登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
2023年中考数学探究性试题复习9 二元一次方程组
一、综合题
1．（2023七下·福州期中）当，都是实数，且满足时，我们称为巧妙点.
（1）若是巧妙点，则 ，巧妙点A（ ，5）；
（2）判断点是否为巧妙点，并说明理由.
（3）已知关于，的方程组，当为何值吋，以方程组的解为坐标的点是巧妙点？
2．（）已知关于x，y的方程
.
（1）当 和 时，所得方程组成的：方程组是 它的解是 .
（2）当
和
时，求所得方程组成的方程组，并求出该方程组的解.
（3）猜想：无论 取何值，关于x，y的方程 一定有一个解是 .
（4）猜想：无论 取何值，关于x，y的方程 一定有一个解是 .
3．对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”.
（1）方程组的解与 项“具有”或“不具有”“邻好关系”；
（2）若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值；
（3）未知数为，的方程组，其中与，都是正整数，该方程组的解与是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由.
（4）【拓展】若一个关于的方程的解为，则称之为“成章方程”如：的解为，而；的解为，而.
请直接写出关于的“成章方程”的解：.
若关于的方程为“成章方程”，请直接写出关于的方程的解：.
4．（2023七下·福州期中）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：解方程组时，由于的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误.而采用下面的解法则比较简单：
①-②得，所以③
③-①得，
解得，从而
所以原方程组的解是.
（1）请你运用上述方法解方程组：
（2）猜测关于的方程组的解是什么？请从方程组的解的角度加以验证.
5．（2023七下·义乌月考）【方法体验】已知方程组求4037x+y的值.小明同学发现解此方程组代入求值很麻烦!后来他将两个方程直接相加便迅速解决了问题.请你体验一下这种快捷思路，写出具体解题过程：
【方法迁移】根据上面的体验，填空：
已知方程组，则3x+y–z= ▲ .
【探究升级】已知方程组.求–2x+y+4z的值.小明凑出“–2x+y+4z=2 （x+2y+3z）+（–1） （4x+3y+2z）=20–15=5”，虽然问题获得解决，但他觉得凑数字很辛苦!他问数学老师丁老师有没有不用凑数字的方法，丁老师提示道：假设–2x+y+4z=m （x+2y+3z）+n （4x+3y+2z），对照方程两边各项的系数可列出方程组，它的解就是你凑的数!
根据丁老师的提示，填空：2x+5y+8z= ▲ （x+2y+3z）+ ▲ （4x+3y+2z）.
【巩固运用】已知2a–b+kc=4，且a+3b+2c=–2，当k为 ▲ 时，8a+3b–2c为定值，此定值是 ▲ .（直接写出结果）
6．（2023·历下模拟）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”．例如：，因为，所以是“共生数”；，因为，所以不是“共生数”．
（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由：
（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记．求满足是偶数的所有共生数．
7．（2023·合川九上期末）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）.例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6.
（1）计算：F（243），F（617）；
（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值.
8．（22022七上·杭州月考）【方法感悟】阅读下面材料：
点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为.如图1，从数轴上看，若点A，B表示的分别是1，4则或；
若点A，B表示的数分别是，4则或；
若点A，B表示的数分别是，，则或．
【归纳】若点A，B表示的数分别是，则或．
【知识迁移】
（1）如图1，点A，B表示的数分别是，b且，则 ；
（2）如图2，点A，B表示的数分别是，，若把向左平移个单位，则点A与重合，若把向右平移个单位，则点B与70重合，那么 ， ；
（3）【拓展应用】
一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，请问村长爷爷现在到底是多少岁？美羊羊现在又是几岁？请写出解题思路.
（4）结合几何意义，求最小值.
9．（2022八上·长沙开学考）我们约定：若点P的坐标为（x，y），则把坐标为（kx+y，x﹣ky）的点Pk称为点P的“k阶益点”（其中k为正整数），例如：P2（2×3+4，3﹣2×4）即P2（10，﹣5）就是点P（3，4）的“2阶益点”
（1）已知点P3（﹣1，﹣7）是点P（x，y）的“3阶益点”，求点P的坐标；
（2）已知点P2是点P（t+1，2t）的“2阶益点”，将点先向右移动6个单位，再向下移动3个单位得到点Q，若点Q落在第四象限，求t的取值范围；
（3）已知点P（x，y）的“k阶益点”是Pk（3，﹣2），若x＜y＜2x，求符合要求的点P的坐标．
10．（2022八上·南宁开学考）【阅读理解】
在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化难为易．
（1）解方程组 解：（1）把②代入①得：解得：． 把代入②得：． 所以方程组的解为 （2）已知，求的值． 解：（2）得： 得；
（1）【类比迁移】若，则 ．
（2）运用整体代入的方法解方程组．
（3）【实际应用】“战疫情，我们在一起”，某公益组织计划为老年公寓捐赠一批防疫物资，已知打折前购买39瓶消毒液、12支测温枪、3套防护服共需2070元；打折后购买52瓶消毒液、16支测温枪、4套防护服共需2350元，比不打折时少花了多少钱？
11．（2022七下·万州期末）在解决“已知有理数x、y、z满足方程组，求的值”时，小华是这样分析与解答的．
解：由①得：③，由②得：④．
③＋④得：⑤．
当时，
即，解得．
∴①②，得．
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：
（1）若有理数a、b满足，求a、b的值；
（2）母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元．则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？
12．（2022七下·南充期末）阅读下列方程组的解法，然后解答相关问题：
解方程组时，若直接利用消元法解，那么运算比较繁杂，采用下列解法则轻而易举
解：①-②，得，即．③
②-③×24，得．
把代入③，解得．故原方程组的解是．
（1）请利用上述方法解方程组．
（2）猜想并写出关于x，y的方程组的解，并加以检验．
13．（2022七下·仪征期末）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的一个代数式的值．如以下问题：已知实数x、y满足，，求和的值．本题常规思路是将①，②联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案．常规思路计算量比较大，其实本题还可以仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则 ， ；
（2）试说明在关于x、y的方程组中，不论a取什么实数，的值始终不变；
（3）某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元，买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元？
14．（2022七下·海曙期末）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足 ①， ②，求 和 的值.
