a﹣1.当x＝3时，f（3）＝32+3﹣1＝11.
（1）已知f（x）＝x2﹣2x+3，求f（1）的值.
（2）已知f（x）＝mx2﹣2x﹣m，当f（﹣3）＝m﹣1时，求m的值.
（3）已知f（x）＝kx2﹣ax﹣bk（a.b为常数），对于任意有理数k，总有f（﹣2）＝﹣2，求a，b的值.
【答案】（1）解：当x＝1时，f（1）＝1﹣2+3＝2；
（2）解：当x＝﹣3时，f（﹣3）＝mx2﹣2x﹣m＝9m+6﹣m＝m﹣1，
∴m＝﹣1；
（3）解：当x＝﹣2时，f（﹣2）＝kx2﹣ax﹣bk＝4k+2a﹣bk＝﹣2，
∴（4﹣b）k+2a＝﹣2，
∵k为任意有理数，
∴4﹣b＝0，2a＝﹣2，
∴a＝﹣1，b＝4.
【知识点】代数式求值；多项式的项和次数；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【分析】（1）把x=1代入x2-2x+3，按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序算出答案；
（2）把x=-3代入mx2-2x-m得mx2﹣2x﹣m＝9m+6﹣m，再结合x=-3时mx2-2x-m=m-1，可列出方程，求解可得m的值；
（3）把x=-2代入kx2﹣ax﹣bk得kx2﹣ax﹣bk＝4k+2a﹣bk ，结合x=-2时， kx2﹣ax﹣bk＝-2 ，建立方程得 （4﹣b）k+2a＝﹣2， 由“ k为任意有理数时”该式子的值都是-2，从而可得关于k的项的系数为0，据此求出a、b的值.
14．（2022七上·凤凰月考）阅读理解：在解形如这类含有绝对值的方程时，
解法一：我们可以运用整体思想来解.移项得，，
，，或.
解法二：运用分类讨论的思想，根据绝对值的意义分和两种情况讨论：
①当时，原方程可化为，解得，符合；
②当时，原方程可化为，解得，符合.
原方程的解为或.
解题回顾：本解法中2为的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了和两部分，所以分和两种情况讨论.
问题：结合上面阅读材料，解下列方程：
（1）解方程：
（2）解方程：
【答案】（1）解：移项得，
合并得，
两边同时除以得，
所以，
所以或；
（2）解：当时，原方程可化为，解得，符合；
当时，原方程可化为，解得，符合；
当时，原方程可化为，解得，不符合.
所以原方程的解为或.
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【分析】（1）利用题干解法一中的整体思想，首先移项，把含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，再合并同类项，接着将未知数项的系数化为1，进而根据绝对值的性质去掉绝对值符号得出两个一元一次方程，求解即可；
（2）利用题干解法二中的零点思想，分类讨论：①当x≤-1时，②当-1＜x≤2时，③当x＞2时，分别根据绝对值的性质化简，再求解即可.
15．（2022七上·凤凰月考）定义：若整数k的值使关于x的方程的解为整数，则称k为此方程的“友好系数”.
（1）判断当时是否为方程的“友好系数”，写出判断过程；
（2）方程“友好系数”的个数是有限个数，还是无穷多？如果是有限个数，求出此方程的所有“友好系数”；如果是无穷多，说明理由.
【答案】（1）解：当时，原方程化为：，
整理得：，
解得：，
即当时，方程的解为整数.
根据新定义可得：是方程的“友好系数”；
（2）解：方程“友好系数”个数是有限的，理由如下，
，
去分母得：，
整理得：，
方程的解为：，
当，，，时，满足方程的解x为整数，
此时k的值为：1，0，，，2，-1，，，
经检验，取上述k的值，均不为0，
其中k为整数才称为“友好系数”，所以k的值为：1，0，2，-1.
所以方程“友好系数”的个数是有限个，
分别为1，0，2，-1.
【知识点】定义新运算；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）将k=1代入方程，然后按解含分数系数的一元一次方程的步骤解出方程的解，进而根据 “友好系数” 的定义判断即可；
（2）将k看成字母系数，按解含分数系数的一元一次方程的步骤解出关于未知数x的方程的解，进而根据“友好系数” 的定义该方程的解为整数，且k也是整数，即可判断得出答案.
16．（2022七上·浉河月考）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”.例如：方程和为“美好方程”.
