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2023年中考数学探究性试题复习11 一次函数与反比例函数
一、一次函数
1．（2023九下·秦淮月考）【类比研究】类比数的运算的学习，小明发现初中所学习的函数就是变量的运算.对于一个变量x，对它进行运算，得到另一个变量y，则y是x的函数.
【概念提出】若对x只加上（减去）一个常数，则该函数为一级函数：对x只乘（除以）一个常数（不为1），则该函数为二级函数：对x只进行乘方（开方）运算，则该函数为三级函数；若对某级函数中自变量的代数式再进行不同的运算，则新函数为该级函数的衍生函数.
（1）【特例辨别】
下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥，其中是三级函数的是 .（填写所有符合要求的函数的序号）
（2）【运算与变化】
将二级函数的图象向上平移5个单位长度后得其衍生函数图象，则该衍生函数关系式为 ；也可对进行乘法运算所得衍生函数的图象与的图象的关系为 .
（3）对于函数的运算与变化，下列说法中正确的是（ ）
①是二级函数；
②将再进行减法运算，所得衍生函数的图象与原图象平行；
③将再除以2所得衍生函数的图象是把函数的图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍；
④将先减3再平方与先平方再减3所得衍生函数是同一个函数.
A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
（4）【知识应用】请写出一级函数如何对变量x进行运算得到衍生函数（、是常数，，），并写出衍生函数的两条不同类型的性质.
【答案】（1）④，⑥
（2）；将的图象纵坐标扩大为原来的2倍，横坐标不变得的图象
（3）B
（4）解：将一级函数先平方运算，再进行减法运算减去m，最后进行除法运算：k除以.
函数图象关于y轴对称.
当时，时，y随增大而增大；时，y随增大而增大；时，y随增大而减小；时，y随增大而减小.
当时，时，y随增大而减小；时，y随增大而减小；时，y随增大而增大；时，y随增大而增大.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）根据三级函数的定义，④，⑥，对x只进行乘方（开方）运算，
∴④，⑥是三级函数，
故答案为：④，⑥；
（2）将二级函数的图象向上平移5个单位长度后得其衍生函数图象，则该衍生函数关系式为；
也可对进行乘法运算所得衍生函数的图象与的图象的关系为将的图象纵坐标扩大为原来的2倍，横坐标不变得的图象.
故答案为：；将的图象纵坐标扩大为原来的2倍，横坐标不变得的图象；
（3）①是二级函数，该说法正确；
②将再进行减法运算，所得衍生函数的图象与原图象平行，该说法正确；
③将再除以2所得衍生函数的图象是把函数的图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍；该说法正确；
④将先减3再平方所得衍生函数是，
先平方再减3所得衍生函数是，不是同一个函数.该说法不正确；
综上，正确的有①②③，
故答案为：B.
【分析】（1）根据三级函数的定义进行判断；
（2）根据“左加右减，上加下减”的平移规则可得衍生函数关系式，据此解答
（3）根据二级函数的概念可判断①；根据两一次函数图象平行的条件可判断②；根据横纵坐标的关系可判断③；首先表示出衍生函数，进而可判断④；
（4）一级函数y=x先平方运算，再进行减法运算减去m，最后进行除法运算可得衍生函数y=，根据函数的对称性、增减性写出两条性质即可.
2．（2023·开江模拟）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如：点是函数的图像的“等值点”.
（1）分别判断函数，的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数，的图像的“等值点”分别为点，，过点作轴，垂足为.当的面积为3时，求的值；
（3）若函数的图像记为，将其沿直线翻折后的图像记为，当，两部分组成的图像上恰有2个“等值点”时，直接写出的取值范围.
【答案】（1）解：在中，令，得不成立，
∴函数的图像上不存在“等值点”；
在中，令，
解得：，，
∴函数的图像上有两个“等值点”或，
综上所述，不存在“等值点”，存在“等值点”，有两个“等值点”或.
（2）解：在函数中，令，解得：，
∴，
在函数中，令，解得：，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵的面积为3，
∴，
当时，，解得，
当时，，
∵，
∴方程没有实数根，
当时，，解得：，
综上所述，的值为或.
（3）解：或
【知识点】一次函数的图象；二次函数图象的几何变换；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；定义新运算
【解析】【解答】解：（3）解：令，解得：，，
∴函数的图像上有两个“等值点”或，
①当时，，两部分组成的图像上必有2个“等值点”或，
：，：，
令，整理得：，
∵的图像上不存在“等值点”，
∴，
∴，
∴，
②当时，有3个“等值点”、、，
③当时，，两部分组成的图像上恰有2个“等值点”，
④当时，，两部分组成的图像上恰有1个“等值点”，
⑤当时，，两部分组成的图像上没有“等值点”，
综上所述，当，两部分组成的图像上恰有2个“等值点”时，或.
【分析】（1）根据 “等值点” 的定义建立方程并解之即可；
（2）先根据 “等值点” 的定义求出函数的“等值点” ，同理求出 ， 根据的面积为3， 可得， 求解即可；
（3）先求出函数的图像上有两个“等值点”或，再用翻折的性质分类讨论即可.