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由 可得 ，由 可得 .这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.
解决问题：
（1）已知二元一次方程组 ，则 ；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需 元.
（3）对于实数x、y，定义新运算： ，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知 ， ，那么 .
15．（2022七下·延津期末）阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得（、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知为5的倍数，从而，代入．所以的正整数解为．
（1）请你直接写出方程的正整数解 ；
（2）若为自然数，则求出满足条件的正整数的值；
（3）关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值．
答案解析部分
1．【答案】（1）5；6
（2）解：点不是巧妙点，理由如下，
依题意，，
解得：，
∵，
∴点不是巧妙点；
（3）解：∵，
解得：，
∵点是巧妙点，
∴，
即，
解得：.
【知识点】二元一次方程组的解；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）解：∵是巧妙点，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴巧妙点，
故答案为：，.
【分析】（1）根据巧妙点的定义求解即可；
（2）根据巧妙点的定义解答即可；
（3）解方程组可得，根据巧妙点的定义建立方程并解之即可.
2．【答案】（1）
（2）解：当 和 时，所得方程组为
①+②得3x=3
解得 ，
把 代入①，得 ，
则方程组的解为
（3）
（4）
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：(1)
②-①，得
，
把
代入①，得
，
则方程组的解为
故答案为
（3）将方程转化为k（x-1）=y-1
当x=1时，y-1=0
解之：y=1
∴ 无论
取何值，关于x，y的方程
一定有一个解是
故答案为：
.
（4）将方程转化为k（x-3）=y-4，
当x=3时y-4=0
解之：y=4
∴ 无论
取何值，关于x，y的方程
一定有一个解是
.
故答案为：
.
【分析】（1）将两方程相减可求出x的值，再求出y的值，可得到方程组的解.
（2）将k=1和k=-2分别代入方程，可得到关于x，y的方程组， 解方程组求出x，y的值.
（3）将方程转化为k（x-1）=y-1，将x=1代入可求出y的值，即可得到关于x，y的方程的一个解.
（4）将方程转化为k（x-3）=y-4，将x=3代入可求出y的值，即可得到关于x，y的方程的一个解.
3．【答案】（1）具有
（2）解：方程组，
得：，
解得：，
把代入得：，
则方程组的解为，
，
，
或
（3）解：方程两式相加得：，
，，均为正整数，
或或舍去或舍去，
在上面符合题意的两组解中，只有时，，
，方程组的解为
（4）解：y=4
【知识点】定义新运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）方程组，
得，
解得，
把代入得，
解得，
，
，
方程组的解，具有“邻好关系”；
故答案为：具有；
（4）∵关于的方程为“成章方程”，
方程的根为：.
把代入原方程得：
，
.
，
.
.
【分析】（1）利用第一个方程的2倍减去第二个方程可求出y的值，将y的值代入第二个方程中求出x的值，然后求出|x-y|的值，据此解答；
（2）将两个方程相加可得x，将x代入第一个方程中表示出y，据此可得方程组的解，由“邻好关系”的概念可得|x-y|=1，求解可得m的值；
（3）将两个方程相加可得(2+a)y=12，由a、x、y均为正整数可得a、x、y的值，然后结合|x-y|=1进行验证；
（4）由题意可得方程ax+b=0的根为x=b-a，将x=b-a代入原方程中可得(b-a)×a+b=0，化简可得a2-ab=b，关于y的方程可变形为by+2=by+y，则y=2，求解可得y的值.
4．【答案】（1）解：，得，
∴③，
，得，
解得
将代入③得，
∴原方程组的解为；
（2）解：猜测：方程组的解为，
检验：把代入①得，左边右边；
把代入②得，左边右边，
∴是原方程组的解.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用第二个方程减去第一个方程可得x+y=1，则2018(x+y)=2018，减去第一个方程可求出x的值，将x的值代入x+y=1中求出y的值，据此可得方程组的解；
（2）根据（1）的过程可猜测x=-1、y=2，然后代入方程组中进行验证.
5．【答案】解：【方法体验】方法体验：
①+②得4037x+y=520；
【方法迁移】5；
【探究升级】；–；
【巩固运用】–.–2，8.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：方法迁移：将中的两个方程相减得到：–3x–y+z=–5，则3x+y–z=5.
