登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
2023年中考数学探究性试题复习10 一元二次方程
一、综合题
1．（2022·岳池模拟）[阅读材料]
已知x2+y2+8x-6y+25=0，求x，y的值． ．
解：将25拆分为16和9，可得(x2+8x+16)+(y2-6y+9)=0，
即(x+4)2+(y-3)2=0，
∴．x+4=0，y-3=0，
∴x=-4，y=3．
（1）[解决问题]
已知m2+n2-12n+10m+61=0，求(m+n)2023的值；
（2）[拓展应用]已知a，b，c是△ABC的三边长，且b，c满足b2+c2=8b+4c-20，a是△ABC中最长的边，求a的取值范围．
【答案】（1）解：∵m2+n2-12n+10m+61=0，
将61拆分为25和36，可得(m2 +10m+25)+(n2-12n+36)=0，
即(m+5)2 +(n-6)2=0，
∴m+5=0，n-6=0，
∴m=-5，n=6，
∴(m+n)2023 =(-5+6)2023=1；
（2）解：∵b2 +c2=8b+4c-20，∴b2 +c2- 8b-4c+20=0，
将20拆分为16和4，可得(b2-8b+16)+(c2-4c+4)=0，
即(b-4)2 +(c-2)2=0，
∴b-4=0，c-2=0，
∴b=4，c=2．
在△ABC中，b-c
又∵a是OABC中最长的边，
∴4≤a<6，即a的取值范围为4≤a<6．
【知识点】三角形三边关系；偶次幂的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】（1）根据阅读材料提供的方法将原方程变形为(m+5)2 +(n-6)2=0，根据偶数次幂的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都等于0可得m、n的值，进而代入待求式子根据含乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算即可；
（2）根据阅读材料提供的方法将原方程变形为(b-4)2 +(c-2)2=0，根据偶数次幂的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都等于0可得b、c的值，然后根据三角形三边关系可得b-c2．（2022八上·代县期末）阅读与思考
我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决与非负数有关的问题和求代数式最大值，最小值等问题．
例如：；
，则当时，有最小值，最小值是5．
根据材料用配方法解决下列问题．
（1）若多项式是一个完全平方式，则常数k的值为____．
A．9 B．-9 C．±9 D．36
（2）分解因式：．
（3）当x为何值时，多项式有最小值 并求出这个最小值．
【答案】（1）A
（2）解：
；
（3）解：
，
当时，
有最小值，且最小值为-1．
【知识点】分组分解法因式分解；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）多项式是一个完全平方式，
，
，
故答案为：A；
【分析】（1）根据题意先求出，再作答即可；
（2）利用完全平方公式，平方差公式分解因式即可；
（3）利用完全平方公式计算求解即可。
3．（2023·青海模拟）提出问题
为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，于是原方程可转化为，解此方程，得，．
当时，，，∴；
当时，，，∴．
∴原方程的解为，，，．
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．
解决问题
（1）运用上述换元法解方程．
（2）已知实数m，n满足，求的值．
【答案】（1）解：设，
∴原方程变形为，解得，，，
当时，，故舍去；
当时，，解得，，；
综上所示，原方程的解为，．
延伸拓展
（2）解：
∴，
∴原式变形为，
∴，设，
∴，则，解得，，即，
∵，
∴
∴．
【知识点】定义新运算；换元法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ，， 再求解即可；
（2）先求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
4．（2023·柳北模拟）阅读下列材料：
材料1：对于一元二次方程，如果方程有两个实数根为，，那么，；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540-1603）发现的，因此，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单.
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值.
解：一元二次方程的两个实数根分别为m，n，
，，则.
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 . .
（2）类比应用：在（1）的条件下，求的值.
（3）思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值.
【答案】（1）2；-1
（2）解：∵一元二次方程的两根分别为，，
∴；
（3）解：∵实数s、t满足，，
∴s、t可以看作方程的两个根，
∴，，
∵
∴，
∴.
【知识点】完全平方公式及运用；利用分式运算化简求值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：（1）∵一元二次方程的两个根为，，
∴，.
故答案为：2，-1；
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系 ， 即可直接得出答案；
（2）通分计算待求式子后，将分子利用完全平方公式变形后整体代入计算即可；
（3）由题意， s、t可以看作方程4x2+3x-4=0的两个根，由根与系数的关系得 ，， 由完全平方公式得 ，再开方即可求出t-s的值，进而将待求式子通分计算后整体代入计算即可.
