4.4.1 对数函数的概念 课时教学设计

4.4.1 对数函数的概念
（一）教学内容
对数函数的概念.
（二）教学目标
1 理解对数函数的定义，会求对数函数的定义域；
2 了解对数函数与指数函数之间的联系，培养学生观察问题、分析问题和归纳问题的思维能力以及数学交流能力；渗透类比等基本数学思想方法。
（三）教学重点及难点
1.教学重点
对数函数的概念、求对数函数的定义域.
2.教学难点
对数函数与指数函数的关系.
（四）教学过程设计
问题1 ：在4.2.1的问题2中，我们已经研究了死亡生物体内碳14的y随死亡时间x的变化而衰减的规律。反过来死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？进一步地，死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？
师生活动：学生思考回答问题.
（1）根据指数与对数的关系，由（x≥０）得到如图过y轴正半轴上任意一点（0，）（ ≤１）作x轴的平行线，与（x≥０）的图象有且只有一个交点（，）．这就说明，对于任意一个y∈（０，１］，通过对应关系，在［０，＋∞）上，都有唯一确定的数x和它对应，所以x也是y的函数．也就是说，函数刻画了时间x随碳14含量y的衰减而变化的规律．
同样地，根据指数与对数的关系，由（ ＞０，且≠１）可以得到（ ＞０，且≠１）,x也是y的函数．通常，我们用x表示自变量，表y示函数．为此，将（ ＞０，且≠１）中的字母x和y对调，写成yx（ ＞０，且≠１）．
（3）追问：你能类比指数函数定义来定义上面的函数关系吗？
对数函数的概念：一般地，函数y＝x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．
设计意图：通过对指数函数回顾，类比得出对数函数的概念，发展学生逻辑推理，数学抽象、数学运算等核心素养。
问题2：如何判断一个函数是对数函数？
师生活动：学生思考讨论回答问题。
三看：一看系数，对数符号前面的系数为1；二看底数，对数的底数是不等于1的正的常数；三看真数，对数的真数仅有自变量x。三者缺一不可。
设计意图：进一步理解对数函数的概念，发展学生逻辑推理，数学抽象等核心素养。
问题3：求对数型函数的定义域时应遵循什么原则？
师生活动：（1）学生思考讨论回答问题。
定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，对数函数的定义域是(0，＋∞)．求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.
（2）例1 求下列函数的定义域：
(1)；
(2)．
解：　(1)因为所以函数的定义域是
(2)因为所以函数的定义域是
设计意图：求解对数函数的定义域，发展学生数学运算、逻辑推理的核心素养；
问题4：对数函数在生活中有着广泛的应用，你能应用它解决实际问题吗？
师生活动：（1）学生思考讨论回答问题。
例2　假设某地初始物价为１，每年以５％的增长率递增，经过y年后的物价为x．
（１）该地的物价经过几年后会翻一番？
（２）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律．
解：（１）由题意可知，经过y年后物价x为，
即（ ∈［０，＋∞））．
由对数与指数间的关系，可得y= ∈［１，＋∞）．
由计算工具可得，当＝２时，≈１４．
所以，该地区的物价大约经过１４年后会翻一番．
（２）根据函数y= ∈［１，＋∞）．利用计算工具，可得下表：
由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，
但大约每增加１倍所需要的时间在逐渐缩小．
问题5：回忆本节课的内容，请你回答以下几个问题：
对数函数的概念是什么？
如何求对数型函数的定义域？
师生活动：老师提问同学作答
设计意图：通过回顾本节课内容，形成知识体系，进行知识内化。
五、目标检测设计
课堂检测
1．设（且），若，则（ ）.
A．2 B． C． D．
【答案】C
【详解】因为（且），，
所以，即，解得，
所以，
所以.
故选：C
设计意图：本题考查了对数函数表达式的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.
2．下列函数是对数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由对数函数的定义：形如且的形式，则函数为对数函数，只有D符合.
故选D
设计意图：本题考查对数函数的定义，需掌握对数函数的定义.
3．一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域为_________.
【答案】
【详解】根据对数的真数大于零，得到对数函数的定义域为,
故答案为：.
4．如果函数对任意的正实数a，b，都有，则这样的函数可以是______（写出一个即可）
【答案】
【详解】由题意，函数对任意的正实数a，b，都有，
可考虑对数函数，满足，
故答案为：.
设计意图：本题考查抽象函数的解析式和性质，注意条件的特点，即乘积的函数值为函数值的和，着重考查推理能力，属于基础题.
5．求函数的定义域.
【答案】
【详解】由题设可得，解得.
故所求定义域为：.
课后作业
教科书第131页练习1,2,3
设计意图：巩固本节课的主要知识、方法。