故答案是：5；
探究升级：设2x+5y+8z=m（x+2y+3z）+n（4x+3y+2z）
由题意得：，解得：，
∴2x+5y+8z=（x+2y+3z）–（4x+3y+2z）
故答案为，–.
巩固运用：设8a+3b–2c=m（2a–b+kc）+n（a+3b+2c）
∴，解得，
∴8a+3b–2c=m（2a–b+kc）+n（a+3b+2c）=3×4+2×（–2）=8.
故答案为–2，8.
【分析】方法体验：将方程组中的两个方程相加即可；
方法迁移：将方程组中的两个方程相减可得–3x–y+z=–5，变形可得3x+y-z的值；
探究升级：设2x+5y+8z=m(x+2y+3z)+n(4x+3y+2z)，则m+4n=2、2m+3n=5、3m+2n=8，联立求出m、n的值，据此解答；
巩固运用：设8a+3b–2c=m(2a–b+kc)+n(a+3b+2c)，则2m+n=8、3n-m=3、2n+mk=-2，联立求出m、n、k的值，据此解答.
6．【答案】（1）解：
是“共生数”，
不是“共生数”．
（2）解：设“共生数”n的千位上的数字为 则十位上的数字为 设百位上的数字为 个位上的数字为
且为整数，
所以：
由“共生数”的定义可得：
百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除，
或或
当 则 则 不合题意，舍去，
当时，则
当时，
此时： ，不是偶数，舍去，
当时，
此时： ，是偶数，符合题意；
当时，
此时： 不是偶数，舍去，
当时，则
而则，不合题意，舍去，
综上：满足各数位上的数字之和是偶数的
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【分析】（1）根据“共生数”的定义逐一判断两个数即可；
（2） 设“共生数”n的千位上的数字为 则十位上的数字为 设百位上的数字为 个位上的数字为 且为整数，再由“共生数”的定义可得
由题意可知 或或 当 则 则 不合题意，舍去，当时，则 则 当时，则 结合方程的正整数解分类讨论可得答案。
7．【答案】（1）解：F（243）=（423+342+234）÷111=9；
F（617）=（167+716+671）÷111=14.
（2）解：∵s，t都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y，
∴F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷111=y+6.
∵F（t）+F（s）=18，
∴x+5+y+6=x+y+11=18，
∴x+y=7.
∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数，
∴或或或或或.
∵s是“相异数”，
∴x≠2，x≠3.
∵t是“相异数”，
∴y≠1，y≠5.
∴或或，
∴或或，
∴或或，
∴k的最大值为.
【知识点】有理数的加减乘除混合运算；二元一次方程的解；定义新运算
【解析】【分析】（1）直接根据定义的新运算进行计算；
（2）根据定义的新运算可得F(s)=x+5，F(t)=y+6，结合F(s)+F(t)=18可得x+y=7，根据x、y的范围结合x、y为正整数可得x、y的值，然后求出F(s)、F(t)，进而求出k的值，据此可得k的最大值.
8．【答案】（1）或
（2） 10；30
（3）解：设美羊羊现在x岁为数轴上的一个点，现在爷爷年龄y岁为数轴上的一个点，40年前在数轴上表示的数为，村长爷爷116岁时，在数轴行的点表示的数为116，村长爷爷与美羊羊的年龄差为m，根据题意得：
，，，
∴，
∴，
，
答：村长爷爷现在64岁，美羊羊现在12岁．
（4）解：∵表示数轴上表示x的点与表示数1、2、3、4、5的距离和，
∴当时，的值最小，
∴，
∴的最小值为6
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；三元一次方程组解法及应用；两点间的距离
【解析】【解答】解：（1）∵点A，B表示的数分别是，b，
∴，
解得或，
故答案为：或；
（2）∵把向左平移个单位，则点A与重合，若把向右平移个单位，则点B与70重合，
∴把向右平移个单位得到，把向右平移个单位得到，向右平移个单位得到70，
∴，
∴，，
故答案为： 10，30；
【分析】（1）根据两点间的距离公式可得AB=，解方程即可；
（2）由题意知把向右平移个单位得到，把向右平移个单位得到，向右平移个单位得到70，可得 =40，利用两点间的距离求解即可；
（3） 设美羊羊现在x岁为数轴上的一个点，现在爷爷年龄y岁为数轴上的一个点，40年前在数轴上表示的数为，村长爷爷116岁时，在数轴行的点表示的数为116，村长爷爷与美羊羊的年龄差为m， 由题意可得解方程组即可；
（4）由绝对值的几何意义可知当时原式的值最小，据此解答即可.
9．【答案】（1）解：由题意，解得，，
∴P（﹣1，2）；
（2）解：由题意，，
解得，t＞﹣；
（3）解：由题意，，
解得，，
∵x＜y＜2x，
∴＜＜，
解得，＜k＜5，
∵k是正整数，
∴K＝2或3或4，
∴或或，
∴满足条件的点P的坐标为（，）或（，）或（，）．
【知识点】解一元一次不等式组；定义新运算；点的坐标与象限的关系；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据“k阶益点”的概念结合题意可得，求出x、y的值，进而可得点P的坐标；
（2）根据平移规律、“2阶益点” 的概念、结合第四象限内点的坐标特征可得，联立求解可得t的范围；
（3）根据“k阶益点”的概念可得，表示出x、y，根据x＜y＜2x可得k的范围，由k是正整数可得k的值，进而可得x、y的值，据此可得满足条件的点P的坐标.