5．（2023八下·安庆期中）阅读材料．
将一个代数式或代数式的某一部分通过改写化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种解题方法称为配方法．这种方法常常被用到代数式的恒等变形中，其作用在于揭示代数式的非负性，是挖掘隐含条件的利器，添项，拆项是常用的方法与技巧．
例如，我们可以通过配方法，求代数式的最小值，解题过程如下：
解：∵，
又∵，∴当时，有最小值为．
请根据上述方法，解答下列问题：
（1），则ab的值是
（2）若代数式的最小值为2，求k的值．
【答案】（1）-10
（2）解：∵代数式的最小值为2，
∴，
∴是一个完全平方式，
∵，
∴．
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）
，
∴，，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据所给的等式先求出，，再求解即可；
（2）先求出 ， 再求出 是一个完全平方式， 最后求解即可。
6．（2023七下·西安月考） 配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题.我们定义：一个整数能表示成、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”.理由：因为，所以5是“完美数”.
【解决问题】
（1）已知29是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式
（2）若可配方成（m、n为常数），则mn＝ ；
（3）【探究问题】已知，则 ；
（4）已知 x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由.
（5）【拓展结论】已知实数x、y满足，求的最值.
【答案】（1）
（2）﹣12
（3）﹣1
（4）解：当时，为“完美数”，理由如下：
，
，是整数，
，也是整数，
是一个“完美数”；
（5）解：，
，即，
，
当时，最大，最大值为.
【知识点】偶次幂的非负性；定义新运算；配方法的应用；非负数之和为0
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：；
故答案为：；
（2）根据题意得：，
，，
则；
故答案为：；
（3）已知等式变形得：，
即，
，，
，，
解得：，，
则；
故答案为：-1；
【分析】（1）29=4+25=22+52，据此解答；
（2）根据题意得x2-6x+5=(x-3)2-4，据此可得m、n的值，然后根据有理数的乘法法则进行计算
（3）已知等式变形得(x-1)2+(y+2)2=0，结合偶次幂的非负性可得x-1=0、y+2=0，求出x、y的值，然后根据有理数的加法法则进行计算；
（4）S=x2+4y2+4x-12y+13=(x+2)2+(2y-3)2，由x、y是整数可得x+2、2y-3也是整数，据此解答；
（5）由已知条件可得-2y=-2x2+5x-10，则x-2y=-2(x-)2-，结合偶次幂的非负性可得最大值.
7．（2022八上·长沙月考）[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题.
例如，把二次三项式进行配方.
解：.
我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”.理由：因为.再如，（，是整数），所以也是“雅美数”.
（1）[问题解决]4，6，7，8四个数中的“雅美数”是 .
（2）若二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（，为常数），则的值为 ；
（3）[问题探究]已知（，是整数，是常数且，），要使为“雅美数”，试求出符合条件的值.
（4）[问题拓展]已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”.
【答案】（1）4，8
（2）12
（3）解：
又∵，
∴，
∴，
∴
（4）证明：因为，为“雅美数”，则令，（，，，为整数）
∴
又∵，，，为整数
∴，均为整数
∴是“雅美数”.
【知识点】完全平方公式及运用；偶次幂的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）4是“雅美数”，理由：因为；
8是“雅美数”，理由：因为.
故答案为：4，8；
（2）∵，
∴，，
∴，
故答案为：12；
【分析】（1）根据“雅美数”一一判断即可；
（2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；
（3）配方后根据“雅美数”的定义可列出关于字母k的方程，求解即可；
（4）根据“雅美数”的定义设出M、N，进而利用配方法变形，进而根据“雅美数”的定义进行判断即可.
8．（2023八下·福州月考）阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用.
例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下
.
，
.
因此，该式有最小值1.
②已知：将其变形，，
，可得.
（1）按照上述方法，将代数式变形为的形式；
（2）已知，，是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由；
（3）已知.
①若，，则代数式 ▲ ；
②若，求代数式的最小值.
【答案】（1）解：
；
（2）解：，
，
，
，，
且，
且，
，
为等边三角形；
（3）解：①；
②解：
，
当时，取最小值.
