2022-2023学年下学期广昌一中、南丰一中、金溪一中
高一第二次月考联考数学试卷
考试时间：120分钟
一、单选题（本大题共 8小题，共 40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若复数 满足 1 = ，则在复平面内 表示的点所在的象限为 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 若集合 = = cos , ∈ ， = = ln ，则 ∩ =( )
A. { | 1 ≤ ≤ 1} B. { | ≥ 0} C. 0 < ≤ 1 D.
3. 设 = 2 (sin17 2 + cos17 )， = 2cos
213 1， = 3，则 ( )2
A. < < B. < < C. < < D. < <
4. 如图，在圆 中弦 的长度为 6，则 =( )
A. 6 B. 12 C. 18 D. 无法确定
5. 函数 ( ) = sin cos 在区间 , 内的大致图象是 ( )
（第 4题图）
A. B. C. D.
6.已知点 是 所在平面内一点，若非零向量 与向量 + 共线，则 ( ) cos cos
A. ∠ = ∠ B. + + = 0
C. = D. = 0
7. 在△ 中，点 满足 = 3 ，过点 的直线与 ，
所在的直线分别交于点 ， .若 = ， = ，( >
0, > 0)，则 + 的最小值为 ( ) （第 7题图）
A. 3 3 5
2 + 1 B. 2 C.
2
2 D. 2 + 1
8. 哥特式建筑是 1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它
的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃，
如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较
（第 8题图）
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为常见，它是由线段 和两个圆弧 、 围成，其中一个圆弧的圆心为 ，另一个圆弧的圆
心为 ，圆 与线段 及两个圆弧均相切，若 = 2，则 =( )
A. 7 2 416 B. 7 C. 3 D.
4
7
二、多选题（本大题共 4小题，共 20.0分。在每小题有多项符合题目要求，漏选得 2分，多
选错选 0分。）
9. 下列结论正确的是 ．( )
A. 若圆心角为3的扇形的弧长为 2 ，则该扇形面积为 6
B.tan ( 12 +
3 )的最小正周期是 4
C. 若角 的终边过点 ( 3, 4) 3，则 cos = 5
D. 若角 为锐角，则角 2 为钝角
10. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的
古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社
会现象.如图 1所示的是八卦模型图，其平面图形
(图 2)中的正八边形 ，其中 为正八
边形的中心，且 = 1，则下列说法正确的是 (
A. = B. = C. + = 2 D. = 22
11. 将函数 ( )的图象向左平移6个单位长度，再将所得函数图
3
象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数 ( ) =
( + )( > 0, > 0, | | < )的图象．已知函数 ( )的部
分图象如图所示，则下列关于函数 ( )的说法正确的是 ( )
A. ( ) B. ( ) , 的最小正周期为3 在区间 9 3 上单调递减 （第 11题图）
C. ( ) 的图象关于直线 = 9对称 D. ( )
的图象关于点 9 , 0 成中心对称
12.某同学在研究函数 ( ) = 2 + 1 + | 1|的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将
函数变形为 ( ) = ( 0)2 + (0 1)2 + ( 1)2 + (0 0)2，则下列结论正确的是 ( )
A. 函数 在区间 ∞,0 上单调递减， 1, + ∞ 上单调递增
B. 函数 的最小值为 2，没有最大值
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C. 存在实数 ，使得函数 的图象关于直线 = 对称
D. 方程 = 2 的实根个数为 2
三、填空题（本大题共 4小题，共 20.0分）
13. 若( + 1)( 1) = 2 ，则| + 1| = ______ ．
14. 1 已知 ( + 3 ) = cos( 2 ) =4，则 3 ．
15. 若函数 ( ) = 1 2 2( 6 )( > 0)在[0 , ]上有且仅有四个零点，则 的取值范围
为_____________________
16. 如图，函数 ( ) = 2sin( + )( > 0,0 < < )
的图象与坐标轴交于点 ， ， ，直线 交 ( )的图象于
点 ， (坐标原点)为△ 的重心(三条边中线的交点)，
其中 ( , 0)，则 tan = ．
（第 16题图）
四、解答题（本大题共 6小题，共 70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题 10分)
已知 是方程 2 2 1 = 0 的根，且 是第二象限的角，
sin( +3 2 )cos( )tan
2 ( + )
求 的值．
sin(2 )cos( 2+ )
18.(本小题 12分)
已知 ABC 的内角， A,B,C所对的边分别是 a,b,c，且 3a sin B bcos A 2b .
（1）求角 A的大小；
（2）若b c 6，且 ABC 的面积 S 2 3，求
19. (本小题 12分)
已知向量 = sin 3cos , 1 ， = 2sin , 4cos2 ，函数 = ．
(1)若 ∈ [ 2 , ]，求函数 ( )的减区间．
(2)若 ∈ [0, 2 ]，方程 ( ) = 有唯一解，求 的取值范围．
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20. (本小题 12分)
在锐角△ 中， = 2 3，________，求△ 的周长 的范围．
① = cos 2 , sin
= cos 2 ， 2 , sin
1
2 ，且 = 2，
② (2 ) = ，③ ( ) = 3
1 1
4， ( ) = 4；
(注：这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．)
21.(本小题 12分)
体育馆计划用运动场的边角地建造一个矩形健身室，如图， ABCD是边长为 50米的正方形
地皮，扇形CEF是运动场的一部分，半径为 40米，矩形 AGHM 就是计划的健身室，G、M
分别在 AB、 AD上，H在弧 EF 上，设矩形 AGHM 面积为S，
(1)若 HCF ，将S表示为 的函数；
(2)求出S的最大值．
22. (本小题 12分)
的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，(2 3 )cos = 3 cosC.