3．（2023八上·宁波期末）在平面直角坐标系中，给出以下定义：对于x轴上点M（a，0）（其中a为正整数）与坐标平面内一点N，若y轴上存在点T，使得，且，则称点N为a宝点，如示例图，我们可知点N（-1，0）为1宝点，理由如下：在x轴上取点M（1，0），以MN为斜边作等腰直角三角形MNT，可以算得一个点T（0，1），它是在y轴上的，因此点N（-1，0）为1宝点．
（1）如图①，在点A（2，0），B（2，-2），C（0，1），D（-2，0）中，2宝点是点 ．（填“A”“B”“C”或“D”）
（2）如图①，点M（4，0），T（0，3），若N为4宝点，求点N的坐标．
（3）如图②，若一次函数的图象上存在2宝点，求这个2宝点的坐标
（4）若一次函数图象上存在无数个3宝点，请直接写出该一次函数的解析式．
【答案】（1）D
（2）解：如图，作直线MT，并过点T作HT⊥AM于点T，
设直线AM为y=kx+b，
将点 M（4，0），T（0，3） 代入，
得
解得
∴直线MT为：，
∵HT⊥AM于点T
∴直线TH为：，
根据题意易得点N一定在直线HT上，设点N，
则可得，
解得a=±3，
∴当a=3时，，
当a=-3时，，
∴N（-3，-1）或N（3，7）.
（3）解：设2宝点为点A'
①当A'在x轴上方时，过A'作AF'⊥y 轴于F，如图所示：
∵A'是2的宝点，
∴
∴
∵
∴
∴ ，
设 ，则
∴
将 代入 得：
，解得 ，
∴ （2，4）
②当A'在x轴下方时，过A'作A'H⊥y 轴于H，如图所示：
同①可证明 （AAS），
∴ ，
设 ，则
∴A'（-n，n-2），
将 （-n，n-2）代入 得：
，解得
∴A'（0，-2）
综上所述， A点的坐标为（2，4）或（0，-2）；
（4）解：y=x+3；y=-x-3
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）如图，取点T（0，2），连接DT，AT，
∵D（ 2，0），A（2，0），T（0，2），
∴OT＝OD＝OA＝2，
∴△ADT是等腰直角三角形，
∴在点B（2， 2），C（0，1），D（ 2，0）中，2宝点是点D，
故答案为：D；
（4） 若一次函数y=kx+b（k≠0）图象上存在无数个3宝点，分类讨论：
①当k＞0时，如图，
∵N是3宝点，
∴∠MTN＝90°，MT＝NT，
∴∠NTF＝90° ∠MTO＝∠TMO，
∵∠NFT＝∠TOM＝90°，
∴△NFT≌△TOM（AAS），
∴TF＝MO＝3，NF＝OT，
设OT＝NF＝m，则OF＝OT＋TF＝m＋3，
∴N（m，m＋3），
∵一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象上存在无数个无数个3宝点，
∴该一次函数的解析式为y＝x＋3；
②当k＜0时，如图，
同①可证明△MOT≌THN（AAS），
∴NH＝OT，TH＝OM＝3，
设NH＝OT＝n，则OH＝TH OT＝n 3，
∴N（ n，n 3），
∴该一次函数的解析式为y＝ x 3，
综上，该一次函数的所有解析式为y＝x＋3或y＝ x 3．
【分析】 （1）取点T（0，2），连接DT，AT，可得△ADT是等腰直角三角形，即知2宝点是点D；
若一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象上存在无数个无数个3宝点，
（2）作直线MT，并过点T作HT⊥AM于点T，利用待定系数法求出直线MT的解析式，根据互相垂直的直线中自变量的系数乘积为-1易得直线HT的解析式为，根据题干提供的信息可知点N一定在直线HT上，且满足TN=TM，设点N，据此结合两点间的距离公式建立方程，求解可得a的值，从而即可求出点N的坐标；
（3）①当A'在x轴上方时，过A'作AF'⊥y 轴于F，证明△A'FE≌△EOA（AAS），得EF＝AO＝2，A'F＝OE，设OE＝A'F＝m，则OF＝OE＋EF＝m＋2，则N（m，m＋2），将N（m，m＋2）代入y＝3x 2可得N（2，4）；②当A'在x轴下方时，过A'作A'H⊥y 轴于H，同理可得N（0， 2）；
（4）分两种情况：①当k＞0时，②当k＜0时，利用（2）的方法即可求解．
4．（2023八上·义乌期末）
（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E.求证：△BEC≌△CDA；
（2）模型应用：
①已知直线y＝x+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；
②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为(8，6)，A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣5上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标.
【答案】（1）证明：由题意可得，∠ACB=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠EBC=∠ACD，
在△BEC和△CDA中，
，
∴△BEC≌△CDA.
（2）解：①过点C作轴于点D，如图2，
在中，令可求得，令可求得，
∴，
同（1）可证得，
∴，，
∴，
∴且，
设直线AC解析式为，把C点坐标代入可得，解得，
∴直线AC解析式为；
②或或
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（2）②如图2，
当时，，
过点D作于E，过点D作于F，
同理可得：
设D点坐标为，则，
∵，即，解得，
可得D点坐标；
如图3，当时，，
过点P作于E，过点D作于F，
设点P的坐标为，同理可得：，
∴，，
∴D点坐标为，
∴，得，
∴D点坐标；
如图4，
当时，时，同理可得，
设，则，，
则，
∵
∴，解得，
∴D点坐标，
综上可知满足条件的点D的坐标分别为或或.
【分析】（1） 由题意可得∠ACB=∠ADC=∠BEC=90°，根据同角的余角相等可得∠EBC=∠ACD，由已知条件可知BC=AC，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）①过点C作CD⊥x轴于点D，分别令一次函数解析式中的x=0、y=0，求出y、x的值，得到OA、OB的值，同（1）可证得△CDB ≌△BOA，得到CD=BO=4，BD=AO=3，则OD=7，据此可得点C的坐标，然后利用待定系数法就可求出直线AC的解析式；
②当∠ADP=90°时，AD=PD，过点D作DE⊥OA于E，过点D作DF⊥BC于F，同理可得△AED ≌△DFP，设D（x，2x-5），则AE=DF=11-2x，根据DE+DF=EF=BC可求出x的值，表示出点D的坐标；当∠APD=90°时，AP=PD，同理可得点D的坐标.