【知识点】配方法解一元二次方程；偶次幂的非负性
【解析】【解答】解：（3）①，
即：，
∴，，
则，
故答案为：；
【分析】（1）利用配方法将常数项20拆为16+4，整个代数式变形为x2+8x+16+4，将前三项利用完全平方公式分解因式即可；
（2）把题干中的等式拆项变形为a2+b2+b2+c2-2ab-2bc=a2-2ab+b2+b2-2bc+c2=0，把前三项与后三项分别利用完全平方公式分解因式得(a-b)2+(b-c)2=0，利用偶数次幂的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都为0可求出a=b=c，从而即可判断出△ABC的形状；
（3）①由多项式乘以多项式的法则将等式的左边展开并合并就会发现p=m+n=3，q=mn=2，然后将待求式子通分计算后整体代入即可算出答案；②同①可得p=m+n，q=mn=，进而将待求式子通过配方法及异分母分式的加法运算变形为，整体代入后再配方变形为 ， 从而根据偶数次幂的非负性即可得出答案.
9．（2023·泽州模拟）下面是小亮同学在数学杂志上看到的小片段，请仔细阅读并完成相应的任务．
一元二次方程根与系数的关系 通过学习用公式法解一元二次方程可以发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式．除此以外，一元二次方程的根与系数之间还有一些其他形式的关系． 从因式分解的角度思考这个问题，若把一元二次方程的两个实数根分别记为，则有恒等式，即．比较两边系数可得：____，____．
任务：
（1）填空： ， ．
（2）小亮同学利用求根公式进行推理，同样能够得出一元二次方程两根之和、两根之积与系数之间的关系．下面是小亮同学的部分推理过程，请完成填空，
并补全推理过程．
解：对于一元二次方程，
当时，有两个实数根 ▲ ， ▲ ．
……
（3）方程的两根之和为 ，两根之积为 ．
【答案】（1）；
（2）解：对于一元二次方程，
当时，有两个实数根，，
∴，
．
故答案为：，；
（3）；
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，，
∴，．
故答案为：，；
（3）解：∵，
∴，
∴两根之和为，两根之积为．
故答案为：，．
【分析】（1）根据等式左右两边对应系数相等即可求解；
（2）利用求根公式求出x1、x2，再求出x1+x2，x1·x2即可.
（3）根据，即可求解．
10．（2023九下·黄石月考）阅读材料：
材料1：若一元二次方程的两个根为，则，.
材料2：已知实数，满足，，且，求的值.
解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以
根据上述材料解决以下问题：
（1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ， .
（2）类比探究：已知实数，满足，，且，求的值.
（3）思维拓展：已知实数、分别满足，，且.求的值.
【答案】（1）-2；
（2）解：，，且，
、可看作方程，
，，
；
（3）解：把变形为，
实数和可看作方程的两根，
，，
.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：（1），；
故答案为-2；；
【分析】（1）根据x1+x2=、x1x2=进行计算；
（2）由题意可得m、n可看作方程7x2-7x-1=0的两根，则m+n=1，mn=-，将待求式变形为mn(m+n)，据此计算；
（3）把t2+7t+7=0变形为，则实数x和可看作方程7x2+7x+1=0的两根，s+=-1，s·=，待求式可变形为，据此计算.
11．（2023八上·镇海区期末）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝c，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.
请解决下列问题：
（1）判断下列方程是否是“勾系一元二次方程”：
① （填“是”或“不是”）；
② （填“是”或“不是”）
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC面积.
【答案】（1）不是；是
（2）证明：∵是“勾系一元二次方程”，
∴以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形，且c为斜边的长，
∴
∵
；
∴关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）解：∵是“勾系一元二次方程”的一个根，
∴，
即，
∵四边形的周长是12，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（1）①不是“勾系一元二次方程”，
∵，
解得，
∵，
∴，
∴以a、b、c为三边长的三角形是不是直角三角形，
∴不是“勾系一元二次方程”
故答案为：不是；
②是“勾系一元二次方程”，
∵
∴，
∵，
∴，
∴以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形，且c为斜边的长，
∴是“勾系一元二次方程”，
故答案为：是；
【分析】（1）根据 “勾系一元二次方程” 的定义，找出a、b、c的值，进而根据勾股定理的逆定理判断以a、b、c为三边长的三角形是否是直角三角形，即可判断得出答案；
（2）根据 “勾系一元二次方程” 的定义知 以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形，且c为斜边的长，故可得c2=a2+b2， 再算出该方程根的判别式的值，利用整体替换及偶数次幂的非负性可得判别式的值一定不为负数，从而即可得出结论；
（3）根据方程根的概念可得 ，再结合四边形ACDE的周长是12可求出c的值，从而可得a+b的值，进而结合完全平方公式的恒等变形及勾股定理可求出ab=4，最后利用三角形面积计算方法即可求出答案.
