4.4.3 不同函数增长的差异 教学设计

4.4.3 不同函数增长的差异
（一）教学内容
1、指数函数与一次函数的增长差异；
2、对数函数与一次函数的增长；
3、理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的含义。
（二）教学目标
1、了解指数函数、对数函数、一次函数的增长差异；
2、了解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的含义，提升对三类函数的认识。
（三）教学重点及难点
1.教学重点
指数函数、对数函数、一次函数的增长差异。
2.教学难点
几种增长函数模型的应用.
（四）教学过程设计
引语 ：在前面的学习中我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异．事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异．
问题1：现在我们先研究一次函数与指数函数增长的差异，你觉得用什么方法可以探究出他们的差异？
师生活动：（1）学生思考讨论回答问题。
从特殊到一般，从具体到抽象的方法。
追问1：分别选取哪个具体的函数呢？
分别选取y=2x ， y=2x
追问2：在哪个区间研究？
+）
（4）借助信息技术，列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表，并在同一坐标系中画出y=2x ， y=2x的图象。
x y=2x y=2x
0 1 0
0.5 1.414 1
1 2 2
1.5 2.828 3
2 4 4
2.5 5.657 5
3 8 6
··· ··· ···
追问3：通过表格和图象，你观察到他们有交点吗？有几个交点？
有两个交点，（1,2），（2,4）
追问4：通过表格和图象，你观察到他们的增长差异了吗？
1、在区间[0,1）上y=2x 的图象位于y=2x之上；
2、在区间（1,2）上y=2x 的图象位于y=2x之下；
3、在区间（2,3）上y=2x的图像位于y=2x之上。
这表明：虽然函数与y=2x在都是单调递增，但是它们的增长速度不同，函数y=2x的增长速度不变，但是的增长速度改变.
追问5：在更大的范围，你们能观察到他们的增长情况吗？
总结：1、函数 y=2x与 y=2x在[0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在一个“档次”.
2、随着x的增大，y=2x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=2x的增长速度.
3、尽管在 x 的一定范围内, 2x <2 x, 但由于y=2x 的增长最终会快于 y=2x的增长, 因此, 总会存在一个x0, 当x>x0时, 恒有2x >2x.
（7）追问5：类比上述能否推广到一般情况？
一般地，指数函数y=ax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)的增长情况与上述情况类似。
即使k值远远大于a值， y=ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y=kx(k>0)的增长速度.
y=ax(a>1)的这种增长方式称为指数爆炸增长。
设计意图：通过画出特殊的指数函数和一次函数的图形，观察归纳出两类函数增长的差异和特点，发展学生逻辑推理数学抽象数学运算等核心素养。
问题2：类比探究指数函数与一次函数的增长差异，你可以可以探究出对数函数与一次函数的差异吗？
师生活动：（1）学生类比刚才的探究分组探究对数函数与一次函数的差异。
（2）追问1：分别选取哪个具体的函数呢？
以函数与为例.
(3)追问2：在哪个区间研究？
在区间[0,+∞)上.
（4）借助信息技术，列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表，并在同一坐标系中画出与的图象。
（5）追问3：通过表格和图象，你观察到他们有交点吗？有几个交点？
有1个交点，（10,1）
（6）追问4：通过表格和图象，你观察到他们的增长差异了吗？
虽然在[0，＋∞）上都单调递增，但增长速度存在着明显的差异．随着x的增大，函数的图象离x轴越来越远，而函数y＝lgx的图象越来越平缓，就象与x轴平行一样．
例如：lg10=1，lg100=2，lg1000=3，lg10000=4；
这表明，当，即，比相比增长得就很慢了.
追问5：将放大1000倍，将函数与 比较，仍有上面规律吗？
仍然有.
总结：一般地，虽然对数函数与一次函数 在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.
随着x的增大，一次函数保持固定的增长速度，而对数函数的增长速度越来越慢.
不论值比值大多少，在一定范围内，可能会大于，但由于的增长会慢于的增长，因此总存在一个，当时，恒有.
