(共24张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
17 【方法技巧专题】构造等腰三角形的技巧
泰
类型一
利用平行线构造等腰三角形
【方法技巧】在等腰三角形内部或外部作任意一边
的平行线均可构造出新的等腰三角形，从而实现边
与角之间的转化.
基本图形：
D
E
B
A
E B
E
A
B
B
图1（作腰的平行线）
图2（作底的平行线）
一、作腰的平行线
1.如图，在△ABC中，AB=AC,点E在边AB上，点F
在边AC的延长线上，且BE=CF,EF交边BC于
点N,EM⊥BC交边BC于点M.求证：MW=
BM+CN.
证明：过点E作EG∥AC
A
交BC于点G.
证BM=MG,
B
GN=CN即可.
第1题图
二、作底边的平行线
2.如图，在△ABC中，CA=CB,点D在边AC的延长线
上，点E在边BC上，且CD=CE.求证：DE⊥AB.
证明：方法一：如图1，过点D
作DM∥AB交BC的延长线
E
于点M.
证DE⊥MD即可.
B
第2题图
方法二：如图2，过点C作CM/
AB交DE于点M.证CM⊥DE即可.
M
B
图1
图2
方法三：如图3，过点C作CM⊥AB于点M.
证DE∥CM即可.
M
B
图3
图4
方法四：如图4，过点E作EM∥AB交AC于点
M.由∠CME=∠CEM,∠D=∠CED,可得∠D+
/DME=90°.
类型二倍长中线构造等腰三角形
【方法技巧】在证明两条线段相等，且以这两条线
段为边构造全等三角形较为困难时，可通过中线倍
长，将这两条线段转移到某等腰三角形中去证明.
3.如图，∠1=∠2，点D为边BC的中点.求证：
AB=AC.
证明：延长AD至点E,
使DE=AD,连接BE.
证△BDE≌△CDA(SAS),B
D
..∠2=∠E=人1，
.AB=BE=AC.
第3题图
4.如图，在△ABC中，AD为中线，点E为边AB上一
点，连接CE,AD,CE交于点F,且AE=EF.求证：
AB=CF.
证明：方法一：如图1，延长AD
至点G,使DG=AD,连接CG.
证个ABD兰△GCD(SAS),
F
.AB=CG,再证∠G=
B
D
第4题图
∠EAF=∠EFA=∠GFC,
.CG=CF,..AB=CF.
E
E
B
B
B
N
G
图1
图2
图3
方法二：如图2，延长FD至点M,使DM=DF,连
接BM.同理可证CF=BM=AB.
方法三：如图3，过点B作BM⊥AD于点M,过点
C作CN⊥AD交AD的延长线于点N.先证
个BMD≌△CND,BM=CN,再证△ABM
≌
△FCN即可.(共22张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.2 线段的垂直平分线
泰
夯实基础
水滴石穿，全面过关
知识点1利用尺规作线段的垂直平分线
1.如图，所保留的尺规作图痕迹是作
A.线段的垂直平分线
B.一个半径为定值的圆
C.一条直线的平行线
D.一个角等于已知角
第1题图
2.如图，纸上有一线段AB.
(1)请用尺规作图，作出线段AB的垂直平分线
(保留作图痕迹，不写作法和证明).
(2)若不用尺规作图，你还有其他作法吗？请说
明作法（不作图）.
解：(1)作出线段AB的垂直平分
线如图所示.
(2)对折，使得点A与点B重合，
则折痕所在的直线即为线段AB的
垂直平分线.
第2题图
知识点2线段垂直平分线的性质
3.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为
直线CD上的一点.已知线段PA=5,则线段PB的
长度为
B
A.6
B.5
C.4
D.3
C
P
A
D
B
第3题图
4.如图，已知PO是线段CB的垂直平分线.若CB=
10 cm,PC=7 cm,PB=7 cm,CO=5 cm.
P
B
C
第4题图
6.如图，△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于点
D.若△ADB的周长是10cm,AB=4cm,求AC的长，
解：.·MN是线段BC的垂直平
IM A
D
分线，
.·.BD=CD
B
IN
·.△DB的周长是10cm,
第6题图
.AD+BD+AB=10 cm,
.AD+CD+AB=10 cm,
.AC+AB=10 cm.
.°B=4cm,∴.ΛC=6cm.