12．（2023九上·安岳期末）定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”.如：一元二次方程的两根为，因，，所以一元二次方程为“限根方程”.
请阅读以上材料，回答下列问题：
（1）判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由；
（2）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根满足，求k的值；
（3）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围.
【答案】（1）解：，
，
∴或，
∴.
∵，，
∴此方程为“限根方程”；
（2）解：∵方程的两个根分比为，
∴， .
∵，
∴，
解得：，.
分类讨论：①当时，原方程为，
∴，，
∴，，
∴此时方程是“限根方程”，
∴符合题意；
②当时，原方程为，
∴，，
∴，，
∴此时方程不是“限根方程”，
∴不符合题意.
综上可知k的值为2；
（3）解：，
，
∴或，
∴或.
∵此方程为“限根方程”，
∴此方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
∴，即，
∴且.
分类讨论：①当时，
∴，
∵，
∴，
解得：；
②当时，
∴，
∵，
∴，
解得：.
综上所述，m的取值范围为或.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系；定义新运算
【解析】【分析】（1）利用因式分解可得方程x2+9x+14=0的解，然后根据“限根方程”的概念进行判断；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=，x1x2=，根据x1+x2+x1x2=-1可得k的值，然后求出方程的两根，结合“限根方程”的概念就可得到k的值；
（3）利用因式分解可得x=-1或m，由“限根方程”的概念△>0且m<0、m≠-1，代入求解可得m的范围，然后分-113．（2023九上·大冶期末）阅读材料，解答问题：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，.根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：已知实数a，b满足：，且，则 ， ；
（2）间接应用：在（1）条件下，求的值；
（3）拓展应用：已知实数x，y满足：，且，求的值.
【答案】（1）7；1
（2）解：由（1）得，
∴（取正）
（3）解：令，，则，，
∵，
∴，即，
∴a，b是方程的两个不相等的实数根，
∴，
故.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：a，b是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知：，，
故答案为：7，1
【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系，可求出a+b和ab的值.
（2）先利用 ，代入计算，然后开算术平方根即可.
（3）设，， 可得到a2+a-7=0，b2+b-7=0，利用mn≠-1，可知，a≠b，由此可知 a，b是方程的两个不相等的实数根， 利用一元二次方程根与系数，可得到a+b和ab的值，可推出 ，代入计算，可求值.
14．（2022·黄石）阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由书达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
方程的解为 ；
（2）间接应用：
已知实数a，b满足：，且，求的值；
（3）拓展应用：
已知实数m，n满足：，且，求的值．
【答案】（1），，，
（2）解：∵，
∴或
①当时，令，，
∴则，，
∴，是方程的两个不相等的实数根，
∴，
此时；
②当时，，
此时；
综上：或
（3）解：令，，则，，
∵，
∴即，
∴，是方程的两个不相等的实数根，
∴，
故．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】（1）解：令y=x2，则有y2-5y+6=0，
∴（y-2）（y-3）=0，
∴y1=2，y2=3，
∴x2=2或3，
∴，，，，
故答案为：，，，；
【分析】（1）观察方程特点：含未知数的部分存在平方关系，因此设y=x2，将原方程转化为关于y的一元二次方程，利用换元法解方程求出y的值，再回代，可求出x的值；
（2）设a2=m，b2=n，可知m，n是方程2x2-7x+1=0的解，分情况讨论：当a2≠b2时，利用一元二次方程根与系数的关系，可求出m+n和mn的值，然后利用配方法可求出a4+b4的值；当a2=b2时，利用求根公式法，可求出a2、b2的值，从而可求出a4+b4的值；
（3）设 ，， 可得到a2+a-7=0，b2+b-7=0，可推出a，b是方程x2+x-7=0的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系，可求出a+b和ab的值；由此可求出的值.
15．（2022·四川）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求 的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求 的值．
【答案】（1）；
（2）解：∵m+n=，mn＝-，
∴.
（3）解：由题意得：s、t是 一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根 ，
∴s+t=，st=-，
.
【知识点】利用分式运算化简求值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：(1) x1＋x2＝；x1x2＝，
故答案为：；.
【分析】(1)根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；
(2)根据根与系数的关系先求出m+n和mn的值，然后将原式变形，再代值计算，即可解答；
(3)根据根与系数的关系先求出s+t和st的值，然后将原式进行变形，再代值计算即可.