10．【答案】（1）23
（2）解：由①可得：，
把③代入②得：，
解得：，
方程组的解为；
（3）解：设打折前消毒液、测温枪和防护服的单价为元，元，元，
打折后消毒液、测温枪和防护服的单价为元，元，元，
则、、分别为每瓶消毒液、每支额温枪、每套防护服少花的钱，
由题意可得，
，
，得：
，
得：
，
左右两边乘得，
，
比不打折时少花了410元．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：（1），
得：．
故答案为：23；
【分析】（1）将两个方程相加，然后除以2可得2x+3y+4z的值；
（2）由①可得2x-y=5，代入②中可得y的值，将y的值代入2x-y=5中可得x的值，据此可得方程组的解；
（3）设打折前消毒液、测温枪和防护服的单价为x元，y元，z元，打折后消毒液、测温枪和防护服的单价为a元，b元，c元，根据题意可得关于xyz、abc的方程组，化简可得52(x-a)+16(y-b)+4(z-c)的值，据此解答.
11．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，解得；
（2）解：设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元，
由题意得，求的值．
设①得：③
②得：④
③＋④得：⑤
当时，
即，解得，
∴，
答：购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需12元．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（1）把等号左边去括号，合并关于x、y、z的同类项，可以得到关于a、b的二元一次方程组，解这个方程组即可；
（2） 设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元 ，根据“ 购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元 ”列出方程组，再按照小华的解法解答即可.
12．【答案】（1）解：
解①-②，得，即③
解②-③×11，得．
把代入③，
解得．
故这个方程组的解是．
（2）解：猜想方程组解是．
检验：把代入方程①的左边，左边，右边，
∴左边=右边，
∴方程①的解．
把代入方程②的左边，左边，右边，
∴左边=右边，
∴是方程②的解．
∴，是方程组的解．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）将方程组中的两个方程相减可得x+y的值，利用第二个方程减去x+y的11倍可得y的值，然后将y的值代入x+y中求出x的值，据此可得方程组的解；
（2）结合上述方程组的解的特点可猜想方程组的解为x=-1、y=2，将x=-1、y=2代入方程左边求出结果，然后进行检验即可.
13．【答案】（1）-1；3
（2）证明：
得：，
等式两边同时除以2得：，
得：，
等式两边同时除以2得：，
因此不论a取什么实数，的值始终不变．
（3）解：设铅笔、橡皮、笔记本的单价分别为x，y，z元，
由题意得，
得：，
等式两边同时乘以2得：，
得：，
故，
即购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需70元．
【知识点】三元一次方程组解法及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）
①－②得：，
得：，
等式两边同时除以3得：.
故答案为：－1；3；
【分析】（1）将方程组中的两个方程相减可得x-y的值，将两个方程相加并化简可得x+y的值；
（2）将两个方程相加并化简可得x-y，再加上第一个方程并化简可得x+y，据此判断；
（3） 铅笔、橡皮、笔记本的单价分别为x，y，z元，根据买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元可得3x+5y+z=21；根据买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元可得4x+7y+z=28，联立可得方程组，利用第二个方程减去第一个方程可得x+2y的值，然后求出2x+4y的值，减去第一个方程可得x+y+z的值，然后求出10x+10y+10z的值即可.
14．【答案】（1）－1
（2）30
（3）－11
【知识点】三元一次方程组解法及应用；定义新运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：(1) ，
①-②=（2x+y）-（x+2y）=7-8，
则x-y=-1，
故答案为：-1；
(2)设每支铅笔为x元，每块橡皮为y元，每本日记本为z元，
∴，
则①×2-②得x+y+z=6，
∴5x+5y+5z=30，
故答案为：30；
(3)∵ ，
∴ ①，②，
②-①得a+2b=13④，
∴5a+10b=65，
①+②得7a+12b+2c=43⑤，
⑤-④得2a+2b+2c=-22，
∴-11，
故答案为：-11.
【分析】(1) 直接进行整体加减即可求出结果；
(2)根据条件列出关于x、y、z的三元一次方程组，再进行整体加减运算即可解答；
(3)根据新定义的运算x*y=ax+by+c，得出两个关于a、b、c的三元一次方程组，利用整体法计算求出a+ b+ c的倍数的值，则可得到a+ b+ c的值.
15．【答案】（1）
（2）解：若为自然数，则的值为12，6，4，3，2，1，
则满足条件的正整数的值有16，10，8，7，6，5；
（3）解：，
：，
解得：，
∵，是正整数，是整数，
∴或3或9．或1或．
但时，不是正整数，故或．
【知识点】解二元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）解：由方程得，（、为正整数）．
要使为正整数，则为正整数，
可知：为3的倍数，从而，代入．
所以的正整数解为，
故答案为：；
【分析】（1）根据4x+3y=24可得y=8-，根据x、y为正整数可得为正整数，则x为3的倍数，据此解答；
（2）利用第一个方程的2倍减去第二个方程可得x，根据x、y为正整数可得4-k=3或9，据此求解.