(1)求 ；
(2) 1 1 1若tan + tan = sin ，求证： 3 + ≤ 3 ≤ 2 + ．
第 4页，共 4页2022-2023 学年下学期广昌一中、南丰一中、金溪一中高一第二
次月考联考数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C A C B D A A AC BC BC ABD
13. 10 14. 78 15. [
23 29
12 , 12 ) 16.
3 3
6 2
17. 2 2 1 = 0 1解：方程 的两根分别为 2与 1，
由于 是第二象限的角，则 = 12，
所以 = 3，2
所以 = cos = 3，
= tan
2
因为原式 sin ( sin ) = ，
所以原式= 3．
18. 解：（1）因为 3a sin B bcos A 2b ，由正弦定理得；
3 sin Asin B sin Bcos A 2sin B（sin B 0）
所以 3 sin A cos A 2
sin 得 A 1
6
因0 A
故 A
3
1 3
（2） S bc sin A bc 2 3
2 4
得bc 8
a2 b2 c2 2bc cosA
(b c)2 3bc
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36 24 12
所以 a 2 3
19. 解：(1)
，
2 ≤ 2 + 3 ≤ + 2 ， ∈ ，
6 ≤ ≤ +
3， ∈ ，
又 ∈ [ 2 , ]，
∴函数 ( )的减区间为[ 6 ,
5
3 ]和[ 6 , ]．
(2)方程 ( ) = 有唯一解，
即 cos(2 + 3 ) =
3
2 有唯一解，
∵ 0 4 2 , ∴ 3 2 + 3 3，
由余弦型函数性质可得：
∴ 1 3 1 32 < 2 2或 2 = 1时方程有唯一解，
∴ 2 < 4或 = 1．
故 的取值范围是 1 ∪ (2,4]
20. 解：若选① ∵ = cos 2 , sin
2 ， = cos
2 , sin
2 ，
1 1
且 = 2 22， ∴ cos 2 + sin 2 = 2 ,
1
∴ cos = 2 ,
∵ ∈ (0, 2 ),
∴ = 3．
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∵ sin = 4,
∴ 2 △ = 4sin ( 3 ) + 4sin + 2 3，
∴ △ = 4 3sin( + 6 ) + 2 3．
∵锐角△ , = 3 ,
∴ ∈ ( 6 , 2 )，
2
∴ + 6 ∈ ( 3 , 3 ),
∴ △ ∈ (6 + 2 3, 6 3]．
若选② ∵ (2 ) = ，
∴ 2 cos = cos + cos ，
即 2sin cos = sin cos + sin cos = sin ，
∴ 2 cos = ,
∴ cos = 12．
∵ ∈ (0, 2 ),
∴ = 3．
∵ = 4,
sin
∴ △ = 4sin(
2
3 ) + 4sin + 2 3．
∴ △ = 4 3sin ( +
6 ) + 2 3．
∵锐角△ , = 3 ,
∴ ∈ ( 6 , 2 )，
2
∴ + 6 ∈ ( 3 , 3 ),
∴ △ ∈ (6 + 2 3, 6 3]．
若选③ ( ) = 12 cos +
3 1 1 2 3 1
2 sin 4 = 2 cos + 2 4
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1 1+ cos2 3 sin2 1
= 2 × 2 + 2 × 2 4
1 1 3
= 2 (2 cos2 + 2 sin2 )
= 12 sin 2 +
6 ，
1
∵ ( ) = 4 ,
1
∴ sin (2 + 6 ) = 2
∵ ∈ (0, 2 ),
∴ = 3．
∵ = 4,
sin
∴ = 4sin ( 2 △ 3 ) + 4sin + 2 3．
∴ △ = 4 3sin ( + 6 ) + 2 3．
∵ 锐角△ , = 3 ,
∴ ∈ ( 6 , 2 )，
2
∴ + 6 ∈ ( 3 , 3 ),
∴ △ ∈ (6 + 2 3, 6 3]．
21解:（1）延长GH交CD于 N，则 NH 40sin ,CH 40cos ，
HM ND 50 40cos , AM 50 40sin ，
故 S 50 40cos 50 40sin
100 25 20 sin cos 16sin cos
0 ， 2
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2
（2）令 t sin cos 2 sin sin cos t 1 ，则 ，且 t 1, 2 4 2
，
2
S 100 2 25 20t 8 t 1 800
t 5
450 ，
4
又 t 1, 2 ，
t
1 S 500 2 sin 1 sin 2当 时， max ，此时 ，即 ，
4 4 2
3
4 4 4
3
或 ，
4 4 4 4
∴ 0或 ，
2
∴当点H在E F 的端点 E或 F处时，该健身室的面积最大，最大面积是 500平方米；
22. 解：(1)由正弦定理得，(2sin 3sin )cos = 3sin cos ，
整理得，2sin cos = 3sin( + ) = 3sin ，
因为 0 < < ，所以 ≠ 0，
所以 = 3，又 是三角形内角，2
= 所以 6 ;
(2) ∵ 1 + 1 = 1tan tan sin ，
∴ cos + cos = 1
sin sin sin ，
sin cos +sin cos sin( + ) sin 1
即 sin sin = sin sin = sin sin = sin ，
由正弦定理得， 2 = ，
由余弦定理得，cos =
2+ 2 2 2 2
2 =
+ 2 1，
2 = 2
当且仅当 = 时，取等号，又 是三角形内角，所以 0 < 3，
3 = 3 = 2 3 2 = 2 3 ( + ) 2 ， 6
= + 3 = 2 ( + 3 )，
因为 0 < 2 3，即3 < + 3 3，
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所以 3 2 ( + 3 ) 2，
所以 3 3 2，即 3 3 2 ，
所以 3 + ≤ 3 ≤ 2 + ．
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