知识点3线段垂直平分线的判定
7.已知在△ABC内一点P满足PA=PB=PC,则点P一
定是△ABC
(B)
A.三条角平分线的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三条高的交点
D.三条中线的交点
8.如图，若直线1上存在一点P,满足PA=PB,则点P
是直线1与线段AB的垂直平分线
的交点
●A
B
第8题图
9.如图，点D是△ABC的边BC上一点，DE⊥AB于点
E,DF⊥AC于点F,并且DE=DF,连接AD,EF.求证：
AD垂直平分EF.
证明：.DE⊥AB,DF⊥AC,
.∠AED=∠AFD=90°.
在Rt个ADE和Rt△ADF中，
(AD=AD,
B
第9题图
DE-DF.
·.Rt个ADE≌Rt△ADF(HL）,
·.AE=AF,.点A在线段EF的垂直平分线上
又.DE=DF,
·.点A,D在线段EF的垂直平分线上，即AD垂直
平分EF.(共17张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.1第1课时轴对称图形和对称轴
泰
夯实基础
水滴石穿，全面过关
知识点1轴对称图形与对称轴
1.下列四个图形中，不是轴对称图形的是(
A
B
3.下列图形中，只有三条对称轴的图形有(A)
①
②
3
④
第3题图
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
知识点2轴对称与轴对称的性质
4.如图，△ABC和△A'B'C'关于直线1对称，下列
结论：①△ABC≌△A'B'C',②∠BAC=∠B'A'C',
③直线l垂直平分CC'.其中正确的有
(A)
AAA)
B
第4题图
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
6.如图所示：
甲
乙
丙
丁
第6题图
其中，轴对称图形有
甲、乙、丙、丁，与甲成轴
对称的图形有丁·
8.如图，将长方形纸片ABCD沿AE向上折叠，使点B
落在边DC上的点F处若△AFD的周长为18，
△ECF的周长为6，则该纸片ABCD的周长是
(B)
C
E
A
B
第8题图
A.20
B.24
C.32
D.48
9.如图，认真观察4个图中阴影部分构成的图案，请
写出这四个图案都具有的两个共同特征
第9题图
特征1：都是轴对称图形
特征2：这些图形的面积都等于4个小正方形
面积（答案合理即可）
10.在下列各图中分别补一个小正方形，使其成为
不同的轴对称图形.
图1
图2
图3
图4
第10题图
解：如图所示.
11.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC的边
BC沿∠ACB的平分线CD折叠到CE,点E在边
AC上.若∠ADE=10°，求∠A的度数.
解：.·∠ACB=0°，
B
.∠A+B=90°.
由折叠可知，∠CED=人B.
.·人CED=∠A+∠ADE,
AE
且∠ADE=10°，
第11题图
..∠B=∠A+10°，
.∠A+∠A+10°=90°，
.∠A=40°.
思维拓展
开放思维，学霸秘籍
12.如图，点P关于OA,OB轴对称的对称点分别为
点C,D,连接CD,交OA于点M,交OB于点N.
(1)若CD的长为18cm,求△PMN的周长，
(2)若∠CPD=131°，∠C=21°，∠D=28°，求
∠MPN的大小.
解：（1).点P关于OA,OB
的轴对称点分别为点C,D,
M
.PM=CM,ND=NP,
N
B
.△PN的周长为PN+PM+
MN=CM+MN+ND=CD=
第12题图
18cm.(共22张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
单元阶段练习 6
泰
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）
1.下列图形不是轴对称图形的是
C
A
B
D
2.下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是
(D)
A.∠A=∠B=∠C
B.AB=AC,∠B=60°
C.∠A=60°，ㄥB=60
D.AB=AC,且∠B=∠C
3.如图，有三条道路围成Rt△ABC,其中∠ACB
三
90°，BC=1000m,一个人从B处出发沿着BC行
走了800m,到达D处，AD恰为∠CAB的平分线，
则此时这个人到AB的最短距离为
(A)
A.200m
B.800m
C.700m
D.100m
A
C
D
B
第3题图
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD
是斜边AB上的高，BD=2,则AD的长是(C)
A.2
B.4
C.6
D.8
A
D
B
第4题图
5.如图，在△ABC中，DE垂直平分BC交AB于点
D,交BC于点E.若AB=10cm,AC=8cm,则
△ACD的周长是
(B)
A.12 cm
B.18 cm
C.16 cm
D.14 cm
B
E
第5题图
6.如图，在△ABC中，EDBC,∠ABC和∠ACB的
平分线分别交ED于点F,G.若FG=2,ED=6,则
DB+EC的值是
(B)
A.3
B.4
C.5
D.9
D
F
G
E
B
C
第6题图
7.如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC,BD平分
∠ABC,下列结论中错误的是
(D)
A.∠C=2∠A
B.BD=BC
C.△ABD是等腰三角形
D.点D为线段AC的中点
A
D
B
第7题图
8.如图，AB=AC,AE=EC=CD,∠A=60°.若EF=2,
侧DF的值是
(D
A.3
B.4
C.5
D.6
A
F
E
B
C
D
第8题图
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
9.如图，△ABC与△A'B'C关于直线1对称，则∠B=
110°
1
y
50°
>BB
20R
C
第9题图
10.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D是
边BC上的一点，BD=2,DE⊥BC交AB于点E,
则AE=2.