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
2023年中考数学探究性试题复习10 一元二次方程
一、综合题
1．（2022·岳池模拟）[阅读材料]
已知x2+y2+8x-6y+25=0，求x，y的值． ．
解：将25拆分为16和9，可得(x2+8x+16)+(y2-6y+9)=0，
即(x+4)2+(y-3)2=0，
∴．x+4=0，y-3=0，
∴x=-4，y=3．
（1）[解决问题]
已知m2+n2-12n+10m+61=0，求(m+n)2023的值；
（2）[拓展应用]已知a，b，c是△ABC的三边长，且b，c满足b2+c2=8b+4c-20，a是△ABC中最长的边，求a的取值范围．
2．（2022八上·代县期末）阅读与思考
我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决与非负数有关的问题和求代数式最大值，最小值等问题．
例如：；
，则当时，有最小值，最小值是5．
根据材料用配方法解决下列问题．
（1）若多项式是一个完全平方式，则常数k的值为____．
A．9 B．-9 C．±9 D．36
（2）分解因式：．
（3）当x为何值时，多项式有最小值 并求出这个最小值．
3．（2023·青海模拟）提出问题
为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，于是原方程可转化为，解此方程，得，．
当时，，，∴；
当时，，，∴．
∴原方程的解为，，，．
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．
解决问题
（1）运用上述换元法解方程．
（2）已知实数m，n满足，求的值．
4．（2023·柳北模拟）阅读下列材料：
材料1：对于一元二次方程，如果方程有两个实数根为，，那么，；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540-1603）发现的，因此，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单.
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值.
解：一元二次方程的两个实数根分别为m，n，
，，则.
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 . .
（2）类比应用：在（1）的条件下，求的值.
（3）思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值.
5．（2023八下·安庆期中）阅读材料．
将一个代数式或代数式的某一部分通过改写化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种解题方法称为配方法．这种方法常常被用到代数式的恒等变形中，其作用在于揭示代数式的非负性，是挖掘隐含条件的利器，添项，拆项是常用的方法与技巧．
例如，我们可以通过配方法，求代数式的最小值，解题过程如下：
解：∵，
又∵，∴当时，有最小值为．
请根据上述方法，解答下列问题：
（1），则ab的值是
（2）若代数式的最小值为2，求k的值．
6．（2023七下·西安月考） 配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题.我们定义：一个整数能表示成、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”.理由：因为，所以5是“完美数”.
【解决问题】
（1）已知29是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式
（2）若可配方成（m、n为常数），则mn＝ ；
（3）【探究问题】已知，则 ；
（4）已知 x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由.
（5）【拓展结论】已知实数x、y满足，求的最值.
7．（2022八上·长沙月考）[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题.
例如，把二次三项式进行配方.
解：.
我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”.理由：因为.再如，（，是整数），所以也是“雅美数”.
（1）[问题解决]4，6，7，8四个数中的“雅美数”是 .
（2）若二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（，为常数），则的值为 ；
（3）[问题探究]已知（，是整数，是常数且，），要使为“雅美数”，试求出符合条件的值.
（4）[问题拓展]已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”.
8．（2023八下·福州月考）阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用.
例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下
.
，
.
因此，该式有最小值1.
②已知：将其变形，，
，可得.
（1）按照上述方法，将代数式变形为的形式；
（2）已知，，是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由；
（3）已知.
①若，，则代数式 ▲ ；
②若，求代数式的最小值.
9．（2023·泽州模拟）下面是小亮同学在数学杂志上看到的小片段，请仔细阅读并完成相应的任务．
一元二次方程根与系数的关系 通过学习用公式法解一元二次方程可以发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式．除此以外，一元二次方程的根与系数之间还有一些其他形式的关系． 从因式分解的角度思考这个问题，若把一元二次方程的两个实数根分别记为，则有恒等式，即．比较两边系数可得：____，____．
任务：
（1）填空： ， ．
（2）小亮同学利用求根公式进行推理，同样能够得出一元二次方程两根之和、两根之积与系数之间的关系．下面是小亮同学的部分推理过程，请完成填空，
并补全推理过程．
解：对于一元二次方程，
当时，有两个实数根 ▲ ， ▲ ．
……
（3）方程的两根之和为 ，两根之积为 ．
10．（2023九下·黄石月考）阅读材料：
材料1：若一元二次方程的两个根为，则，.
材料2：已知实数，满足，，且，求的值.
解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以
根据上述材料解决以下问题：
（1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ， .