5．（2023八上·鄞州期末）定义：叫做关于直线x=m的“分边折叠函数”．
（1）已知“分边折叠函数”
①直接写出该函数与y轴的交点坐标；
②若直线y=4x+t与该函数只有一个交点，求t的取值范围；
（2）已知“分边折叠函数”的图象被直线x=m与y轴所夹的线段长为，则k的值为 ．
【答案】（1）解：①将x=0代入y=-3x-6得y=-6，
∴ 该函数与y轴的交点坐标 （0，-6）；
②将x=4代入y=3x-6得y=6
令y=4x+t经过点（4，6）
∴6=16+t
∴t=-10
同理，将x=4代入y=-3x-6得y=-18
令y=4x+t经过点（4，-18）
∴-18=16+t
∴t=-34
综上分析所得，当t≥-10或t<-34时y=4x+t与该函数只有一个交点；
（2）2或 2
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（2）解： 当x＝m时，y＝ km＋k， ∴函数与直线x=m的交点为（m， km＋k）， 又∵直线y＝ kx＋k与y轴的交点为（0，k）， ∴ 解得k＝2或k＝ 2， 故答案为：2或 2．
【分析】（1）①将x＝0代入y＝ 3x 6中，即可求解；
②将x=4分别代入y=3x-6与y=3-x-6，可得两界点的坐标为（4，6），（4， 18），进而分别将这两界点坐标代入y=4x+t算出t的值结合函数的性质可知t≥ 10或t＜ 34时，直线y＝4x＋t与该函数只有一个交点；
（2）先求出函数与直线x=m的交点为（m， km＋k），直线y＝ kx＋k与y轴的交点为（0，k），由两点间的距离公式并结合已知可得方程，求解即可.
二、反比例函数
6．（2023·深圳模拟）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”
例如、、都是“不动点”，已知双曲线
（1）下列说法错误的是（ ）
A．直线的图象上有无数个“不动点”
B．函数的图象上没有“不动点”
C．直线的图象上有无数个“不动点”
D．函数的图象上有两个“不动点”
（2）求双曲线上的“不动点”；
（3）若抛物线（、为常数）上有且只有一个“不动点”，
①当时，求的取值范围．
②如果，过双曲线图象上第一象限的“不动点”作平行于轴的直线，若抛物线上有四个点到的距离为，直接写出的取值范围．
【答案】（1）C
（2）解：根据题意得：，
解得或，
故双曲线上的“不动点”为和；
（3）解：①抛物线（、为常数）上有且只有一个“不动点”，
方程组只有一组解，
方程有两个相等的实数根，
，
解得，
，
故的取值范围为；
②m的取值范围为．
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；定义新运算；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】（1）解：A．直线的图象上有无数个“不动点”，故该说法符合题意，不符合题意；
B．当时，可得，此方程无解，故函数的图象上没有“不动点”， 故该说法符合题意，不符合题意；
C．当时，可得，此方程无解，故直线的图象上没有“不动点”，故该说法不符合题意，符合题意；
D．当时，可得，解得，，故函数的图象上有两个“不动点”， 故该说法符合题意，不符合题意；
故答案为：C；
(3)②，，
，
，
该抛物线的开口向上，顶点坐标为，
由(2)知：双曲线图象上第一象限的“不动点”为，
过双曲线图象上第一象限的“不动点”做平行于轴的直线，且，
抛物线与直线有两个交点，
如图：
抛物线上有四个点到的距离为，
的取值范围为．
【分析】（1）根据“不动点”的定义求解即可；
（2）根据题意列出方程组求解即可；
（3）根据“不动点”的定义求解即可。
7．（2023九下·婺城月考）【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离.
例如，如图1，，线段的长度称为点A与直线之间的距离，当时，线段的长度也是与之间的距离.
（1）【应用】
如图2，在等腰中，，，点D为边上一点，过点D作交于点E.若，，则与之间的距离是 ；
（2）如图3，已知直线与双曲线交于与B两点，点A与点B之间的距离是 ，点O与双曲线之间的距离是 ；
（3）【拓展】
按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）.有一条“东南 西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于.现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？
【答案】（1）
（2）；
（3）解：如图，作直线，设的解析式为，与双曲线交于点A、B，过点O作于点P，过点P作轴于点H，过点A、B分别作直线的垂线、，垂足为E、F，
则，
∵直线平分第二、四象限角，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
代入，得，
解得：，
∴，
联立得：，
解得：或，
∴，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是80米.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；矩形的判定与性质；等腰直角三角形；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：（1）如图，过点D作DH⊥BC于点H，
∵，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）把代入中，得：，
∴，
把代入，得：，
∴，
∴双曲线C1的解析式为，
联立，得：，
即，
解得：，，
∴，
∴；
如图，作FG∥AB，且FG与双曲线只有一个交点，设直线FG的解析式为，
则，
整理得：，
∴，
∴或（不符合题意，舍去），
∴直线FG的解析式为，
由，
解得：，
∴，
∴；
故答案为：；.