E
B4
第10题图
11.如图，在△ABC中，AB=BC,BE平分∠ABC,AD
为BC边上的高，且AD=BD.则∠3=22.5°
E
H
B
2
D
C
第11题图(共20张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.4 第2课时 角的平分线的判定
泰
夯实基础
水滴石穿，全面过关
知识点1角平分线的判定定理
1.如图，点P是∠BAC内一点，且到AB,AC的距离
PE,PF相等，则侧可以判定
△APF
≌
△APE
依据是HL,所以∠
CAP
BAP
C
F
P
A
E
B
第1题图
2.如图，已知∠CDA=∠CBA=90°，且CD=CB,则点C
一定在
∠DAB
的平分线上，点A在
∠DCB
的平分线上
D
C
AZ
B
第2题图
3.如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于点C,QD⊥OB于
点D.若QC=QD,则∠A0Q=35°.
C
B
D
第3题图
4.如图，点D,E是AC上两点，点F,G是AB上两
点，且DE=FG,SAODE=S△orG,求证：点O在∠BAC
的平分线上
证明：过点O作OM⊥AB于点
M,ON⊥AC于点N.
在△OED和△OFG中，
FM G B
.·DE=FG,S△ODE=S△OrG,
第4题图
ON⊥AC,OM⊥AB,
..OM=ON,
.点O在∠BAC的平分线上.
知识点2三角形三条角平分线的交点的性质
5.在三角形中，到三边距离相等的点是
(C
A.三条高线的交点
B.三条中线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三边垂直平分线的交点
6.如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O
到△ABC三边的距离相等.若∠A=70°，则∠BOC=
125°
A
B
C
第6题图
B
能力提升
规律方法，技巧点找
7.【变式体验】如图，在△ABC中，AB=AC,AD是
△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于
点F,垂足分别为点E,F.下列结论：①AD上任意
一点到点C,B的距离相等：②AD上任意一点到
AB,AC的距离相等；③BD=CD,AD⊥BC;
④∠BDE=∠CDF.其中正确的有
D
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A
E
F
B
D
C
第7题图
8.如图，已知AB=AC,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点
F,BE与CF交于点D.下列说法：①△ABE≌
△ACF;②△BDF≌△CDE;③点D在∠BAC的平
分线上.其中正确的是
（A)
A.①②③
B.②③
D.①
B
E
D
A
E
第8题图
9.如图，在△ABC中，∠A=90°，DE⊥BC于点E.若
AD=DE,且∠C=50°，则∠ABD=20°.
D
B
E
第9题图(共29张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
单元核心考点归纳
泰
【重点知识模块总结】
核心考点1轴对称变换
1.在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都
是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，
点C的坐标是(-1，-2).
(1)将△ABC沿x轴正方向平移3个单位长度得
到△AB,C1,画出△AB,C1,并写出点B,的坐标.
(2)画出△AB,C1关于x轴对称的△A,B,C2,并求
出△A,B,C,的面积.
Y↑
B,
--
-I
L-山-」--
L-1-」--
↓-↓---
一一
I--l
1-1-1-L--71
第1题图
解：(1)如图所示，△AB,C,即为所求作，点B,的
坐标为(1，-4).