（2）类比探究：已知实数，满足，，且，求的值.
（3）思维拓展：已知实数、分别满足，，且.求的值.
11．（2023八上·镇海区期末）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝c，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.
请解决下列问题：
（1）判断下列方程是否是“勾系一元二次方程”：
① （填“是”或“不是”）；
② （填“是”或“不是”）
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC面积.
12．（2023九上·安岳期末）定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”.如：一元二次方程的两根为，因，，所以一元二次方程为“限根方程”.
请阅读以上材料，回答下列问题：
（1）判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由；
（2）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根满足，求k的值；
（3）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围.
13．（2023九上·大冶期末）阅读材料，解答问题：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，.根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：已知实数a，b满足：，且，则 ， ；
（2）间接应用：在（1）条件下，求的值；
（3）拓展应用：已知实数x，y满足：，且，求的值.
14．（2022·黄石）阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由书达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
方程的解为 ；
（2）间接应用：
已知实数a，b满足：，且，求的值；
（3）拓展应用：
已知实数m，n满足：，且，求的值．
15．（2022·四川）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求 的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求 的值．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：∵m2+n2-12n+10m+61=0，
将61拆分为25和36，可得(m2 +10m+25)+(n2-12n+36)=0，
即(m+5)2 +(n-6)2=0，
∴m+5=0，n-6=0，
∴m=-5，n=6，
∴(m+n)2023 =(-5+6)2023=1；
（2）解：∵b2 +c2=8b+4c-20，∴b2 +c2- 8b-4c+20=0，
将20拆分为16和4，可得(b2-8b+16)+(c2-4c+4)=0，
即(b-4)2 +(c-2)2=0，
∴b-4=0，c-2=0，
∴b=4，c=2．
在△ABC中，b-c又∵a是OABC中最长的边，
∴4≤a<6，即a的取值范围为4≤a<6．
【知识点】三角形三边关系；偶次幂的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】（1）根据阅读材料提供的方法将原方程变形为(m+5)2 +(n-6)2=0，根据偶数次幂的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都等于0可得m、n的值，进而代入待求式子根据含乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算即可；
（2）根据阅读材料提供的方法将原方程变形为(b-4)2 +(c-2)2=0，根据偶数次幂的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都等于0可得b、c的值，然后根据三角形三边关系可得b-c2．【答案】（1）A
（2）解：
；
（3）解：
，
当时，
有最小值，且最小值为-1．
【知识点】分组分解法因式分解；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）多项式是一个完全平方式，
，
，
故答案为：A；
【分析】（1）根据题意先求出，再作答即可；
（2）利用完全平方公式，平方差公式分解因式即可；
（3）利用完全平方公式计算求解即可。
3．【答案】（1）解：设，
∴原方程变形为，解得，，，
当时，，故舍去；
当时，，解得，，；
综上所示，原方程的解为，．
延伸拓展
（2）解：
∴，
∴原式变形为，
∴，设，
∴，则，解得，，即，
∵，
∴
∴．
【知识点】定义新运算；换元法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ，， 再求解即可；
（2）先求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
4．【答案】（1）2；-1
（2）解：∵一元二次方程的两根分别为，，
∴；
（3）解：∵实数s、t满足，，
∴s、t可以看作方程的两个根，
∴，，
∵
∴，
∴.
【知识点】完全平方公式及运用；利用分式运算化简求值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：（1）∵一元二次方程的两个根为，，
∴，.
故答案为：2，-1；
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系 ， 即可直接得出答案；
（2）通分计算待求式子后，将分子利用完全平方公式变形后整体代入计算即可；
（3）由题意， s、t可以看作方程4x2+3x-4=0的两个根，由根与系数的关系得 ，， 由完全平方公式得 ，再开方即可求出t-s的值，进而将待求式子通分计算后整体代入计算即可.
5．【答案】（1）-10
（2）解：∵代数式的最小值为2，
∴，
∴是一个完全平方式，
∵，
∴．
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）
，
∴，，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据所给的等式先求出，，再求解即可；
（2）先求出 ， 再求出 是一个完全平方式， 最后求解即可。
6．【答案】（1）
（2）﹣12
（3）﹣1
（4）解：当时，为“完美数”，理由如下：
，
，是整数，
，也是整数，
是一个“完美数”；
（5）解：，
，即，
，
当时，最大，最大值为.