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
2023年中考数学探究性试题复习9 二元一次方程组
一、综合题
1．（2023七下·福州期中）当，都是实数，且满足时，我们称为巧妙点.
（1）若是巧妙点，则 ，巧妙点A（ ，5）；
（2）判断点是否为巧妙点，并说明理由.
（3）已知关于，的方程组，当为何值吋，以方程组的解为坐标的点是巧妙点？
【答案】（1）5；6
（2）解：点不是巧妙点，理由如下，
依题意，，
解得：，
∵，
∴点不是巧妙点；
（3）解：∵，
解得：，
∵点是巧妙点，
∴，
即，
解得：.
【知识点】二元一次方程组的解；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）解：∵是巧妙点，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴巧妙点，
故答案为：，.
【分析】（1）根据巧妙点的定义求解即可；
（2）根据巧妙点的定义解答即可；
（3）解方程组可得，根据巧妙点的定义建立方程并解之即可.
2．（）已知关于x，y的方程
.
（1）当 和 时，所得方程组成的：方程组是 它的解是 .
（2）当
和
时，求所得方程组成的方程组，并求出该方程组的解.
（3）猜想：无论 取何值，关于x，y的方程 一定有一个解是 .
（4）猜想：无论 取何值，关于x，y的方程 一定有一个解是 .
【答案】（1）
（2）解：当 和 时，所得方程组为
①+②得3x=3
解得 ，
把 代入①，得 ，
则方程组的解为
（3）
（4）
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：(1)
②-①，得
，
把
代入①，得
，
则方程组的解为
故答案为
（3）将方程转化为k（x-1）=y-1
当x=1时，y-1=0
解之：y=1
∴ 无论
取何值，关于x，y的方程
一定有一个解是
故答案为：
.
（4）将方程转化为k（x-3）=y-4，
当x=3时y-4=0
解之：y=4
∴ 无论
取何值，关于x，y的方程
一定有一个解是
.
故答案为：
.
【分析】（1）将两方程相减可求出x的值，再求出y的值，可得到方程组的解.
（2）将k=1和k=-2分别代入方程，可得到关于x，y的方程组， 解方程组求出x，y的值.
（3）将方程转化为k（x-1）=y-1，将x=1代入可求出y的值，即可得到关于x，y的方程的一个解.
（4）将方程转化为k（x-3）=y-4，将x=3代入可求出y的值，即可得到关于x，y的方程的一个解.
3．对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”.
（1）方程组的解与 项“具有”或“不具有”“邻好关系”；
（2）若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值；
（3）未知数为，的方程组，其中与，都是正整数，该方程组的解与是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由.
（4）【拓展】若一个关于的方程的解为，则称之为“成章方程”如：的解为，而；的解为，而.
请直接写出关于的“成章方程”的解：.
若关于的方程为“成章方程”，请直接写出关于的方程的解：.
【答案】（1）具有
（2）解：方程组，
得：，
解得：，
把代入得：，
则方程组的解为，
，
，
或
（3）解：方程两式相加得：，
，，均为正整数，
或或舍去或舍去，
在上面符合题意的两组解中，只有时，，
，方程组的解为
（4）解：y=4
【知识点】定义新运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）方程组，
得，
解得，
把代入得，
解得，
，
，
方程组的解，具有“邻好关系”；
故答案为：具有；
（4）∵关于的方程为“成章方程”，
方程的根为：.
把代入原方程得：
，
.
，
.
.
【分析】（1）利用第一个方程的2倍减去第二个方程可求出y的值，将y的值代入第二个方程中求出x的值，然后求出|x-y|的值，据此解答；
（2）将两个方程相加可得x，将x代入第一个方程中表示出y，据此可得方程组的解，由“邻好关系”的概念可得|x-y|=1，求解可得m的值；
（3）将两个方程相加可得(2+a)y=12，由a、x、y均为正整数可得a、x、y的值，然后结合|x-y|=1进行验证；
（4）由题意可得方程ax+b=0的根为x=b-a，将x=b-a代入原方程中可得(b-a)×a+b=0，化简可得a2-ab=b，关于y的方程可变形为by+2=by+y，则y=2，求解可得y的值.
4．（2023七下·福州期中）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：解方程组时，由于的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误.而采用下面的解法则比较简单：
①-②得，所以③
③-①得，
解得，从而
所以原方程组的解是.
（1）请你运用上述方法解方程组：
（2）猜测关于的方程组的解是什么？请从方程组的解的角度加以验证.
【答案】（1）解：，得，
∴③，
，得，
解得
将代入③得，
∴原方程组的解为；
（2）解：猜测：方程组的解为，
检验：把代入①得，左边右边；
把代入②得，左边右边，
∴是原方程组的解.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用第二个方程减去第一个方程可得x+y=1，则2018(x+y)=2018，减去第一个方程可求出x的值，将x的值代入x+y=1中求出y的值，据此可得方程组的解；
（2）根据（1）的过程可猜测x=-1、y=2，然后代入方程组中进行验证.
5．（2023七下·义乌月考）【方法体验】已知方程组求4037x+y的值.小明同学发现解此方程组代入求值很麻烦!后来他将两个方程直接相加便迅速解决了问题.请你体验一下这种快捷思路，写出具体解题过程：
【方法迁移】根据上面的体验，填空：
已知方程组，则3x+y–z= ▲ .