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求作，S△4B,C,=2×
5
3-×1×3-2××1×2=
2
2.图1、图2、图3都是3×3的正方形网格，每个小正
方形的顶点称为格点.点A,B,C均为格点.在给定
的网格中，按下列要求画图：
M
A
图1
图2
图3
第2题图
(1)在图1中，画一条不与AB重合的线段MN,使
MN与AB关于某条直线对称，且点M,N为格点.
(2)在图2中，画一条不与AC重合的线段PQ,使
PQ与AC关于某条直线对称，且点P,Q为格点，
(3)在图3中，画一个△DEF,使△DEF与△ABC
关于某条直线对称，且点D,E,F为格点.
解：（1)如图1所示，线段MN即为所求.
(2)如图2所示，线段PQ即为所求.
(3)如图3所示，△DEF即为所求.（答案不唯一）
核心考点2尺规作图
3.如图，在△ABC中，∠B=62°，∠C=24°，分别以点
A和点C为圆心，大于。AC的长为半径画弧，两
2
弧相交AC的两侧于点M,N,连接MN,交BC于
点D,连接AD,则∠BAD的度数为
(A)
M
B
C
第3题图
A.70°
B.60°
C.50°
D.40°
4.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°，通过观察
尺规作图的痕迹，∠DAE的度数是35°
力
米
B
E
C
D
火
第4题图
5.按下列语句完成作图：
已知：如图，点A是射线OB外一点
(1)画射线OA.
(2)在射线OB上截取OC=OA.
(3)画∠AOC的平分线OD.
(4)在射线OD上确定一点P,使得AP+CP的值
最小（保留作图痕迹）.(共15张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
14 【思想方法专题】等腰三角形中的数学思想
v
v
v
泰
一、方程思想
1.如图，在△ABC中，AB=AC,BD=CD,∠BAD=
40°，AD=AE,求∠CDE的度数.
解：易得∠ADC=90°.
设∠CDE=x,
则∠ADE=AED=x+50°，
E
.x+(x+50°)=90°，
B
D
C
.x=20°，
第1题图
..∠CDE=20°.
2.如图，在△ABC中，AB=AC,∠C=2∠A,BD⊥AC
于点D,求∠DBC的度数
解：设∠DBC=x,则∠C=0°-x,
A=).
.·∠A+∠ABC+∠C=2∠C+
5
C=s2C=p90-=180
2
2
B
C
第2题图
∴.x=18°，即∠DBC的度数为18°.
3.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E分别在边AC,
AB上，且BD=BC,BE=DE=AD,求∠C的度数.
解：设∠EBD=∠EDD=x,
则∠A=∠AED=2x,
'.∠BDC=3x=∠C=∠ABC.
E
.2x+3x+3x=180°，
B
C
x=22.5°，
第3题图
.∠C=67.5.
二、整体思想
4.如图，在四边形ABCD中，DA=DB=DC,∠ADC=
110°，求∠ABC的度数.
解：.·人A+人ABD+人DBC+∠C=
30°-/ADC=250°，
.'.∠ABD+∠DBC=
125°=∠ABC.
A
B
第4题图
5.如图，点O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC,
∠ABC=∠ADC=70°，求∠DAO+∠DCO的度数.
解：.∠ABC=70°，OA=OB=OC,
..∠BAO+∠BCO=70°，
..∠AOB+∠C0B=360°-
A
140°=220°，
..∠A0C=140°.
第5题图
.·∠D=70°，
..∠DA0+∠DC0=360°-210°=150°.
6.如图，点D,E,F分别为△ABC三边上的点，且
AD=AF,BD=BE.
(1)若∠C=90°，求∠EDF的度数
(2)若∠C=a,求∠EDF的度数
解：（1).∠C=0°，
E
·.∠A+∠B=180°-90°=90°，
.'.∠AFD+∠ADF+∠BDE+
∠BED=360°-90°=270°，
A
D
B
..EDF=180°-（∠ADF+
第6题图
270°
∠BDE)=180°--：
=45°.