【知识点】偶次幂的非负性；定义新运算；配方法的应用；非负数之和为0
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：；
故答案为：；
（2）根据题意得：，
，，
则；
故答案为：；
（3）已知等式变形得：，
即，
，，
，，
解得：，，
则；
故答案为：-1；
【分析】（1）29=4+25=22+52，据此解答；
（2）根据题意得x2-6x+5=(x-3)2-4，据此可得m、n的值，然后根据有理数的乘法法则进行计算
（3）已知等式变形得(x-1)2+(y+2)2=0，结合偶次幂的非负性可得x-1=0、y+2=0，求出x、y的值，然后根据有理数的加法法则进行计算；
（4）S=x2+4y2+4x-12y+13=(x+2)2+(2y-3)2，由x、y是整数可得x+2、2y-3也是整数，据此解答；
（5）由已知条件可得-2y=-2x2+5x-10，则x-2y=-2(x-)2-，结合偶次幂的非负性可得最大值.
7．【答案】（1）4，8
（2）12
（3）解：
又∵，
∴，
∴，
∴
（4）证明：因为，为“雅美数”，则令，（，，，为整数）
∴
又∵，，，为整数
∴，均为整数
∴是“雅美数”.
【知识点】完全平方公式及运用；偶次幂的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）4是“雅美数”，理由：因为；
8是“雅美数”，理由：因为.
故答案为：4，8；
（2）∵，
∴，，
∴，
故答案为：12；
【分析】（1）根据“雅美数”一一判断即可；
（2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；
（3）配方后根据“雅美数”的定义可列出关于字母k的方程，求解即可；
（4）根据“雅美数”的定义设出M、N，进而利用配方法变形，进而根据“雅美数”的定义进行判断即可.
8．【答案】（1）解：
；
（2）解：，
，
，
，，
且，
且，
，
为等边三角形；
（3）解：①；
②解：
，
当时，取最小值.
【知识点】配方法解一元二次方程；偶次幂的非负性
【解析】【解答】解：（3）①，
即：，
∴，，
则，
故答案为：；
【分析】（1）利用配方法将常数项20拆为16+4，整个代数式变形为x2+8x+16+4，将前三项利用完全平方公式分解因式即可；
（2）把题干中的等式拆项变形为a2+b2+b2+c2-2ab-2bc=a2-2ab+b2+b2-2bc+c2=0，把前三项与后三项分别利用完全平方公式分解因式得(a-b)2+(b-c)2=0，利用偶数次幂的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都为0可求出a=b=c，从而即可判断出△ABC的形状；
（3）①由多项式乘以多项式的法则将等式的左边展开并合并就会发现p=m+n=3，q=mn=2，然后将待求式子通分计算后整体代入即可算出答案；②同①可得p=m+n，q=mn=，进而将待求式子通过配方法及异分母分式的加法运算变形为，整体代入后再配方变形为 ， 从而根据偶数次幂的非负性即可得出答案.
9．【答案】（1）；
（2）解：对于一元二次方程，
当时，有两个实数根，，
∴，
．
故答案为：，；
（3）；
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，，
∴，．
故答案为：，；
（3）解：∵，
∴，
∴两根之和为，两根之积为．
故答案为：，．
【分析】（1）根据等式左右两边对应系数相等即可求解；
（2）利用求根公式求出x1、x2，再求出x1+x2，x1·x2即可.
（3）根据，即可求解．
10．【答案】（1）-2；
（2）解：，，且，
、可看作方程，
，，
；
（3）解：把变形为，
实数和可看作方程的两根，
，，
.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：（1），；
故答案为-2；；
【分析】（1）根据x1+x2=、x1x2=进行计算；
（2）由题意可得m、n可看作方程7x2-7x-1=0的两根，则m+n=1，mn=-，将待求式变形为mn(m+n)，据此计算；
（3）把t2+7t+7=0变形为，则实数x和可看作方程7x2+7x+1=0的两根，s+=-1，s·=，待求式可变形为，据此计算.