【探究升级】已知方程组.求–2x+y+4z的值.小明凑出“–2x+y+4z=2 （x+2y+3z）+（–1） （4x+3y+2z）=20–15=5”，虽然问题获得解决，但他觉得凑数字很辛苦!他问数学老师丁老师有没有不用凑数字的方法，丁老师提示道：假设–2x+y+4z=m （x+2y+3z）+n （4x+3y+2z），对照方程两边各项的系数可列出方程组，它的解就是你凑的数!
根据丁老师的提示，填空：2x+5y+8z= ▲ （x+2y+3z）+ ▲ （4x+3y+2z）.
【巩固运用】已知2a–b+kc=4，且a+3b+2c=–2，当k为 ▲ 时，8a+3b–2c为定值，此定值是 ▲ .（直接写出结果）
【答案】解：【方法体验】方法体验：
①+②得4037x+y=520；
【方法迁移】5；
【探究升级】；–；
【巩固运用】–.–2，8.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：方法迁移：将中的两个方程相减得到：–3x–y+z=–5，则3x+y–z=5.
故答案是：5；
探究升级：设2x+5y+8z=m（x+2y+3z）+n（4x+3y+2z）
由题意得：，解得：，
∴2x+5y+8z=（x+2y+3z）–（4x+3y+2z）
故答案为，–.
巩固运用：设8a+3b–2c=m（2a–b+kc）+n（a+3b+2c）
∴，解得，
∴8a+3b–2c=m（2a–b+kc）+n（a+3b+2c）=3×4+2×（–2）=8.
故答案为–2，8.
【分析】方法体验：将方程组中的两个方程相加即可；
方法迁移：将方程组中的两个方程相减可得–3x–y+z=–5，变形可得3x+y-z的值；
探究升级：设2x+5y+8z=m(x+2y+3z)+n(4x+3y+2z)，则m+4n=2、2m+3n=5、3m+2n=8，联立求出m、n的值，据此解答；
巩固运用：设8a+3b–2c=m(2a–b+kc)+n(a+3b+2c)，则2m+n=8、3n-m=3、2n+mk=-2，联立求出m、n、k的值，据此解答.
6．（2023·历下模拟）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”．例如：，因为，所以是“共生数”；，因为，所以不是“共生数”．
（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由：
（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记．求满足是偶数的所有共生数．
【答案】（1）解：
是“共生数”，
不是“共生数”．
（2）解：设“共生数”n的千位上的数字为 则十位上的数字为 设百位上的数字为 个位上的数字为
且为整数，
所以：
由“共生数”的定义可得：
百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除，
或或
当 则 则 不合题意，舍去，
当时，则
当时，
此时： ，不是偶数，舍去，
当时，
此时： ，是偶数，符合题意；
当时，
此时： 不是偶数，舍去，
当时，则
而则，不合题意，舍去，
综上：满足各数位上的数字之和是偶数的
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【分析】（1）根据“共生数”的定义逐一判断两个数即可；
（2） 设“共生数”n的千位上的数字为 则十位上的数字为 设百位上的数字为 个位上的数字为 且为整数，再由“共生数”的定义可得
由题意可知 或或 当 则 则 不合题意，舍去，当时，则 则 当时，则 结合方程的正整数解分类讨论可得答案。
7．（2023·合川九上期末）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）.例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6.
（1）计算：F（243），F（617）；
（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值.
【答案】（1）解：F（243）=（423+342+234）÷111=9；
F（617）=（167+716+671）÷111=14.
（2）解：∵s，t都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y，
∴F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷111=y+6.
∵F（t）+F（s）=18，
∴x+5+y+6=x+y+11=18，
∴x+y=7.
∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数，
∴或或或或或.
∵s是“相异数”，
∴x≠2，x≠3.
∵t是“相异数”，
∴y≠1，y≠5.
∴或或，
∴或或，
∴或或，
∴k的最大值为.
【知识点】有理数的加减乘除混合运算；二元一次方程的解；定义新运算
【解析】【分析】（1）直接根据定义的新运算进行计算；
（2）根据定义的新运算可得F(s)=x+5，F(t)=y+6，结合F(s)+F(t)=18可得x+y=7，根据x、y的范围结合x、y为正整数可得x、y的值，然后求出F(s)、F(t)，进而求出k的值，据此可得k的最大值.
8．（22022七上·杭州月考）【方法感悟】阅读下面材料：
点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为.如图1，从数轴上看，若点A，B表示的分别是1，4则或；
若点A，B表示的数分别是，4则或；
若点A，B表示的数分别是，，则或．
【归纳】若点A，B表示的数分别是，则或．
【知识迁移】
（1）如图1，点A，B表示的数分别是，b且，则 ；
（2）如图2，点A，B表示的数分别是，，若把向左平移个单位，则点A与重合，若把向右平移个单位，则点B与70重合，那么 ， ；
（3）【拓展应用】
一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，请问村长爷爷现在到底是多少岁？美羊羊现在又是几岁？请写出解题思路.
（4）结合几何意义，求最小值.