2(共14张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.3 第1课时 等腰三角形的性质
泰
夯实基础
水滴石穿，全面过关
知识点1等边对等角
1.在△ABC中，AC=BC,∠C=100°，则∠B的度数为
(C)
A.20°
B.30°
C.40°
D.80
2.等腰三角形的一个底角是50°，则另外两个角的
度数分别是
(B)
A.65°，65°
B.50°，80°
C.65°，65°或50°，80°
D.50°，50°
3.在△ABC中，AB=AC,∠B-∠A=30°，则∠A=
40°
知识点2三线合一
4.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是边BC上的高，下列
结论：①∠B=∠C:②∠BAD=∠CAD:③BD=CD;
④∠ADB=∠ADC=90°.其中结论正确的有(D)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
D
第4题图
5.如图，在△ABC中，AB=AC,BC=6cm,AD平分
∠BAC,则BD=3cm.
B
D
C
第5题图
6.如图，AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线
若AB=AC,∠BAC=40°，则∠CHD=55°.
A
E以
H
B
D
C
第6题图
知识点3等边三角形的性质
7.如图，a∥b,等边三角形ABC的顶点B在直线b
上，∠1=20°，则∠2的度数是
(C)
A.60°
B.45
C.40°
D.30°
A
2
a
C
b
B
第7题图
8.如图，在等边三角形ABC中，BE和CD分别是边
AC,AB上的高，且相交于点F,则∠BFC=120°.
A
D
E
分
B
C
第8题图
10.如图，在△ABC中，AB=20cm,AC=12cm,点P
从点B处向点A处运动，每秒运动3cm,点Q从
点A处向点C处运动，每秒运动2cm,其中一个
动点到达端点后，另一个点停止运动.当∠BPQ=
∠CQP时，运动时间为
(A)
A.4 s
B.3.5s
C.3 s
D.2.5s
B
C
第10题图
11.如图，在△ABC中，AB=AC,AD=DE=EB,BD=
BC,求∠A的度数：
解：设∠EDD=.
B
AD=DE=BE,BD=BC
E
AC=AB,
D
.∠A=∠AED,∠EBD=
第11题图
∠EDB=a,∠C=∠BDC=∠ABC.
.·∠AED=∠EBD+∠EDB=2∠EBD,
.∠A=2∠EBD=2.
.·∠BDC=人A+∠EBD=3∠EBD=3,
.∠C=3∠EBD=3.
.·∠A+∠C+∠ABC=180°，
.2+3+3a=180°，∴.a=22.5°.
.∠A=2=45°.(共9张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
12 【中考热点专题】轴对称作图
泰
类型一
网格作图
1.如图，△ABC是正方形网格上的格点三角形（顶
点A,B,C在正方形网格的格点上).
第1题图
(1)画出△ABC关于直线L的对称图形.
(2)画出以P为顶点且与△ABC全等的格点三角
形.（规定：点P与点B对应）
解：(1)如图所示，△A,B,C1即为所求.
(2)如图所示，△A2PC2和△A3PC3即为所求.
类型二
平面直角坐标系中作图
2.如图，在平面直角坐标系中有一个△ABC,其中点
A(-2,3).
m
TDT1
L
第2题图
(1)若△A,B,C,与△ABC关于x轴对称，直接写
出△A,B,C,三个顶点的坐标
(2)作△ABC关于直线m的对称图形△A,B,C2,
并写出B,和C,的坐标
解：(1)，△ABC三个顶点坐标分别为A(-2,3),
D(-6,5),C(-4,-1),
.△ABC1三个顶点坐标分别为A（-2,-3),
B1（-6,-5),C1(-4,1).
(2)如图所示，B2,C2的坐标分别为B2(8,5),C2(6,-1).
3.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC
(1)将△ABC向下平移6个单位长度，得
△AB,C1,画出△A1BC1
(2)画出△ABC关于y轴的对称图形△A,B2C2
(3)连接A1,A2,C2,并直接写出△AA2C2的面积.
B
一1
L _l
X
一十一
十一一
1
第3题图
解：(1)如图所示，△AB,C1即为所求.
(2)如图所示，△A2B,C2即为所求.
(3)如图所示，△A1A,C2即为所求作的三角形，
△44，C,的面积为3x6-1×2x3-1x2x6-1
×1×4=
2
2
2
18-3-6-2=7.(共20张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
16 【模型构建专题】三角形的角平分线四大模型
泰
一、角平分线上的点向角两边做垂线
1.如图，点D是∠EAF平分线上的一点.若∠ACD+
∠ABD=180°，求证：CD=DB.
证明：如图，过点D分别作AE,
M
AF的垂线，交AE于点M,交
AF于点N,
则∠CMD=∠BND=90.
