1.4.2 第1课时 距离问题 课件（共15张PPT）

(共15张PPT)
1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题
第一章 空间向量与立体几何
1.4.2　第1课时　距离问题
学习目标：
1.理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导.
2.了解利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离的基本思想．
学习重点：利用空间向量求点到直线、点到平面的距离．
学习难点：利用空间向量求点到直线、点到平面的距离.
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”.
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义 .
（化为向量问题）
（进行向量运算）
（回到图形）
引入课题
根据两向量数量积的性质和坐标运算，
利用公式 或
(其中 ) ，可将两点距离问题
转化为求向量模长问题 .
知识点一　空间两点之间的距离
走进教材
设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为 (如图)．
知识点二　点P到平面α的距离
走进教材
这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的绝对值.
走进教材
思考　怎样利用向量方法求直线到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离？
答案　两条直线平行，其中一条直线到另一条直线间的距离是其中一条直线上任一点到另一条直线的距离；一条直线和一个平面平行，直线到平面的距离就是这条直线上任一点到这个平面的距离；两个平面平行，平面到平面的距离就是一个平面上任一点到这个平面的距离．
典例分析
例1.若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是(　　)
A. B. C. D.
解析　分别以PA，PB，PC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)．
可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1，1，1)，
则d＝ .
x
y
z
A
P
C
B
D
D
A
B
C
G
F
E
x
y
z
典例分析
例2.如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.
分析:用几何法做相当困难，注意到坐标系建立后各点坐标容易得出，又因为求点到平面的距离可以用法向量来计算，而法向量总是可以快速算出.
果断地用坐标法处理.
D
A
B
C
G
F
E
x
y
z
典例分析
例2. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.
解 如图，建立空间直角坐标系C－xyz．由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
设平面EFG的一个法向量为
答:点B到平面EFG的距离为
.
变式训练
解析　因为 ＝(－2,0，－1)，又与l垂直，
知直线l经过点A(2，3，1)，且向量 ＝(1，0，－1)所在直线与l垂直，则点
P(4，3，2)到 l 的距离为_______．
所以点P到l的距离为 .
随堂练习
1．空间内有三点A(2，1，3)，B(0，2，5)，C(3，7，0)，则点B到AC的中点P的距离为 (　　)
A. B．5 C. D．3
C
2．已知直线l过点A(1，－1，2)，和l垂直的一个向量为n＝(－3，0，4)，则P(3，5，0)到l 的距离为(　　)
A．5 B．14 C. D.
C
随堂练习
3．已知直线l与平面α相交于点O，A∈l，B为线段OA的中点，若点A到平面α的距离为10，则点B到平面α的距离为________．
答案　5
4．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到平面α的距离为________．
答案
随堂练习
答案
5.在底面是直角梯形的四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．
1．知识清单：
(1)点到直线的距离．
(2)点到平面的距离与直线到平面的距离．
2．方法归纳：数形结合、转化法．
3．常见误区：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用．对公式推导过程的理解是应用的基础．
课堂小结
本课结束