设计意图：通过观察图象结合数据分析，数形结合地抽象出一次函数与对数函数的增长差异，发展学生逻辑推理数学抽象数学运算等核心素养。
问题3：类比上述过程，画出一次函数，对数函数和指数函数的图象，并比较它们的增长差异；
师生活动：学生交流展示总结。
总结：1、 函数y=2x ，y=lgx与y=2x在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度存在明显差异.
2、y=2x在(0,+∞)上增长速度不变，函数y=lgx与y=2x在(0,+∞)上的增长速度在变化.
3、函数y=2x的增长速度越来越快，图象越来越陡，就像与 x 轴垂直一样；函数y=lgx的增长速度越来越慢，图象越来越平缓，就像与x轴平行一样.
设计意图：通过同时比较三种函数的增长差异，体会它们之间增长的差异，发展学生逻辑推理核心素养。
问题4：能总结一次函数、对数函数和指数函数的增长差异吗
师生活动：学生交流展示总结。
总结：1、一般地，一次函数y=kx(k>0) ,对数函数y=logax(a>1)和指数函数y=bx(b>1) 在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.
2、 随着x的增大，一次函数y=kx(k>0)保持固定的增长速度，而指数函数y=bx(b>1)的增长速度越来越快；对数函数y=logax(a>1的增长速度越来越慢.
3、不论b值比k值小多少，在一定范围内，bx可能会小于kx ，但由于y=bx的增长会快于y=kx的增长，因此总存在一个x0 ，当x>x0时，恒有bx>kx. ；
4、 不论a值比k值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx ，但由于y=logax的增长会慢于y=kx的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，恒有kx>logax.
设计意图：进一步认识一次函数、对数函数和指数函数的性质，体会它们之间增长的差异，发展学生数学抽象核心素养。
问题5：如何理解“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义？
师生活动：学生交流总结：
(1)直线上升: y=kx(k>0)的增长方式增长速度不变，是一个固定的值；
(2)对数增长：y=logax(a>1)的增长方式增长速度越来越慢，图象越来越平缓，就像与x 轴平行一样；
(3)指数爆炸：y=ax(a>1)的增长方式增长速度越来越快，以相同倍数增加，图象越来越陡，最终就像与 x轴垂直一样.
设计意图：通过总结使学生理解“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义。
问题6：回忆本节课的内容，请你回答以下几个问题：
（1）一次函数，指数函数，对数函数在定义域内增长方式的差异是什么？
（2）如何理解“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”？
师生活动：老师提问同学作答.
设计意图：通过回顾本节课内容，形成知识体系，进行知识内化。
五、目标检测设计
课堂检测
1. 下列函数中，随着 的增大，增长速度最快的是( )
A.
B.
C.
D.
[解析]因为指数函数模型增长速度最快，所以排除 ， ，又因为 ，所以随着 的增大， 的增长速度最快，故选D.
2. 测得 的两组对应值分别为 ， ，现有两个待选模型：甲： ，乙： ，若又测得 的一组对应值为 ，则应选用 （选填“甲”或“乙”）作为函数模型.
[解析]选用甲： ，当 时， .选用乙： ，当 时， .因为测得 的一组对应值为 ，所以甲更接近，应选用甲作为函数模型.
3. 函数 与函数 在区间 上增长速度较快的是 .
[解析]当 增大时， 比 增长要快，所以 的增长速度较快.
4. 函数 ， 的图象如图所示.
（1） 指出曲线 ， 分别对应哪一个函数；
[解析]由函数图象特征及变化趋势，知曲线 对应的函数为 ，
曲线 对应的函数为 .
（2） 比较两函数增长速度的差异（以两图象交点为分界点，对 ， 的大小进行比较）．
[解析]当 时， ；当 时， ；当 时， .
呈直线增长，其增长速度不变，
随着 的增大而逐渐增大，其增长速度越来越慢.
设计意图：巩固本节所学知识，巩固对函数增长差异性的认识，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。
课后作业
教科书第139页练习1,2,3,4
设计意图：巩固本节课的主要知识、方法。