N BF
第1题图
.·AD是∠EAF的平分线，
.DM=DN.
.·∠ACD+∠ABD=180°.∠ACD+∠MCD=180°.
.'.∠MCD=∠WBD.
在△CDM和△BDN中，
∠CMD=∠BND=90°，
∠MCD=∠NBD,
DM=DN,
∴.△CDM≌△BDN(AAS),.CD=DB.
2.如图，在△ABC中，∠1=∠2，AB=2AC,AD=BD
求证：DC⊥AC.
证明：过点D作DE⊥AB于点E.
在Rt△ADE和Rt△BDE中，
(AD=BD,
DE=DE,
B
第2题图
.△ADE≌△BDE(HL）,
..AE=BE=-AB=AC.
2
AE=AC,
在△ADE和△ADC中，.{∠1=∠2，
AD=AD,
.△ADE≌△ADC(SAS),
.∠ACD=∠AED=0°，.DC⊥AC.
二、角平分线+平行型
3.如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB,EC⊥OB.若
EC=2,求OF的长度.
解：如图，过点E作EG⊥OA于
B
点G.
.EF∥OB,
.∠OEF=∠BOE.
第3题图
.·∠AOE=∠BOE=15°.
EC=2,
.EG=CE=2,∠OEF=∠AOE=15°，
.OF=EF,∠EFG=30°，
.'.EF=2EG=4.
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边BC上
一点，DF∥AB交AC于点F,BD=DF=AF,DE⊥AB
于点E.求证：
(1)AD平分∠BAC.
(2CF=BE.
证明：（1).DF=AF,
.∠FAD=∠FDA.
E
.DF∥AB,
B
.∠BAD=∠FDA,
第4题图
..∠FAD=∠BAD,
即AD平分∠BAC.
(2).AD平分∠BAC,DC⊥AC,DE⊥AB,
.DC=DE.
(DF=BD,
在Rt△CDF和Rt△EDB中，.·
DC=DE
.'.Rt△CDF≌Rt△EDB(HL）,
.CF=BE.
三、截取构造对称全等
5.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD,CE分别平分
∠BAC,∠ACB,AD,CE交于点O.
(1)求∠AOC的度数.
(2)求证：AC=AE+CD(共9张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
13 【基础提升专题】利用等腰三角形的性质证线段或角度关系
泰
一、证线段相等
1.如图，AB=AC,DB=DC,AD的延长线交BC于点
E.求证：BE=CE.
证明：只需证AE平分∠BAC
即可，这可由△ABD≌△ACD
D
(SSS)得到.
B
E
C
第1题图
2.如图，BD是△ABC的角平分线，∠A=40°，
∠ACB=70°，DF⊥BC于点F,点E为BC延长线
上一点，CE=CD.求证：BF=EF
证明：因为DF⊥BE,所以只
A
需证BD=DE即可，再由
∠DBE=∠E=35得到.
B
F
E
第2题图
二、证角度相等
3.如图，在△ABC中，AB=AC,CD⊥AB于点D.求
证：∠BCD=。LBAC.
证明：方法一（计算法)：
设∠BAC=x,
180°-x
则ㄥB=
2
B
C
180°-x
..∠BCD=90°-
2
第3题图
1
x,.∠BCD=。∠BAC.
2
方法二（三线合一)：
过点A作AM⊥BC于点M,
证∠BCD=∠BAM=∠CAM即可.
三、证垂直
4.如图，CA=CB,OA=OB.求证：OC⊥AB.
证明：.·CA=CB,要证OC⊥AD,
故只需证OC平分∠ACB即可，
.先证△AOC≌△BOC(SSS),即
可得到OC平分∠ACB.
B
第4题图
5.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB,BC为边分
别作等边三角形ABD和等边三角形BCE.求证：
BD⊥CE.
证明：连接DC,DE.
先证△CBD≌△EBD(SAS),
..CD=ED,BD平分∠CDE,
..BD⊥CE.