11．【答案】（1）不是；是
（2）证明：∵是“勾系一元二次方程”，
∴以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形，且c为斜边的长，
∴
∵
；
∴关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）解：∵是“勾系一元二次方程”的一个根，
∴，
即，
∵四边形的周长是12，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（1）①不是“勾系一元二次方程”，
∵，
解得，
∵，
∴，
∴以a、b、c为三边长的三角形是不是直角三角形，
∴不是“勾系一元二次方程”
故答案为：不是；
②是“勾系一元二次方程”，
∵
∴，
∵，
∴，
∴以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形，且c为斜边的长，
∴是“勾系一元二次方程”，
故答案为：是；
【分析】（1）根据 “勾系一元二次方程” 的定义，找出a、b、c的值，进而根据勾股定理的逆定理判断以a、b、c为三边长的三角形是否是直角三角形，即可判断得出答案；
（2）根据 “勾系一元二次方程” 的定义知 以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形，且c为斜边的长，故可得c2=a2+b2， 再算出该方程根的判别式的值，利用整体替换及偶数次幂的非负性可得判别式的值一定不为负数，从而即可得出结论；
（3）根据方程根的概念可得 ，再结合四边形ACDE的周长是12可求出c的值，从而可得a+b的值，进而结合完全平方公式的恒等变形及勾股定理可求出ab=4，最后利用三角形面积计算方法即可求出答案.
12．【答案】（1）解：，
，
∴或，
∴.
∵，，
∴此方程为“限根方程”；
（2）解：∵方程的两个根分比为，
∴， .
∵，
∴，
解得：，.
分类讨论：①当时，原方程为，
∴，，
∴，，
∴此时方程是“限根方程”，
∴符合题意；
②当时，原方程为，
∴，，
∴，，
∴此时方程不是“限根方程”，
∴不符合题意.
综上可知k的值为2；
（3）解：，
，
∴或，
∴或.
∵此方程为“限根方程”，
∴此方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
∴，即，
∴且.
分类讨论：①当时，
∴，
∵，
∴，
解得：；
②当时，
∴，
∵，
∴，
解得：.
综上所述，m的取值范围为或.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系；定义新运算
【解析】【分析】（1）利用因式分解可得方程x2+9x+14=0的解，然后根据“限根方程”的概念进行判断；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=，x1x2=，根据x1+x2+x1x2=-1可得k的值，然后求出方程的两根，结合“限根方程”的概念就可得到k的值；
（3）利用因式分解可得x=-1或m，由“限根方程”的概念△>0且m<0、m≠-1，代入求解可得m的范围，然后分-113．【答案】（1）7；1
（2）解：由（1）得，
∴（取正）
（3）解：令，，则，，
∵，
∴，即，
∴a，b是方程的两个不相等的实数根，
∴，
故.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：a，b是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知：，，
故答案为：7，1
【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系，可求出a+b和ab的值.
（2）先利用 ，代入计算，然后开算术平方根即可.
（3）设，， 可得到a2+a-7=0，b2+b-7=0，利用mn≠-1，可知，a≠b，由此可知 a，b是方程的两个不相等的实数根， 利用一元二次方程根与系数，可得到a+b和ab的值，可推出 ，代入计算，可求值.
14．【答案】（1），，，
（2）解：∵，
∴或
①当时，令，，
∴则，，
∴，是方程的两个不相等的实数根，
∴，
此时；
②当时，，
此时；
综上：或
（3）解：令，，则，，
∵，
∴即，
∴，是方程的两个不相等的实数根，
∴，
故．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】（1）解：令y=x2，则有y2-5y+6=0，
∴（y-2）（y-3）=0，
∴y1=2，y2=3，
∴x2=2或3，
∴，，，，
故答案为：，，，；
【分析】（1）观察方程特点：含未知数的部分存在平方关系，因此设y=x2，将原方程转化为关于y的一元二次方程，利用换元法解方程求出y的值，再回代，可求出x的值；
（2）设a2=m，b2=n，可知m，n是方程2x2-7x+1=0的解，分情况讨论：当a2≠b2时，利用一元二次方程根与系数的关系，可求出m+n和mn的值，然后利用配方法可求出a4+b4的值；当a2=b2时，利用求根公式法，可求出a2、b2的值，从而可求出a4+b4的值；
（3）设 ，， 可得到a2+a-7=0，b2+b-7=0，可推出a，b是方程x2+x-7=0的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系，可求出a+b和ab的值；由此可求出的值.
15．【答案】（1）；
（2）解：∵m+n=，mn＝-，
∴.
（3）解：由题意得：s、t是 一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根 ，
∴s+t=，st=-，
.
【知识点】利用分式运算化简求值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：(1) x1＋x2＝；x1x2＝，
故答案为：；.
【分析】(1)根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；
(2)根据根与系数的关系先求出m+n和mn的值，然后将原式变形，再代值计算，即可解答；
(3)根据根与系数的关系先求出s+t和st的值，然后将原式进行变形，再代值计算即可.
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1