【答案】（1）或
（2） 10；30
（3）解：设美羊羊现在x岁为数轴上的一个点，现在爷爷年龄y岁为数轴上的一个点，40年前在数轴上表示的数为，村长爷爷116岁时，在数轴行的点表示的数为116，村长爷爷与美羊羊的年龄差为m，根据题意得：
，，，
∴，
∴，
，
答：村长爷爷现在64岁，美羊羊现在12岁．
（4）解：∵表示数轴上表示x的点与表示数1、2、3、4、5的距离和，
∴当时，的值最小，
∴，
∴的最小值为6
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；三元一次方程组解法及应用；两点间的距离
【解析】【解答】解：（1）∵点A，B表示的数分别是，b，
∴，
解得或，
故答案为：或；
（2）∵把向左平移个单位，则点A与重合，若把向右平移个单位，则点B与70重合，
∴把向右平移个单位得到，把向右平移个单位得到，向右平移个单位得到70，
∴，
∴，，
故答案为： 10，30；
【分析】（1）根据两点间的距离公式可得AB=，解方程即可；
（2）由题意知把向右平移个单位得到，把向右平移个单位得到，向右平移个单位得到70，可得 =40，利用两点间的距离求解即可；
（3） 设美羊羊现在x岁为数轴上的一个点，现在爷爷年龄y岁为数轴上的一个点，40年前在数轴上表示的数为，村长爷爷116岁时，在数轴行的点表示的数为116，村长爷爷与美羊羊的年龄差为m， 由题意可得解方程组即可；
（4）由绝对值的几何意义可知当时原式的值最小，据此解答即可.
9．（2022八上·长沙开学考）我们约定：若点P的坐标为（x，y），则把坐标为（kx+y，x﹣ky）的点Pk称为点P的“k阶益点”（其中k为正整数），例如：P2（2×3+4，3﹣2×4）即P2（10，﹣5）就是点P（3，4）的“2阶益点”
（1）已知点P3（﹣1，﹣7）是点P（x，y）的“3阶益点”，求点P的坐标；
（2）已知点P2是点P（t+1，2t）的“2阶益点”，将点先向右移动6个单位，再向下移动3个单位得到点Q，若点Q落在第四象限，求t的取值范围；
（3）已知点P（x，y）的“k阶益点”是Pk（3，﹣2），若x＜y＜2x，求符合要求的点P的坐标．
【答案】（1）解：由题意，解得，，
∴P（﹣1，2）；
（2）解：由题意，，
解得，t＞﹣；
（3）解：由题意，，
解得，，
∵x＜y＜2x，
∴＜＜，
解得，＜k＜5，
∵k是正整数，
∴K＝2或3或4，
∴或或，
∴满足条件的点P的坐标为（，）或（，）或（，）．
【知识点】解一元一次不等式组；定义新运算；点的坐标与象限的关系；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据“k阶益点”的概念结合题意可得，求出x、y的值，进而可得点P的坐标；
（2）根据平移规律、“2阶益点” 的概念、结合第四象限内点的坐标特征可得，联立求解可得t的范围；
（3）根据“k阶益点”的概念可得，表示出x、y，根据x＜y＜2x可得k的范围，由k是正整数可得k的值，进而可得x、y的值，据此可得满足条件的点P的坐标.
10．（2022八上·南宁开学考）【阅读理解】
在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化难为易．
（1）解方程组 解：（1）把②代入①得：解得：． 把代入②得：． 所以方程组的解为 （2）已知，求的值． 解：（2）得： 得；
（1）【类比迁移】若，则 ．
（2）运用整体代入的方法解方程组．
（3）【实际应用】“战疫情，我们在一起”，某公益组织计划为老年公寓捐赠一批防疫物资，已知打折前购买39瓶消毒液、12支测温枪、3套防护服共需2070元；打折后购买52瓶消毒液、16支测温枪、4套防护服共需2350元，比不打折时少花了多少钱？
【答案】（1）23
（2）解：由①可得：，
把③代入②得：，
解得：，
方程组的解为；
（3）解：设打折前消毒液、测温枪和防护服的单价为元，元，元，
打折后消毒液、测温枪和防护服的单价为元，元，元，
则、、分别为每瓶消毒液、每支额温枪、每套防护服少花的钱，
由题意可得，
，
，得：
，
得：
，
左右两边乘得，
，
比不打折时少花了410元．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：（1），
得：．
故答案为：23；
【分析】（1）将两个方程相加，然后除以2可得2x+3y+4z的值；
（2）由①可得2x-y=5，代入②中可得y的值，将y的值代入2x-y=5中可得x的值，据此可得方程组的解；
（3）设打折前消毒液、测温枪和防护服的单价为x元，y元，z元，打折后消毒液、测温枪和防护服的单价为a元，b元，c元，根据题意可得关于xyz、abc的方程组，化简可得52(x-a)+16(y-b)+4(z-c)的值，据此解答.