【分析】（1）过点D作DH⊥BC于点H，由等腰直角三角形性质得∠B=45°，进而判断出△BDH是等腰直角三角形，得，据此即可解决此题；
（2）把点（1，m）代入y=-x+4可算出m的值，从而得到点A的坐标，把点A的坐标代入双曲线可求出k的值，从而得到双曲线C1的解析式；联立直线y=-x+4与双曲线C1的解析式，求解可得点B的坐标，利用两点间的距离公式算出AB，作FG∥AB，且FG与双曲线只有一个交点，设直线FG的解析式为y=-x+b，联立两函数解析式得x2-bx+3=0，由方程有两个相等的实数根可得根的判别式等于0，据此建立方程可求出b，从而得到直线FG的解析式，解联立直线FG与双曲线的解析式组成的方程组可求出点K的坐标，利用两点间的距离公式算出OK即可；
（3） 作直线AB∥l4，设AB的解析式为y=-x+b，与双曲线交于点A、B，过点O作OP⊥AB于点P，过点P作PH⊥x轴于点H，过点A、B分别作直线的垂线AE、BF，垂足为E、F， 判断出△POH是等腰直角三角形，得 ， 从而可求出点P的坐标，将点P的坐标代入y=-x+b，求出b的值，可得直线解析式；联立直线与抛物线的解析式求解得点A、B的坐标，用两点间的距离公式算出AB的长，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形及有一个角是直角的平行四边形是矩形得四边形ABEF是矩形，由矩形的对边相等即可得出EF=AB，从而得出答案.
8．（2023·深圳模拟）【探究函数的图象与性质】
（1）函数的自变量x的取值范围是 ；
（2）下列四个函数图象中，函数的图象大致是 ；
（3）对于函数，求当时，y的取值范围．请将下列的求解过程补充完整．
解：∵，∴ ．
∵，∴ ．
（4）【拓展说明】
若函数，求y的取值范围．
【答案】（1）
（2）C
（3）2；2
（4）解：∵，
∴
，
∵，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；函数自变量的取值范围；反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵函数，
∴当时，，当时，，
故答案为：C．
（3）解：∵，∴．
∵，∴．
故答案为：，；
【分析】（1）根据分式有意义可知x≠0，即得自变量x的范围；
（2）由知当时，，当时，，据此判断即可；
（3）由≥2，即可得解；
（4）由（3）知， 根据偶次幂的非负性即可求解.
9．（2023·随州模拟）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标系原点，矩形的边，分别在轴和轴上，其中，.已知反比例函数的图象经过边上的中点，交于点.
（1）求的值；
（2）猜想的面积与的面积之间的关系，请说明理由.
（3）若点在该反比例函数的图象上运动（不与点重合），过点作轴于点，作所在直线于点，记四边形的面积为，求关于的解析式并写出的取值范围.
【答案】（1）解：四边形是矩形，
，
，
设，，
由勾股定理得，，
，
，
，
，，
是的中点，
，
，
设，
把代入得，.
（2）解：，
由题意可知，，
是的中点，
，
，
，
在反比例函数图象上，
，
，
.
（3）解：当时，如图所示：
，
，
当时，如图所示：
，
∴，
综上所述，，；
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得∠OCB=90°，利用三角函数的概念可设BC=4x，OB=5x，由勾股定理可得x的值，由中点的概念可得CD的值，表示出点D的坐标，然后代入y=中就可求出k的值；
（2）根据反比例函数系数k的几何意义可得S△OCD=S△OAE==3，根据中点的概念结合三角形的面积公式可得S△OCD=S△OBD=S△BDC，根据全等三角形的性质可得S△OBA=S△OBC=6，然后根据面积间的和差关系进行计算；
（3）当02时，CQ=x，PQ=3-，然后根据S矩形QCRP=CQ·PQ进行解答.
10．（2023·青羊模拟）已知一次函数与反比例函数的图象交于、B两点，交y轴于点C.
（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；
（2）过点C的直线交x轴于点E，且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长；
（3）我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”.设点P是y轴负半轴上一点，点Q是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形是“维纳斯四边形”时，求Q点的横坐标的值.
【答案】（1）解：∵过，
∴，
∴，则，
又∵过，
∴，
∴反比例函数的表达式为.
∴，解得：或，
∴.
（2）解：令，则，
∴.
设直线的解析式为设，
∴，即：，
∵直线与反比例函数图象只有一个交点，
∴，
∴，
∴，令，则，
∴，
∴.
（3）解：由图可知在第一象限、不可能相等，
如图，当，时，点作轴于，轴于，与的交点为，，
设点的坐标为，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设（），
∴，
∵点在一次函数图象上，
∴，整理得，
解得（负数舍去），
∴点的横坐标的值为.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等的判定（AAS）；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）将（2，m）代入y1=x+2中求出m的值，得到点A的坐标，然后代入y2=中求出k的值，得到反比例函数的解析式，联立直线与反比例函数的解析式，求出x、y的值，据此可得点B的坐标；
（2）易得C（0，2），设直线CE的解析式为y=kx+2，联立反比例函数的解析式并结合△=0可得k的值，得到直线CE的解析式，令y=0，求出x的值，得到点E的坐标，然后利用两点间距离公式进行计算；
（3）由图可知在第一象限QB、QA不可能相等，当∠APB=90°，PB=PA时，过点B作BN⊥y轴于N，AM⊥y轴于M，AB与PQ的交点为D，PD=QD，设P（0，n），由同角的余角相等可得∠BPN=∠PAM，利用AAS证明△APM≌△PBN，得到PN=AM，BN=PM，据此可得n的值，表示出点P的坐标，设Q（x，），则D（x，-），代入y1=x+2中求出x的值，据此解答.