E
第5题图(共23张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.1第2课时平面直角坐标系中的轴对称
泰
夯实基础
水浦石穿，全面过关
知识点1平面直角坐标系中关于坐标轴对称的
点的坐标特征
1.在平面直角坐标系中，点P(1,-2)关于x轴对称
的点的坐标是
(A)
A.(1,2)
B.(-1,-2)
C.(-1,2)
D.(-2,1)
2.在平面直角坐标系中，点A,B关于y轴对称，点A
的坐标是(2，-8)，则点B的坐标是
(A)
A.(-2,-8)
B.(2,8)
C.(-2,8)
D.(8,2)
3.在平面直角坐标系中，点A(a-2,4)关于y轴对
称的点是B(6,3-2b),求a,b的值，并求点C(b,
-a)关于x轴对称的点D的坐标.
解a=-4,6=-2D(-3,4月
知识点2作关于坐标轴对称的图形
4.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为
1,格点△ABC的顶点A,B的坐标分别为(-2,1)，
(0,3).请先在图中建立适当的平面直角坐标系，
再画出△ABC关于x轴对称的△A'B'C'.
第4题图
解：如图所示，在图中建立平面直角坐标系，画出
个ABC关于x轴对称的△A'B'C.
5.如图，在平面直角坐标系中，点A(-1,5),B(-3,
0),C(-4,3).
(1)在图中作出△ABC关于y轴的轴对称图
形△ABC1·
(2)点C关于y轴的对称点C,的坐标是(4,3)
第5题图
解：(1)如图所示，△ABC1即为所求.
能力提升
规律方法，技巧点拨
6.如图，在平面直角坐标系中，AB是过点(1,0)，且
垂直于x轴的直线，则点P(3,2)关于直线AB对
称的点的坐标是
(D
A.(0,2)
B.(-3,2)
C.(1,2)
D.(-1,2)
P(3,2)
0
X
B
第6题图
7.如图，在平面直角坐标系中，线段AB垂直于y轴，
垂足为点B,且AB=2.若将线段AB沿y轴翻折，点
A落在点C处，则点C的横坐标为-2.
yt
B
A
0
x
第7题图
8.已知点A(-2,b)与点B(2a+b,7)关于x轴对称，
则a=2.5,b=-7
9.已知点M(2a-3,3-a)关于y轴对称的点在第二
象限，则a的取值范围是1.5
10.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点
坐标分别为点A(-2,4),B(-4,1),C(-1,-1).
(1)直接写出△ABC的面积
(2)在图中作出△ABC关于x轴对称的△A,B,C1:
(3)将△ABC先向右平移5个单位长度，再向上
平移1个单位长度，得到△AB,C2,并写出点B,
的坐标.(共24张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.3 第2课时 等腰三角形的判定
泰
囚
夯实基础
水滴石穿，全面过关
知识点1等腰三角形的判定
1.在△ABC中，∠B=50°，∠A=80°.若AB=6,则AC
长为
(A)
A.6
B.8
C.5
D.13
2.下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是
B
A.a=3,b=3,c=4
B.a:b:c=2:3:4
C.∠B=50°，∠C=80°
D.∠A:∠B:∠C=1:12
3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,
BF平分∠ABC交CD于点E,交AC于点F.求证：
CE=CF.
证明：.·∠ACD=0°，CD⊥AB,
..∠CBF+∠CFB=∠DBE+
B
∠DEB=90°.
第3题图
.·BF平分∠ABC,
.∠CBF=∠DBE,.∠CFB=∠DEB,
又.·∠FEC=∠DEB,
.∠CFB=∠FEC,.CE=CF.
知识点2等边三角形的判定
4.下列三角形：①有两个角等于60°：②有一个角等
于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各
取一个外角)都相等的三角形：④一腰上的中线
也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三
角形的有
(D)
A.①②③
B.①②④
c.①③
D.①②③④
5.如图，将边长为5cm的等边三角形ABC,沿BC向
右平移3cm,得到△DEF,DE交AC于点M,则
△MEC是等边三角形，DM=3
cm.
M
B
E
C
F
第5题图
6.如图，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥AC于点A,
AE⊥AB于点A.
(1)求∠C的度数.
(2)求证：△ADE是等边三角形.
解：（1).AB=AC,
∠BAC=120°，
.∠B=∠C=30°，
B
C
D
E
即∠C=30°.
第6题图
(2)证明：.·∠B=
∠C=30°，AD⊥ΛC,AE⊥AB,
.∠ADC=∠AEB=60°.
".∠ADC=∠AEB=∠EAD=60°.
.△ADE是等边三角形.
