4.5.1 函数的零点与方程的解 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
数学（人教A版）
必修第一册
4.5 函数的应用（二）
4.5.1 函数的零点与方程的解
函数的零点与方程的解
课题：函数的零点与方程的解（一）
（一）教学内容
函数零点的概念，函数零点存在定理
（二）教学目标
1.通过类比一元二次函数的零点的研究过程建立函数的零点的概念 ，进一步认识函数的零点与方程的解的关系，能够将方程问题转化为函数问题，体会等价转化思想、类比思想、数形结合思想，发展学生直观想象、数学抽象等数学核心素养；
2.通过研究二次函数在区间端点上的函数值的变化特征，能够发现函数零点存在定理，体会数形结合思想，发展学生直观想象、数学抽象等数学核心素养；
（三）教学重点及难点
1. 重点：函数零点存在定理
2. 难点：如何发现和理解函数零点存在定理
函数的零点与方程的解
函数的零点与方程的解
（四）教学过程设计
引导语 在“函数的应用（一）”的学习中，通过一些实例，我们已初步了解了建立函数模型解决实际问题的过程，学习了用函数描述客观事物变化规律的方法，本单元将继续学习运用函数性质求方程近似解的基本方法（二分法），再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法，今天我们先类比二次函数零点的研究方法一起探究：形如“lnx+2x-6=0”的不能用公式求解的方程解的情况，大家思考以下问题：
问题1：类比一元二次函数的零点的研究过程，怎样建立一般函数的零点的概念？
师生活动：教师安排学生先阅读教科书第147页阅读与思考“中外历史上的方程求解”再回顾一元二次函数的零点概念的研究过程，接着画出一元二次函数的图象，结合此图象体会函数零点与方程的解的关系，尝试建立一般函数零点概念.
追问：你能再举出几个例子说明函数的零点、方程的解、图象与x轴的公共点的关系吗？并用函数的图象和性质找出零点及方程的解？
学生举例、画图、观察熟悉的函数图象，体会函数零点、方程的解、图象与x轴的公共点之间的关系，深入理解函数零点与相应方程的解之间的关系.
设计意图：安排学生完成阅读与思考“中外历史上的方程求解”，从高次代数方程解的探索历程，引导学生感受数学文化、体会逻辑的严谨性，理性认识函数与方程的关系，形成将方程的问题转化成函数问题，利用函数性质解决方程问题的思维习惯，从具体例子出发，建立一般函数零点的概念，发展学生的直观想象、数学抽象等核心素养.
函数的零点与方程的解
函数的零点与方程的解
追问1：你能分别说出函数f(x)的每个零点所在的区间吗？希望得到较为接近的区间.
学生能够给出函数f(x)的零点-1在区间[-2,0]，3在区间[2,4]
追问2：你能够分别说出函数f(x)零点所在的区间的端点函数值的特征吗？通过计算说明.
函数的零点与方程的解
入思考.
学生通过举例画图分析，函数零点所在区间的特征，能够得出若有区间端点的函数值乘积为负，此区间内一定存在零点，反之，不一定成立.
函数的零点与方程的解
追问5：结合上面的研究，你能概括出函数存在零点一个的命题吗？
学生分析举例存在零点的图象特征，归纳函数零点存在的结论，师生共完善，学生写在纸上，投影展示成果，再安排学生阅读教材第143页，“函数零点存在定理”的精准表达，学生思考，引导学生思辨其中关键语句的含义.
学生举反例说明函数在给定区间内连续，结合图象得出如果区间端点乘积为负，则函数在此区间上至少有一个零点，师生总结得出：零点存在定理为研究方程的解提供了理论依据.
设计意图：按“发现定理---了解定理---应用定理”途径展开定理的研究，从逻辑的角度对定理中两个条件的充分性、必要性的考察，发展学生的数学直观、数学抽象的数学学科素养.
函数的零点与方程的解
思路1：GGB画图可得方程解的个数，如图
师生活动：教师提出不能用公式解决的方程解的问题，学生可能回答，将方程的解问题转化为函数的零点问题，可以用计算机软件画图，根据图象直接判断；也可以取特殊值估计解的情况；第三，可转化为两个函数，画图由交点个数确定；第四，用零点存在定理进行判断.学生按自己的想法进行尝试操作.
学生给出以下思路：
函数的零点与方程的解
函数的零点与方程的解
学生举例说明对于给定区间上的函数，如，“连续不异号”“异号不连续”“不连续不异号”等都不能断定该函数是否存在零点；学生能够说出研究函数在某个区间上存在零点时，可借助函数的单调性来判断是否只有一个零点解决问题的方法.
学生能够给出两种思路：
函数的零点与方程的解
思路2：用单调函数定义进行增函数的证明，略
设计意图：通过追问，让学生得出“函数在单调区间上最多有一个零点”的结论，进一步得到方程解的个数问题的转化方法，在后继学习中经常用到，有助于提升学生的数学抽象素养；探究解法的多样性，培养学生多角度思考问题的习惯，发展学生高阶思维及数学运算素养.
师生活动：学生独立完成，教师点评
设计意图：通过信息技术绘制图象，加深学生对零点存在定理的理解，对具体函数图象的实践操作，提升数形结合能力，发展直观想象素养.
函数的零点与方程的解
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设计意图：通过思考,总结本节课研究的内容及获得的一般思想方法，建构知识体系及知识间的逻辑关系
问题5：本节课学习了哪些知识，你能说出其研究路径吗？（1）本节课建立了一般函数的零点概念，进一步认识了函数零点与方程的解的关系、发现了函数的零点存在定理，利用零点存在定理求方程解所在的区间，学生经历从“情境+问题”的思维过程，抽象出一般规律和结构，使其学会以简驭繁，养成一般性的思考问题的习惯；渗透了化归与转化思想、数形结合思想，发展了直观想象、数学抽象等数学核心素养.（2）研究路径：“概念—定理一应用”，有利于学生形成系统性、普适性的数学思维方式.
（5） 课堂小结
函数的零点与方程的解
（6） 目标检测设计
(必做题）
设计意图：本题通过函数图象加深对函数性质的深层理解，主要考查零点存在定理及单调性，观察函数不同区间的图象特征，加深理解函数零点存在定理，提升数形结合能力，发展学生数学抽象素养、直观想象等素养.
函数的零点与方程的解
设计意图：通过信息技术绘制图象，能加深学生对零点存在定理的认识，对具体函数图象的实践操作，进一步理解数对形的定性刻画，对定理中的两个条件有了更深刻的思考，提升学生数形结合能力，发展直观想象素养.
设计意图：通过对表格中的数据理解，由已知点的坐标确定了的图象的特征及变化规律，为零点存在定理的应用提供了数与形的实证依据，提升了数学抽象素养、逻辑推理素养.
函数的零点与方程的解
（选做题）
设计意图：通过信息技术绘制图象，在零点存在定理的运用基础上积累探索“二分法”活动经验，为学生提供独立思考机会，发展学生的创新思维.落实“四基”、发展“四能”.
函数的零点与方程的解
谢谢！