11．（2022七下·万州期末）在解决“已知有理数x、y、z满足方程组，求的值”时，小华是这样分析与解答的．
解：由①得：③，由②得：④．
③＋④得：⑤．
当时，
即，解得．
∴①②，得．
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：
（1）若有理数a、b满足，求a、b的值；
（2）母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元．则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，解得；
（2）解：设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元，
由题意得，求的值．
设①得：③
②得：④
③＋④得：⑤
当时，
即，解得，
∴，
答：购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需12元．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（1）把等号左边去括号，合并关于x、y、z的同类项，可以得到关于a、b的二元一次方程组，解这个方程组即可；
（2） 设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元 ，根据“ 购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元 ”列出方程组，再按照小华的解法解答即可.
12．（2022七下·南充期末）阅读下列方程组的解法，然后解答相关问题：
解方程组时，若直接利用消元法解，那么运算比较繁杂，采用下列解法则轻而易举
解：①-②，得，即．③
②-③×24，得．
把代入③，解得．故原方程组的解是．
（1）请利用上述方法解方程组．
（2）猜想并写出关于x，y的方程组的解，并加以检验．
【答案】（1）解：
解①-②，得，即③
解②-③×11，得．
把代入③，
解得．
故这个方程组的解是．
（2）解：猜想方程组解是．
检验：把代入方程①的左边，左边，右边，
∴左边=右边，
∴方程①的解．
把代入方程②的左边，左边，右边，
∴左边=右边，
∴是方程②的解．
∴，是方程组的解．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）将方程组中的两个方程相减可得x+y的值，利用第二个方程减去x+y的11倍可得y的值，然后将y的值代入x+y中求出x的值，据此可得方程组的解；
（2）结合上述方程组的解的特点可猜想方程组的解为x=-1、y=2，将x=-1、y=2代入方程左边求出结果，然后进行检验即可.
13．（2022七下·仪征期末）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的一个代数式的值．如以下问题：已知实数x、y满足，，求和的值．本题常规思路是将①，②联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案．常规思路计算量比较大，其实本题还可以仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则 ， ；
（2）试说明在关于x、y的方程组中，不论a取什么实数，的值始终不变；
（3）某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元，买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元？
【答案】（1）-1；3
（2）证明：
得：，
等式两边同时除以2得：，
得：，
等式两边同时除以2得：，
因此不论a取什么实数，的值始终不变．
（3）解：设铅笔、橡皮、笔记本的单价分别为x，y，z元，
由题意得，
得：，
等式两边同时乘以2得：，
得：，
故，
即购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需70元．
【知识点】三元一次方程组解法及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）
①－②得：，
得：，
等式两边同时除以3得：.
故答案为：－1；3；
【分析】（1）将方程组中的两个方程相减可得x-y的值，将两个方程相加并化简可得x+y的值；
（2）将两个方程相加并化简可得x-y，再加上第一个方程并化简可得x+y，据此判断；
（3） 铅笔、橡皮、笔记本的单价分别为x，y，z元，根据买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元可得3x+5y+z=21；根据买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元可得4x+7y+z=28，联立可得方程组，利用第二个方程减去第一个方程可得x+2y的值，然后求出2x+4y的值，减去第一个方程可得x+y+z的值，然后求出10x+10y+10z的值即可.
14．（2022七下·海曙期末）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足 ①， ②，求 和 的值.
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由 可得 ，由 可得 .这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.
解决问题：
（1）已知二元一次方程组 ，则 ；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需 元.
（3）对于实数x、y，定义新运算： ，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知 ， ，那么 .
【答案】（1）－1
（2）30
（3）－11
【知识点】三元一次方程组解法及应用；定义新运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：(1) ，
①-②=（2x+y）-（x+2y）=7-8，
则x-y=-1，
故答案为：-1；
(2)设每支铅笔为x元，每块橡皮为y元，每本日记本为z元，
∴，
则①×2-②得x+y+z=6，
∴5x+5y+5z=30，
故答案为：30；
(3)∵ ，
∴ ①，②，
②-①得a+2b=13④，
∴5a+10b=65，
①+②得7a+12b+2c=43⑤，
⑤-④得2a+2b+2c=-22，
∴-11，
故答案为：-11.
【分析】(1) 直接进行整体加减即可求出结果；
(2)根据条件列出关于x、y、z的三元一次方程组，再进行整体加减运算即可解答；
(3)根据新定义的运算x*y=ax+by+c，得出两个关于a、b、c的三元一次方程组，利用整体法计算求出a+ b+ c的倍数的值，则可得到a+ b+ c的值.
15．（2022七下·延津期末）阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得（、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知为5的倍数，从而，代入．所以的正整数解为．
（1）请你直接写出方程的正整数解 ；
（2）若为自然数，则求出满足条件的正整数的值；
（3）关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值．
【答案】（1）
（2）解：若为自然数，则的值为12，6，4，3，2，1，
则满足条件的正整数的值有16，10，8，7，6，5；
（3）解：，
：，
解得：，
∵，是正整数，是整数，
∴或3或9．或1或．
但时，不是正整数，故或．
【知识点】解二元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）解：由方程得，（、为正整数）．
要使为正整数，则为正整数，
可知：为3的倍数，从而，代入．
所以的正整数解为，
故答案为：；
【分析】（1）根据4x+3y=24可得y=8-，根据x、y为正整数可得为正整数，则x为3的倍数，据此解答；
（2）利用第一个方程的2倍减去第二个方程可得x，根据x、y为正整数可得4-k=3或9，据此求解.
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1