知识点3含30°角的直角三角形的性质
7.如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距
地面3处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量
∠ABC=30°，则树高是
(B
A.6 m
B.9 m
c.10m
D.12m
第7题图
8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB+
BC=12cm,则AB的长是
(C)
A.6 cm
B.7 cm
C.8
cm
D.9
cm
B
A
第8题图(共7张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15 【方法技巧专题】巧用“三线合一”作辅助线
泰
一、遇底边中点连接底边上的中线
1.如图，在△ABC中，AB=AC,点D为边BC的中点，
DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.求证：AE=AF.
证明：
方法一：
证△BDE≌个CDF.
B
方法二：连接AD,证AD平
第1题图
分∠BAC,
△ADE≌△ADF.
2.如图，在△ABC中，CA=CB,点D是边AB的中点，
∠CED=∠CFD=90°，CE=CF.求证：∠ADF=∠BDE.
证明：连接CD,则CD⊥AB.
E
要证∠ADF=∠BDE,只需证
∠CDF=∠CDE即可，
这可由证△CDF≌△CDE(HL)
得到.
A
B
第2题图
3.如图，在△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°，点O为边
AB的中点，点D,E分别在边AC,BC上，且OD1
OE.求证：CE+CD=AC
证明.连接OC,证△OCE≌
A
△OAD即可.
D
C
E
B
第3题图
二、遇等腰作底边上的高
4.如图，在四边形ADBC中，BC=2BD,AB平分
∠DBC,AB=AC,求证：AD⊥BD.
证明：过点A作AE⊥BC于
A
点E,证△ABD≌△ABE
即可.
B
E
第4题图
5.如图，在△ABC中，AB=AC,CD⊥AB交BA的延长
线于点D,试探究∠BAC与∠BCD之间的数量关系.
解：过点A作AE⊥BC于点
A
E,则∠BAE=∠CAE,
证∠BAE=∠BCD.
B
E
..∠BAC=2∠BCD.
第5题图(共19张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.4 第1课时 角的平分线的性质
泰
夯实基础
水浦石穿，全面过关
知识点1利用尺规作角的平分线
1.教材第141页告诉我们一种作已知角的平分线的
方法：
已知：∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
作法：
①以点O为圆心，任意长为半径画弧分别交OA,
OB于点M,N;
②分别以点M,N为圆心，以大于MN的长为半
2
径画弧，在∠AOB的内部相交于点C;
③作射线OC,射线OC即为所求，
请你根据提供的材料回答下列问题
(1)根据提示作出∠AOB的平分线OC.
(2)这种作已知角的平分线的方法的依据是
1
(填序号).
①SSS
②SAS
③AAS
④ASA
(3)请你证明OC为∠AOB的平分线.
证明：.·点M,N在以点O为圆
心的弧上，.OM=ON.
又·分别以点M,N为圆心，相
IN
B
同长度画弧，.MC=NC.
第1题图
OM=ON,
在△OMC和△ONC中，.·{MC=NC,
OC=OC,
.△OMC≌△ONC(SSS),
.∠MOC'=∠NOC,∴.OC是∠AOB的平分线.
知识点2过一点作已知直线的垂线
2.已知直线l及直线外一点P.求作：直线的垂线，
使它经过点P.(要求：尺规作图，保留作图痕迹)
解：如图所示，直线P⑨即为
所求.
第2题图
知识点3角平分线的性质
3.如图，∠1=∠2，PD⊥OA于点D,则点P到OB的
距离等于
(C)
A.PB
B.PA
C.PD
D.PE
D
A
E
B
第3题图
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平
分线，若CD=3,则点D到AB的距离是3.
B
D
第4题图
5.如图，∠BAC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D,
DE⊥BC于点E.若DE=2,BD=5,则AB=7·
E
A
B
D
第5题图
6.【变式体验】如图，OC=OD,PC=PD,PM⊥OC于
点M,PW⊥OD于点N,求证：PM=PN.(提示：连
接PO)
证明：连接PO,易证△OPC≌
M
△OPD(SSS),
..∠POC=∠POD.
又.·PM⊥OC,PW⊥OD,
D
N
..PM=PN.
第6题图
B
能力提升
规律方法，技巧点找
7.如图，AD是△ABC的角平分线，AB：AC=3:2,
△ABD的面积为15，则△ACD的面积是10
B
D
C
第7题图