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2023年中考数学探究性试题复习11 一次函数与反比例函数
一、一次函数
1．（2023九下·秦淮月考）【类比研究】类比数的运算的学习，小明发现初中所学习的函数就是变量的运算.对于一个变量x，对它进行运算，得到另一个变量y，则y是x的函数.
【概念提出】若对x只加上（减去）一个常数，则该函数为一级函数：对x只乘（除以）一个常数（不为1），则该函数为二级函数：对x只进行乘方（开方）运算，则该函数为三级函数；若对某级函数中自变量的代数式再进行不同的运算，则新函数为该级函数的衍生函数.
（1）【特例辨别】
下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥，其中是三级函数的是 .（填写所有符合要求的函数的序号）
（2）【运算与变化】
将二级函数的图象向上平移5个单位长度后得其衍生函数图象，则该衍生函数关系式为 ；也可对进行乘法运算所得衍生函数的图象与的图象的关系为 .
（3）对于函数的运算与变化，下列说法中正确的是（ ）
①是二级函数；
②将再进行减法运算，所得衍生函数的图象与原图象平行；
③将再除以2所得衍生函数的图象是把函数的图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍；
④将先减3再平方与先平方再减3所得衍生函数是同一个函数.
A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
（4）【知识应用】请写出一级函数如何对变量x进行运算得到衍生函数（、是常数，，），并写出衍生函数的两条不同类型的性质.
2．（2023·开江模拟）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如：点是函数的图像的“等值点”.
（1）分别判断函数，的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数，的图像的“等值点”分别为点，，过点作轴，垂足为.当的面积为3时，求的值；
（3）若函数的图像记为，将其沿直线翻折后的图像记为，当，两部分组成的图像上恰有2个“等值点”时，直接写出的取值范围.
3．（2023八上·宁波期末）在平面直角坐标系中，给出以下定义：对于x轴上点M（a，0）（其中a为正整数）与坐标平面内一点N，若y轴上存在点T，使得，且，则称点N为a宝点，如示例图，我们可知点N（-1，0）为1宝点，理由如下：在x轴上取点M（1，0），以MN为斜边作等腰直角三角形MNT，可以算得一个点T（0，1），它是在y轴上的，因此点N（-1，0）为1宝点．
（1）如图①，在点A（2，0），B（2，-2），C（0，1），D（-2，0）中，2宝点是点 ．（填“A”“B”“C”或“D”）
（2）如图①，点M（4，0），T（0，3），若N为4宝点，求点N的坐标．
（3）如图②，若一次函数的图象上存在2宝点，求这个2宝点的坐标
（4）若一次函数图象上存在无数个3宝点，请直接写出该一次函数的解析式．
4．（2023八上·义乌期末）
（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E.求证：△BEC≌△CDA；
（2）模型应用：
①已知直线y＝x+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；
②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为(8，6)，A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣5上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标.
5．（2023八上·鄞州期末）定义：叫做关于直线x=m的“分边折叠函数”．
（1）已知“分边折叠函数”
①直接写出该函数与y轴的交点坐标；
②若直线y=4x+t与该函数只有一个交点，求t的取值范围；
（2）已知“分边折叠函数”的图象被直线x=m与y轴所夹的线段长为，则k的值为 ．
二、反比例函数
6．（2023·深圳模拟）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”
例如、、都是“不动点”，已知双曲线
（1）下列说法错误的是（ ）
A．直线的图象上有无数个“不动点”
B．函数的图象上没有“不动点”
C．直线的图象上有无数个“不动点”
D．函数的图象上有两个“不动点”
（2）求双曲线上的“不动点”；
（3）若抛物线（、为常数）上有且只有一个“不动点”，
①当时，求的取值范围．
②如果，过双曲线图象上第一象限的“不动点”作平行于轴的直线，若抛物线上有四个点到的距离为，直接写出的取值范围．
7．（2023九下·婺城月考）【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离.
例如，如图1，，线段的长度称为点A与直线之间的距离，当时，线段的长度也是与之间的距离.
（1）【应用】
如图2，在等腰中，，，点D为边上一点，过点D作交于点E.若，，则与之间的距离是 ；
（2）如图3，已知直线与双曲线交于与B两点，点A与点B之间的距离是 ，点O与双曲线之间的距离是 ；
（3）【拓展】
按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）.有一条“东南 西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于.现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？
8．（2023·深圳模拟）【探究函数的图象与性质】
（1）函数的自变量x的取值范围是 ；
（2）下列四个函数图象中，函数的图象大致是 ；
（3）对于函数，求当时，y的取值范围．请将下列的求解过程补充完整．
解：∵，∴ ．
∵，∴ ．
（4）【拓展说明】
若函数，求y的取值范围．
9．（2023·随州模拟）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标系原点，矩形的边，分别在轴和轴上，其中，.已知反比例函数的图象经过边上的中点，交于点.
（1）求的值；
（2）猜想的面积与的面积之间的关系，请说明理由.
（3）若点在该反比例函数的图象上运动（不与点重合），过点作轴于点，作所在直线于点，记四边形的面积为，求关于的解析式并写出的取值范围.
10．（2023·青羊模拟）已知一次函数与反比例函数的图象交于、B两点，交y轴于点C.
（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；
（2）过点C的直线交x轴于点E，且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长；
（3）我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”.设点P是y轴负半轴上一点，点Q是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形是“维纳斯四边形”时，求Q点的横坐标的值.
答案解析部分
1．【答案】（1）④，⑥
（2）；将的图象纵坐标扩大为原来的2倍，横坐标不变得的图象
（3）B
（4）解：将一级函数先平方运算，再进行减法运算减去m，最后进行除法运算：k除以.
