1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
1.4 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第一章 空间向量与立体几何
1.4.1　第3课时　空间中直线、平面的垂直
学习目标：
熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的垂直关系.
学习重点：线线、线面、面面间的垂直关系的判定．
学习难点：证明线面垂直问题的方法.
在上一节中，我们研究了空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面的平行关系与直线的方向向量和平面的法向量的关系；那么，直线的方向向量和平面的法向量与空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系间又有什么联系呢？
引入课题
设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，
则l1⊥l1 u1⊥u2 u1·u2＝0.
知识点一：　线线垂直的向量表示
走进教材
设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l α，
则l⊥α u∥n λ∈R，使得u＝λn.
知识点二：线面垂直的向量表示
走进教材
设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，
则α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0.
知识点三：面面垂直的向量表示
走进教材
例1.在四棱锥S-ABCD中，SD⊥平面ABCD，点E是SB的中点，且底面ABCD
是正方形，SD=AB，在线段SD上是否存在一点F，使AE⊥CF？
D
B
A
C
S
E
F
x
y
z
解：如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，
假设在线段SD上存在一点F，使AE⊥CF，
设SD=AB=1，则F(0，0，z)，C(0，1，0)，
∴=(0，-1，z)又S(0，0，1)，B(1，1，0)，
∴E(， )，
典例分析
由A(1，0，0)得=() ，
∵AE⊥CF，即⊥，
∴ =，解得z=1.
即F(0，0，1)与S重合，故在线段SD上存在点F(0，0，1)，
使AE⊥CF.
典例分析
例2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是B1B、DC的中点，
求证：AE⊥平面A1D1F.
D1
D
A
B
C
A1
B1
C1
z
y
x
F
E
证明：设正方体的棱长为2，
如图所示，建立空间直角坐标系，
则A(2，0，0)，E(2，2，1)，
A1(2，0，2)，D1(0，0，2)，F(0，1，0).
典例分析
∴＝(0，2，1)，＝(－2，0，0)，
＝(0，1，-2)，
∴· ＝0×(－2)＋2×0＋1×0＝0，
· ＝1－1＝0，
典例分析
∴⊥，⊥.
即AE⊥A1D1，AE⊥D1F，
又A1D1∩D1F＝D1，
∴AE⊥平面A1D1F.
例3.三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC中点．求证：平面A1AD⊥平面BCC1B1.
D
A1
A
B1
B
C
C1
z
y
x
证明：如图，建立空间直角坐标系．
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，
A1(0，0，)，C1(0，1，)，
∵D为BC的中点，∴D点坐标为(1，1，0)，
典例分析
得＝(0，0，)，＝(1，1，0)，
＝(－2，2，0)，＝(0，－1，)，
设平面A1AD的法向量为＝(x1，y1，z1)，
平面BCC1B1的法向量为＝(x2，y2，z2)．
由· =0， · =0，
得-2x2+2y2=0，-y2+z2=0.
令y2＝1，得x2＝1，z2＝，
∴＝(1，1，).
∴·＝1－1＋0＝0，
∴⊥，
∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
典例分析
由· =0， · =0，
得 z1 =0， x1+y1=0，
令y1＝－1，得x1＝1，z1＝0，
∴＝(1，－1，0)．
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，|AB|＝|BC|＝2，|BB1|＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.
E
A1
A
B1
B
C
C1
z
y
x
证明：由题意得AB，BC，B1B两两垂直，
以B为原点，以直线BA，BC，BB1分别
为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，
E(0，0，)，＝(0，0，1)，＝(－2，2，0)，
变式训练
＝(－2，2，1)，＝(-2，0，).
设平面AA1C1C的法向量为＝(x1，y1，z1)，
则· =0， · =0 z1=0， -2x1+2y1=0，
令x1＝1，得y1＝1，∴＝(1，1，0)．设平面AEC1的法向量为＝(x2，y2，z2)，
则· =0， · =0 z2=4x2， -2x2+2y2+z2=0，
令x2＝1，则＝(1，－1，4)，·＝1－1＝0，
即平面AEC1⊥平面AA1C1C.
变式训练
随堂训练
1．若直线l的方向向量a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则(　　)
A．l∥α B．l⊥α
C．l α D．l与α斜交
解析　∵n＝－2a，∴a∥n，即l⊥α.
答案　B
随堂训练
2．(多选)下列命题中，正确的命题为(　　)
A．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2 α∥β
B．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β n1·n2＝0
C．若n是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，若l与平面α垂直，则n∥a
D．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直
解析　A中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知BCD正确．
答案　BCD
随堂训练
3.平面α与平面β垂直，平面α与平面β的法向量分别为u＝(－1,0,5)，v＝(t，5,1)，则t的值为________．
解析　∵平面α与平面β垂直，
∴平面α的法向量u与平面β的法向量v垂直，
∴u·v＝0，即－1×t＋0×5＋5×1＝0，
解得t＝5.
答案　5
一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；
课堂小结
利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：
二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．