（1）方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由；
（2）若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；
（3）若关于x方程与是“美好方程”，求n的值.
【答案】（1）解：是，理由如下：
由解得；
由解得：.
方程与方程是“美好方程”.
（2）解：由解得；
由解得.
方程与方程是“美好方程”
，
解得.
（3）解：由解得；
由解得；
∵关于x方程与是“美好方程”
∴，
解得.
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤分别解出两个方程，进而根据两方程的解的和是否等于1即可判断得出结论；
（2）根据解一元一次方程的步骤分别解出两个关于未知数x的方程，根据“美好方程”的定义列出关于字母m的方程，求解即可得出m的值；
（3）根据解一元一次方程的步骤分别解出两个关于未知数x的方程，根据“美好方程”的定义列出关于字母n的方程，求解即可得出n的值.
17．（2022七上·荣县月考）数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号来表示，例如，并把x等于某数时多项式的值用f（某数）来表示，例如时多项式的值记为.
（1）若，①求的值；②若，求x的值
（2）若，，试探究的最小值，并指出此时x的取值范围.
【答案】（1）解：①∵，
∴；
②∵，
∴，
解得：，
即值为5；
（2）解：∵，，
∴，
当时，，
当时，，
当时，，
即最小值为5，此时x的取值范围为：.
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；定义新运算；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【分析】（1）①将x=-1代入函数解析式，可求出对应f（-1）的值；②利用 ，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
（2）将 ，代入可得到，；分情况讨论：当x＜-3时；当-3≤x≤2时；当x＞2时，分别利用绝对值的性质进行化简，可得到最小值及x的取值范围.
18．（2022七上·大竹期末）探究题：阅读下列材料，规定一种运，例如，再如，按照这种运算的规定，请解答下列问题：
（1） .（只填结果）；
（2）若，求x的值.（写出解题过程）
【答案】（1）7
（2）解：
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；定义新运算；解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】（1）解：
故答案为：7；
【分析】（1）根据定义的新运算法则列出算式，进而根据有理数的加减乘除混合运算的运算顺序算出答案；
（2）根据定义的新运算法则列出方程，然后根据解方程的步骤：先去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可.
19．（2022·义乌期中）东东在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序数：x1，x2，x3，称为数列x1，x2，x3，计算|x1|，，，将这三个数的最小值称为数列x1，x2，x3的最佳值．例如对于数列2， 1，3，因为，=，=，所以数列2， 1，3的最佳值为．
东东进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳值．如数列 1，2，3的最佳值为；数列3， 1，2的最佳值为1；…，经过研究，东东发现，对于“2， 1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，最佳值的最小值为．根据以上材料，回答下列问题：
（1）数列 5， 4，3的最佳值为
（2）将“ 5， 4，3”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的最佳值的最小值为 ，取得最佳值最小值的数列为 （写出一个即可）；
（3）将2，-8，a（a>1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的最佳值的最小值为1，求a的值．
【答案】（1）2
（2）0.5；3， 4， 5或 4，3， 5
（3）解：当，则或 4，不合题意；
当 则或10，符合题意；
当 则或3，符合题意；
综上所述：a的值为6或10或9或3．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；解含绝对值符号的一元一次方程；有理数的加法；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）因为，
所以数列 5， 4，3的最佳值为2．
故答案为：2；
（2）对于数列 5， 4，3，因为，所以数列 5， 4，3，的最佳值为2；
对于数列 5，3， 4，因为，所以数列 5，3， 4的最佳值为1；
对于数列3， 5， 4，因为所以数列3， 5， 4的最佳值为1；
对于数列3， 4， 5，因为所以数列3， 4， 5的最佳值为0.5；
对于数列 4， 5，3，因为所以数列 4， 5，3的最佳值为2；
对于数列 4，3， 5，因为所以数列 4，3， 5的最佳值为0.5；
∴数列的最佳值的最小值为0.5，
数列可以为：3， 4， 5或 4，3， 5，
故答案为：3， 4， 5或 4，3， 5；
【分析】（1）分别求出|x1|、、的值， 进而可得最佳值；
（2）根据最佳值的概念分别求出数列 5、 4、3；-5、3、 4；3、-5、-4；3，-4，-5；-4、-5、3；-4、3、-5的最佳值，据此解答；
（3）分、 、 ，求出a的值，然后结合a>1进行取舍.
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