函数图象关于y轴对称.
当时，时，y随增大而增大；时，y随增大而增大；时，y随增大而减小；时，y随增大而减小.
当时，时，y随增大而减小；时，y随增大而减小；时，y随增大而增大；时，y随增大而增大.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）根据三级函数的定义，④，⑥，对x只进行乘方（开方）运算，
∴④，⑥是三级函数，
故答案为：④，⑥；
（2）将二级函数的图象向上平移5个单位长度后得其衍生函数图象，则该衍生函数关系式为；
也可对进行乘法运算所得衍生函数的图象与的图象的关系为将的图象纵坐标扩大为原来的2倍，横坐标不变得的图象.
故答案为：；将的图象纵坐标扩大为原来的2倍，横坐标不变得的图象；
（3）①是二级函数，该说法正确；
②将再进行减法运算，所得衍生函数的图象与原图象平行，该说法正确；
③将再除以2所得衍生函数的图象是把函数的图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍；该说法正确；
④将先减3再平方所得衍生函数是，
先平方再减3所得衍生函数是，不是同一个函数.该说法不正确；
综上，正确的有①②③，
故答案为：B.
【分析】（1）根据三级函数的定义进行判断；
（2）根据“左加右减，上加下减”的平移规则可得衍生函数关系式，据此解答
（3）根据二级函数的概念可判断①；根据两一次函数图象平行的条件可判断②；根据横纵坐标的关系可判断③；首先表示出衍生函数，进而可判断④；
（4）一级函数y=x先平方运算，再进行减法运算减去m，最后进行除法运算可得衍生函数y=，根据函数的对称性、增减性写出两条性质即可.
2．【答案】（1）解：在中，令，得不成立，
∴函数的图像上不存在“等值点”；
在中，令，
解得：，，
∴函数的图像上有两个“等值点”或，
综上所述，不存在“等值点”，存在“等值点”，有两个“等值点”或.
（2）解：在函数中，令，解得：，
∴，
在函数中，令，解得：，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵的面积为3，
∴，
当时，，解得，
当时，，
∵，
∴方程没有实数根，
当时，，解得：，
综上所述，的值为或.
（3）解：或
【知识点】一次函数的图象；二次函数图象的几何变换；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；定义新运算
【解析】【解答】解：（3）解：令，解得：，，
∴函数的图像上有两个“等值点”或，
①当时，，两部分组成的图像上必有2个“等值点”或，
：，：，
令，整理得：，
∵的图像上不存在“等值点”，
∴，
∴，
∴，
②当时，有3个“等值点”、、，
③当时，，两部分组成的图像上恰有2个“等值点”，
④当时，，两部分组成的图像上恰有1个“等值点”，
⑤当时，，两部分组成的图像上没有“等值点”，
综上所述，当，两部分组成的图像上恰有2个“等值点”时，或.
【分析】（1）根据 “等值点” 的定义建立方程并解之即可；
（2）先根据 “等值点” 的定义求出函数的“等值点” ，同理求出 ， 根据的面积为3， 可得， 求解即可；
（3）先求出函数的图像上有两个“等值点”或，再用翻折的性质分类讨论即可.
3．【答案】（1）D
（2）解：如图，作直线MT，并过点T作HT⊥AM于点T，
设直线AM为y=kx+b，
将点 M（4，0），T（0，3） 代入，
得
解得
∴直线MT为：，
∵HT⊥AM于点T
∴直线TH为：，
根据题意易得点N一定在直线HT上，设点N，
则可得，
解得a=±3，
∴当a=3时，，
当a=-3时，，
∴N（-3，-1）或N（3，7）.
（3）解：设2宝点为点A'
①当A'在x轴上方时，过A'作AF'⊥y 轴于F，如图所示：
∵A'是2的宝点，
∴
∴
∵
∴
∴ ，
设 ，则
∴
将 代入 得：
，解得 ，
∴ （2，4）
②当A'在x轴下方时，过A'作A'H⊥y 轴于H，如图所示：
同①可证明 （AAS），
∴ ，
设 ，则
∴A'（-n，n-2），
将 （-n，n-2）代入 得：
，解得
∴A'（0，-2）
综上所述， A点的坐标为（2，4）或（0，-2）；
（4）解：y=x+3；y=-x-3
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）如图，取点T（0，2），连接DT，AT，
∵D（ 2，0），A（2，0），T（0，2），
∴OT＝OD＝OA＝2，
∴△ADT是等腰直角三角形，
∴在点B（2， 2），C（0，1），D（ 2，0）中，2宝点是点D，
故答案为：D；
（4） 若一次函数y=kx+b（k≠0）图象上存在无数个3宝点，分类讨论：
①当k＞0时，如图，
∵N是3宝点，
∴∠MTN＝90°，MT＝NT，
∴∠NTF＝90° ∠MTO＝∠TMO，
∵∠NFT＝∠TOM＝90°，
∴△NFT≌△TOM（AAS），
∴TF＝MO＝3，NF＝OT，
设OT＝NF＝m，则OF＝OT＋TF＝m＋3，
∴N（m，m＋3），
∵一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象上存在无数个无数个3宝点，
∴该一次函数的解析式为y＝x＋3；
②当k＜0时，如图，
同①可证明△MOT≌THN（AAS），
∴NH＝OT，TH＝OM＝3，
设NH＝OT＝n，则OH＝TH OT＝n 3，
∴N（ n，n 3），
∴该一次函数的解析式为y＝ x 3，
综上，该一次函数的所有解析式为y＝x＋3或y＝ x 3．
【分析】 （1）取点T（0，2），连接DT，AT，可得△ADT是等腰直角三角形，即知2宝点是点D；
若一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象上存在无数个无数个3宝点，
（2）作直线MT，并过点T作HT⊥AM于点T，利用待定系数法求出直线MT的解析式，根据互相垂直的直线中自变量的系数乘积为-1易得直线HT的解析式为，根据题干提供的信息可知点N一定在直线HT上，且满足TN=TM，设点N，据此结合两点间的距离公式建立方程，求解可得a的值，从而即可求出点N的坐标；
（3）①当A'在x轴上方时，过A'作AF'⊥y 轴于F，证明△A'FE≌△EOA（AAS），得EF＝AO＝2，A'F＝OE，设OE＝A'F＝m，则OF＝OE＋EF＝m＋2，则N（m，m＋2），将N（m，m＋2）代入y＝3x 2可得N（2，4）；②当A'在x轴下方时，过A'作A'H⊥y 轴于H，同理可得N（0， 2）；
（4）分两种情况：①当k＞0时，②当k＜0时，利用（2）的方法即可求解．
4．【答案】（1）证明：由题意可得，∠ACB=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠EBC=∠ACD，
在△BEC和△CDA中，
，
∴△BEC≌△CDA.
