广东省清远市阳山县南阳中学2022-2023学年高一下学期5月第二次月考数学试题（含答案）

南阳中学2022-2023学年第二学期第二次月考
高一级数学科试卷
一、单选题，8个小题，每小题5分共40分
1．若（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
2．下列几何体是旋转体的是( )
①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体.
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
3．设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ）
A．和 B．与
C．与 D．与
4．已知复数（，为虚数单位）为纯虚数，则的值是（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
5．已知平面向量，，若与垂直，则实数( )
A． B． C． D．
6．在，其内角的对边分别为，若，则的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
7．在平行四边形中，，则（ ）
A． B． C． D．
8．2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为6，则图③中的值为（ ）
A． B．6 C． D．24
二、多选题，4个小题，每小题5分共20分，有错选不得分，少选且正确得2分
9．下列说法正确的是（ ）
A．圆柱的所有母线长都相等 B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．棱台的侧棱延长后必交于一点
10．设向量，则（ ）
A． B．
C．与的夹角为 D．在上的投影向量为
11．已知复数(i为虚数单位)在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．点在复平面上的坐标为 B．
C．的最大值为 D．的最小值为
12．东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”.如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.对于图2.下列结论正确的是（ ）
A．这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形
B．若，，则
C．若，则
D．若是的中点，则三角形的面积是三角形面积的7倍
三、填空题，4个小题，每小题5分共20分
＋－＝_____________.
14．在中， 分别是内角A，B，C所对的边，若，则___________．
15．如图所示的图案，是由圆柱、球和圆锥组成，已知球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面，则图案中圆锥、球、圆柱的体积=__________.
16．如图，某山的高度BC＝300m，一架无人机在Q处观测到山顶C的仰角为15°，地面上A处的俯角为45°，若∠BAC＝60°，则此无人机距离地面的高度PQ为__________m．
四、解答题，6个小题，第17题10分，第18-22每题12分，共70分
17．计算：
(1)；
(2)．
18．已知，，与的夹角为．
(1)求；
(2)当为何值时，？
19．已知复数（，i为虚数单位），z在复平面上对应的点在第四象限，且满足．
(1)求实数b的值；
(2)若复数z是关于x的方程（，且）的一个复数根，求的值．
20．在中，角所对的边分别为，且．
(1)求角C的大小；
(2)若，，求的周长．
21．如图，在边长为2的等边三角形中，D是的中点.
(1)求向量与向量的夹角；
(2)若O是线段上任意一点，求的最小值.
22．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，且.
(1)求内角A的大小；
(2)若，求面积的最大值.
试卷第1页，共3页
南阳中学2022-2023学年第二学期第二次月考
高一级数学科参考答案
1．B 2 .A 3.D 4．C 5.A 6．A
7．A【详解】由题意可得，,
，消元解得.
8．D【详解】在图③中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
，，，即，
，由分形知，所以，
所以，所以．
9．ABD 10．AD
11．BC
设，则，即，所以，复数在复平面内对应的点在圆上，其圆心为，半径，
表示的是复数和在复平面内对应的两点之间的距离，即.
而的最大值是；的最小值是.所以的最大值为，最小值为，故C正确，D错误．
12．ABD【详解】解：对于A选项，根据题意，图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，故，，所以这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形，故A选项正确；
对于B选项，由题知，在中，，，，所以，所以由正弦定理得解得，因为，所以，故B选项正确；
对于C选项，不妨设，所以在中，由余弦定理得，代入数据得，所以，所以，故C选项错误；
对于D选项，若是的中点，则，所以，故D选项正确.
13.答案： 14．/0.875
15．【详解】设底面圆的半径为，则圆柱的高为，球的半径为，
所以，圆锥的体积，，，
所以，图案中圆锥、球、圆柱的体积.
16．200 【详解】根据题意，在RtABC中，∠BAC＝60°，BC＝300m，
所以m，
在ACQ中，∠AQC＝45°＋15°＝60°，∠QAC＝180°－45°－60°＝75°，
所以∠QCA＝180°－∠AQC－∠QAC＝45°，
由正弦定理，得，即m，
在RtAPQ中，PQ＝AQsin45°＝m．
（1）；(5分，一个化简1分；结果2分)
（2）.（10分，第一步2分，化简2分，结果1分）
18．【详解】（1），（2分）
，（4分）.（6分）
由得：，
（10分，数量积等于零2分，化简正确2分）解得：.（12分）
19【详解】（1）∵z在复平面上对应的点在第四象限，∴，（1分）
∵，∴，（3分）∴（5分）
（2）（法一）由题可知，为关于x方程的两个复数根，（7分）
∴，（9分）解得，（11分）∴；（12分）
（法二）将代入方程可得，（7分）
∴，（9分）解得，（11分）∴.（12分）
20．【详解】（1）在中，由正弦定理及得：，（2分，使用余弦定理化简亦可）
整理得：，（3分）
而，则（4分），又，（5分）所以.（6分）
（2）依题意，，（7分）解得，（8分）
由余弦定理得：，（10分）
解得：，（11分）所以的周长.（12分）
21.（1）建立平面直角坐标系，如图
（1分）
（3分）
（5分）
（6分）
（2）由（1）的坐标系，（8分）
（10分）
（12分）
注：法二（作图法）作出，然后找到与的夹角，结合几何图象证明；法三（转化法），亦可。
22.【详解】（1），（2分）
（3分）
（4分）（5分）（6分）
（2）由余弦定理得：（7分）
（9分）即（10分）
（11分）
当且仅当时，面积有最大值，最大值为（12分）