（2）解：①过点C作轴于点D，如图2，
在中，令可求得，令可求得，
∴，
同（1）可证得，
∴，，
∴，
∴且，
设直线AC解析式为，把C点坐标代入可得，解得，
∴直线AC解析式为；
②或或
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（2）②如图2，
当时，，
过点D作于E，过点D作于F，
同理可得：
设D点坐标为，则，
∵，即，解得，
可得D点坐标；
如图3，当时，，
过点P作于E，过点D作于F，
设点P的坐标为，同理可得：，
∴，，
∴D点坐标为，
∴，得，
∴D点坐标；
如图4，
当时，时，同理可得，
设，则，，
则，
∵
∴，解得，
∴D点坐标，
综上可知满足条件的点D的坐标分别为或或.
【分析】（1） 由题意可得∠ACB=∠ADC=∠BEC=90°，根据同角的余角相等可得∠EBC=∠ACD，由已知条件可知BC=AC，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）①过点C作CD⊥x轴于点D，分别令一次函数解析式中的x=0、y=0，求出y、x的值，得到OA、OB的值，同（1）可证得△CDB ≌△BOA，得到CD=BO=4，BD=AO=3，则OD=7，据此可得点C的坐标，然后利用待定系数法就可求出直线AC的解析式；
②当∠ADP=90°时，AD=PD，过点D作DE⊥OA于E，过点D作DF⊥BC于F，同理可得△AED ≌△DFP，设D（x，2x-5），则AE=DF=11-2x，根据DE+DF=EF=BC可求出x的值，表示出点D的坐标；当∠APD=90°时，AP=PD，同理可得点D的坐标.
5．【答案】（1）解：①将x=0代入y=-3x-6得y=-6，
∴ 该函数与y轴的交点坐标 （0，-6）；
②将x=4代入y=3x-6得y=6
令y=4x+t经过点（4，6）
∴6=16+t
∴t=-10
同理，将x=4代入y=-3x-6得y=-18
令y=4x+t经过点（4，-18）
∴-18=16+t
∴t=-34
综上分析所得，当t≥-10或t<-34时y=4x+t与该函数只有一个交点；
（2）2或 2
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（2）解： 当x＝m时，y＝ km＋k， ∴函数与直线x=m的交点为（m， km＋k）， 又∵直线y＝ kx＋k与y轴的交点为（0，k）， ∴ 解得k＝2或k＝ 2， 故答案为：2或 2．
【分析】（1）①将x＝0代入y＝ 3x 6中，即可求解；
②将x=4分别代入y=3x-6与y=3-x-6，可得两界点的坐标为（4，6），（4， 18），进而分别将这两界点坐标代入y=4x+t算出t的值结合函数的性质可知t≥ 10或t＜ 34时，直线y＝4x＋t与该函数只有一个交点；
（2）先求出函数与直线x=m的交点为（m， km＋k），直线y＝ kx＋k与y轴的交点为（0，k），由两点间的距离公式并结合已知可得方程，求解即可.
6．【答案】（1）C
（2）解：根据题意得：，
解得或，
故双曲线上的“不动点”为和；
（3）解：①抛物线（、为常数）上有且只有一个“不动点”，
方程组只有一组解，
方程有两个相等的实数根，
，
解得，
，
故的取值范围为；
②m的取值范围为．
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；定义新运算；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】（1）解：A．直线的图象上有无数个“不动点”，故该说法符合题意，不符合题意；
B．当时，可得，此方程无解，故函数的图象上没有“不动点”， 故该说法符合题意，不符合题意；
C．当时，可得，此方程无解，故直线的图象上没有“不动点”，故该说法不符合题意，符合题意；
D．当时，可得，解得，，故函数的图象上有两个“不动点”， 故该说法符合题意，不符合题意；
故答案为：C；
(3)②，，
，
，
该抛物线的开口向上，顶点坐标为，
由(2)知：双曲线图象上第一象限的“不动点”为，
过双曲线图象上第一象限的“不动点”做平行于轴的直线，且，
抛物线与直线有两个交点，
如图：
抛物线上有四个点到的距离为，
的取值范围为．
【分析】（1）根据“不动点”的定义求解即可；
（2）根据题意列出方程组求解即可；
（3）根据“不动点”的定义求解即可。
7．【答案】（1）
（2）；
（3）解：如图，作直线，设的解析式为，与双曲线交于点A、B，过点O作于点P，过点P作轴于点H，过点A、B分别作直线的垂线、，垂足为E、F，
则，
∵直线平分第二、四象限角，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
代入，得，
解得：，
∴，
联立得：，
解得：或，
∴，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是80米.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；矩形的判定与性质；等腰直角三角形；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：（1）如图，过点D作DH⊥BC于点H，
∵，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）把代入中，得：，
∴，
把代入，得：，
∴，
∴双曲线C1的解析式为，
联立，得：，
即，
解得：，，
∴，
∴；
如图，作FG∥AB，且FG与双曲线只有一个交点，设直线FG的解析式为，
则，
整理得：，
∴，
∴或（不符合题意，舍去），
∴直线FG的解析式为，
由，
解得：，
∴，
∴；
故答案为：；.
【分析】（1）过点D作DH⊥BC于点H，由等腰直角三角形性质得∠B=45°，进而判断出△BDH是等腰直角三角形，得，据此即可解决此题；
（2）把点（1，m）代入y=-x+4可算出m的值，从而得到点A的坐标，把点A的坐标代入双曲线可求出k的值，从而得到双曲线C1的解析式；联立直线y=-x+4与双曲线C1的解析式，求解可得点B的坐标，利用两点间的距离公式算出AB，作FG∥AB，且FG与双曲线只有一个交点，设直线FG的解析式为y=-x+b，联立两函数解析式得x2-bx+3=0，由方程有两个相等的实数根可得根的判别式等于0，据此建立方程可求出b，从而得到直线FG的解析式，解联立直线FG与双曲线的解析式组成的方程组可求出点K的坐标，利用两点间的距离公式算出OK即可；
（3） 作直线AB∥l4，设AB的解析式为y=-x+b，与双曲线交于点A、B，过点O作OP⊥AB于点P，过点P作PH⊥x轴于点H，过点A、B分别作直线的垂线AE、BF，垂足为E、F， 判断出△POH是等腰直角三角形，得 ， 从而可求出点P的坐标，将点P的坐标代入y=-x+b，求出b的值，可得直线解析式；联立直线与抛物线的解析式求解得点A、B的坐标，用两点间的距离公式算出AB的长，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形及有一个角是直角的平行四边形是矩形得四边形ABEF是矩形，由矩形的对边相等即可得出EF=AB，从而得出答案.
8．【答案】（1）
（2）C
（3）2；2
（4）解：∵，
∴
，
∵，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；函数自变量的取值范围；反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵函数，
∴当时，，当时，，
故答案为：C．
（3）解：∵，∴．
∵，∴．
故答案为：，；
【分析】（1）根据分式有意义可知x≠0，即得自变量x的范围；
（2）由知当时，，当时，，据此判断即可；
（3）由≥2，即可得解；
（4）由（3）知， 根据偶次幂的非负性即可求解.
9．【答案】（1）解：四边形是矩形，
，
，
设，，
由勾股定理得，，
，
，
，
，，
是的中点，
，
，
设，
把代入得，.
（2）解：，
由题意可知，，
是的中点，
，
，
，
在反比例函数图象上，
，
，
.
（3）解：当时，如图所示：
，
，
当时，如图所示：
，
∴，
综上所述，，；
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得∠OCB=90°，利用三角函数的概念可设BC=4x，OB=5x，由勾股定理可得x的值，由中点的概念可得CD的值，表示出点D的坐标，然后代入y=中就可求出k的值；
（2）根据反比例函数系数k的几何意义可得S△OCD=S△OAE==3，根据中点的概念结合三角形的面积公式可得S△OCD=S△OBD=S△BDC，根据全等三角形的性质可得S△OBA=S△OBC=6，然后根据面积间的和差关系进行计算；
（3）当02时，CQ=x，PQ=3-，然后根据S矩形QCRP=CQ·PQ进行解答.
10．【答案】（1）解：∵过，
∴，
∴，则，
又∵过，
∴，
∴反比例函数的表达式为.
∴，解得：或，
∴.
（2）解：令，则，
∴.
设直线的解析式为设，
∴，即：，
∵直线与反比例函数图象只有一个交点，
∴，
∴，
∴，令，则，
∴，
∴.
（3）解：由图可知在第一象限、不可能相等，
如图，当，时，点作轴于，轴于，与的交点为，，
设点的坐标为，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设（），
∴，
∵点在一次函数图象上，
∴，整理得，
解得（负数舍去），
∴点的横坐标的值为.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等的判定（AAS）；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）将（2，m）代入y1=x+2中求出m的值，得到点A的坐标，然后代入y2=中求出k的值，得到反比例函数的解析式，联立直线与反比例函数的解析式，求出x、y的值，据此可得点B的坐标；
（2）易得C（0，2），设直线CE的解析式为y=kx+2，联立反比例函数的解析式并结合△=0可得k的值，得到直线CE的解析式，令y=0，求出x的值，得到点E的坐标，然后利用两点间距离公式进行计算；
（3）由图可知在第一象限QB、QA不可能相等，当∠APB=90°，PB=PA时，过点B作BN⊥y轴于N，AM⊥y轴于M，AB与PQ的交点为D，PD=QD，设P（0，n），由同角的余角相等可得∠BPN=∠PAM，利用AAS证明△APM≌△PBN，得到PN=AM，BN=PM，据此可得n的值，表示出点P的坐标，设Q（x，），则D（x，-），代入y1=x+2中求出x的值，据此解答.
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